5.2 菱形
一、菱形的概念
有一组________的平行四边形叫做菱形.
二、菱形的性质
1、菱形的四条边________；
2、菱形的对角线互相________，并且每一条对角线平分一组________
3、菱形即是________图形，又是中心对称图形
注意：菱形具有________的一切性质！
三、菱形的判定
1、有一组邻边相等的________是菱形
2、四边都________的四边形是菱形
3、对角线互相________的平行四边形是菱形
四、菱形的面积：
S菱形＝底×________＝两条对角线________的一半
考点一：菱形的辨别
如图，观察图中菱形的个数：图1中有1个菱形，图2中有5个菱形，图3中有14个菱形，图4中有30个菱形……,则第6个图中菱形的个数是 个.
/
变式跟进1已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2017个图形中菱形的个数有__________ 个
/
考点二：菱形的性质
菱形的一个内角为60°，较短的一条对角线长4，则菱形的周长为_____________.
变式跟进2如图，在平面直角坐标系中有一菱形OABC且∠A=120°，点O、B在y轴上，OA=1，现在把菱形向右无滑动翻转，每次翻转60°，点B的落点依次为B1、B2、B3…，连续翻转2017次，则B2017的坐标为______．
/
考点三：菱形的判定
如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB、BC于点E、F、G，连接ED、DG．
（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；
（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，求GC的长．
/
变式跟进3如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：
①EF⊥AC； ②四边形ADFE为菱形； ③AD=4AG； ④FH=BD
其中正确的结论有（ ）．
/
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
考点四：有关于菱形面积的计算
菱形的边长是2cm，一条对角线的长是2
3
cm,则菱形的面积是（ ）
A. 4c
m
2
B. 2
3
c
m
2
C. 2c
m
2
D. 4
3
c
m
2
变式跟进4如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是 ．
/
考点五：菱形的综合运用
△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF=∠B．
（1）如图1，求证：DE?CD=DF?BE
（2）D为BC中点如图2，连接EF．
①求证：ED平分∠BEF；
②若四边形AEDF为菱形，求∠BAC的度数及的值．
//
变式跟进5如图，△ABC是等边三角形，点A坐标为(-8，0)、点B坐标为(8，0)，点C在y轴的正半轴上．一条动直线l从y轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，直线l与直线??=
3
3
??交于点D，与线段BC交于点E．以DE为边向左侧作等边△DEF，EF与y轴的交点为G．当点D与点E重合时，直线l停止运动，设直线l的运动时间为t秒(t >0)．
（1）填空：点C的坐标为_____，四边形ODEG的形状一定是_____；
（2）请用t 的代数式表示线段DE 的长；
（3）试探究：四边形ODEG能不能是菱形？若能，求出相应的t的值；若不能，请说明理由．
（4）当t为何值时，点G恰好落在以DE为直径的⊙M上？并求出此时⊙M的半径．
/
一、选择题
1．（2016?枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，/，/，/于H，则DH等于
/
A．/ B．/ C．5 D．4
2．（2016?河南）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为( )
/
A．(1，-1) B．(-1，-1) C．(
2
，0) D．(0，-
2
)
3、（2017?河南）如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定?ABCD是菱形的只有（?? ）
/
A、AC⊥BD B、AB=BC C、AC=BD D、∠1=∠2
4、（2017?赤峰）如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF=2 /，则∠A=（?? ）
/
A、120° B、100° C、60° D、30°
5、（2017·台州）如图，矩形EFGH四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF，将△AEH，△CFG分别沿边EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的 /时，则 /为（??? ）
/
A、/ B、2 C、/ D、4
6．（2018?嘉兴）用尺规在一个平行四边形内作菱形????????,下列作法中错误的是（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
7．（2018?大连）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=5，AC=6，则BD的长是（ ）
/
A．8 B．7 C．4 D．3
8．（2018?宿迁）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（?? ）
/
A．
3
B．2 C．2
3
D．4
二、填空题
9．（2016?湘西）如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=8和BD=6，那么，菱形ABCD的面积为 ．
/
10．（2016?陕西）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为 ．
/
11、（2017?乌鲁木齐）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，则菱形ABCD的面积为________．
/
12、（2017?十堰）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，OE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED=________．
/
13、（2017?东营）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8 /，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为________．
/
14．（2018?伊春）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件_____使平行四边形ABCD是菱形．
/
15．（2018?锦州）如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH.若OB=4，S菱形ABCD=24，则OH的长为______________.
/
16．（2018?重庆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于_____．
/
三、解答题
17、（2016·广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．
/
18、（2017?宁夏）在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM．将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．
/
19．（2018?呼和浩特）如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．
/
20．（2018?江西）在菱形????????中，∠??????=60°,点??是射线????上一动点，以????为边向右侧作等边△??????，点??的位置随点??的位置变化而变化.
（1）如图1，当点??在菱形????????内部或边上时，连接????，????与????的数量关系是 ，????与????的位置关系是 ；
（2）当点??在菱形????????外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，
请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理).
(3) 如图4，当点??在线段????的延长线上时，连接????，若????=2
3
,????=2
19
,求四边形????????的面积.
/
一、选择题
1、（2017·浙江二模）如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点．若四边形ADEF是菱形，则△ABC必须满足的条件是（??? ）
/
A、AB⊥AC B、AB=AC C、AB=BC D、AC=BC
2、（2017·江淮联考）如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（?? ）
/
A、AB=AD B、AC=BD C、AD=BC D、AB=CD
3、（2017·枣庄三模）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（?? ）
/
A、（1，﹣1） B、（﹣1，﹣1） C、（ /，0） D、（0，﹣ /）
4、（2017·济南二模）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（?? ）
/
A、14 B、15 C、16 D、17
5、（2017·济南一模）如图，菱形ABCD的周长为8，高AE长为 /，则AC：BD=（?? ）
/
A、1：2 B、1：3 C、1： / D、1： /
6．（2018?昆明一模）求证：菱形的两条对角线互相垂直．
已知：如图所示，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．
求证：AC⊥BD．
以下是打乱的证明过程：①∵BO=DO，
②∴AO是BD的垂直平分线，即AC⊥BD．
③∵四边形ABCD是菱形，
④∴AB=AD．
证明步骤正确的顺序是（ ）
/
A．①→③→④→② B．③→②→①→④ C．③→④→①→② D．③→④→②→①
7．（2018?深圳联考）如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定?ABCD是菱形的只有（ ）
/
A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2
8．（2018?珠海模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF交AD于点F，FE∥AB．若AB=5，AD=7，BF=6，则四边形ABEF的面积为（ ）
/
A．48 B．35 C．30 D．24
9．（2018?银川模拟）如图，在菱形ABCD中，∠BCD=110°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF等于（ ）
/
A．15° B．25° C．45° D．55°
10．（2018?济宁期中）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形
ACC
1
D
1
，使∠
D
1
AC=60°，连接
AC
1
，再以
AC
1
为边作第三个菱形
AC
1
C
2
D
2
，使∠
D
2
AC
1
=60°；…，按此规律所作的第六个菱形的边长为（ ）
/
A．9 B．9
3
C．27 D．27
3
二、填空题
11、（2017·上海二模）如图，在菱形ABCD中，EF∥BC， /= /，EF=3，则CD的长为________．
/
12、（2017·东莞联考）如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于________．
/
13、（2017·内江二模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是________．
/
14．（2018?靖远二模）若菱形ABCD的两条对角线的长分别为一元二次方程x2-7x+12=0的实数根，则菱形ABCD的面积为__________
15．（2018?铜仁模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是线段BO上的一个动点，点F为射线DC上一点，若∠ABC=60°，∠AEF=120°，AB=4，则EF可能的整数值是_____．
/
16．（2018?吉安一模）如图，菱形ABCD和菱形AEFG开始完全重合，现将菱形AEFG绕点A顺时针旋转，设旋转角∠BAE=α（0°＜α＜360°），则当α=_____时，菱形的顶点F会落在菱形ABCD的对角线所在的直线上．
/
三、解答题
17、（2017·济宁一模）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F．
(1)求证：△AOE≌△COF；
(2)当α=30°时，求线段EF的长度．
/
18、（2017·长春期末）感知：如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形.易知BE=DG ．
探究：如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A=∠F ． 求证：BE=DG ．
应用：如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD的延长线上.若AE=3ED, ∠A=∠F ， △EBC的面积为8，则菱形CEFG的面积为多少？
/
19．（2018?滨州二模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=OC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE=CD；
（2）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，求AE的长．
/
20．（2018?淄博模拟）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点F为边AD上一点，连接BF交对角线AC于点G．
（1）如图1，已知CF⊥AD于F，菱形的边长为6，求线段FG的长度；
（2）如图2，已知点E为边AB上一点，连接CE交线段BF于点H，且满足∠FHC=60°，CH=2BH，求证：AH⊥CE．
/
/
5.2 菱形
一、菱形的概念
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
二、菱形的性质
1、菱形的四条边相等；
2、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
3、菱形即是轴对称图形，又是中心对称图形
注意：菱形具有平行四边形的一切性质！
三、菱形的判定
1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形
2、四边都相等的四边形是菱形
3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四、菱形的面积：
S菱形＝底×高＝两条对角线乘积的一半
考点一：菱形的辨别
如图，观察图中菱形的个数：图1中有1个菱形，图2中有5个菱形，图3中有14个菱形，图4中有30个菱形……,则第6个图中菱形的个数是 个.
/
【答案】36
【解析】解：
图1中菱形的个数：M1=1=12
图2中菱形的个数：M2=5=22+1
图3中菱形的个数：M3=14=32+22+1
图4中菱形的个数：M4=30=42+32+22+1
……
图n中菱形的个数：Mn=n2+（n-1）2+……+52+42+32+22+1 =
∴当n=6时，M6=91
【点评】这类题目的关键在于找出规律的一般表达式.
变式跟进1已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2017个图形中菱形的个数有__________ 个
/
【答案】1009
【解析】解：第1个图形，有1个菱形，
第2个图形，有1个菱形，
第3个图形，有2个菱形，
第4个图形，有2个菱形，…，
依此类推，当n为奇数时，菱形的个数是 ，当n为偶数时，菱形的个数是个，
所以，第2017个图形中菱形的个数是．
【点评】本题主要考查了图形的变化，根据前几个图形的菱形的个数，观察出与序号的关系式解题的关键．
考点二：菱形的性质
菱形的一个内角为60°，较短的一条对角线长4，则菱形的周长为_____________.
【答案】16
【解析】解：菱形有一个内角为60°，
则较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形，
∴可得边长为4，
则菱形周长为16．
故答案为16．
【点评】此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定的运用，难度不大，关键熟练掌握若菱形有一个内角为60°，则较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形．
变式跟进2如图，在平面直角坐标系中有一菱形OABC且∠A=120°，点O、B在y轴上，OA=1，现在把菱形向右无滑动翻转，每次翻转60°，点B的落点依次为B1、B2、B3…，连续翻转2017次，则B2017的坐标为______．
/
【答案】(1345.5, )
【解析】解：连接AC，如图所示.
/
∵四边形OABC是菱形，∴OA=AB=BC=OC.
∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB，∴AC=OA.
∵OA=1，∴AC=1.
画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示.
由图可知：每翻转6次，图形向右平移4个单位.
∵2017=336×6+1，
∴点B1向右平移1344(即336×4)到点B2017.
∵B1的坐标为 ，
∴B2017的坐标为，
∴B2017的坐标为.
【点评】选按操作画出后面的几个图形，从而找出规律：每翻转6次，图形向右平移4个单位，再利用菱形的性质进行求解.
考点三：菱形的判定
如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB、BC于点E、F、G，连接ED、DG．
（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；
（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，求GC的长．
/
【答案】（1）四边形EBGD是菱形．理由见解析；（2）1+
【解析】解：（1）四边形EBGD是菱形．
理由：∵EG垂直平分BD，
∴EB=ED，GB=GD，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠EBD=∠DBC，
∴∠EDF=∠GBF，
在△EFD和△GFB中，
，
∴△EFD≌△GFB，
∴ED=BG，
∴BE=ED=DG=GB，
∴四边形EBGD是菱形．
（2）作DH⊥BC于H，
∵四边形EBGD为菱形ED=DG=2，
∴∠ABC=30°，∠DGH=30°，
∴DH=1，GH=，
∵∠C=45°，
∴DH=CH=1，
∴CG=GH+CH=1+．
/
【点评】（1）结论四边形EBGD是菱形．只要证明BE=ED=DG=GB即可．（2）作DH⊥BC于H，由四边形EBGD为菱形ED=DG=2，求出GH，CH即可解决问题．
变式跟进3如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：
①EF⊥AC； ②四边形ADFE为菱形； ③AD=4AG； ④FH=BD
其中正确的结论有（ ）．
/
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
【答案】C
【解析】解：∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC=60°，AE=AC.
∵∠BAC=30°，∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC.
∵F为AB的中点，∴AB=2AF，∴BC=AF，∴△ABC≌△EFA，∴FE=AB,
∴∠AEF=∠BAC=30°，∴EF⊥AC，故①正确，
∵EF⊥AC,∠ACB=90°，∴HF∥BC.
∵F是AB的中点， .
，AB=BD， ，故④说法正确；
∵AD=BD，BF=AF，∴∠DFB=90°,∠BDF=30°.
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，∴∠DFB=∠EAF.
∵EF⊥AC，∴∠AEF=30°，∴∠BDF=∠AEF，∴△DBF≌△EFA(AAS)，∴AE=DF.
∵FE=AB，∴四边形ADFE为平行四边形.
∵AE≠EF，∴四边形ADFE不是菱形；故②说法不正确；
∵四边形ADFE为平行四边形,
， .
∵AD=AB，∴AD=4AG，故③说法正确，
所以正确的有：①③④.故选C.
【点评】根据已知先判断△ABC≌△EFA，则∠AEF=∠BAC，得出EF⊥AC，由等边三角形的性质得出∠BDF=30°，从而证得△DBF≌△EFA，则AE=DF，再由FE=AB，得出四边形ADFE为平行四边形而不是菱形，根据平行四边形的性质得出AD=4AG，从而得到答案．
考点四：有关于菱形面积的计算
菱形的边长是2cm，一条对角线的长是2
3
cm,则菱形的面积是（ ）
A. 4c
m
2
B. 2
3
c
m
2
C. 2c
m
2
D. 4
3
c
m
2
【答案】B
【解析】试题分析：根据菱形的对角线互相垂直平分，可由勾股定理求得另一条对角线为2，然后根据菱形的面积公式求解为
1
2
×2×2
3
=2
3
cm2.
故选：B.
【点评】此题主要考查了菱形的性质，解题时，先根据菱形的对角线互相垂直平分得到直角三角形，然后根据勾股定理求出另一条对角线的长，最后根据菱形的面积等于菱形的对角线之积的一半可求出菱形的面积.
变式跟进4如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是 ．
/
【答案】15．
【解析】解：如图，此时菱形ABCD的面积最大．设AB=x，EB=9-x，AE=3，由勾股定理得到：，解得x=5，所以菱形的最大面积为5×3=15．
故答案为：15．
/
【点评】先求出所形成的菱形边的最大值，再利用菱形的面积＝底×高进行求解.
考点五：菱形的综合运用
△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF=∠B．
（1）如图1，求证：DE?CD=DF?BE
（2）D为BC中点如图2，连接EF．
①求证：ED平分∠BEF；
②若四边形AEDF为菱形，求∠BAC的度数及的值．
//
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②.
【解析】解：（1）证明：∵△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵∠B+∠BDE+∠DEB=180°，∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，∠EDF=∠B，
∴∠FDC=∠DEB，
∴△BDE∽△CFD，
∴，
即DE?CD=DF?BE；
（2）解：①由（1）证得△BDE∽△CFD，
∴，
∵D为BC中点，
∴BD=CD，
∴，
∵∠B=∠EDF，
∴△BDE∽△DEF，
∴∠BED=∠DEF，
∴ED平分∠BEF；
②∵四边形AEDF为菱形，
∴∠AEF=∠DEF，
∵∠BED=∠DEF，
∴∠AEF=60°，
∵AE=AF，
∴∠BAC=60°，
∵∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴△BED是等边三角形，
∴BE=DE，
∵AE=DE，
∴AE=AB，
∴=．
【点评】（1）先根据题意得出△BDE∽△CFD，再由相似三角形的性质即可得出结论；（2）①根据相似三角形的性质得到，推出△BDE∽△DEF，根据相似三角形的性质即可得到结论；②由四边形AEDF为菱形，得到∠AEF=∠DEF，于是得到∠AEF=60°，推出△ABC是等边三角形，△BED是等边三角形，得到BE=DE，即可得到结论．
变式跟进5如图，△ABC是等边三角形，点A坐标为(-8，0)、点B坐标为(8，0)，点C在y轴的正半轴上．一条动直线l从y轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，直线l与直线??=
3
3
??交于点D，与线段BC交于点E．以DE为边向左侧作等边△DEF，EF与y轴的交点为G．当点D与点E重合时，直线l停止运动，设直线l的运动时间为t秒(t >0)．
（1）填空：点C的坐标为_____，四边形ODEG的形状一定是_____；
（2）请用t 的代数式表示线段DE 的长；
（3）试探究：四边形ODEG能不能是菱形？若能，求出相应的t的值；若不能，请说明理由．
（4）当t为何值时，点G恰好落在以DE为直径的⊙M上？并求出此时⊙M的半径．
/
【答案】（1） (0，8
3
)，平行四边形；（2）DE=/；（3）能，t=4； （4）t=3，r=2
3
；
【解析】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∵∠BOC=90°，
∴tan∠OBC=
OC
OB
=
3
，
∵OB=8，
∴OC=8
3
，
∴C（0，8
3
）；
由题意可得M（t,0）,
∴D（t,
3
3
t）,
∵tan∠ODM=
OP
DP
=
??
3
3
??
=
3
，
∴∠ODM=60°，
∵∠DEF=60°，
∴EF//OD，
∵l//y轴，
∴四边形ODEG是平行四边形；
（2）∵B（8，0），C（0，8
3
），
∴yBC =-
3
??+8
3
,
∴E（t, -
3
??+8
3
），D（t,
3
3
t），
∴EP=-
3
??+8
3
，DP=
3
3
t ，
∴DE=8
3
-
4
3
3
??；
（3）当OD=DE时，四边形ODEG是菱形，
由（1）可得OD=
2
3
3
?? ，
∴
2
3
3
??=8
3
-
4
3
3
?? ，
解得t=4；
（4）连接DG，当∠DGE=90°时，点G恰好落在以DE为直径的⊙M上，
∴点G是EF的中点，
∴EG=
1
2
DE，
又∵EG=OD，
∴OD=
1
2
DE，即
2
3
3
t=
1
2
（8
3
-
4
3
3
??），
解得t=3,
∴DE=4
3
，
∴半径r=2
3
.
【点评】本题主要考查等边三角形、三角函数、一次函数、平行四边形、菱形、一元一次方程等知识，能正确地根据题意确定出DE长、OD与DE的关系是解决问题的关键.
一、选择题
1．（2016?枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，/，/，/于H，则DH等于
/
A．/ B．/ C．5 D．4
【答案】A
【解析】如图，四边形ABCD是菱形，/，/，根据菱形的性质可得OA=4，OB=3，由勾股定理可得AB=5，再由/即可求得DH=/,故答案选A.
/
【点评】本题考查了菱形的性质.熟练应用菱形的面积公式是解题的关键.
2．（2016?河南）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为( )
/
A．(1，-1) B．(-1，-1) C．(
2
，0) D．(0，-
2
)
【答案】B
【解析】根据已知条件O（0,0），B（2,2），可求得D（1,1），OB与x轴、y轴的交角为45°，当菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，时，8秒可旋转到原来的位置，因60÷8=7....4，所以第60秒时是第8循环的地上个位置，这时点D的坐标原来位置点D的坐标关于原点对称，所以为（-1，-1），故答案选B.
【点评】本题是一道规律探究题.结合菱形的性质并找出变化规律是解题的关键.
3、（2017?河南）如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定?ABCD是菱形的只有（?? ）
/
A、AC⊥BD B、AB=BC C、AC=BD D、∠1=∠2
【答案】C
【解析】解：A、正确．对角线相等是平行四边形的菱形． B、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．
C、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．
D、正确．可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形．
故选C．
【点评】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．
4、（2017?赤峰）如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF=2 /，则∠A=（?? ）
/
A、120° B、100° C、60° D、30°
【答案】A
【解析】解：连接AC，
/
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵A沿EF折叠与O重合，
∴EF⊥AC，EF平分AO，
∵AC⊥BD，
∴EF∥BD，
∴E、F分别为AB、AD的中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF=BD，
∴BD=2EF=4 /，
∴BO=2 /，
∴AO= /=2，
∴AO= /AB，
∴∠ABO=30°，
∴∠BAO=60°，
∴∠BAD=120°．
故选A．
【点评】连接AC，根据菱形的性质得出AC⊥BD，根据折叠得出EF⊥AC，EF平分AO，得出EF∥BD，得出EF为△ABD的中位线，根据三角形中位线定理求出BD的长，进而可得到BO的长，由勾股定理可求出AO的长，则∠ABO可求出，继而∠BAO的度数也可求出，再由菱形的性质可得∠A=2∠BAO．
5、（2017·台州）如图，矩形EFGH四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF，将△AEH，△CFG分别沿边EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的 /时，则 /为（??? ）
/
A、/ B、2 C、/ D、4
【答案】A
【解析】解：依题可得阴影部分是菱形.
∴设S菱形ABCD=16,BE=x.
∴AB=4.
∴阴影部分边长为4-2x.
∴（4-2x）2=1.
∴4-2x=1或4-2x=-1.
∴x=/或x=/（舍去）.
∴/=/=/.
故答案为A.
【点评】依题可得阴影部分是菱形.设S菱形ABCD=16,BE=x.从而得出AB=4，阴影部分边长为4-2x.根据（4-2x）2=1求出x,从而得出答案.
6．（2018?嘉兴）用尺规在一个平行四边形内作菱形????????,下列作法中错误的是（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
【答案】C
【解析】由作图，可以证明A、B、D中四边形ABCD是菱形，C中ABCD是平行四边形，即可得到结论．
解：A．∵AC是线段BD的垂直平分线，∴BO=OD，∴∠AOD=∠COB=90°．
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴△AOD≌△COB，∴AO=OC，∴四边形ABCD是菱形．故A正确；
/
B．由作图可知：AD=AB=BC．
∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AD=AB，∴四边形ABCD是菱形．故B正确；
C．由作图可知AB、CD是角平分线，可以得到ABCD是平行四边形，不能得到ABCD是菱形．故C错误；
D．如图，∵AE=AF，AG=AG，EG=FG，∴△AEG≌△AFG，∴∠EAG=∠FAG．
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠FAG=∠ACB，∴AB=BC，同理∠DCA=∠BCA，∴∠BAC=∠DCA，∴AB∥DC．
∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形．故D正确．
/
故选C．
【点评】本题考查了菱形的判定与平行四边形的性质．解题的关键是弄懂每个图形是如何作图的．
7．（2018?大连）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=5，AC=6，则BD的长是（ ）
/
A．8 B．7 C．4 D．3
【答案】A
【解析】根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理列式求出OB即可；
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
根据勾股定理，得：OB＝
??
??
2
???
??
2
＝
5
2
?
3
2
＝4，
∴BD＝2OB＝8，
故选：A．
【点评】本题考查了菱形性质，勾股定理的应用等知识，比较简单，熟记性质是解题的关键．
8．（2018?宿迁）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（?? ）
/
A．
3
B．2 C．2
3
D．4
【答案】A
【解析】根据菱形的性质得菱形边长为4，AC⊥BD，由一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得△ABD是等边三角形；在Rt△AOD中，根据勾股定理得AO=2
3
，AC=2AO=4
3
，根据三角形面积公式得S△ACD=
1
2
OD·AC=4
3
，根据中位线定理得OE∥AD，根据相似三角形的面积比等于相似比继而可求出△OCE的面积.
解：∵菱形ABCD的周长为16，∴菱形ABCD的边长为4，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
又∵O是菱形对角线AC、BD的交点，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOD中，
∴AO=
??
??
2
???
??
2
=
16?4
=2
3
，
∴AC=2AO=4
3
，
∴S△ACD=
1
2
OD·AC=
1
2
×2×4
3
=4
3
，
又∵O、E分别是中点，
∴OE∥AD，
∴△COE∽△CAD，
∴
????
????
=
1
2
，
∴
??
△??????
??
△??????
=
1
4
，
∴S△COE=
1
4
S△CAD=
1
4
×4
3
=
3
，
故选A.
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，结合图形熟练应用相关性质是解题的关键.
二、填空题
9．（2016?湘西）如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=8和BD=6，那么，菱形ABCD的面积为 ．
/
【答案】24．
【解析】根据菱形面积等于两条对角线的长度的乘积的一半即可得，菱形的面积=/×6×8=24.
【点评】本题考查了菱形的性质．熟练应用菱形的面积公式是解题的关键.
10．（2016?陕西）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为 ．
/
【答案】2
3
?2．
【解析】如图连接AC、BD交于点O，以B为圆心BC为半径画圆交BD于P．
此时△PBC是等腰三角形，线段PD最短，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠ADC=60°，∴△ABC，△ADC是等边三角形，∴BO=DO=
3
2
×2=
3
，∴BD=2BO=2
3
，∴PD最小值=BD﹣BP=2
3
?2．故答案为：2
3
?2．
/
【点评】本题考查了菱形的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；最值问题．综合运用所学进行推理证明是解题的关键.
11、（2017?乌鲁木齐）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，则菱形ABCD的面积为________．
/
【答案】2 /
【解析】解：∵菱形ABCD， ∴AD=AB，OD=OB，OA=OC，
∵∠DAB=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=2，
∴OD=1，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：AO= /= /，
∴AC=2 /，
则S菱形ABCD= /AC?BD=2 /，
故答案为：2 /
/
【点评】由菱形ABCD，得到邻边相等，且对角线互相平分，再由一个角为60°的等腰三角形为等边三角形得到三角形ABD为等边三角形，求出BD的长，再由菱形的对角线垂直求出AC的长，即可求出菱形的面积．
12、（2017?十堰）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，OE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED=________．
/
【答案】20°
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DO=OB，
∵DE⊥BC于E，
∴OE为直角三角形BED斜边上的中线，
∴OE= /BD，
∴OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵∠ABC=140°，
∴∠OBE=70°，
∴∠OED=90°﹣70°=20°，
故答案为：20°．
【点评】由菱形的性质可知O为BD中点，所以OE为直角三角形BED斜边上的中线，由此可得OE=OB，根据等腰三角形的性质和已知条件即可求出∠OED的度数．
13、（2017?东营）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8 /，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为________．
/
【答案】2 /
【解析】解：如图作CE′⊥AB于E′，甲BD于P′，连接AC、AP′．
/
∵已知菱形ABCD的周长为16，面积为8 /，
∴AB=BC=4，AB?CE′=8 /，
∴CE′=2 /，
在Rt△BCE′中，BE′= /=2，
∵BE=EA=2，
∴E与E′重合，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴A、C关于BD对称，
∴当P与P′重合时，PA′+P′E的值最小，最小值为CE的长=2 /，
故答案为2 /．
【点评】如图作CE′⊥AB于E′，甲BD于P′，连接AC、AP′．首先证明E′与E重合，因为A、C关于BD对称，所以当P与P′重合时，PA′+P′E的值最小，由此求出CE即可解决问题．
14．（2018?伊春）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件_____使平行四边形ABCD是菱形．
/
【答案】AB=BC(或AC⊥BD)答案不唯一
【解析】根据菱形的判定方法即可判断．
解：添加AB=BC时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形ABCD是菱形，
添加AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：AB=BC或AC⊥BD．
【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是记住菱形的判定方法．
15．（2018?锦州）如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH.若OB=4，S菱形ABCD=24，则OH的长为______________.
/
【答案】3
【解析】由四边形ABCD是菱形，OB=4，根据菱形的性质可得BD=8，在根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半求得AC=6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求得OH的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，OB=4，
∴OA=OC，BD=2OB=8；
∵S菱形ABCD=24，
∴AC=6；
∵AH⊥BC，OA=OC，
∴OH=
1
2
AC=3.
故答案为：3.
【点评】本题考查了菱形的性质及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，根据菱形的面积公式（菱形的面积等于两条对角线乘积的一半）求得AC=6是解题的关键.
16．（2018?重庆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于_____．
/
【答案】2
3
【解析】根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE的长．
解：由题意可得，
DE=DB=CD=
1
2
AB，
∴∠DEC=∠DCE=∠DCB，
∵DE∥AC，∠DCE=∠DCB，∠ACB=90°，
∴∠DEC=∠ACE，
∴∠DCE=∠ACE=∠DCB=30°，
∴∠ACD=60°，∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=CD，
∴AC=DE，
∵AC∥DE，AC=CD，
∴四边形ACDE是菱形，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，∠B=30°，
∴AC=2
3
，
∴AE=2
3
．
故答案为2
3
．
【点评】本题考查翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
三、解答题
17、（2016·广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．
/
【答案】证明见解析
【解析】证明：连接AC，
/
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠DAE，CD=BC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．
在Rt△CDF与Rt△CBE中，
/，
∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），
∴DF=BE．
【点评】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．
18、（2017?宁夏）在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM．将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．
/
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵AB∥DM， ∴∠BAM=∠AMD，
∵△ADC是由△ABC翻折得到，
∴∠CAB=∠CAD，AB=AD，BM=DM，
∴∠DAM=∠AMD，
∴DA=DM=AB=BM，
∴四边形ABMD是菱形．
【点评】只要证明AB=BM=MD=DA，即可解决问题．
19．（2018?呼和浩特）如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．
/
【答案】（1）证明见解析；（2）AF=
7
5
．
【解析】（1）根据SAS进行证明即可；
（2）利用勾股定理分别求出DF、OE、OF即可解决问题.
解：（1）∵AB∥DE，
∴∠A=∠D，
∵AF=CD，
∴AF+FC=CD+FC，
即AC=DF，
∵AB=DE，
∴△ABC≌△DEF；
（2）如图，连接AB交AD于O，
/
在Rt△EFD中，∵∠DEF=90°，EF=3，DE=4，
∴DF=
3
2
+
4
2
=5，
∵四边形EFBC是菱形，
∴BE⊥CF，∴EO=
????·????
????
=
12
5
，
∴OF=OC=
??
??
2
???
??
2
=
9
5
，
∴CF=
18
5
，
∴AF=CD=DF﹣FC=5﹣
18
5
=
7
5
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
20．（2018?江西）在菱形????????中，∠??????=60°,点??是射线????上一动点，以????为边向右侧作等边△??????，点??的位置随点??的位置变化而变化.
（1）如图1，当点??在菱形????????内部或边上时，连接????，????与????的数量关系是 ，????与????的位置关系是 ；
（2）当点??在菱形????????外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，
请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理).
(3) 如图4，当点??在线段????的延长线上时，连接????，若????=2
3
,????=2
19
,求四边形????????的面积.
/
【答案】（1）BP=CE； CE⊥AD；（2）成立，理由见解析；（3）8
3
.
【解析】（1）①连接AC，证明△ABP≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得BP=CE；②根据菱形对角线平分对角可得∠??????=30°，再根据△ABP≌△ACE，可得∠??????=∠??????=30°，继而可推导得出∠??????=90° ，即可证得CE⊥AD；
（2）(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立，利用（1）的方法进行证明即可；
（3）连接AC交BD于点O，CE，作EH⊥AP于H，由已知先求得BD=6，再利用勾股定理求出CE的长，AP长，由△APE是等边三角形，求得????， ????的长，再根据
??
四????????
=
??
△??????
+
??
△??????
，进行计算即可得.
解：（1）①BP=CE，理由如下：
连接AC，
∵菱形ABCD，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE ，∠PAE=60° ，
∴∠BAP=∠CAE，
∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE；
/
②CE⊥AD ，
∵菱形对角线平分对角，
∴∠??????=30°，
∵△ABP≌△ACE，
∴∠??????=∠??????=30°，
∵∠??????=∠??????=60°，
∴∠??????=30°，
∴∠??????＋∠??????=90°，
∴∠??????=90° ，
∴CF⊥AD ，即CE⊥AD；
（2）(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立，理由如下：
/
连接AC，
∵菱形ABCD，∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAD=120° ，
∠BAP=120°＋∠DAP，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE ， ∠PAE=60° ，
∴∠CAE=60°＋60°＋∠DAP=120°＋∠DAP，
∴∠BAP=∠CAE，
∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE，∠??????=∠??????=30°，
∴∠DCE=30° ，∵∠ADC=60°，
∴∠DCE＋∠ADC=90° ， ∴∠CHD=90° ，∴CE⊥AD，
∴(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立；
(3) 连接AC交BD于点O，CE，作EH⊥AP于H，
/
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ABC ，
∵∠ABC=60°，????=2
3
，
∴∠ABO=30° ，∴????=
3
， BO=DO=3，
∴BD=6，
由(2)知CE⊥AD，
∵AD∥BC，∴CE⊥BC，
∵????=2
19
， ????=????=2
3
，
∴????=
(2
19
)
2
－
(2
3
)
2
=8，
由(2)知BP=CE=8，∴DP=2，∴OP=5，
∴????=
5
2
＋
(
3
)
2
=2
7
，
∵△APE是等边三角形，∴????=
7
， ????=
21
，
∵
??
四????????
=
??
△??????
+
??
△??????
，
∴
??
四????????
=
1
2
????·????+
1
2
????·????，
=
1
2
×2×
3
+
1
2
×2
7
×
21
=
3
+7
3
=8
3
，
∴四边形ADPE的面积是8
3
.
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形判定与性质等，熟练掌握相关知识，正确添加辅助线是解题的关键.
一、选择题
1、（2017·浙江二模）如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点．若四边形ADEF是菱形，则△ABC必须满足的条件是（??? ）
/
A、AB⊥AC B、AB=AC C、AB=BC D、AC=BC
【答案】B
【解析】解：AB=AC，理由是：∵AB=AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，
∵D、F分别为AB和AC的中点，∴DF∥BC，∴AE⊥DF，
∵D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点，∴EF∥AD，DE∥AF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∵AE⊥DF，∴四边形ADEF是菱形，
即只有选项B的条件能推出四边形ADEF是菱形，选项A、C、D的条件都不能推出四边形ADEF是菱形，故选B．
【点评】利用菱形的判定利用四个选项分别进行推理证明即可.
2、（2017·江淮联考）如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（?? ）
/
A、AB=AD B、AC=BD C、AD=BC D、AB=CD
【答案】D
【解析】解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点， ∴EF=GH= /AB，EH=FG= /CD，
∵当EF=FG=GH=EH时，四边形EFGH是菱形，
∴当AB=CD时，四边形EFGH是菱形．
故选：D．
【点评】由点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，根据三角形中位线的性质，可得EF=GH= /AB，EH=FG= /CD，又由当EF=FG=GH=EH时，四边形EFGH是菱形，即可求得答案．
3、（2017·枣庄三模）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（?? ）
/
A、（1，﹣1） B、（﹣1，﹣1） C、（ /，0） D、（0，﹣ /）
【答案】B
【解析】解：菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），得
D点坐标为（1，1）．
每秒旋转45°，则第60秒时，得
45°×60=2700°，
2700°÷360=7.5周，
OD旋转了7周半，菱形的对角线交点D的坐标为（﹣1，﹣1），
故选：B．
【点评】根据菱形的性质，可得D点坐标，根据旋转的性质，可得D点的坐标．
4、（2017·济南二模）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（?? ）
/
A、14 B、15 C、16 D、17
【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=4，
∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=4×4=16，
故选C．
【点评】根据菱形得出AB=BC，得出等边三角形ABC，求出AC，长，根据正方形的性质得出AF=EF=EC=AC=4，求出即可．
5、（2017·济南一模）如图，菱形ABCD的周长为8，高AE长为 /，则AC：BD=（?? ）
/
A、1：2 B、1：3 C、1： / D、1： /
【答案】D
【解析】解：如图，
/
设AC，BD相较于点O，
∵菱形ABCD的周长为8，
∴AB=BC=2，
∵高AE长为 /，
∴BE= /=1，
∴CE=BE=1，
∴AC=AB=2，
∵OA=1cm，AC⊥BD，
∴OB= /= /，
∴BD=2OB=2 /，
∴AC：BD=1： /．
故选D．
【点评】首先设设AC，BD相较于点O，由菱形ABCD的周长为8，可求得AB=BC=2，又由高AE长为 /，利用勾股定理即可求得BE的长，继而可得AE是BC的垂直平分线，则可求得AC的长，继而求得BD的长，则可求得答案．
6．（2018?昆明一模）求证：菱形的两条对角线互相垂直．
已知：如图所示，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．
求证：AC⊥BD．
以下是打乱的证明过程：①∵BO=DO，
②∴AO是BD的垂直平分线，即AC⊥BD．
③∵四边形ABCD是菱形，
④∴AB=AD．
证明步骤正确的顺序是（ ）
/
A．①→③→④→② B．③→②→①→④ C．③→④→①→② D．③→④→②→①
【答案】C
【解析】根据菱形是特殊的平行四边形以及等腰三角形的性质证明即可．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴BO=DO，
∴AO⊥BD，
即AC⊥BD，
∴证明步骤正确的顺序是③→④→①→②，
故选: C.
【点评】考查菱形的性质以及等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键.
7．（2018?深圳联考）如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定?ABCD是菱形的只有（ ）
/
A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2
【答案】C
【解析】因为对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以A能够判定?ABCD是菱形；因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以B能够判定?ABCD是菱形；因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以C不能够判定?ABCD是菱形；因为∠1=∠2，OB=OD，所以AB=AD，所以D能够判定?ABCD是菱形，故选C.
8．（2018?珠海模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF交AD于点F，FE∥AB．若AB=5，AD=7，BF=6，则四边形ABEF的面积为（ ）
/
A．48 B．35 C．30 D．24
【答案】D
【解析】首先证明四边形ABEF为菱形，根据勾股定理求出对角线AE的长度，从而得出四边形的面积．
解：∵AB∥EF，AF∥BE， ∴四边形ABEF为平行四边形， ∵BF平分∠ABC，
∴四边形ABEF为菱形， 连接AE交BF于点O， ∵BF=6，BE=5，∴BO=3，EO=4，
∴AE=8，则四边形ABEF的面积=6×8÷2=24，故选D．
【点评】本题主要考查的是菱形的性质以及判定定理，属于中等难度的题型．解决本题的关键就是根据题意得出四边形为菱形．
9．（2018?银川模拟）如图，在菱形ABCD中，∠BCD=110°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF等于（ ）
/
A．15° B．25° C．45° D．55°
【答案】A
【解析】如图，连接BF，根据菱形的性质可得∠CAB=∠CAD=55°，∠ADC=∠ABC=70°，再根据线段垂直平分线的性质可得FB=FA，从而可得∠FBA=∠FAB=55°，根据轴对称性继而可得∠ADF=∠ABF=55°，再根据∠CDF=∠CDA﹣∠ADF即可求得答案.
解：如图，连接BF，
/
∵四边形是菱形，
∴∠BCD=∠BAD=110°，
∴∠CAB=∠CAD=55°，∠ADC=∠ABC=70°，
∵EF垂直平分线段AB，
∴FB=FA，
∴∠FBA=∠FAB=55°，
∴B、D关于直线AC对称，
∴∠ADF=∠ABF=55°，
∴∠CDF=∠CDA﹣∠ADF=70°﹣55°=15°，
故选A．
【点评】本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关性质是解题的关键.
10．（2018?济宁期中）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形
ACC
1
D
1
，使∠
D
1
AC=60°，连接
AC
1
，再以
AC
1
为边作第三个菱形
AC
1
C
2
D
2
，使∠
D
2
AC
1
=60°；…，按此规律所作的第六个菱形的边长为（ ）
/
A．9 B．9
3
C．27 D．27
3
【答案】B
【解析】?根据已知和菱形的性质可分别求得AC，AC1，AC2的长，从而可发现规律根据规律不难求得第n个菱形的边长，从而代入求解即可．
解：连接DB， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB．AC⊥DB， ∵∠DAB=60°， ∴△ADB是等边三角形， ∴DB=AD=1， ∴BM=
1
2
， ∴AM=
3
2
， ∴AC=
3
， 同理可得AC1=
3
AC=（
3
）2，AC2=
3
AC1=3
3
=（
3
）3， 按此规律所作的第n个菱形的边长为（?
3
）n-1， 则第6个菱形的边长为（
3
）6-1=9
3
.
故选：B.
/
【点评】此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及学生探索规律的能力．
二、填空题
11、（2017·上海二模）如图，在菱形ABCD中，EF∥BC， /= /，EF=3，则CD的长为________．
/
【答案】12
【解析】解：∵在菱形ABCD中，EF∥BC， /= /，EF=3， ∴△AEF∽△ABC，AB=BC=CD=DA， /，
∴ /，
∴ /，
解得，BC=12，
∴CD=12，
故答案为：12．
【点评】要求CD的长，只要求出菱形的任意一条边长即可，根据题意可以求得△AEF∽△ABC，从而可以求得BC的长，本题得以解决．
12、（2017·东莞联考）如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于________．
/
【答案】3
【解析】解：∵菱形ABCD的周长等于24， ∴AD= /=6，
在Rt△AOD中，OH为斜边上的中线，
∴OH= /AD=3．
故答案为：3．
【点评】根据已知可求得菱形的边长，再根据对角线互相垂直平分，H为AD的中点，从而求得OH的长．
13、（2017·内江二模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是________．
/
【答案】2 /﹣2
【解析】解：如图所示：
/
∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，
过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，
∴MD=2，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD= /MD=1，
∴FM=DM×cos30°= /，
∴MC= /=2 /，
∴A′C=MC﹣MA′=2 /﹣2．
故答案为：2 /﹣2．
【点评】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．
14．（2018?靖远二模）若菱形ABCD的两条对角线的长分别为一元二次方程x2-7x+12=0的实数根，则菱形ABCD的面积为__________
【答案】6
【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系得出AC?BD=12，即可得出菱形的面积．
解：∵AC、BD的长是一元二次方程x2-7x+12=0的两个实数根，
∴AC?BD=12，
∴菱形的面积=
1
2
AC?BD=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了菱形的性质、一元二次方程的根与系数的关系；熟练掌握菱形的性质，由一元二次方程的根与系数的关系得出两条对角线长的乘积是解题的关键．
15．（2018?铜仁模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是线段BO上的一个动点，点F为射线DC上一点，若∠ABC=60°，∠AEF=120°，AB=4，则EF可能的整数值是_____．
/
【答案】2，3，4．
【解析】根据题意得出EF的取值范围，从而得出EF的值．
解：∵AB=4，∠ABC=60°， ∴BD=4
3
，
当点E和点B重合时，∠FBD=90°，∠BDC=30°，则EF=4；
当点E和点O重合时，∠DEF=30°，则△EFD为等腰三角形，则EF=FD=2，
∴EF可能的整数值为2、3、4．
【点评】本题主要考查的就是菱形的性质以及直角三角形的勾股定理，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是找出当点E在何处时取到最大值和最小值，从而得出答案．
16．（2018?吉安一模）如图，菱形ABCD和菱形AEFG开始完全重合，现将菱形AEFG绕点A顺时针旋转，设旋转角∠BAE=α（0°＜α＜360°），则当α=_____时，菱形的顶点F会落在菱形ABCD的对角线所在的直线上．
/
【答案】60°或180°或300°
【解析】分别从当点F在DB的延长线上时，当点F在CA的延长线时，C，O，F共线，当点F在BD的延长线时，去分析求解即可求得答案．
解：如图(1)，当点F在DB的延长线上时，
/
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,OA=AC，
∴∠AOF=90o，
∵AF=AC，
∴OA=AF，
即cos∠CAF=，
∴∠CAF=60o；
即旋转角为60o；
如图(2)，当点F在CA的延长线时，C，O，F共线，
即∠COF=180o，
∴旋转角为180o；
如图(3)，当点F在BD的延长线时，
/
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,OA=AC，
∴∠AOF=90o，
∵AF=AC，
∴OA=AF，
即cos∠CAF=，
∴∠CAF=60o；
即旋转角为：360o?60o=300o；
故答案为：60o或180o或300o.
【点评】此题考查了旋转的性质、菱形的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
三、解答题
17、（2017·济宁一模）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F．
/
(1)求证：△AOE≌△COF；
(2)当α=30°时，求线段EF的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）/
【解析】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AO=OC，
∴ /，
∴AE=CF，OE=OF，
在△AOE和△COF中，
/
∴△AOE≌△COF．
（2）解：当α=30°时，即∠AOE=30°，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠OAD=60°，
∴∠AEO=90°，
在Rt△AOB中，
sin∠ABO= /= /= /，
∴AO=1，
在Rt△AEO中，
cos∠AOE=cos30°= /= /，
∴OE= /，
∴EF=2OE= /．
/
【点评】（1）首先证明AE=CF，OE=OF，结合AO=CO，利用SSS证明△AOE≌△COF；（2）首先画出α=30°时的图形，根据菱形的性质得到EF⊥AD，解三角形即可求出OE的长，进而得到EF的长．
18、（2017·长春期末）感知：如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形.易知BE=DG ．
探究：如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A=∠F ． 求证：BE=DG ．
应用：如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD的延长线上.若AE=3ED, ∠A=∠F ， △EBC的面积为8，则菱形CEFG的面积为多少？
/
【答案】探究：证明见解析；应用：20.
【解析】探究：证明∵四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠A，∠ECG=∠F．
∵∠A=∠F，
∴∠BCD=∠ECG．
∴∠BCD-∠ECD=∠ECG-∠ECD，
即∠BCE=∠DCG．
在△BCE和△DCG中，
/
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE=DG．
应用：
解:∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∵BE=DG，
∴S△ABE+S△CDE=S△BEC=S△CDG=8，
∵AE=3ED，
∴S△CDE= /?,
∴S△ECG=S△CDE+S△CDG=10
∴S菱形CEFG=2S△ECG=20.
【点评】探究：由四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，利用SAS易证得△BCE≌△DCG，则可得BE=DG；应用：由AD∥BC，BE=DG，可得S△ABE+S△CDE=S△BEC=S△CDG=8，又由AE=3ED，可求得△CDE的面积，继而求得答案．
19．（2018?滨州二模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=OC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE=CD；
（2）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，求AE的长．
/
【答案】（1）证明见解析；（2）2
7
.
【解析】（1）只要证明四边形OCED是平行四边形，∠COD=90°即可；
（2）在Rt△ACE中，利用勾股定理即可解决问题；
解：（1）证明：∵DE=OC，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD=90°，
∴平行四边形OCED是矩形．
∴OE=CD．
（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AC=AB=4，
∴在矩形OCED中，CE=OD=/=2/，
∴在△ACE中，AE=/=2/．
【点评】本题考查菱形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（2018?淄博模拟）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点F为边AD上一点，连接BF交对角线AC于点G．
（1）如图1，已知CF⊥AD于F，菱形的边长为6，求线段FG的长度；
（2）如图2，已知点E为边AB上一点，连接CE交线段BF于点H，且满足∠FHC=60°，CH=2BH，求证：AH⊥CE．
/
【答案】（1）
7
；（2）答案见解析．
【解析】试题（1）算出FC．在Rt△BFC中，由勾股定理得到BF的长，再由△AFG∽△CBG，得到FG=
1
3
BF，即可得到结论；
（2）取CH的中点M，连接BM．证明△ABH?△BCM，得到∠AHB=∠BMC=150°，从而得到∠AHE=90°，即可得到结论．
解：（1）∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴AD=AB=BC=CD=AC，∠FAC=60°．∵菱形边长为6，∴AF=DF=3，FC=
3
AF=3
3
．∵∠BCF=90°，∴BF=
??
??
2
+??
??
2
=
(3
3
)
2
+
6
2
=3
7
．∵AD//BC，∴△AFG～△CBG．
∵CF⊥AD，∴AF=
1
2
AD=
1
2
BC，∴
????
????
=
????
????
=
1
2
，∴FG=
1
3
BF=
7
．
（2）取CH的中点M，连接BM．
∵CH=2BH，∴CM=HM=BH，∴∠HBM=∠HMB．
∵∠FHC=60°，∠FHC=∠HBM+∠HMB，∴∠HMB=30°，∴∠BMC=150°．
∵∠FHC=∠HBC+∠HCB=60°，∠ABC=∠HBC+∠ABH=60°，∴∠HCB=∠ABH，∴△ABH?△BCM（SAS），∴∠AHB=∠BMC=150°．
∵∠BHE=∠FHC=60°，∴∠AHE=∠AHB-∠BHE=90°，∴AH⊥CE．
/
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理、相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键是证明△ABH?△BCM．
/
