5.3 矩形
一、矩形的概念
有一个角是________的平行四边形叫做矩形。
二、矩形的性质
1、矩形的________都是直角；
2、矩形的对角线________；
3、矩形即是________图形，又是中心对称图形
注意：矩菱具有________的一切性质！
三、矩形的判定
1、有一个角是直角的________是矩形
2、有三个角是________的四边形是矩形
3、对角线________的平行四边形是矩形
考点一：矩形的辨别
已知如图，则不含阴影部分的矩形的个数是（ ）
/
A.15 B.24 C.25 D.26
变式跟进1下列图形都是有同样大小的矩形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有6个矩形，第②个图形中一共18个矩形，第③图形中一共有36个矩形…则第⑧个图形中矩形的个数为（ ）
/
A． 126 B． 168 C． 216 D． 372
考点二：矩形的性质
将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为（，0）/，点D（，1）在BC上，将长方形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．
（1）当/时，点B的坐标为________，点E的坐标为_________；
（2）随着/的变化，试探索：点/能否恰好落在/轴上？若能， 请求出/的值；若不能，请说明理由．
/
变式跟进2如图，CB＝CA，∠ACB＝90o，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC.其中正确的结论个数是（ ）
/
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
考点三：矩形的判定
如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是( )
/
A. ∠ABC＝90° B. AC=BD C. AD=BC，AB //CD D. ∠BAD=∠ADC
变式跟进3△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠DCA的平分线于点F．
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
/
考点四：矩形的综合应用
如图，矩形的对角线、交于点，点是边上的一个动点， 于， 于， ，则的最大值为__________．
/
变式跟进4四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，E，F 是对角线 AC上的两个动点，分别从 A，C 同时出发， 相向而行，速度均为 1cm/s，运动时间为 t 秒，当其中一个动点到达后就停止运动．
（1）若 G，H 分别是 AB，DC 中点，求证：四边形 EGFH 始终是平行四边形．
（2）在（1）条件下，当 t 为何值时，四边形 EGFH 为矩形．
（3）若 G，H 分别是折线 A﹣B﹣C，C﹣D﹣A 上的动点，与 E，F 相同的速度同时出发，当 t 为何值时，四边形 EGFH 为菱形．
/
一、选择题
1、（2016?攀枝花）下列关于矩形的说法中正确的是（ ）
A、对角线相等的四边形是矩形 B、矩形的对角线相等且互相平分
C、对角线互相平分的四边形是矩形 D、矩形的对角线互相垂直且平分
2．（2016?宜宾）如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）
/
A．4.8 B．5 C．6 D．7.2
3、（2017?玉林）如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，点E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，连接EG，HF，则图中矩形的个数共有（?? ）
/
A、5个 B、8个 C、9个 D、11个
4、（2017?怀化）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=6cm，则AB的长是（?? ）
/
A、3cm B、6cm C、10cm D、12cm
5、（2017?随州）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME⊥AF交BC于点M，连接AM、BD交于点N，现有下列结论： ①AM=AD+MC；②AM=DE+BM；③DE2=AD?CM；④点N为△ABM的外心．其中正确的个数为（?? ）
/
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
6．（2018?兰州）如图，矩形ABCD中，????=3，????=4，????//????且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是( )
/
A．
7
B．
3
8
C．
7
8
D．
5
8
7．（2018?威海）矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（ ）
/
A．1 B．
2
3
C．
2
2
D．
5
2
8．（2018?达州）如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB=4，AD=3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（ ）
/
A．2017π B．2034π C．3024π D．3026π
二、填空题
9、（2016?龙东）如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件________，使四边形DBCE是矩形．
/
10．（2016?茂名）已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO=1，那么BD= ．
11、（2017?广东）如图，矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为________．
/
12、（2017?河池）如图，在矩形ABCD中，AB= /，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是________．
/
13、（2017?哈尔滨）如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为________．
/
14．（2018?株洲）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的的长度为________.
/
15．（2018?襄阳）如图，将面积为32
2
的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE=
2
，则AP的长为_____．
/
16．（2018?牡丹江）矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点M在对角线AC上，且AM：MC=2：3，过点M作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．在AC上取一点P，使∠MEP=∠EAC，则AP的长为_____．
三、解答题
17．（2016?岳阳）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．
/
18、（2017?北京）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证． （以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）
请根据该图完成这个推论的证明过程．
/
证明：S矩形NFGD=S△ADC﹣（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF=S△ABC﹣（________+________）．
易知，S△ADC=S△ABC ， ________=________，________=________．
可得S矩形NFGD=S矩形EBMF ．
19．（2018?荆州）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交MN于E；延长PF交AB于G．求证：
（1）△AFG≌△AFP；
（2）△APG为等边三角形．
/
20．（2018?天津）在平面直角坐标系中，四边形????????是矩形，点??(0,0)，点??(5,0)，点??(0,3).以点??为中心，顺时针旋转矩形????????，得到矩形????????，点??，??，??的对应点分别为??，??，??.
/
（Ⅰ）如图①，当点??落在????边上时，求点??的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点??落在线段????上时，????与????交于点??.
①求证△??????≌△??????；
②求点??的坐标.
（Ⅲ）记??为矩形????????对角线的交点，??为△??????的面积，求??的取值范围（直接写出结果即可）.
1、（2017·滨州一模）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，那么下列结论中正确的是（?? ）
A、当AB=BC时，四边形ABCD是矩形 B、当AC⊥BD时，四边形ABCD是矩形
C、当OA=OB时，四边形ABCD是矩形 D、当∠ABD=∠CBD时，四边形ABCD是矩形
2、（2017·宁波模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E、F都对角线AC上，且AE=EF=FC，则线段BE和DF的距离为（?? ）
/
A、/ B、1 C、/ D、/
3、（2017·无锡一模）如图，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=4cm，点M是边AB的中点，点P是矩形边上的一个动点，点P从M出发在矩形的边上沿着逆时针方向运动，则当点P沿着矩形的边逆时针旋转一周时，△DMP面积刚好为5cm2的时刻有（?? ）
/
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
4、（2017·南京一模）如图，将一张直角三角形纸片BEC的斜边放在矩形ABCD的BC边上，恰好完全重合，BE、CE分别交AD于点F、G，BC=6，AF：FG：GD=3：2：1，则AB的长为（?? ）
/
A、1 B、/ C、/ D、2
5、（2017·乐清模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的面积为定值，它的对称中心恰与原点重合，且AB∥y轴，CD交x轴于点M，过原点的直线EF分别交AD、BC边于点E、F，以EF为一边作矩形EFGH，并使EF的对边GH所在直线过点M，若点A的横坐标逐渐增大，图中矩形EFGH的面积的大小变化情况是（?? ）
/
A、一直减小 B、一直不变 C、先减小后增大 D、先增大后减小
6．（2018?牡丹江模拟）如图，矩形ABCD中，??是????的中点，将△??????沿????折叠后得到△??????，延长????交????于点??，若????=1，????=2，则????的长为（ ）
/
A．3
2
B．2
6
C．2
5
D．2
3
7．（2018?张家界一模）如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数??=
??
??
（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是12，则k=（ ）
/
A．6 B．9 C．
28
5
D．
32
5
8．（2018?江苏押题）如图，矩形ABCD，由四块小矩形拼成四块小矩形放置是既不重叠，也没有空隙，其中两块矩形全等，如果要求出两块矩形的周长之和，则只要知道（ ）
/
A．矩形ABCD的周长 B．矩形的周长 C．AB的长 D．BC的长
9．（2018?根河模拟）如图甲，ABCD是一矩形纸片，AB＝3cm，AD＝4cm，M是AD上一点，且AM＝3cm.操作：
（1）将AB向AM折过去，使AB与AM重合，得折痕AN，如图乙；
（2）将△ANB以BN为折痕向右折过去，得图丙.
则HD是（ ）cm
/
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
10．（2018?淮南四模）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是（ ）
/
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．一组对边平行而另一组对边不平行 D．对角线互相平分
二、填空题
11、（2017·十堰模拟）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C'处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC'F的周长之和是________．
/
12、（2017·上海二模）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=7，点E，F分别在边AD、BC上，且B、F关于过点E的直线对称，如果以CD为直径的圆与EF相切，那么AE=________．
/
13、（2017·苏州一模）如图，矩形ABCD中，AB=4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°，点B、D分别落在点B′，D′处，且点A，B′，D′在同一直线上，则tan∠DAD′________．
/
14．（2018?林州一模）在矩形ABCD中，AB=4，BC=9，点E是AD边上一动点，将边AB沿BE折叠，点A的对应点为A′，若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1：3，则AE的长为_____．
15．（2018?海口模拟）将矩形ABCD纸片按如图所示方式折叠，M、N分别为AB，CD的中点，若????=20????，????/
16．（2018?安丘二模）如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为??′，再将所折得的图形沿EF折叠，使得点D和点A重合.若????=3，????=4，则折痕EF的长为______．
/
三、解答题
17、（2017·大理模拟）在矩形ABCD中，点O是AC的中点，AC=2AB，延长AB至G，使BG=AB，连接GO交BC于E，延长GO交AD于F．
（1）求证：△ABC≌△AOG；
（2）猜测四边形AECF的形状并证明你的猜想．
/
18、（2017·青岛模拟）在平行四边形ABCD中，E为边上一点，连结AE并延长交直线DC于F，且CE=CF.
/
（1）如图1，求证：AF是∠BAD的平分线；
（2）如图2，若∠ABC=90°，点G是线段EF上一点，连接DG、BD、CG，若∠BDG=45°，求证：CG=/EF.
19．（2018?青岛模拟）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，请你判断BE与CF的大小关系，并说明你的理由．
/
20．（2018?厦门模拟）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处．
（1）如图1，若折痕????=5
5
，且??????∠??????=
3
4
，求矩形ABCD的周长；
（2）如图2，在AD边上截取DG=CF，连接GE，BD，相交于点H，求证：BD⊥GE．
/
/
5.3 矩形
一、矩形的概念
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
二、矩形的性质
1、矩形的四个角都是直角；
2、矩形的对角线相等；
3、矩形即是轴对称图形，又是中心对称图形
注意：矩菱具有平行四边形的一切性质！
三、矩形的判定
1、有一个角是直角的平行四边形是矩形
2、有三个角是直角的四边形是矩形
3、对角线相等的平行四边形是矩形
考点一：矩形的辨别
已知如图，则不含阴影部分的矩形的个数是（ ）
/
A.15 B.24 C.25 D.26
【答案】D
【解析】解：图形中不含阴影的最小的矩形有10个，两个小矩形组成的矩形有10个，三个小矩形组成的矩形有4个，四个小矩形组成的矩形有2个．
根据以上分析不含阴影的矩形个数为26个．
故选D．
【点评】本题可分类找出图形中的矩形，这样可以不重不漏．
变式跟进1下列图形都是有同样大小的矩形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有6个矩形，第②个图形中一共18个矩形，第③图形中一共有36个矩形…则第⑧个图形中矩形的个数为（ ）
/
A． 126 B． 168 C． 216 D． 372
【答案】C
【解析】解：∵第①个图形中一共有6个矩形，第②个图形中一共有18个矩形，第③个图形中一共有36个矩形，…，
∵图①矩形有6个=6×1，
图②矩形有18个=6×（1+2），
图③矩形有36个=6×（1+2+3），
∴第⑧个图形中矩形的个数为：6×（1+2+3+4+5+6+7+8）=216．
故选C．
【点评】由于图①矩形有6个=6×1，图②矩形有18个=6×（2+1），图③矩形有36个=6×（1+2+3），由此即可得到第⑥个图形中矩形的个数．
考点二：矩形的性质
将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为（，0）/，点D（，1）在BC上，将长方形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．
（1）当/时，点B的坐标为________，点E的坐标为_________；
（2）随着/的变化，试探索：点/能否恰好落在/轴上？若能， 请求出/的值；若不能，请说明理由．
/
【答案】（1）（0，1），；（2）点E能恰好落在x轴上，
【解析】解：（1）点B的坐标为（3，4），点E的坐标为（0，1）
（2）点E能恰好落在x轴上.理由如下：
∵四边形OABC为矩形，∴BC=OA=4，∠AOC=∠DCE=90°．
由折叠的性质可得：DE=BD=OA-CD=4－1=3，AE=AB=OC=m．
如图所示，
/
假设点E恰好落在x轴上，
在Rt△CDE中，由勾股定理可得，
，
则有．
在Rt△AOE中，OA2+OE2=AE2，
即，解得．
【点评】（1）根据点A、点D、点C的坐标和矩形的性质可以得到点B和点E的坐标； （2）由折叠的性质求得线段DE和AE的长，然后利用勾股定理得到有关m的方程，求得m的值即可．
变式跟进2如图，CB＝CA，∠ACB＝90o，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC.其中正确的结论个数是（ ）
/
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】解：∵四边形ADEF为正方形，
∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，
∴∠CAD+∠FAG=90°，
∵FG⊥CA，
∴∠GAF+∠AFG=90°，
∴∠CAD=∠AFG，
在△FGA和△ACD中，
，
∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC=FG，①正确；
∵BC=AC，
∴FG=BC，
∵∠ACB=90°，FG⊥CA，
∴FG∥BC，
∴四边形CBFG是矩形，
∴∠CBF=90°，S△FAB=FB?FG=S四边形CBFG，②正确；
∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，
∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；
∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，
∴△ACD∽△FEQ，
∴AC：AD=FE：FQ，
∴AD?FE=AD2=FQ?AC，④正确；
故选D．
【点评】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
考点三：矩形的判定
如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是( )
/
A. ∠ABC＝90° B. AC=BD C. AD=BC，AB //CD D. ∠BAD=∠ADC
【答案】C
【解析】A．有一个角是直角的平行四边形是矩形，故答案错误；
B．对角线相等的平行四边形是矩形，故答案错误；
C．一组对边相等，另一组对边平行的平行四边形不能判定是矩形，故答案正确；
D．在平行四边形ABCD中，∠BAD＋∠ADC＝180°，根据∠BAD=∠ADC可以得到∠BAD=90°，故答案错误．
故选：C．
【点评】利用矩形的判定定理即可判断.
变式跟进3△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠DCA的平分线于点F．
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
/
【答案】（1）证明见解析；（2）（2）当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形；理由见解析.
【解析】证明：（1）∵CE平分∠BCA，
∴∠1=∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴EO=CO，
同理，FO=CO，
∴EO=FO；
（2）当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形；理由如下：如图所示：
/
∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CF是∠BCA的外角平分线，
∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，
∴∠1+∠5=∠2+∠4，
又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，
∴∠2+∠4=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【点评】（1）由于CE平分∠BCA，那么有∠1=∠2，而MN∥BC，利用平行线的性质有∠1=∠3，等量代换有∠2=∠3，于OE=OC，同理OC=OF，于是OE=OF；（2）OA=OC，那么可证四边形AECF是平行四边形，又CE、CF分别是∠BCA及其外角的角平分线，易证∠ECF是90°，从而可证四边形AECF是矩形．
考点四：矩形的综合应用
如图，矩形的对角线、交于点，点是边上的一个动点， 于， 于， ，则的最大值为__________．
/
【答案】
【解析】解：设长为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴求的最大值，
∵，
∵，
，
∴，
∴，
∴当且仅当时， ．
【点评】利用矩形的性质、相似三角形的判定与性质、轴对称性质进行解题.
变式跟进4四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，E，F 是对角线 AC上的两个动点，分别从 A，C 同时出发， 相向而行，速度均为 1cm/s，运动时间为 t 秒，当其中一个动点到达后就停止运动．
（1）若 G，H 分别是 AB，DC 中点，求证：四边形 EGFH 始终是平行四边形．
（2）在（1）条件下，当 t 为何值时，四边形 EGFH 为矩形．
（3）若 G，H 分别是折线 A﹣B﹣C，C﹣D﹣A 上的动点，与 E，F 相同的速度同时出发，当 t 为何值时，四边形 EGFH 为菱形．
/
【答案】（1）证明见解析；（2）当 t 为?0.5s?或?4.5s?时，四边形 EGFH 为矩形；（3）?t?为s?时，四边形?EGFH?为菱形.
【解析】解：（1）∵四边形?ABCD?是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B=90°，
∴AC==5，∠GAF=∠HCE，
∵G，H?分别是?AB，DC?中点，
∴AG=BG，CH=DH，
∴AG=CH，
∵AE=CF，
在△AFG?和△CEH中，
∴△AFG≌△CEH（SAS），
∴GF=HE，
同理：GE=HF，
∴四边形?EGFH?是平行四边形．
（2）?由（1）得：BG=CH，BG∥CH，
∴四边形?BCHG?是平行四边形，
∴GH=BC=4，当?EF=GH=4?时，平行四边形?EGFH?是矩形，分两种情况：
①AE=CF=t，EF=5﹣2t=4，?解得：t=0.5；
②AE=CF=t，EF=5﹣2（5﹣t）=4，?解得：t=4.5；
综上所述：当?t?为?0.5s?或?4.5s?时，四边形?EGFH?为矩形．
（3）连接?AG、CH，如图所示：
∵四边形?EGFH?为菱形，
∴GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，
∴OA=OC，AG=AH，
∴四边形?AGCH?是菱形，
∴AG=CG，
设?AG=CG=x，则?BG=4﹣x，?由勾股定理得：AB2+BG2=AG2，?即?32+（4﹣x）2=x2，
解得：x=?，
∴BG=4﹣?=?，
∴AB+BG=3+?=?，
即?t?为s?时，四边形?EGFH?为菱形．
/
【点评】（1）由矩形的性质得出AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B=90°，由勾股定理求出AC=5，由SAS证明△AFG≌△CEH，得出GF=HE，同理得出GE=HF，即可得出结论；（2）先证明四边形BCHG是平行四边形，得出GH=BC=4，当对角线EF=GH=4时，平行四边形EGFH是矩形，分两种情况：①AE=CF=t，得出EF=5-2t=4，解方程即可；②AE=CF=t，得出EF=5-2（5-t）=4，解方程即可；（3）连接AG、CH，由菱形的性质得出GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，得出OA=OC，AG=AH，证出四边形AGCH是菱形，得出AG=CG，设AG=CG=x，则BG=4-x，由勾股定理得出方程，解方程求出BG，得出AB+BG=，即可得出t的值．
一、选择题
1、（2016?攀枝花）下列关于矩形的说法中正确的是（ ）
A、对角线相等的四边形是矩形 B、矩形的对角线相等且互相平分
C、对角线互相平分的四边形是矩形 D、矩形的对角线互相垂直且平分
【答案】 B
【解析】解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；
B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；
D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；
故选B．
【点评】根据矩形的性质和判定定理逐个判断即可．本题考查了矩形的性质和判定的应用，能熟记矩形的性质和判定定理是解此题的关键．
2．（2016?宜宾）如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）
/
A．4.8 B．5 C．6 D．7.2
【答案】A
【解析】连接OP，∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，∴S矩形ABCD=AB?BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD=10，∴OA=OD=5，∴S△ACD=
1
2
S矩形ABCD=24，∴S△AOD=
1
2
S△ACD=12，∵S△AOD=S△AOP+S△DOP=
1
2
OA?PE+
1
2
OD?PF
=
1
2
×5×PE+
1
2
×5×PF=
5
2
（PE+PF）=12，解得：PE+PF=4.8．故选A．
/
【点评】本题考查了矩形的性质.利用面积进行恒等变形是解题的关键.
3、（2017?玉林）如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，点E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，连接EG，HF，则图中矩形的个数共有（?? ）
/
A、5个 B、8个 C、9个 D、11个
【答案】C
【解析】解：∵E，G分别是边DA，BC的中点，四边形ABCD是矩形， ∴四边形DEGC、AEGB是矩形，
同理四边形ADHF、BCHF是矩形，
则图中四个小四边形是矩形，
故图中矩形的个数共有9个，
故选：C．
【点评】根据矩形的判定定理解答．
4、（2017?怀化）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=6cm，则AB的长是（?? ）
/
A、3cm B、6cm C、10cm D、12cm
【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC=OB=OD=3，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=3，
故选A．
【点评】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB=OD=OC，由∠AOB=60°，判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AB即可．
5、（2017?随州）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME⊥AF交BC于点M，连接AM、BD交于点N，现有下列结论： ①AM=AD+MC；②AM=DE+BM；③DE2=AD?CM；④点N为△ABM的外心．其中正确的个数为（?? ）
/
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
【答案】B
【解析】解：∵E为CD边的中点， ∴DE=CE，
又∵∠D=∠ECF=90°，∠AED=∠FEC，
∴△ADE≌△FCE，
∴AD=CF，AE=FE，
又∵ME⊥AF，
∴ME垂直平分AF，
∴AM=MF=MC+CF，
∴AM=MC+AD，故①正确；
当AB=BC时，即四边形ABCD为正方形时，
设DE=EC=1，BM=a，则AB=2，BF=4，AM=FM=4﹣a，
在Rt△ABM中，22+a2=（4﹣a）2 ，
解得a=1.5，即BM=1.5，
∴由勾股定理可得AM=2.5，
∴DE+BM=2.5=AM，
又∵AB＜BC，
∴AM=DE+BM不成立，故②错误；
∵ME⊥FF，EC⊥MF，
∴EC2=CM×CF，
又∵EC=DE，AD=CF，
∴DE2=AD?CM，故③正确；
∵∠ABM=90°，
∴AM是△ABM的外接圆的直径，
∵BM＜AD，
∴当BM∥AD时， /= /＜1，
∴N不是AM的中点，
∴点N不是△ABM的外心，故④错误．
综上所述，正确的结论有2个，
故选：B．
/
【点评】根据全等三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，即可得出AM=MC+AD；根据当AB=BC时，四边形ABCD为正方形进行判断，即可得出当AB＜BC时，AM=DE+BM不成立；根据ME⊥FF，EC⊥MF，运用射影定理即可得出EC2=CM×CF，据此可得DE2=AD?CM成立；根据N不是AM的中点，可得点N不是△ABM的外心．
6．（2018?兰州）如图，矩形ABCD中，????=3，????=4，????//????且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是( )
/
A．
7
B．
3
8
C．
7
8
D．
5
8
【答案】C
【解析】如图，过点D作????⊥????，垂足为G，则????=3，首先证明△??????≌△??????，由全等三角形的性质可得到????=????，设????=????=??，则????=4???，在????△??????中依据勾股定理列方程求解即可．
解：如图所示：过点D作????⊥????，垂足为G，则????=3，
/
∵∠??=∠??，∠??????=∠??????，????=????=3，
∴△??????≌△??????，
∴????=????，
设????=????=??，则????=4???，
在????△??????中，??
??
2
=??
??
2
+??
??
2
，
??
2
+
3
2
=(4???
)
2
，解得：??=
7
8
，
故选C．
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理的应用、全等三形的判定与性质，依据题意列出关于x的方程是解题的关键．
7．（2018?威海）矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（ ）
/
A．1 B．
2
3
C．
2
2
D．
5
2
【答案】C
【解析】延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP=GF=1，GH=PH=
1
2
PG，再利用勾股定理求得PG=
2
，从而得出答案．
解：如图，延长GH交AD于点P，
/
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，
∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1，
∴AD∥GF，
∴∠GFH=∠PAH，
又∵H是AF的中点，
∴AH=FH，
在△APH和△FGH中，
∵
∠??????=∠??????
????=????
∠??????=∠??????
，
∴△APH≌△FGH（ASA），
∴AP=GF=1，GH=PH=
1
2
PG，
∴PD=AD﹣AP=1，
∵CG=2、CD=1，
∴DG=1，
则GH=
1
2
PG=
1
2
×
??
??
2
+??
??
2
=
2
2
，
故选：C．
【点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．
8．（2018?达州）如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB=4，AD=3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（ ）
/
A．2017π B．2034π C．3024π D．3026π
【答案】D
【解析】解：∵AB=4，BC=3，∴AC=BD=5．转动一次A的路线长是：
90??×4
180
=2π，转动第二次的路线长是：
90??×5
180
=
5
2
π，转动第三次的路线长是：
90??×3
180
=
3
2
π，转动第四次的路线长是：0，以此类推，每四次循环．故顶点A转动四次经过的路线长为：
5
2
π+
3
2
π+2π=6π．∵2017÷4=504…1，∴顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504+2π=3026π，故选D．
二、填空题
9、（2016?龙东）如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件________，使四边形DBCE是矩形．
/
【答案】 EB=DC
【解析】解：添加EB=DC．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
∴DE∥BC，
又∵DE=AD，
∴DE=BC，
∴四边形DBCE为平行四边形．
又∵EB=DC，
∴四边形DBCE是矩形．
故答案是：EB=DC．
【点评】利用平行四边形的判定与性质得到四边形DBCE为平行四边形，结合“对角线相等的平行四边形为矩形”来添加条件即可．本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质．解题时，也可以根据“有一内角为直角的平行四边形为矩形”填空．
10．（2016?茂名）已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO=1，那么BD= ．
【答案】2
【解析】根据矩形的性质：矩形的对角线互相平分且相等，求解即可．在矩形ABCD中，∵角线AC与BD相交于点O，AO=1，∴AO=CO=BO=DO=1，∴BD=2．
11、（2017?广东）如图，矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为________．
/
【答案】/
【解析】解：如图3中，连接AH．
/
由题意可知在Rt△AEH中，AE=AD=3，EH=EF﹣HF=3﹣2=1，
∴AH= /= /= /，
故答案为 /．
【点评】如图3中，连接AH．由题意可知在Rt△AEH中，AE=AD=3，EH=EF﹣HF=3﹣2=1，根据AH= /，计算即可．
12、（2017?河池）如图，在矩形ABCD中，AB= /，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是________．
/
【答案】/
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABE=∠BAD=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠BAE=∠ADB，
∴△ABE∽△ADB，
∴ /，
∵E是BC的中点，
∴AD=2BE，
∴2BE2=AB2=2，
∴BE=1，
∴BC=2，
∴AE= /= /，BD= /= /，
∴BF= /= /，
过F作FG⊥BC于G，
∴FG∥CD，
∴△BFG∽△BDC，
∴ /= /= /，
∴FG= /，BG= /，
∴CG= /，
∴CF= /= /．
故答案为： /．
/
【点评】根据四边形ABCD是矩形，得到∠ABE=∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，根据相似三角形的性质得到BE=1，求得BC=2，根据勾股定理得到AE= /= /，BD= /= /，根据三角形的面积公式得到BF= /= /，过F作FG⊥BC于G，根据相似三角形的性质得到CG= /，根据勾股定理即可得到结论．
13、（2017?哈尔滨）如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为________．
/
【答案】/
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC=1，∠B=∠C=90°，AD∥BC，AD=BC，
∴∠AMB=∠DAE，
∵DE=DC，
∴AB=DE，
∵DE⊥AM，
∴∠DEA=∠DEM=90°，
在△ABM和△DEA中， /，
∴△ABM≌△DEA（AAS），
∴AM=AD，
∵AE=2EM，
∴BC=AD=3EM，
连接DM，如图所示：
在Rt△DEM和Rt△DCM中， /，
∴Rt△DEM≌Rt△DCM（HL），
∴EM=CM，
∴BC=3CM，
设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+（2x）2=（3x）2 ，
解得：x= /，
∴BM= /；
故答案为： /．
/
【点评】由AAS证明△ABM≌△DEA，得出AM=AD，证出BC=AD=3EM，连接DM，由HL证明Rt△DEM≌Rt△DCM，得出EM=CM，因此BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
14．（2018?株洲）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的的长度为________.
/
【答案】2.5
【解析】根据矩形的性质可得AC=BD=10，BO=DO=
1
2
BD=5，再根据三角形中位线定理可得PQ=
1
2
DO=2.5．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=10，BO=DO=
1
2
BD，
∴OD=
1
2
BD=5，
∵点P、Q是AO，AD的中点，
∴PQ是△AOD的中位线，
∴PQ=
1
2
DO=2.5．
故答案为：2.5．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线相等且互相平分．
15．（2018?襄阳）如图，将面积为32
2
的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE=
2
，则AP的长为_____．
/
【答案】
16
3
2
【解析】设AB=a，AD=b，则ab=32
2
，构建方程组求出a、b值即可解决问题.
解：设AB=a，AD=b，则ab=32
2
，
由△??????∽△??????可得：
????
????
=
????
????
，
∴??=
2
2
??
2
，
∴
??
3
=64，
∴??=4，??=8
2
，
设PA交BD于O，
/
在????△??????中，????=
??
??
2
+??
??
2
=12，
∴????=????=
?????????
????
=
8
2
3
，
∴????=
16
3
2
，
故答案为：
16
3
2
．
【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握和应用相关的性质定理是解题的关键.
16．（2018?牡丹江）矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点M在对角线AC上，且AM：MC=2：3，过点M作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．在AC上取一点P，使∠MEP=∠EAC，则AP的长为_____．
【答案】
7
4
或
25
4
【解析】由AB=6，AD=8，可得tan∠CAD=tan∠EAC=
3
4
,由∠MEP=∠EAC，可得
tan∠MEP= tan∠EAC=
3
4
,在RT△MPE中，可求得ME、MP的值，可求得AP的长.
解：如图：
/
由AB=6，AD=8，可得AC=
6
2
+
8
2
=10,tan∠CAD=
3
4
，
由AM：MC=2：3，可得AM=
2
5
×10=4,
过点M作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F,可得在RT△AME中，
ME=tan∠MAE×AM=4×
3
4
=3,
由∠MEP=∠EAC，可得在RT△MPE中，MP=ME×tan∠MEP=3×
3
4
=
9
4
，
∴AP=AM-MP=4-
9
4
=
7
4
,
或AP=AM+MP=4+
9
4
=
25
4
，
故答案：
7
4
或
25
4
.
【点评】本题主要考查三角函数与矩形的综合，灵活运用三角函数的知识可得到解答.
三、解答题
17．（2016?岳阳）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．
/
【答案】证明见解析
【解析】由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形BEF与三角形CFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，∵EF⊥DF，∴∠EFD=90°，∴∠EFB+∠CFD=90°，
∵∠EFB+∠BEF=90°，∴∠BEF=∠CFD，在△BEF和△CFD中，
/，
∴△BEF≌△CFD（ASA），
∴BF=CD．
18、（2017?北京）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证． （以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）
请根据该图完成这个推论的证明过程．
/
证明：S矩形NFGD=S△ADC﹣（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF=S△ABC﹣（________+________）．
易知，S△ADC=S△ABC ， ________=________，________=________．
可得S矩形NFGD=S矩形EBMF ．
【答案】S△AEF；S△FCM；S△ANF；S△AEF；S△FGC；S△FMC
【解析】证明：S矩形NFGD=S△ADC﹣（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF=S△ABC﹣（S△ANF+S△FCM）．易知，S△ADC=S△ABC，S△ANF=S△AEF，S△FGC=S△FMC，
可得S矩形NFGD=S矩形EBMF．
故答案分别为S△AEF，S△FCM，S△ANF，S△AEF，S△FGC，S△FMC．
/
【点评】根据矩形的性质：矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分，由此即可证明结论．
19．（2018?荆州）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交MN于E；延长PF交AB于G．求证：
（1）△AFG≌△AFP；
（2）△APG为等边三角形．
/
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）由折叠的性质得到M、N分别为AD、BC的中点，利用平行线分线段成比例得到F为PG的中点，再由折叠的性质得到AF垂直于PG，利用SAS即可得证；
（2）由（1）的全等三角形，得到对应边相等，利用三线合一得到∠2=∠3，由折叠的性质及等量代换得到∠PAG为60°，根据AP=AG且有一个角为60°即可得证．
解：（1）由折叠可得：M、N分别为AD、BC的中点，
∵DC∥MN∥AB，
∴F为PG的中点，即PF=GF，
由折叠可得：∠PFA=∠D=90°，∠1=∠2，
在△AFP和△AFG中，
????=????
∠??????=∠??????
????=????
，
∴△AFP≌△AFG（SAS）；
（2）∵△AFP≌△AFG，
∴AP=AG，
∵AF⊥PG，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠2=∠3=30°，
∴∠2+∠3=60°，即∠PAG=60°，
∴△APG为等边三角形．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，以及矩形的性质，熟练掌握相关的性质与定理是解本题的关键．
20．（2018?天津）在平面直角坐标系中，四边形????????是矩形，点??(0,0)，点??(5,0)，点??(0,3).以点??为中心，顺时针旋转矩形????????，得到矩形????????，点??，??，??的对应点分别为??，??，??.
/
（Ⅰ）如图①，当点??落在????边上时，求点??的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点??落在线段????上时，????与????交于点??.
①求证△??????≌△??????；
②求点??的坐标.
（Ⅲ）记??为矩形????????对角线的交点，??为△??????的面积，求??的取值范围（直接写出结果即可）.
【答案】（Ⅰ）点??的坐标为(1,3).（Ⅱ）①证明见解析；②点??的坐标为(
17
5
,3).（Ⅲ）
30?3
34
4
≤??≤
30+3
34
4
.
【解析】（Ⅰ）根据旋转的性质得AD=AO=5,设CD=x，在直角三角形ACD中运用勾股定理可CD的值，从而可确定D点坐标；
（Ⅱ）①根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可；
②由①知∠??????=∠??????，再根据矩形的性质得∠??????=∠??????.从而∠??????=∠??????，故BH=AH，在Rt△ACH中，运用勾股定理可求得AH的值，进而求得答案；
（Ⅲ）
30?3
34
4
≤??≤
30+3
34
4
.
解：（Ⅰ）∵点??(5,0)，点??(0,3)，
∴????=5，????=3.
∵四边形????????是矩形，
∴????=????=3，????=????=5，∠??????=∠??=90°.
∵矩形????????是由矩形????????旋转得到的，
∴????=????=5.
在????△??????中，有??
??
2
=??
??
2
+??
??
2
，
∴????=
??
??
2
???
??
2
=
5
2
?
3
2
=4.
∴????=?????????=1.
∴点??的坐标为(1,3).
/
（Ⅱ）①由四边形????????是矩形，得∠??????=90°.
又点??在线段????上，得∠??????=90°.
由（Ⅰ）知，????=????，又????=????，∠??????=90°，
∴????△??????≌????△??????.
②由△??????≌△??????，得∠??????=∠??????.
又在矩形????????中，????//????，
∴∠??????=∠??????.∴∠??????=∠??????.∴????=????.
设????=??，则????=??，????=?????????=5???.
在????△??????中，有??
??
2
=??
??
2
+??
??
2
，
∴
??
2
=
3
2
+
(5???)
2
.解得??=
17
5
.∴????=
17
5
.
∴点??的坐标为(
17
5
,3).
/
（Ⅲ）
30?3
34
4
≤??≤
30+3
34
4
.
【点评】本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，灵活运用勾股定理求解是解决本题的关键.
1、（2017·滨州一模）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，那么下列结论中正确的是（?? ）
A、当AB=BC时，四边形ABCD是矩形 B、当AC⊥BD时，四边形ABCD是矩形
C、当OA=OB时，四边形ABCD是矩形 D、当∠ABD=∠CBD时，四边形ABCD是矩形
【答案】C
【解析】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可以得到该结论错误； B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到该选项错误；
C、根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；
D、不能得到一个角是直角，故错误，
故选C．
【点评】利用矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
2、（2017·宁波模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E、F都对角线AC上，且AE=EF=FC，则线段BE和DF的距离为（?? ）
/
A、/ B、1 C、/ D、/
【答案】D
【解析】解：∵矩形ABCD中，AB=4，AD=2， ∴AB∥CD，AB=CD，∠BAD=∠ABC=90°，矩形ABCD的面积=4×2=8，
∴∠DCF=∠BAE，
在△DCF和△BAE中， /，
∴△DCF≌△BAE（SAS），
∴DF=BE，∠DFC=∠BEA，
∴∠DFE=∠BEF，
∴DF∥BE，
∵AE=EF=FC，
∴△BCE的面积= /×8= /，
延长BE交AD于G，延长DF交BC于H，作FM⊥BE于M，CN⊥BE于N，则FM∥CN，
/
∵AE=EF=FC，
∴AG=DG=1，BH=CH=1，
∴BG= /= /，
∴BE= /BG= /，
∵ /BE?CN= /，
∴CN= /，
∵FM∥CN，EF=FC，
∴FM= /CN= /，
故选：D．
【点评】证明△DCF≌△BAE（SAS），得出DF=BE，∠DFC=∠BEA，得出∠DFE=∠BEF，证出DF∥BE，与AE=EF=FC，得出△BCE的面积= /×8= /，延长BE交AD于G，延长DF交BC于H，作FM⊥BE于M，CN⊥BE于N，FM∥CN由平行线得出AG=DG=1，BH=CH=1，由勾股定理求出BG= /= /，得出BE= /BG= /，由三角形面积求出CN= /，由三角形中位线定理得出FM= /CN= /即可．
3、（2017·无锡一模）如图，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=4cm，点M是边AB的中点，点P是矩形边上的一个动点，点P从M出发在矩形的边上沿着逆时针方向运动，则当点P沿着矩形的边逆时针旋转一周时，△DMP面积刚好为5cm2的时刻有（?? ）
/
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
【答案】C
【解析】解：∵矩形ABCD中，AB=6cm，AD=4cm，点M是边AB的中点，
∴AM=BM=3cm，△ADM= /×3×4cm2=6cm2 ，
∵△DMP面积达到5cm2 ，
∴点P可能在AD上有1个点，在AB边上有2个点，在CD边上有1个点，不可能在BC上，
∴当点P逆时针旋转一周时，随着运动时间的增加，△DMP面积达到5cm2的时刻的个数是4次，
故选C．
【点评】根据△ADM的面积，即可判定点P可能在AB或AD或CD边上，由此得出结论．
4、（2017·南京一模）如图，将一张直角三角形纸片BEC的斜边放在矩形ABCD的BC边上，恰好完全重合，BE、CE分别交AD于点F、G，BC=6，AF：FG：GD=3：2：1，则AB的长为（?? ）
/
A、1 B、/ C、/ D、2
【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AD=BC=6，∠A=∠D=90°，
∵∠E=90°，
∴∠EFG+∠EGF=90°，
∴∠AFB+∠DGC=90°，
∵∠AFB+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠DGC，
∴△AFB∽△DCG，
∴ /，
∵AF：FG：GD=3：2：1，
∴AF=3，DG=1，
∴AB2=AF?DG=3，
∴AB= /．
故选C．
【点评】由四边形ABCD是矩形，得到AB=CD，AD=BC=6，∠A=∠D=90°，根据余角的性质得到∠ABF=∠DGC，推出△AFB∽△DCG，根据相似三角形的性质得到AB2=AF?DG=3，于是得到结论．
5、（2017·乐清模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的面积为定值，它的对称中心恰与原点重合，且AB∥y轴，CD交x轴于点M，过原点的直线EF分别交AD、BC边于点E、F，以EF为一边作矩形EFGH，并使EF的对边GH所在直线过点M，若点A的横坐标逐渐增大，图中矩形EFGH的面积的大小变化情况是（?? ）
/
A、一直减小 B、一直不变 C、先减小后增大 D、先增大后减小
【答案】B
【解析】解：如图，设GH交AD于K，AD与轴交于点P．
/
∵∠OEP+∠HEK=90°，∠HEK+∠HKE=90°，
∴∠HKE=∠OEP，
∵∠OPE=∠H=90°，
∴△OPE∽△EHK，
∴ /= /，
∴OP?EK=HE?OE，
易证四边形OMKE是平行四边形，
∴EK=OM，
∴OP?OM=HE?OE，
∵矩形ABCD的面积为定值，
∴OP?OM是定值，
∴HE?OE是定值，
∵矩形EFGH的面积=2HE?EO，
∴矩形EFGH的面积是定值．
故选B．
【点评】设GH交AD于K，AD与轴交于点P．由△OPE∽△EHK，推出 /= /，推出OP?EK=HE?OE，易证四边形OMKE是平行四边形，推出EK=OM，推出OP?OM=HE?OE，由矩形ABCD的面积为定值，推出OP?OM是定值，推出HE?OE是定值，由矩形EFGH的面积=2HE?EO，推出矩形EFGH的面积是定值．
6．（2018?牡丹江模拟）如图，矩形ABCD中，??是????的中点，将△??????沿????折叠后得到△??????，延长????交????于点??，若????=1，????=2，则????的长为（ ）
/
A．3
2
B．2
6
C．2
5
D．2
3
【答案】B
【解析】首先过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，易证得△ENG≌△BNM（AAS），MN是△BCF的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得GN=MN，由折叠的性质，可得BG=3，继而求得BF的值，又由勾股定理，即可求得BC的长．
解：过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，
∵∠EMB=90°，
∴四边形ABME是矩形，
∴AE=BM，
由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，
∴EG=BM，
∵∠ENG=∠BNM，
∴△ENG≌△BNM（AAS），
∴NG=NM，
∴CM=DE，
∵E是AD的中点，
∴AE=ED=BM=CM，
∵EM∥CD，
∴BN：NF=BM：CM，
∴BN=NF，
∴NM=/，CF=/，
∴NG=/，
∵BG=AB=CD=CF+DF=3，
∴BN=BG﹣NG=3﹣/=/，
∴BF=2BN=5，
∴BC=/=/=2/，
//
故选B
【点评】此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
7．（2018?张家界一模）如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数??=
??
??
（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是12，则k=（ ）
/
A．6 B．9 C．
28
5
D．
32
5
【答案】D
【解析】所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．
解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
设B点的坐标为（a，b），
∵BD=3AD，
∴D（
??
4
，b），
∵点D，E在反比例函数的图象上，
∴
????
4
=k，
∴ab=4k，
∴E（a，
??
??
），
∵S△ODE=S矩形OCBA-S△AOD-S△OCE-S△BDE=ab-
1
2
?
????
4
-
1
2
k-
1
2
?
3??
4
?（b-
??
??
）=12，
∴k=
32
5
，
故选：D．
【点评】此题考查了反比例函数的综合知识，利用了：①过某个点，则这个点的坐标应适合这个函数解析式；②所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式．
8．（2018?江苏押题）如图，矩形ABCD，由四块小矩形拼成四块小矩形放置是既不重叠，也没有空隙，其中两块矩形全等，如果要求出两块矩形的周长之和，则只要知道（ ）
/
A．矩形ABCD的周长 B．矩形的周长 C．AB的长 D．BC的长
【答案】D
【解析】设BC=x，AB=y，矩形②的长为a，宽为b，根据图形列出表达①和④两个矩形周长的代数式（用含x、y、a、b的式子表示），将式子化简即可得到结论.
解：设BC的长为x，AB的长为y，矩形②的长为a，宽为b，由图可得：
①④两块矩形的周长之和是：（x-b）×2+2a+2b+2（x-a）=2x-2b+2a+2b+2x-2a=4x；
故选D．
【点评】根据图形中五个矩形的长、宽间的关系把①④两块矩形的周长之和是用含x、y、a、b的式子表示出来是解答本题的关键.
9．（2018?根河模拟）如图甲，ABCD是一矩形纸片，AB＝3cm，AD＝4cm，M是AD上一点，且AM＝3cm.操作：
（1）将AB向AM折过去，使AB与AM重合，得折痕AN，如图乙；
（2）将△ANB以BN为折痕向右折过去，得图丙.
则HD是（ ）cm
/
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【答案】D
【解析】如图丙，根据题意可得AB=3cm，BD=AD-AB=4-3=1cm，AD=3-1=2cm，由折叠的性质可得∠NBD=90°，根据三个角为直角的四边形为矩形即可得DCBN为矩形，所以BD=NC=1cm，因为AD∥NC，可得△ADH学生△NCH，根据相似三角形的性质可得
????
????
=
????
????
，由CD=3cm，可得
2
1
=
????
3?????
，解得DH=2cm.
解：如题中图丙，根据题意可得AB=3cm，BD=AD-AB=4-3=1cm，AD=3-1=2cm，
由折叠的性质可得∠NBD=90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∵∠C=∠D=∠NBD=90°，
∴四边形DCNB为矩形，
∴BD=NC=1cm，
∵AD∥NC，
∴△ADH∽△NCH，
∴
????
????
=
????
????
，
∵CD=3cm，
∴
2
1
=
????
3?????
，
解得DH=2cm.
故选D.
【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
10．（2018?淮南四模）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是（ ）
/
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．一组对边平行而另一组对边不平行 D．对角线互相平分
【答案】A
【解析】根据三角形的中位线定理得到四边形EFGH一定是平行四边形，再推出一个角是直角，由矩形的判定定理可求解．
解：连接AC、BD，两线交于O，
/ 根据三角形的中位线定理得：EF∥AC，EF=/AC，GH∥AC，GH=/AC， ∴EF∥GH，EF=GH， ∴四边形EFGH一定是平行四边形， ∴EF∥AC，EH∥BD， ∵BD⊥AC， ∴EH⊥EF， ∴∠HEF=90°， 故选：A．
【点评】能够根据三角形的中位线定理证明：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形．掌握这些结论，以便于运用．
二、填空题
11、（2017·十堰模拟）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C'处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC'F的周长之和是________．
/
【答案】6
【解析】解：∵矩形纸片ABCD折叠，点D与点B重合，点C落在C'处， ∴BE=ED，BC′=CD，C′F=CF，
∴△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AE+ED=AB+AD，
△BC′F的周长=BF+C′F+BC′=BE+CF+CD=BC+CD，
∴△ABE和△BC′F的周长之和=AB+AD+BC+CD=矩形ABCD的周长，
∵AB=1，BC=2，
∴△ABE和△BC′F的周长之和=2×（1+2）=2×3=6．
故答案为：6．
【点评】根据翻折变换的性质可得BE=ED，BC′=CD，C′F=CF，然后求出两个三角形的周长的和等于矩形的周长，再求解即可．
12、（2017·上海二模）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=7，点E，F分别在边AD、BC上，且B、F关于过点E的直线对称，如果以CD为直径的圆与EF相切，那么AE=________．
/
【答案】3
【解析】解：如图，设⊙O与EF相切于M，连接EB，作EH⊥BC于H．
/
由题意易知四边形AEHB是矩形，设AE=BH=x，
由切线长定理可知，ED=EM，FC=FM，
∵B、F关于EH对称，
∴HF=BH=x，ED=EM=7﹣x，FC=FM=7﹣2x，EF=14﹣3x，
在Rt△EFH中，∵EF2=EH2+HF2 ，
∴42+x2=（14﹣3x）2 ，
解得x=3或 /（舍弃），
∴AE=3，
故答案为3．
【点评】设⊙O与EF相切于M，连接EB，作EH⊥BC于H．由题意易知四边形AEHB是矩形，设AE=BH=x，由切线长定理可知，ED=EM，FC=FM，由B、F关于EH对称，推出HF=BH=x，ED=EM=7﹣x，FC=FM=7﹣2x，EF=14﹣3x，在Rt△EFH中，根据EF2=EH2+HF2 ， 列出方程即可解决问题．
13、（2017·苏州一模）如图，矩形ABCD中，AB=4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°，点B、D分别落在点B′，D′处，且点A，B′，D′在同一直线上，则tan∠DAD′________．
/
【答案】/
【解析】解：由题意可得：AD∥CD′， 故△ADE∽△D′CB′，
则 /= /，
设AD=x，则B′C=x，DB′=4﹣x，AB=CD′=4，
故 /= /，
解得：x1=﹣2﹣2 /（不合题意舍去），x2=﹣2+2 /，
则DB′=6﹣2 /，
则tan∠DAD′= /= /= /．
故答案为： /．
【点评】直接利用旋转的性质结合相似三角形的判定与性质得出DB′的长进而得出答案．
14．（2018?林州一模）在矩形ABCD中，AB=4，BC=9，点E是AD边上一动点，将边AB沿BE折叠，点A的对应点为A′，若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1：3，则AE的长为_____．
【答案】
4
7
7
或
4
15
5
【解析】由∠??
??
′
??=∠
??
′
????,∠????
??
′
=∠????
??
′
,得????
??
′
??～??
??
′
????,所以
????
??
′
??
=
??
′
??
????
.再以①
??
′
??
??
′
??
=
1
3
和②
??
′
??
??
′
??
=
1
3
两种情况分类讨论即可得出答案.
解：因为翻折,所以
??
′
??=????=4，∠??
??
′
??=
90
°
,过
??
′
作
??
′
??⊥????,交AD于F,交BC于G,根据题意，????∥????,∴
??
′
??⊥????.
若
??
′
点在矩形ABCD的内部时，如图
/
则GF=AB=4,
由∠??
??
′
??=
90
°
可知∠??
??
′
??+∠??
??
′
??=
90
°
.
又∠??
??
′
??+∠
??
′
????=
90
°
.
∴∠??
??
′
??=∠
??
′
????.
又∠????
??
′
=∠????
??
′
.
∴ ????
??
′
??～??
??
′
????.
∴ ????
??
′
??～??
??
′
????.
∴
????
??
′
??
=
??
′
??
????
.
若
??
′
??
??
′
??
=
1
3
则
??
′
??=3,
??
′
??=1.
????=
??
′
??
2
?
??
′
??
2
=
4
2
?
3
2
=
7
.
则
????
3
=
1
7
.
∴????=
3
7
7
.
∴????=?????????=?????????=
7
?
3
7
7
=
4
7
7
.
若
??
′
??
??
′
??
=
1
3
则
??
′
??=1,
??
′
??=3.
????=
??
′
??
2
?
??
′
??
2
=
4
2
?
1
2
=
15
.
则
????
1
=
3
15
.
∴????=
15
5
.
∴????=?????????=?????????=
15
?
15
5
=
4
15
5
.
故答案
4
7
7
或
4
15
5
.
【点评】本题主要考查了翻折问题和相似三角形判定，灵活运用是关键
15．（2018?海口模拟）将矩形ABCD纸片按如图所示方式折叠，M、N分别为AB，CD的中点，若????=20????，????/
【答案】
40
3
3
【解析】由矩形性质得∠AMN=90?,AM=
1
2
????,由折叠性质得AB=AB＇,∠BAE=
1
2
∠????
??
′
,可得AM=
1
2
??
??
′
,证∠AB＇M=30?, ∠BAE=
1
2
∠????
??
′
=30?,利用三角函数可求得AE.
解：因为，矩形ABCD中M、N分别为AB，CD的中点，
所以，∠AMN=90?,AM=
1
2
????,
因为，由折叠可知AB=AB＇,∠BAE=
1
2
∠????
??
′
,
所以，AM=
1
2
??
??
′
,
所以，∠AB＇M=30?,
所以，∠B＇AM=60?,
所以，∠BAE=
1
2
∠????
??
′
=30?,
所以，AE=
????
??????∠??????
=
20
3
2
=
40
3
3
.
故答案为：
40
3
3
【点评】本题考核知识点：矩形折叠，锐角三角函数. 解题关键点：由直角三角形证出30?的角，再解直角三角形.
16．（2018?安丘二模）如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为??′，再将所折得的图形沿EF折叠，使得点D和点A重合.若????=3，????=4，则折痕EF的长为______．
/
【答案】
25
12
【解析】首先由折叠的性质与矩形的性质，证得△??????是等腰三角形，则在????△??????中，利用勾股定理，借助于方程即可求得AN的长，又由△??????≌△??′????，易得：∠??????=∠??????，由三角函数的性质即可求得MF的长，又由中位线的性质求得EM的长，则问题得解
解：如图，设????′与AD交于N，EF与AD交于M，
/
根据折叠的性质可得：∠??????=∠??????，????=????=
1
2
????，∠??????=∠??????=
90
°
，
∵四边形ABCD是矩形，
∴????//????，????=????=4，∠??????=
90
°
，
∴∠??????=∠??????，
∴∠??????=∠??????，
∴????=????，
设????=??，则????=????=4???，
∵在????△??????中，??
??
2
+??
??
2
=??
??
2
，
∴
3
2
+
??
2
=(4???
)
2
，
∴??=
7
8
，
即????=
7
8
，
∵??′??=????=????=3，∠??????=∠??′=
90
°
，∠??????=∠??′????，
∴△??????≌△??′????(??????)，
∴∠??????=∠??????，
∴??????∠??????=??????∠??????，
∴
????
????
=
????
????
，
∴
7
8
3
=
????
2
，
∴????=
7
12
，
由折叠的性质可得：????⊥????，
∴????//????，
∵????=????，
∴????=
1
2
????=
3
2
，
∴????=????+????=
3
2
+
7
12
=
25
12
，
故答案为：
25
12
．
【点评】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数的性质以及勾股定理等知识，综合性较强，有一定的难度，解题时要注意数形结合思想与方程思想的应用．
三、解答题
17、（2017·大理模拟）在矩形ABCD中，点O是AC的中点，AC=2AB，延长AB至G，使BG=AB，连接GO交BC于E，延长GO交AD于F．
（1）求证：△ABC≌△AOG；
（2）猜测四边形AECF的形状并证明你的猜想．
/
【答案】 （1）证明见解析；（2）四边形AECF是菱形；理由见解析
【解析】（1）证明：∵点O是AC的中点，
∴AO=CO=/AC，
∵AC=2AB，BG=AB，
∴AB=AO，AC=AG，
在△ABC和△AOG中，
/，
∴△ABC≌△AOG（SAS）；
（2）解：四边形AECF是菱形；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD∥BC，
∴∠OAF=∠COE，
在△AOF和△COE中，
/，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OF=OE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵△ABC≌△AOG，
∴∠AOG=∠ABC=90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
【点评】（1）由已知条件得出AB=AO，AC=AG，由SAS证明△ABC≌△AOG即可；
（2）由矩形的性质得出∠ABC=90°，AD∥BC，得出∠OAF=∠COE，由ASA证明△AOF≌△COE，得出OF=OE，得出四边形AECF是平行四边形，再由全等三角形的对应角相等得出∠AOG=∠ABC=90°，即可得出结论．
18、（2017·青岛模拟）在平行四边形ABCD中，E为边上一点，连结AE并延长交直线DC于F，且CE=CF.
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（1）如图1，求证：AF是∠BAD的平分线；
（2）如图2，若∠ABC=90°，点G是线段EF上一点，连接DG、BD、CG，若∠BDG=45°，求证：CG=/EF.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠AEB=∠EAD
∵CE=CF,∴∠CEF=∠CFE
∴∠AEB=∠CFE
∴∠BAF=∠DAF
∴AF是∠BAD的平分线
（2）连接BG，
∵在平行四边形ABCD中，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵CE=CF，∠BCD=∠ECF=90°，
∴△CEF为直角三角形，
∴∠CEF=45°
∴∠BAE=45°，
∴∠EAB=45°，
∵∠BDG=45°，
∴ABGD四点共圆 （同弦BG）
又四边形ABCD是矩形
∴ABCD四点共圆
即ABGCD五点共圆
∴∠ECG=45°，
∵△CEF为直角三角形，∠ECG=45°，
∴CG是RT△CEF斜边EF上的中线，
∴CG=/EF.
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【点评】
（1）利用平行线的性质和等腰三角形的性质求证.（2）利用圆的性质求出G是EF的中点可直接求得.
19．（2018?青岛模拟）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，请你判断BE与CF的大小关系，并说明你的理由．
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【答案】BE=CF；理由见解析；
【解析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OB=OC，然后利用“角角边”证明△OBE和△OCF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．
解：BE=CF．
理由如下：在矩形ABCD中，OB=OC，
∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，
∴∠BEO=∠CFO=90°，
在△OBE和△OCF中，
∠??????=∠??????=
90
°
∠??????=∠??????
????=????,
，
∴△OBE≌△OCF（AAS），
∴BE=CF．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，证明两边相等，通常利用证明这两边所在的三角形全等，这是常用的方法也是基本方法．
20．（2018?厦门模拟）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处．
（1）如图1，若折痕????=5
5
，且??????∠??????=
3
4
，求矩形ABCD的周长；
（2）如图2，在AD边上截取DG=CF，连接GE，BD，相交于点H，求证：BD⊥GE．
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【答案】（1）36；（2）答案见解析．
【解析】（1）设EC=3k，则FC=4k，EF=5k，然后判断出∠BAF=∠EFC，利用三角函数的知识表示出BF、AF，结合AE的长．在Rt△AFE中利用勾股定理可求出矩形ABCD的边长，继而可得出周长．
（2）根据题意可得GD=FC，DE=EF，然后表示出cos∠EFC，及cos∠BAF，根据∠BAF=∠EFC，可得出一对相等的比例关系，继而可判断出△DBA∽△EGD，得出∠DBA=∠EGD，然后利用等量代换可确定结论．
解：（1）设EC=3k，由tan∠EFC=
3
4
，则FC=4k，EF=5k．
∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC=8k．
∵∠AFE=∠D=90°，∴∠AFB+∠EFC=90°．
∵∠B=90°，∴∠BAF+∠AFB=90°，∴∠BAF=∠EFC，∴tan∠BAF=
3
4
，∴BF=6k，AF=10k．在Rt△AFE中，AF2+EF2=AE2，AE=5
5
，∴100k2+25k2=（5
5
）2，解得：k=1，∴AB=DC=8，BC=AD=AF=10，所以矩形ABCD的周长为36．
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（2）∵GD=FC，DE=EF，∴cos∠EFC=
????
????
=
????
????
．
∵cos∠BAF=
????
????
=
????
????
，∠BAF=∠EFC，∴
????
????
=
????
????
，∴△DBA∽△EGD，∴∠DBA=∠EGD．
∵∠DBA+∠ADB=90°，∴∠DGH+∠GDH=90°，∴∠GHD=90°，∴BD⊥GE．
【点评】本题考查了翻折变换及相似三角形的判定与性质，综合的知识点较多，解答第一问要求我们能根据三角函数值正确表示出三角形的各边长，第二问要求我们熟练相似三角形的判定定理，及相似三角形的性质．
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