5.1 平行四边形
一、平行四边形的概念：两组对边分别________的四边形叫做平行四边形.
二、平行四边形的性质
1、平行四边形的邻角________，对角________.
2、平行四边形的对边________且________.
3、平行四边形的对角线________.
4、平行四边形是________对称图形，对称中心是对角线的________.
三、平行四边形的判定
1、两组对边分别________的四边形是平行四边形.
2、两组对边分别________的四边形是平行四边形.
3、两组对角分别________的四边形是平行四边形.
4、一组对边________且________的四边形是平行四边形.
5、对角线________的四边形是平行四边形.
四、平行线间的距离
1、概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的________，叫作两条平行线间的距离.
2、性质：
（1）两条平行线间的距离处处________；
（2）夹在两条平行线间的平行线段________.
考点一：平行四边形的识别
如图，利用格点 A，B，C，D，E，F 中的四个点为顶点，你能画出多少个不同的平行四边形?请在图中画出来．
/
变式跟进1 在图中, 互相全等的平行四边形按一定的规律排列.其中，第①个图形中有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，……，则第⑥个图形中平行四边形的个数为 个.
/
考点二：平行四边形的性质
平行四边形ABCD与等边△AEF如图放置，如果∠B＝45°，则∠BAE的大小是( )
/
A. 75° B. 70° C. 65° D. 60°
变式跟进2如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，联结EF、CF，那么下列结论中一定成立的个数是（ ）
①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．
/
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
考点三：平行四边形的判定
已知四边形ABCD中,AB∥CD.则添加下列条件,不能使四边形ABCD成为平行四边形的是（ ）
/
A. AD∥BC B. AD=BC C. AB=CD D∠B=∠D
变式跟进3如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，求证：四边形BCEF是平行四边形．
/
考点四：两条平行线间的距离
平行线之间的距离是指（ ）
A.从一条直线上一点到另一条直线的垂线段
B.从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度
C.从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度
D.从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度
变式跟进4如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB，垂足为E．若PE=3，则两平行线AD与BC间的距离为 （ ）
/
A．3 B．5 C．6 D．不能确定
考点五：平行四边形综合应用
如图，在?ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
/
变式跟进5探究：已知平行四边形ABCD的面积为100，M是AB所在直线上的一点
（1）如图1：当点M与B重合时，S△DCM =________;
（2）如图2：当点M与B与A均不重合时，S△DCM =________
（3）如图3：当点M在AB（或BA）的延长线上时，S△DCM =_____/___
///
推广：平行四边形ABCD的面积为a，E、F为两边DC、BC延长线上两点，连接DF、AF、AE、BE.求出图4中阴影部分的面积，并简要说明理由
/
应用：如图5是某广场的一平行四边形绿地ABCD，PQ、MN分别平行DC、AD，PQ、MN交于O点，其中S四边形AM OP＝300m2,S四边形MBQO＝400m2，S四边形NCQO＝700m2.现进行绿地改造，在绿地内部做一个三角形区域MQD，连接DM、QD、QM，（图中阴影部分）种植不同的花草，求三角形DMQ区域的面积.
/
一、选择题
1、（2016?义乌）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（? ）
/
A、①，② B、①，④ C、③，④ D、②，③
2、（2016?河池）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（?? ）
/
A、150° B、130° C、120° D、100°
3、（2017?眉山）如图，EF过?ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若?ABCD的周长为18，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为（?? ）
/
A、14 B、13 C、12 D、10
4、（2017?黑龙江）在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD周长是（?? ）
A、22 B、20 C、22或20 D、18
5、（2017?青岛）如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB= /，AC=2，BD=4，则AE的长为（?? ）
/
A、/ B、/ C、/ D、/
6．（2018?安徽）□ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE=DF B．AE=CF C．AF//CE D．∠BAE=∠DCF
7．（2018?兰州）如图，将?ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠??????=
48
°
，∠??????=
40
°
，则∠??为( )
/
A．
102
°
B．
112
°
C．
122
°
D．
92
°
8．（2018?德阳）如图，四边形????????是平行四边形，点??为????的中点，延长????至点??，使????=3????，连接????、????、????，则在????????中
??
????????
:
??
????????
:
??
????????
（ ）
/
A．6:2:1 B．3:2:1 C．6:3:2 D．4:3:2
二、填空题
9、（2016?邵阳）如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件________（写一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．
/
10、（2016?衢州）已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x=________．
11、（2017?扬州）在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=200°，则∠A=________．
12、（2017?南充）如图，在?ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=2BG，S△BPG=1，则S?AEPH=________．
/
13、（2017?通辽）在?ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC于F，若AD=11，EF=5，则AB=________．
14．（2018?抚顺）如图，?ABCD中，AB=7，BC=3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于
1
2
AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是_____．
/
15．（2018?益阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则下列结论：①△ADF≌△FEC；②四边形ADEF为菱形；③
??
????????
:
??
????????
=1:4。其中正确的结论是____________.（填写所有正确结论的序号）
/
16．（2018?哈尔滨）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，点E、点F分别是OA、OD的中点，连接EF，∠CEF=45°，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，FN=
10
，则线段BC的长为_____．
/
三、解答题
17、（2016?益阳）如图，在?ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接AF，CE．求证：AF=CE．
/
18、（2017?益阳）如图，四边形ABCD为平行四边形，F是CD的中点，连接AF并延长与BC的延长线交于点E．求证：BC=CE．
/
19．（2018?徐州）已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断：
①OA=OC，②AB=CD，③∠BAD=∠DCB，④AD∥BC．
请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：
（1）构造一个真命题，画图并给出证明；
（2）构造一个假命题，举反例加以说明．
20．（2018?兰州）如图，在△??????中，过点C作????//????，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．
(1)求证：四边形AFCD是平行四边形．
(2)若????=3，????=6，????=
3
2
，求AB的长．
/
一、选择题
1、（2017·菏泽二模）如图，点A是反比例函数y= /的图象上的一点，过A作?ABCD，使点B在x轴上，点D在y轴上，已知?ABCD的面积为6，则k的值为（?? ）
/
A、3 B、﹣3 C、6 D、﹣6
2、（2017·胶州一模）如图，?ABCD中，AB=4，BC=5，∠ABC=60°，对角线AC，BD交于点O，过点O作OE⊥AD，则OE等于（?? ）
/
3、（2017·贵港二模）如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（?? ）
/
4、（2017·济南一模）如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1 ， S2 ． 若S=3，则S1+S2的值为（?? ）
/
A、24 B、12 C、6 D、3
5、（2017·唐山一模）在?ABCD中，∠ACB=25°，现将?ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠GFE的度数（?? ）
/
A、135° B、120° C、115° D、100°
6．（2018?昭通模拟）在?ABCD中，∠B+∠D=260°，那么∠A的度数是（ ）
A．130° B．100° C．50° D．80°
7．（2018?驻马店模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使得四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是 ( )
/
A．AB=CD B．BC∥AD C．BC=AD D．∠A=∠C
8．（2018?徐州模拟）如图，?ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能是( )
/
A．BE＝DF B．BF＝DE C．AE＝CF D．∠1＝∠2
9．（2018?正阳一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F，若四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm，则AB的长为（ ）
/
A．13cm B．12cm C．10cm D．8cm
10．（2018?安庆一模）如图，在□ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，AE、CF分别交BD于点M、N，则四边形 AMCN与□ABCD的面积比为（ ）
/
A．
1
2
B．
1
3
C．
1
4
D．
1
6
二、填空题
11、（2017·潍坊模拟）如图，在?ABCD中，DB=DC，∠C的度数比∠ABD的度数大54°，AE⊥BD于点E，则∠DAE的度数等于________．
/
12、（2017·河源模拟）如图，在?ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为________．
/
13、（2017·南京一模）如图，在?ABCD中，E、F分别是AD、CD的中点，EF与BD相交于点M，若△DEM的面积为1，则?ABCD的面积为________．
/
14．（2018?福州联考）平面直角坐标系中,已知平行四边形ABCD的四个顶点坐标分别是A(a,b)，B(n，2n-1)，C(-a,-b)，D (??
3
2
,??)，则m 的值是_________
15．（2018?平邑模拟）如图，平行四边形ABCD 的周长为20cm，对角线相交于点 O，且 EO⊥BD 于点 O 交AD 于点 E，则△ABE 的周长为 ________________cm．
/
16．（2018?丹东二模）过□ABCD对角线交点O作直线m，分别交直线AB于点E，交直线CD于点F，若AB＝4，AE＝6，则DF的长是___________.
三、解答题
17、（2017·济南二模）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，若点E、F分别在边BC、AD上，连接AE、CF，若∠AEB=∠CFD．求证：四边形AECF是平行四边形．
/
18、（2017·太原期末）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC＝30o，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．
/
（1）求证：AC＝EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
19．（2018?济南模拟）如图平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，EF过点O，并与AD，BC分别交于点E，F，已知AE=3，BF=5
（1）求BC的长；
（2）如果两条对角线长的和是20，求三角形△AOD的周长．
/
20．（2018?沈阳二模）已知：如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AB和CD的中点．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）若AC=BC=5，AB=6，求四边形AMCM的面积．
/
/
5.1 平行四边形
一、平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
二、平行四边形的性质
1、平行四边形的邻角互补，对角相等.
2、平行四边形的对边平行且相等.
3、平行四边形的对角线互相平分.
4、平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点.
三、平行四边形的判定
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
3、两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
4、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
5、对角线互相平分的四边形是平行四边形.
四、平行线间的距离
1、概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作两条平行线间的距离.
2、性质：
（1）两条平行线间的距离处处相等；
（2）夹在两条平行线间的平行线段相等.
考点一：平行四边形的识别
如图，利用格点 A，B，C，D，E，F 中的四个点为顶点，你能画出多少个不同的平行四边形?请在图中画出来．
/
【答案】3个，作图见解析.
【解析】解:共3个，如图所示，
/
(1)∵AB=CD=3，且AB∥CD.
∴四边形ABDC为平行四边形.
(2)∵AE=DF=，AF=ED=.
∴四边形AFDE为平行四边形.
(3)∵BF=EC=，BE=FC=.
∴四边形BFCE为平行四边形.
【点评】利用平行四边形的定义即可作图.
变式跟进1 在图中, 互相全等的平行四边形按一定的规律排列.其中，第①个图形中有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，……，则第⑥个图形中平行四边形的个数为 个.
/
【答案】41
【解析】解：∵图②平行四边形有5个=1+2+2，
图③平行四边形有11个=1+2+3+2+3，
图④平行四边形有19=1+2+3+4+2+3+4，
∴图⑥的平行四边形的个数为1+2+3+4+5+6+2+3+4+5+6=41
【点评】本题是一道找规律问题，探究图形序号与平行四边形个数之间的关系，即可得出规律.
考点二：平行四边形的性质
平行四边形ABCD与等边△AEF如图放置，如果∠B＝45°，则∠BAE的大小是( )
/
A. 75° B. 70° C. 65° D. 60°
【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∠BAC=180°-∠B=180°-45°=135°，
∵△EAF是等边三角形，∴∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠BAD-∠EAF=75°，
故选A.
【点评】由四边形ABCD是平行四边形，∠B=45°，根据平行四边形的邻角互补，可求得∠DAB的度数，又由△EAF是等边三角形，即可求得∠EAF的度数，继而求得答案,
变式跟进2如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，联结EF、CF，那么下列结论中一定成立的个数是（ ）
①∠DCF=/∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．
/
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在?ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；
②延长EF，交CD延长线于M，
/
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
/，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
故选C．
【点评】由在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，易得AF=FD=CD，继而证得①∠DCF=∠BCD；然后延长EF，交CD延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．
考点三：平行四边形的判定
已知四边形ABCD中,AB∥CD.则添加下列条件,不能使四边形ABCD成为平行四边形的是（ ）
/
A. AD∥BC B. AD=BC C. AB=CD D∠B=∠D
【答案】B
【解析】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
∵AB∥CD，AD=BC无法得出四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意;
∵在四边形ABCD中，AB∥CD，∴可添加的条件是：AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，故选项C不符合题意；
∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∵∠B=∠D，∴∠D+∠C=180°，∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B.
【点评】利用平行四边形的判定即可得出结论.
变式跟进3如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，求证：四边形BCEF是平行四边形．
/
【答案】证明见解析.
【解析】解：连接AE、DB、BE，BE交AD于点O，
/
∵AB/DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴OB=OE，OA=OD，
∵AF=DC，
∴OF=OC，
∴四边形BCEF是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．可连接AE、DB、BE，BE交AD于点O，由线段之间的关系可得OF=OC，OB=OE，可证明其为平行四边形．
考点四：两条平行线间的距离
平行线之间的距离是指（ ）
A.从一条直线上一点到另一条直线的垂线段
B.从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度
C.从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度
D.从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度
【答案】B
【解析】解：平行线之间的距离是指：从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度．
故选B．
【点评】根据平行线间的距离的定义直接进行选择即可．
变式跟进4如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB，垂足为E．若PE=3，则两平行线AD与BC间的距离为 （ ）
/
A．3 B．5 C．6 D．不能确定
【答案】C．
【解析】解：作PF⊥AD于F，PG⊥BC于G，
/
∵AP是∠BAD的角平分线，PF⊥AD，PE⊥AB，
∴PF=PE=3，
∵BP是∠ABC的角平分线，PE⊥AB，PG⊥BC，
∴PG=PE=3，
∵AD∥BC，
∴两平行线AD与BC间的距离为PF+PG=6，
故选C．
【点评】本题主要考查角平分线的性质、平行线之间的距离. 利用转化思想求解是解题的关键所在.
考点五：平行四边形综合应用
如图，在?ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．
/
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°．
∴∠ADE=∠CBF=60°．
∵AE=AD，CF=CB，
∴△AED，△CFB是正三角形．
∴∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°．
∴四边形AFCE是平行四边形．
（2）解：上述结论还成立．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠CDA=∠CBA，∠DCB=∠DAB，AD=BC，DC=AB．
∴∠ADE=∠CBF．
∵AE=AD，CF=CB，
∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF．
∴∠AED=∠CFB．
又∵AD=BC，
在△ADE和△CBF中．
∠ADE=∠CBF，∠AED=∠CFB，AD=BC，
∴△ADE≌△CBF（AAS）．
∴∠AED=∠BFC，∠EAD=∠FCB．
又∵∠DAB=∠BCD，
∴∠EAF=∠FCE．
∴四边形EAFC是平行四边形．
【点评】（1）由已知条件可得△AED，△CFB是正三角形，可得∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°，所以四边形AFCE是平行四边形．
（2）上述结论还成立，可以证明△ADE≌△CBF，可得∠AEC=∠BFC，∠EAF=∠FCE，所以四边形AFCE是平行四边形．
变式跟进5探究：已知平行四边形ABCD的面积为100，M是AB所在直线上的一点
（1）如图1：当点M与B重合时，S△DCM =________;
（2）如图2：当点M与B与A均不重合时，S△DCM =________
（3）如图3：当点M在AB（或BA）的延长线上时，S△DCM =_____/___
///
推广：平行四边形ABCD的面积为a，E、F为两边DC、BC延长线上两点，连接DF、AF、AE、BE.求出图4中阴影部分的面积，并简要说明理由
/
应用：如图5是某广场的一平行四边形绿地ABCD，PQ、MN分别平行DC、AD，PQ、MN交于O点，其中S四边形AM OP＝300m2,S四边形MBQO＝400m2，S四边形NCQO＝700m2.现进行绿地改造，在绿地内部做一个三角形区域MQD，连接DM、QD、QM，（图中阴影部分）种植不同的花草，求三角形DMQ区域的面积.
/
【答案】(1)50;(2)50;(3)50;推广:阴影部分的面积为a,应用S△DMQ=700,证明见解析.
【解析】解：(1)设平行四边形ABCDCD边上的高为h,则△DCM边CD的高也为h,
∵S平行四边形ABCD=CD×h,
∴S△DCM=/CD×h=/S平行四边形ABCD=50.
(2)设平行四边形ABCDCD边上的高为h,则△DCM边CD的高也为h,
∵S平行四边形ABCD=CD×h,
∴S△DCM=/CD×h=/S平行四边形ABCD=50.
(3)设平行四边形ABCDCD边上的高为h,则△DCM边CD的高也为h,
∵S平行四边形ABCD=CD×h,
∴S△DCM=/CD×h=/S平行四边形ABCD=50.
推广:阴影部分的面积为a,设平行四边形ABCD边AB上的高为h,AD边上的高为H,
则S△ADF=/AD× h=/S平行四边形ABCD=/a,
S△ABE=/AB×h=/S平行四边形ABCD=/a,
故阴影部分的面积=S△ADF+S△ABE=a.
应用:连接OD,由推广的结论,有
S△DOM=/S平行四边形AMOP=150,S△DOQ=/S平行四边形OQCN=350,S△MOQ=/S平行四边形OMBQ=200,
∴S△DMQ=S△DOM+S△DOQ+S△MOQ=150+350+200=700.
【点评】本题主要考查平行四边形面积问题.利用平行四边形的面积公式求解并将其推广应用解决实际问题是解题的关键.
一、选择题
1、（2016?义乌）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（? ）
/
A、①，② B、①，④ C、③，④ D、②，③
【答案】 D
【解析】解：∵只有②③两块角的两边互相平行，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选D．
【点评】本题考查平行四边形的定义以及性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型．确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
2、（2016?河池）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（?? ）
/
A、150° B、130° C、120° D、100°
【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∵∠BED=150°，
∴∠ABE=∠AEB=30°，
∴∠A=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=120°．
故选C．
【点评】由在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，易证得∠AEB=∠ABE，又由∠BED=150°，即可求得∠A的大小．
3、（2017?眉山）如图，EF过?ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若?ABCD的周长为18，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为（?? ）
/
A、14 B、13 C、12 D、10
【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，周长为18， ∴AB=CD，BC=AD，OA=OC，AD∥BC，
∴CD+AD=9，∠OAE=∠OCF，
在△AEO和△CFO中， /，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OE=OF=1.5，AE=CF，
则EFCD的周长=ED+CD+CF+EF=（DE+CF）+CD+EF=AD+CD+EF=9+3=12．
故选C．
【点评】先利用平行四边形的性质求出AB=CD，BC=AD，AD+CD=9，可利用全等的性质得到△AEO≌△CFO，求出OE=OF=3，即可求出四边形的周长．
4、（2017?黑龙江）在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD周长是（?? ）
A、22 B、20 C、22或20 D、18
【答案】C
【解析】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，则∠DAE=∠AEB． ∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，BC=BE+EC，
①当BE=3，EC=4时，
平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2（3+3+4）=20．
②当BE=4，EC=3时，
平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2（4+4+3）=22．
故选：C．
/
【点评】根据AE平分∠BAD及AD∥BC可得出AB=BE，BC=BE+EC，从而根据AB、AD的长可求出平行四边形的周长．
5、（2017?青岛）如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB= /，AC=2，BD=4，则AE的长为（?? ）
/
A、/ B、/ C、/ D、/
【答案】D
【解析】解：∵AC=2，BD=4，四边形ABCD是平行四边形， ∴AO= /AC=1，BO= /BD=2，
∵AB= /，
∴AB2+AO2=BO2 ，
∴∠BAC=90°，
∵在Rt△BAC中，BC= /= /= /
S△BAC= /×AB×AC= /×BC×AE，
∴ /×2= /AE，
∴AE= /，
故选D．
【点评】由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，所以平行四边形ABCD的面积即可求出．
6（2018?安徽）□ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE=DF B．AE=CF C．AF//CE D．∠BAE=∠DCF
【答案】B
【解析】根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得.
解：A、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；
/
B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意；
/
C、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，
∵AF//CE，∴∠FAO=∠ECO，
又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，
∴AF
//
CE，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；
/
D、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF，
又∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEO=∠CFO，
∴AE//CF，
∴AE
//
CF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意，
故选B.
/
【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键.
7．（2018?兰州）如图，将?ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠??????=
48
°
，∠??????=
40
°
，则∠??为( )
/
A．
102
°
B．
112
°
C．
122
°
D．
92
°
【答案】B
【解析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出∠??????=∠??????=∠??????，由三角形的外角性质求出∠??????=∠??????=
1
2
∠??????=
20
°
，再由三角形内角和定理求出∠??，即可得到结果．
解：∵????//????，
∴∠??????=∠??????，
由折叠可得∠??????=∠??????，
∴∠??????=∠??????，
又∵∠??????=
40
°
，
∴∠??????=∠??????=∠??????=
20
°
，
又∵∠??????=
48
°
，
∴△??????中，∠??=
180
°
?
20
°
?
48
°
=
112
°
，
∴∠??=∠??=
112
°
，
故选B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出∠??????的度数是解决问题的关键．
8．（2018?德阳）如图，四边形????????是平行四边形，点??为????的中点，延长????至点??，使????=3????，连接????、????、????，则在????????中
??
????????
:
??
????????
:
??
????????
（ ）
/
A．6:2:1 B．3:2:1 C．6:3:2 D．4:3:2
【答案】B
【解析】连接BF．设平行四边形AFEO的面积为4m．由FO：OC＝3：1，BE＝OB，AF∥OE可得S△OBF＝S△AOB＝m，S△OBC＝
1
3
m，S△AOC＝
2
3
m，由此即可解决问题.
解：连接BF．
/
设平行四边形AFEO的面积为4m．
∵FO：OC＝3：1，BE＝OB，AF∥OE
∴S△OBF＝S△AOB＝m，S△OBC＝
1
3
m，S△AOC＝
2
3
m，
∴S△AOB：S△AOC：S△BOC＝m：
2
3
m：
1
3
m＝3：2：1
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等高模型等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题
9、（2016?邵阳）如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件________（写一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．
/
【答案】AD∥BC
【解析】解：可以添加：AD∥BC（答案不唯一）．
故答案是：AD∥BC．
【点评】根据平行四边形的定义或判定定理即可解答．本题考查了平行四边形的定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，理解定义是关键．
10、（2016?衢州）已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x=________．
【答案】 4或﹣2
【解析】解：根据题意画图如下：
/
以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则C（4，1）或（﹣2，1），
则x=4或﹣2；
故答案为：4或﹣2．
【点评】分别在平面直角坐标系中确定出A、B、O的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定C的位置，从而求出x的值．此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
11、（2017?扬州）在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=200°，则∠A=________．
【答案】80°
【解析】解： ∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D，∠A+∠B=180°，
∵∠B+∠D=200°，
∴∠B=∠D=100°，
∴∠A=180°﹣∠B=180°﹣100°=80°，
故答案为：80°．
【点评】利用平行四边形的对角相等、邻角互补可求得答案．
12、（2017?南充）如图，在?ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=2BG，S△BPG=1，则S?AEPH=________．
/
【答案】4
【解析】解：∵EF∥BC，GH∥AB， ∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，
∴S△PEB=S△BGP ，
同理可得S△PHD=S△DFP ， S△ABD=S△CDB ，
∴S△ABD﹣S△PEB﹣S△PHD=S△CDB﹣S△BGP﹣S△DFP ，
即S四边形AEPH=S四边形PFCG ．
∵CG=2BG，S△BPG=1，
∴S四边形AEPH=S四边形PFCG=4×1=4；
故答案为：4．
【点评】由条件可证明四边形HPFD、BEPG为平行四边形，可证明S四边形AEPH=S四边形PFCG ． ，再利用面积的和差可得出四边形AEPH和四边形PFCG的面积相等，由已知条件即可得出答案．
13、（2017?通辽）在?ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC于F，若AD=11，EF=5，则AB=________．
【答案】8或3
【解析】解：①如图1，
/
在?ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∴AB=BE=CF=CD
∵EF=5，
∴BC=BE+CF﹣EF=2AB﹣EF=2AB﹣5=11，
∴AB=8；
②在?ABCD中，
/
∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∴AB=BE=CF=CD
∵EF=5，
∴BC=BE+CF=2AB+EF=2AB+5=11，
∴AB=3；
综上所述：AB的长为8或3．
故答案为：8或3．
【点评】根据平行线的性质得到∠ADF=∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF=∠CDF，等量代换得到∠DFC=∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF=CD，同理BE=AB，根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，得出AB=BE=CF=CD，分两种情况，即可得到结论．
14．（2018?抚顺）如图，?ABCD中，AB=7，BC=3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于
1
2
AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是_____．
/
【答案】10
【解析】根据平行四边形的性质可知AD=BC=3，CD=AB=7，再由垂直平分线的性质得出AE=CE，据此可得出结论
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=7，BC=3，
∴AD=BC=3，CD=AB=7，
∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴△ADE的周长=AD+（DE+AE）=AD+CD=3+7=10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，平行四边形的性质等，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
15．（2018?益阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则下列结论：①△ADF≌△FEC；②四边形ADEF为菱形；③
??
????????
:
??
????????
=1:4。其中正确的结论是____________.（填写所有正确结论的序号）
/
【答案】①②③
【解析】①根据三角形的中位线定理可得出AD=FE、AF=FC、DF=EC，进而可证出△ADF≌△FEC（SSS），结论①正确；
②根据三角形中位线定理可得出EF∥AB、EF=AD，进而可证出四边形ADEF为平行四边形，由AB=AC结合D、F分别为AB、AC的中点可得出AD=AF，进而可得出四边形ADEF为菱形，结论②正确；
③根据三角形中位线定理可得出DF∥BC、DF=
1
2
BC，进而可得出△ADF∽△ABC，再利用相似三角形的性质可得出
??
△??????
??
△??????
=
1
4
，结论③正确．此题得解．
解：①∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，
∴DE、DF、EF为△ABC的中位线，
∴AD=
1
2
AB=FE，AF=
1
2
AC=FC，DF=
1
2
BC=EC．
在△ADF和△FEC中，
????＝????
????＝????
????＝????
，
∴△ADF≌△FEC（SSS），结论①正确；
②∵E、F分别为BC、AC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF∥AB，EF=
1
2
AB=AD，
∴四边形ADEF为平行四边形．
∵AB=AC，D、F分别为AB、AC的中点，
∴AD=AF，
∴四边形ADEF为菱形，结论②正确；
③∵D、F分别为AB、AC的中点，
∴DF为△ABC的中位线，
∴DF∥BC，DF=
1
2
BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴
??
△??????
??
△??????
=（
????
????
）
2
=
1
4
，结论③正确．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．
16．（2018?哈尔滨）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，点E、点F分别是OA、OD的中点，连接EF，∠CEF=45°，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，FN=
10
，则线段BC的长为_____．
/
【答案】4
2
【解析】设EF=x，根据三角形的中位线定理表示AD=2x，AD∥EF，可得∠CAD=∠CEF=45°，证明△EMC是等腰直角三角形，则∠CEM=45°，证明△ENF≌△MNB，则EN=MN=
1
2
x，BN=FN=
10
，最后利用勾股定理计算x的值，可得BC的长．
解：设EF=x，
∵点E、点F分别是OA、OD的中点，
∴EF是△OAD的中位线，
∴AD=2x，AD∥EF，
∴∠CAD=∠CEF=45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=2x，
∴∠ACB=∠CAD=45°，
∵EM⊥BC，
∴∠EMC=90°，
∴△EMC是等腰直角三角形，
∴∠CEM=45°，
连接BE，
/
∵AB=OB，AE=OE
∴BE⊥AO
∴∠BEM=45°，
∴BM=EM=MC=x，
∴BM=FE，
易得△ENF≌△MNB，
∴EN=MN=
1
2
x，BN=FN=
10
，
Rt△BNM中，由勾股定理得：BN2=BM2+MN2，
∴(
10
)2＝x2+(
1
2
x)2，
x=2
2
或-2
2
（舍），
∴BC=2x=4
2
．
故答案为：4
2
．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题．
三、解答题
17、（2016?益阳）如图，在?ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接AF，CE．求证：AF=CE．
/
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF．
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，AE∥CF，
在△ABE和△CDF中，
/
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE
【点评】首先证明AE∥CF，△ABE≌△CDF，再根据全等三角形的性质可得AE=CF，然后再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AF=CE．此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．
18、（2017?益阳）如图，四边形ABCD为平行四边形，F是CD的中点，连接AF并延长与BC的延长线交于点E．求证：BC=CE．
/
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，
又∵F是CD的中点，即DF=CF，
∴△ADF≌△ECF，
∴AD=CE，
∴BC=CE．
/
【点评】根据平行四边形的对边平行且相等可得AD=BC，AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，根据线段中点的定义可得DF=CF，然后利用“角角边”证明△ADF≌△ECF，根据全等三角形对应边相等可得AD=CE，从而得证．
19．（2018?徐州）已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断：
①OA=OC，②AB=CD，③∠BAD=∠DCB，④AD∥BC．
请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：
（1）构造一个真命题，画图并给出证明；
（2）构造一个假命题，举反例加以说明．
【答案】答案见解析.
【解析】如果①②结合，那么这些线段所在的两个三角形是SSA，不一定全等，那么就不能得到相等的对边平行；如果②③结合，和①②结合的情况相同；如果①④结合，由对边平行可得到两对内错角相等，那么AD，BC所在的三角形全等，也得到平行的对边也相等，那么是平行四边形；最易举出反例的是②④，它有可能是等腰梯形．
解：（1）①④为条件时：
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，∠ADB=∠DBC，
又∵OA=OC，
∴△AOD≌△COB，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）②④为条件时，此时一组对边平行，另一组对边相等，可以构成等腰梯形．
/
【点评】本题考查了平行四边形的判定，真命题与假命题，熟知举出符合条件不符合结论的例子来说明一个命题是假命题是关键；本题中用等腰梯形做反例来推翻不是平行四边形的论断．
20．（2018?兰州）如图，在△??????中，过点C作????//????，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．
(1)求证：四边形AFCD是平行四边形．
(2)若????=3，????=6，????=
3
2
，求AB的长．
/
【答案】
1
证明见解析；(2)????=6．
【解析】(1)由E是AC的中点知????=????，由????//????知∠??????=∠??????，据此根据“AAS”即可证△??????≌△??????，从而得????=????，结合????//????即可得证；
(2)证△??????∽△??????得
????
????
=
????
????
，据此求得????=
9
2
，由????=????及????=????+????可得答案．
解：(1)∵??是AC的中点，
∴????=????，
∵????//????，
∴∠??????=∠??????，
在△??????和△??????中，
∵
∠??????=∠??????
∠??????=∠??????
????=????
，
∴△??????≌△??????(??????)，
∴????=????，
又????//????，即????//????，
∴四边形AFCD是平行四边形；
(2)∵????//????，
∴△??????∽△??????，
∴
????
????
=
????
????
，即
3
3+6
=
3
2
????
，
解得：????=
9
2
，
∵四边形AFCD是平行四边形，
∴????=????=
9
2
，
∴????=????+????=
9
2
+
3
2
=6．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键.
一、选择题
1、（2017·菏泽二模）如图，点A是反比例函数y= /的图象上的一点，过A作?ABCD，使点B在x轴上，点D在y轴上，已知?ABCD的面积为6，则k的值为（?? ）
/
A、3 B、﹣3 C、6 D、﹣6
【答案】D
【解析】解：设点A（x，y），?ABCD中BC边上的高为h， ∴AD=﹣x，h=y，
∵?ABCD的面积为6，
∴﹣xy=6，
∴k=xy=﹣6
故选D
【点评】由平行四边形的性质可知：AD=BC，设点A（x，y），利用?ABCD的面积即可求出k的值．
2、（2017·胶州一模）如图，?ABCD中，AB=4，BC=5，∠ABC=60°，对角线AC，BD交于点O，过点O作OE⊥AD，则OE等于（?? ）
/
A、/ B、2 / C、2 D、2.5
【答案】A
【解析】解：作CF⊥AD于F，如图所示：
/
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠ABC=60°，CD=AB=4，OA=OC，
∴∠DCF=30°，
∴DF= /CD=2，
∴CF= /DF=2 /，
∵CF⊥AD，OE⊥AD，CF∥OE，
∵OA=OC，
∴OE是△ACF的中位线，
∴OE= /CF= /；
故选：A．
【点评】作CF⊥AD于F，由平行四边形的性质得出∠ADC=∠ABC=60°，CD=AB=4，OA=OC，求出∠DCF=30°，由直角三角形的性质得出DF= /CD=2，求出CF= /DF=2 /，证出OE是△ACF的中位线，由三角形中位线定理得出OE的长即可．
3、（2017·贵港二模）如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（?? ）
/
A、12.5° B、15° C、20° D、22.5°
【答案】B
【解析】解：连接OB，
/
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OC=AB，又OA=OB=OC，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB为等边三角形，
∵OF⊥OC，OC∥AB，
∴OF⊥AB，
∴∠BOF=∠AOF=30°，
由圆周角定理得∠BAF= /∠BOF=15°，
故选：B．
【点评】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到∠BOF=∠AOF=30°，根据圆周角定理计算即可．
4、（2017·济南一模）如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1 ， S2 ． 若S=3，则S1+S2的值为（?? ）
/
A、24 B、12 C、6 D、3
【答案】B
【解析】解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，
/
由DC∥AB，得到PQ∥AB，
∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，
∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，
∴S△PDC=S△CQP ， S△ABP=S△QPB ，
∵EF为△PCB的中位线，
∴EF∥BC，EF= /BC，
∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，
∴S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=3，
∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=12．
故选：B．
【点评】过P作PQ平行于DC，由DC与AB平行，得到PQ平行于AB，可得出四边形PQCD与ABQP都为平行四边形，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC的中位线，利用中位线定理得到EF为BC的一半，且EF平行于BC，得出△PEF与△PBC相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC的面积，而△PBC面积=△CPQ面积+△PBQ面积，即为△PDC面积+△PAB面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．
5、（2017·唐山一模）在?ABCD中，∠ACB=25°，现将?ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠GFE的度数（?? ）
/
A、135° B、120° C、115° D、100°
【答案】 C
【解析】解：由折叠可得：∠EAC=∠ECA=25°，∠FEC=∠AEF，∠DFE=∠GFE， ∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，
∴∠AEC=130°，
∴∠FEC=65°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DFE+∠FEC=180°，
∴∠DFE=115°，
∴∠GFE=115°，
故选：C．
【点评】首先根据折叠找到对应相等的角∠EAC=∠ECA=25°，∠FEC=∠AEF，∠DFE=∠GFE，然后根据三角形内角和可算出∠AEC，进而可得∠FEC的度数，再根据平行四边形的性质可得∠DFE=115°，进而可得答案．
6．（2018?昭通模拟）在?ABCD中，∠B+∠D=260°，那么∠A的度数是（ ）
A．130° B．100° C．50° D．80°
【答案】C
【解析】画出图形，根据平行四边形的对角相等即可得解.
解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，∠A+∠B=180°，
∵∠B+∠D=260°，
∴∠B=∠D=130°，
∴∠A的度数是：50°．
故选：C．
/
【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等是解本题的关键.
7．（2018?驻马店模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使得四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是 ( )
/
A．AB=CD B．BC∥AD C．BC=AD D．∠A=∠C
【答案】C
【解析】根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可．
解：∵AB∥CD，∴当AB=CD时，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可知该条件正确；
当BC∥AD时，由两组对边分别平行的四边形为平行四边形可知该条件正确；
当BC=AD时，该四边形可能为等腰梯形，故该条件不正确；
当∠A=∠C时，可求得∠B=∠D，由两组对角分别相等的四边形为平行四边形可知该条件正确．
故选C．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
8．（2018?徐州模拟）如图，?ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能是( )
/
A．BE＝DF B．BF＝DE C．AE＝CF D．∠1＝∠2
【答案】C
【解析】A、当BE=FD，
∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
????=????
∠??????=∠??????
????=????
，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；
C、当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；
B、当BF=ED，∴BE=DF，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
????=????
∠??????=∠??????
????=????
，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；
D、当∠1=∠2，
∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
∠1=∠2
????=????
∠??????=∠??????
，∴△ABE≌△CDF（ASA），故此选项错误；
故选C．
9．（2018?正阳一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F，若四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm，则AB的长为（ ）
/
A．13cm B．12cm C．10cm D．8cm
【答案】A
【解析】根据三角形中位线定理可得ED//FC，BC=2DE，结合已知EF∥DC，可得四边形CDEF是平行四边形，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得AB=2CD，从而可得出四边形DCFE的周长=AB+BC，再根据四边形DCFE的周长为25cm，可得BC=25﹣AB，再利用勾股定理进行求解即可.
解：如图，∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，
∴ED是Rt△ABC的中位线，
∴ED∥FC，BC=2DE，
又 EF∥DC，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴DC=EF，
∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴AB=2DC，
∴四边形DCFE的周长=AB+BC，
∵四边形DCFE的周长为25cm，
∴BC=25﹣AB，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC的长5cm，
∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25﹣AB）2+52，
解得，AB=13cm，
故选A．
【点评】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质等，熟练掌握性质定理是解题的关键.
10．（2018?安庆一模）如图，在□ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，AE、CF分别交BD于点M、N，则四边形 AMCN与□ABCD的面积比为（ ）
/
A．
1
2
B．
1
3
C．
1
4
D．
1
6
【答案】B
【解析】根据平行四边形一顶点和对边中点的连线一定三等分平行四边形的一对角线，可得：
??
△
??????
=
1
3
??
△
??????
，
??
△
??????
=
1
3
??
△
??????
， 即可得出结论.
解：由题意可得：M、N为线段BD的三等分点，
∴
??
△
??????
=
1
3
??
△
??????
，
??
△
??????
=
1
3
??
△
??????
，
∴
??
四边形
????????
=
1
3
??
?
????????
.
故选B.
【点评】平行四边形一顶点和对边中点的连续一定三等分平行四边形的一对角线.
二、填空题
11、（2017·潍坊模拟）如图，在?ABCD中，DB=DC，∠C的度数比∠ABD的度数大54°，AE⊥BD于点E，则∠DAE的度数等于________．
/
【答案】12°
【解析】解：设∠C=x，则∠ABD=x﹣54°， ∵DB=CD，
∴∠C=∠DBC=x°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠C=180°，
∴x+x+x﹣54°=180°，
∴x=78，
即∠C=∠DBC=78°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=78°，
∵AE⊥BD，
∴∠AED=90°，
∴∠DAE=180°﹣90°﹣78°=12°，
故答案为：12°．
【点评】设∠C=x，则∠ABD=x﹣54°，求出∠C=∠DBC=x°，根据AB∥CD推出x+x+x﹣54°=180°，求出x，求出∠ADB，在△ADE中，根据三角形的内角和定理求出即可．
12、（2017·河源模拟）如图，在?ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为________．
/
【答案】10
【解析】解：∵EF∥AB ∴△DEF∽△DAB
∴EF：AB=DE：DA=DE：（DE+EA）=2：5
∴AB=10
∵在?ABCD中AB=CD．
∴CD=10．
【点评】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例可解得AB的长，而在?ABCD中，CD=AB．
13、（2017·南京一模）如图，在?ABCD中，E、F分别是AD、CD的中点，EF与BD相交于点M，若△DEM的面积为1，则?ABCD的面积为________．
/
【答案】16
【解析】解：连接AC，交BD于点O，
/
∵E、F分别是AD、CD的中点，
∴EF是△DAC的中位线，
∴EM∥AO，EM= /AO，
∴S△DEM：S△DAO=1：4，
∴S△DEM：S△DAC=1：8，
∴S△DEM：S平行四边形ABCD=1：16，
∵△DEM的面积为1，
∴?ABCD的面积为16，
故答案为：16．
【点评】连接AC，由已知条件易证EF是△DAC的中位线，所以△DEM和△DAO的面积比可求出，进而由△DEM的面积为1，即可求出?ABCD的面积．
14．（2018?福州联考）平面直角坐标系中,已知平行四边形ABCD的四个顶点坐标分别是A(a,b)，B(n，2n-1)，C(-a,-b)，D (??
3
2
,??)，则m 的值是_________
【答案】-2
【解析】分析：由平行四边形的性质和已知条件得出B与D关于原点对称，得出??=
3
2
，2???1=???，解出即可.
详解：∵平行四边形ABCD的四个顶点坐标分别是A(a,b)，B(n，2n-1)，C(-a,-b)，D (??
3
2
,??).
∴点A与点C关于原点对称，
∴点B与点D关于原点对称，
∴
??=
3
2
2???1=???
,
解得：n=
3
2
,m=-2；
故答案为：?2.
【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质.
15．（2018?平邑模拟）如图，平行四边形ABCD 的周长为20cm，对角线相交于点 O，且 EO⊥BD 于点 O 交AD 于点 E，则△ABE 的周长为 ________________cm．
/
【答案】10
【解析】已知平行四边形ABCD，根据平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，OB=OD，再由平行四边形ABCD的周长为20cm，可得AB+AD=10cm，又因EO⊥BD，根据线段垂直平分线的性质可得EB=ED，所以△ABE的周长为：
AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD=10cm.
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质．解决本题注意转化数学思想的运用．
16．（2018?丹东二模）过□ABCD对角线交点O作直线m，分别交直线AB于点E，交直线CD于点F，若AB＝4，AE＝6，则DF的长是___________.
【答案】2 或10
【解析】
如下图1和图2，分两种情况结合已知条件分析解答即可.
解：（1）如图1，当点E在BA的延长线上时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，AB∥CD，OA=OC，
∴BE∥DF，
∴∠OAE=∠OCF，∠E=∠F，
∴△AOE≌△COF，
∴CF=AE=6,
∴DF=CD+CF=4+6=10；
/
（2）如图2，当点E在AB的延长线上时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，CD∥AB，OA=OC，
∴AE∥CF，
∴∠OAE=∠OCF，∠AEO=∠CFO，
∴△OAE≌△OCF，
∴CF=AE=6，
∴DF=CF-CD=6-4=2.
/
综合（1）（2）可得：DF的长为10或2.
故答案为：2或10.
【点评】本题的解题要点是：能够根据题意分两种情况画出符合要求的图形.
三、解答题
17、（201·7济南二模）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，若点E、F分别在边BC、AD上，连接AE、CF，若∠AEB=∠CFD．求证：四边形AECF是平行四边形．
/
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠EAF，
∵∠AEB=∠CFD，
∴∠EAF=∠CFD，
∴AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形
【点评】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明．
18、（2017·太原期末）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC＝30o，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．
/
（1）求证：AC＝EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
【答案】证明见解析
【解析】证明：（1）∵△ABE是等边三角形，
∴AB=AE，∠EAF=60o，
又∵∠BAC＝30o，∠ACB=90o，
∴∠ABC＝60o， ∴∠EAF＝∠ABC，
又∵∠ACB=∠EFA=90" o，∴△ABC≌△EAF．
∴AC＝EF．
（2）∵△ADC是等边三角形，∴AD=AC，∠DAC=60o，
∴AD= EF，
又∵∠CAB=30o，∴∠DAB=90o，
∵∠EFA=90 o，∴AD∥EF
∴四边形ADFE是平行四边形．
【点评】（1）利用三角形全等可证AC＝EF.（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
19．（2018?济南模拟）如图平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，EF过点O，并与AD，BC分别交于点E，F，已知AE=3，BF=5
（1）求BC的长；
（2）如果两条对角线长的和是20，求三角形△AOD的周长．
/
【答案】(1)8;(2)18.
【解析】（1）由平行四边形的性质和已知条件易证△AOE≌△COF，所以可得AE=CF=3，进而可求出BC的长；
（2）由平行四边形的性质：对角线互相平分可求出AO+OD的长，进而可求出三角形△AOD的周长．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AO=CO，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中
∠??????＝∠??????
????＝????
∠??????＝∠??????
，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF=3，
∴BC=BF+CF=5+3=8；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，AD=BC=8，
∵AC+BD=20，
∴AO+BO=10，
∴△AOD的周长=AO+BO+AD=18．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定以及全等三角形的性质，能够根据平行四边形的性质证明三角形全等，再根据全等三角形的性质将所求的线段转化为已知的线段是解题的关键．
20．（2018?沈阳二模）已知：如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AB和CD的中点．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）若AC=BC=5，AB=6，求四边形AMCM的面积．
/
【答案】（1）见解析；（2）12.
【解析】（1）由题意可得AB∥CD，AB＝CD，又由M，N分别是AB和CD的中点可得AM＝∥CN，即可得结论；
（2）根据等腰三角形的性质可得CM⊥AB，AM＝3，根据勾股定理可得CM＝4，则可求面积．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵M，N分别为AB和CD的中点，
∴AM=
1
2
AB，CN=
1
2
CD，
∴AM=CN，且AB∥CD，
∴四边形AMCN是平行四边形；
（2）∵AC=BC=5，AB=6，M是AB中点，
∴AM=MB=3，CM⊥AM，
∴CM=
??
??
2
???
??
2
=4，
∵四边形AMCN是平行四边形，且CM⊥SM，
∴AMCN是矩形，
∴S四边形AMCN=12.
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，关键是熟练运用这些性质解决问题．
/
