5.4正方形
一、正方形的概念
有一组邻边________并且有一个角是________的平行四边形叫做正方形.
二、正方形的性质
1、正方形的四个角都是________，四条边都________；
2、正方形的两条对角线________，并且互相________，每一条对角线平分一组________
3、正方形既是________图形，又是________图形.
注意：正方形具有________、矩形、菱形的一切性质！
三、正方形的判定
1、有一组邻边相等的________是正方形；
2、对角线互相垂直的________是正方形；
3、有一个角是直角的________是正方形；
4、对角线相等的________是正方形；
5、对角线互相垂直、相等的________是正方形；
6、对角线互相垂直、平分且相等的________是正方形.
三、正方形的面积
S正方形＝边长的平方＝对角线________的一半
四、中点四边形
1、概念：依次连接任意四边形各边________所得的四边形称为中点四边形
2、性质：中点四边形的形状始终是________，且每条边都________且________原四边形对角线的一半.
（1）如果四边形的对角线互相________，则中点四边形为矩形.
（2）如果四边形的对角线相等，则中点四边形为________.
（3）如果四边形的对角线互相垂直且相等，则中点四边形为________.
考点一：正方形的性质
如图，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，且????=????，则∠??????= ______°.
/
变式跟进1
如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上的一点，点P是BC上任意一点，AP⊥PF，且AP=PF,连接CF.
（1）求证：∠BAP=∠FPC；
（2）求∠FCE的度数.
/
考点二：正方形的判定
如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是_____（只需添加一个即可）
/
变式跟进2如图，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；
(2)当BD，AC满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．(不要求证明)
/
考点三：正方形的性质与判定综合
如图，在四边形????????中，????∥????，∠??=90°，????=????=8，过点??作????⊥????，交????于点??．若????=6，则????的长为（ ）．
/
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
变式跟进3如图,点E是正方形ABCD对角线AC上一点,EF⊥AB,EG⊥BC,垂足分别为E,F,若正方形ABCD的周长是40 cm.
(1)求证:四边形BFEG是矩形;
(2)求四边形EFBG的周长;
(3)当AF的长为多少时,四边形BFEG是正方形?
/
考点四：与正方形有关的面积问题
如图，边长为的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为、，则的值为（ ）．
/
A. B. C. D.
变式跟进4芜湖国际动漫节期间，小明进行了富有创意的形象设计．如图1，他在边长为1的正方形ABCD内作等边三角形BCE，并与正方形的对角线交于F、G点，制成如图2的图标．则图标中阴影部分图形AFEGD的面积=_____．
/
考点五：正方形中的动态问题
如图1，E为边长为1的正方形ABCD中CD边上的一动点（不含点C、D），以BE为边作图中所示的正方形BEFG
（1）求∠ADF的度数
（2）如图2，若BF交AD于点H，连接EH，求证：HB平分∠AHE
（3）如图3，连接AE、CG，作BM⊥AE于点M，BM交GC于点N，连接DN．当E在CD上运动时，求证：NC=NG
/
变式跟进5正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．
（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；
（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．
?/
考点六：中点四边形
顺次连结等腰梯形各边中点得到的四边形( )
A.只能是平行四边形 B.是矩形 C.是菱形 D.是正方形
变式跟进6我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形. 如图,
E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点.
/
(1) 求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2) 如果我们对四边形ABCD的对角线AC与BD添加一定的条件, 则可使四边形EFGH成为特殊的平行四边形, 请你经过探究后直接填写答案：
① 当AC＝BD时, 四边形EFGH为__________；
② 当AC____BD时, 四边形EFGH为矩形；
③ 当AC＝BD且AC⊥BD时, 四边形EFGH为__________.
一、单选题
1．(2016·青海)如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为（ ）
/
A．（）6 B．（）7 C．（）6 D．（）7
2．（2016?陕西）如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M，N是边AD上的两点，连接MO，NO，并分别延长交边BC于两点M′，N′，则图中的全等三角形共有( )
/
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
3．(2017·贵州黔东南州)如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（ ）
/
A. 60° B. 67.5° C. 75° D. 54°
4．(2017·攀枝花)如图，正方形ABCD中．点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形．连接AC交EF于点G．过点G作GH⊥CE于点H．若，则=（ ）
/
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
5．(2017·张掖)如图①，在边长为4的正方形ABCD中，点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿AB→BC的路径运动，到点C停止．过点P作PQ∥BD，PQ与边AD（或边CD）交于点Q，PQ的长度y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图②所示．当点P运动2.5秒时，PQ的长是（ ）
/
A．2/cm B．3/cm C．4/cm D．5/cm
6．（2018?恩施）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（ ）
/
A．6 B．8 C．10 D．12
7．（2018?天津）如图，在正方形????????中，??，??分别为????，????的中点，??为对角线????上的一个动点，则下列线段的长等于????+????最小值的是（ ）
/
A．???? B．???? C．???? D．????
8．（2018?贺州）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，依此下去，第n个正方形的面积为（ ）
/
A．（
2
）n﹣1 B．2n﹣1 C．（
2
）n D．2n
二、填空题
9．(2016·葫芦岛)如图，一只蚂蚁在正方形ABCD区域内爬行，点O是对角线的交点，∠MON=90°，OM，ON分别交线段AB，BC于M，N两点，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为 ．
/
10．（2016?广安）如图，三个正方形的边长分别为2，6，8；则图中阴影部分的面积为 ．
/
11．(2017·新疆建设兵团)如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为______s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是________cm2．
/
12．(2017·张家界)如图，在正方形ABCD中，AD=，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为________.
/
13．(2017·云南)如图，边长为4的正方形ABCD外切于⊙O，切点分别为E、F、G、H．则图中阴影部分的面积为______．
/
14．（2018?台州）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为_____．
/
15．（2018?枣庄）如图，在正方形ABCD中，AD=2
3
，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为___．
/
16．（2018?武汉）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是_____．
三、解答题
17．(2016·杭州)如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一直线上，且AD＝3，DE＝1，连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H.
(1)求sin∠EAC的值；
(2)求线段AH的长．
/
18．（2017·湖州）已知正方形/的对角线/，/相交于点/．
（1）如图1，/，/分别是/，/上的点，/与/的延长线相交于点/．若/，求证：/；
（2）如图2，/是/上的点，过点/作/，交线段/于点/，连结/交/于点/，交/于点/．若/，
①求证：/；
②当/时，求/的长．
/
19．（2018?吉林）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．
/
20．（2018?盘锦）如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM．
（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；
（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；
（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
/
一、单选题
1．（2017·东兴模拟）如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是（ ）
/
A. 5：8 B. 3：4 C. 9：16 D. 1：2
2．（2017·苏州二模）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则DM的长为（?? ）
/
A. +1????????????? B. +1??????????? C. 2?????????????? D. 2﹣
3．（201·西安模拟）如图，正方形中， 是对角线，将绕点顺时针旋转得到， 交于点，图中有几对全等三角形（ ）．
/
A. 对 B. 对 C. 对 D. 对
4．（2017·江阴二模）如图，将正方形ABCD的一角折向边CD，使点A与CB上一点E重合，若BE=1，CE=2，则折痕FG的长度为（ ）
/
A. B. 2 C. D.
5．（2017·宁波联考）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（ ）
/
A. B.
5
C. D.
6．（2018?昆明模拟）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（ ）
/
A．（2，0） B．（1，1） C．（
2
，
2
） D．（2，2）
7．（2018?余姚四模）如图，正方形ABCD的顶点C在正方形AEFG的边AE上，AB＝2，AE＝4
2
，则点G 到BE的距离是（ ）
/
A．
16
5
5
B．
36
2
5
C．
32
2
5
D．
18
5
5
8．（2018·温州模拟）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．如图是一个七巧板迷宫，它恰好拼成了一个正方形ABCD，其中点E，P分别是AD，CD的中点，AB=2
2
，一只蚂蚁从A处沿图中实线爬行到出口P处，则它爬行的最短路径长为（ ）
/
A．3 B．2+
2
C．4 D．3
2
9．（2018?周口模拟）如图，已知菱形ABCD，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ ）
/
A．16 B．12 C．24 D．18
10．（2018?深圳押题）已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=
5
．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为
6
2
；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+
6
．其中正确结论的序号是（ ）
/
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
二、填空题
11．（2017·长春二模）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，
3
），则点C的坐标为_____．
/
12．（2017·滨州模拟）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在边DC上，且DM=2，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为 ______ ．
/
13．（2017·广东预测）一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3、…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2016B2016C2016D2016的边长是_____．
/
14．（2018?银川一模）如图，正方形ABCD的面积为4，点F，G分别是AB，DC的中点，将点A折到FG上的点P处，折痕为BE，点E在AD上，则AE长为______．
/
15．（2018?青海模拟）如图为两正方形ABCD、CEFG和矩形DFHI的位置图，其中D，A两点分别在CG、BI上，若AB=3，CE=5，则矩形DFHI的面积是_____．
/
16．（2018?包头二模）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH?PC
其中正确的是_____（填序号）
/
三、解答题
17．（2017·满洲里模拟）在正方形ABCD中，过点A引射线AH，交边CD于点H（点H与点D不重合），通过翻折，使点B落在射线AH上的点G处，折痕AE交BC于点E，延长EG 交CD于点F.如图①，当点H与点C重合时，易证得FG=FD（不要求证明）;如图②，当点H为边CD上任意一点时，求证：FG=FD.
【应用】在图②中，已知AB=5，BE=3，则FD= ，△EFC的面积为 .(直接写结果)
/
18．（2017·西安模拟）如图，正方形是绿地公园的一块空地，其边长为米．公园设计部门为了给儿童提供更舒适、更安全的活动场地，准备将空地中的四边形部分作为儿童活动区，并用围栏围挡起来，只留三个出入口，即点、点、点，而且根据实际需要，要使得，并将儿童活动区（即四边形）划分为和两种不同的游戏场地，儿童活动区之外的部分种植花草．
（）请直接写出线段， ， 之间的数量关系：__________．
（）如图②，若米，请你计算儿童活动区的面积．
（）请问是否存在一种设计方案，使得儿童活动区的面积最大？若存在，请求出儿童活动区面积的最大值；若不存在，请说明理由．
///
19．（2018?北流一模）如图，已知ABCD是边长为3的正方形，点P在线段BC上，点G在线段AD上，PD＝PG，DF⊥PG于点H，交AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连接EF．
（1）求证：DF＝PG；
（2）若PC＝1，求四边形PEFD的面积．
/
20．（2018?宜春模拟）如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，连接AF．
（1）求∠EAF的度数；
（2）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．求证：BD=AF+2DM．
/
/
5.4正方形
一、正方形的概念
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
二、正方形的性质
1、正方形的四个角都是直角，四条边都相等；
2、正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
3、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形.
注意：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质！
三、正方形的判定
1、有一组邻边相等的矩形是正方形；
2、对角线互相垂直的矩形是正方形；
3、有一个角是直角的菱形是正方形；
4、对角线相等的菱形是正方形；
5、对角线互相垂直、相等的平行四边形是正方形；
6、对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形.
三、正方形的面积
S正方形＝边长的平方＝对角线平方的一半
四、中点四边形
1、概念：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形
2、性质：中点四边形的形状始终是平行四边形，且每条边都平行且等于原四边形对角线的一半.
（1）如果四边形的对角线互相垂直，则中点四边形为矩形.
（2）如果四边形的对角线相等，则中点四边形为菱形.
（3）如果四边形的对角线互相垂直且相等，则中点四边形为正方形.
考点一：正方形的性质
如图，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，且????=????，则∠??????= ______°.
/
【答案】67.5
【解析】解:∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠DBC=45°，
∵BC=BE，
∴∠BEC=∠BCE=
1
2
(180°-∠DBC)=67.5°.
故答案为：67.5°.
【点评】利用正方形的性质可得出等腰三角形BEC的顶角为45°，本题即可得出答案.
变式跟进1
如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上的一点，点P是BC上任意一点，AP⊥PF，且AP=PF,连接CF.
（1）求证：∠BAP=∠FPC；
（2）求∠FCE的度数.
/
【答案】（1）见解析；（2）45°
【解析】解：（1）作FH⊥CE于H，则∠FHP=90°，
/ ∵AP⊥PF，∴∠APF=90°， ∴∠APB+∠FPH=90°， 又∵∠BAP+∠APB=90°， ∴∠FPH=∠BAP， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=∠BCD=90°，AB=BC， 在△ABP和△PHF中，
∠B=∠FHP=90°，∠BAP=∠FPH，AP=PF
∴△ABP≌△PHF（AAS）， ∴∠BAP=∠FPC； （2）∵△ABP≌△PHF， ∴BP=HF，AB=PH， ∴PH-PC=BC-PC， ∴BP=CH， ∴CH=HF． ∴∠FCE=∠CFH=
1
2
（180°-90°）=45°．
【点评】本题解题的关键是：过点F作FH⊥CE于点H，这样结合AP=PF及AP⊥PF即可证得△ABP≌△PHF从而使问题得到解决.
考点二：正方形的判定
如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是_____（只需添加一个即可）
/
【答案】∠ABC=90°
【解析】解：条件为∠ABC=90°，
理由是：∵平行四边形ABCD的对角线互相垂直，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：∠ABC=90°．
【点评】本题主要考查正方形的判定. 属于开放型的题目，答案不唯一，添加一个条件符合正方形的判定即可，而熟练运用正方形判定定理是解题的关键.
变式跟进2如图，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；
(2)当BD，AC满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．(不要求证明)
/
【答案】(1) 四边形EFGH是平行四边形;(2) 当BD＝AC且BD⊥AC时，四边形EFGH是正方形．
【解析】解：(1)四边形EFGH是平行四边形．
∵E，F分别是边AB、BC的中点，∴EF∥AC， 且EF＝AC
同理：HG∥AC，且HG＝AC
∴EF∥HG，且EF＝HG.
∴四边形EFGH是平行四边形．
(2)当BD＝AC且BD⊥AC时，四边形EFGH是正方形．
【点评】(1)根据三角形中位线的性质得出EF∥HG，且EF＝HG，从而得出平行四边形；(2)要使邻边相等则需要满足BD=AC，要使有一个角为直角则需要满足BD⊥AC，从而得出正方形.
考点三：正方形的性质与判定综合
如图，在四边形????????中，????∥????，∠??=90°，????=????=8，过点??作????⊥????，交????于点??．若????=6，则????的长为（ ）．
/
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】D
【解析】解：如图，作????⊥????于点??，
/
∵????⊥????，
∴∠??????=∠??????=90°，
∵????∥????，
∴∠??????=∠??????=90°，
∵∠??=90°，
∴∠??=∠??????=∠??????=∠??????=90°．
∴四边形????????是矩形，
∵????=????，
∴四边形????????是正方形，
∴????=????=????．
∵????⊥????，
∴∠??????=90°，
∴∠??????=∠??????，
∴∠???????∠??????=∠???????∠??????，
∴∠??????=∠??????．
在△??????和△??????中，
∠??????=∠??????
????=????
∠??????=∠??????
，
∴△??????≌△??????，
∴????=????．
∵????=????=8，????=6，
∴????=8，????=2，
∴????=2，
∴????=8+2=10．
故选D．
【点评】本题考查正方形的判定和性质及三角形全等，构造辅助线是解题的关键.
变式跟进3如图,点E是正方形ABCD对角线AC上一点,EF⊥AB,EG⊥BC,垂足分别为E,F,若正方形ABCD的周长是40 cm.
(1)求证:四边形BFEG是矩形;
(2)求四边形EFBG的周长;
(3)当AF的长为多少时,四边形BFEG是正方形?
/
【答案】（1）见解析；（2）20cm（3）当AF=5 cm时,四边形BFEG是正方形.
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB⊥BC,∠B=90°.
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴EF∥GB,EG∥BF.
∵∠B=90°，
∴四边形BFEG是矩形；
(2)∵正方形ABCD的周长是40cm，
∴AB==10cm.
∵四边形ABCD为正方形，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴AF=EF，
∴四边形EFBG的周长C=2(EF+BF)=2(AF+BF)=20cm.
(3)若要四边形BFEG是正方形，只需EF=BF，
∵AF=EF，AB=10cm，
∴当AF=5cm时，四边形BFEG是正方形.
【点评】本题主要考查正方形的性质.熟练应用正方形的性质进行推理、求值是解题的关键.
考点四：与正方形有关的面积问题
如图，边长为的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为、，则的值为（ ）．
/
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如图，设正方形S2的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知，AC=x，x=CD，∴AC=2CD，∵AD=12，∴CD=4，∴EC2=42+42，即EC=4，∴S2的面积为EC2=32，∵S1的边长为6，S1的面积为6×6=36，∴S1+S2=32+36=68．故选B．
/
【点评】本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质以及勾股定理的运用，同时也考查了学生的读图能力．
变式跟进4芜湖国际动漫节期间，小明进行了富有创意的形象设计．如图1，他在边长为1的正方形ABCD内作等边三角形BCE，并与正方形的对角线交于F、G点，制成如图2的图标．则图标中阴影部分图形AFEGD的面积=_____．
/
【答案】
【解析】根据等边三角形与正方形的性质，求出∠EBO=60°-45°，再在直角三角形BOF中利用角的正切求出边OF=tan（60°-45°）?OB，从而得知S△BOF，S△BAF=S△BAO-S△BOF= -tan（60°-45°）?OB2=-tan（60°-45°）?OB2=OB2；同理求得S△CGD=OB2，所以图标中阴影部分图形AFEGD的面积就是：S□ABCD-S△CBE-S△BAF-S△CGD=1--××（1+1）=， 图标中阴影部分图形AFEGD的面积=．
故答案为：
./
【点评】此题主要考查了正方形的综合运用，解答本题的难点是求直角三角形ABO中的三角形ABF的面积，在突破难点时，充分利用了等边三角形、正方形的性质以及直角三角形中的边角函数关系．
考点五：正方形中的动态问题
如图1，E为边长为1的正方形ABCD中CD边上的一动点（不含点C、D），以BE为边作图中所示的正方形BEFG
（1）求∠ADF的度数
（2）如图2，若BF交AD于点H，连接EH，求证：HB平分∠AHE
（3）如图3，连接AE、CG，作BM⊥AE于点M，BM交GC于点N，连接DN．当E在CD上运动时，求证：NC=NG
/
【答案】（1）∠FDA=45°;（2）证明见解析;（3）证明见解析.
【解析】解：（1）如图1，
/
过点F作FG⊥DG交CD的延长线于G，
∴∠EFG+∠FEG=90°，
∵∠FEG+∠BEC=90°，
∴∠EFG=∠BEC，
在△BCE和△EGF中，
，
∴△BCE≌△EGF，
∴BC=EG
∴EG=BC=CD
∴DG=CE=FG
∴△FDG为等腰直角三角形
∴∠FDA=45°
（2）如图2，
/
延长EC至M，且使CM=AH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAH=∠BCM=90°，
在△ABH和△BCM中，
∴△ABH≌△CBM（SAS），
∴∠AHB=∠CMB，BH=BM，
∵BE是正方形BEFG的对角线，
∴∠EBH=45°，
∴∠ABH+∠CBE=45°，
∴∠EBM=∠CBM+∠CBE=45°，
∴∠EBH=∠MBE，
在△BEH和△BEM中，
∴△BEH≌△BEM（SAS）
∴∠BHE=∠BME，
∵∠AHB=∠CMB，
∴∠AHB=∠BHE，
∴HB平分∠AHE；
（3）如图3，
/
过点C作CP⊥BM于P，过点G作GQ⊥BM于Q，
∵∠ABM+∠CBM=90°，∠BCP+∠CBM=90°
∴∠ABM=∠BCP，
在△CPB和△BMA中，
，
∴△CPB≌△BMA，
∴CP=BM，
同理：△BQG≌△EMB，
∴GQ=BM，
∴CP=GQ=BM
在△CPN和△GQN中，
，
∴△CPN≌△GQN（AAS）
∴NC=NG，
【点评】（1）先利用同角的余角相等得出∠EFG=∠BEC，从而判断出△BCE≌△EGF，即可EG=BC=CD，进而得出△FDG为等腰直角三角形即可；（2）同（1）的方法判断出△ABH≌△CBM，△BEH≌△BEM，进而得出∠AHB=∠BHE即可；（3）同（1）方法判断出△CPB≌△BMA，△BQG≌△EMB，进而得出CP=GQ=BM，又得出△CPN≌△GQN，得出NC=NG，最后根据点E的运动情况判断出点E和C重合时，DN最小，用勾股定理求解即可，点E和点D重合时，DN最大，用勾股定理求解即可．
变式跟进5正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．
（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；
（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．
?/
【答案】（1）AP=EF，AP⊥EF，理由见解析；（2）仍成立，理由见解析；（3）仍成立，理由见解析；
【解析】解：（1）AP=EF，AP⊥EF，理由如下：
连接AC，则AC必过点O，延长FO交AB于M；
∵OF⊥CD，OE⊥BC，且四边形ABCD是正方形，
∴四边形OECF是正方形，
∴OM=OF=OE=AM，
∵∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，
∴△AMO≌△FOE（AAS），
∴AO=EF，且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°，即OC⊥EF，
故AP=EF，且AP⊥EF．
（2）题（1）的结论仍然成立，理由如下：
延长AP交BC于N，延长FP交AB于M；
∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，
∴四边形MBEP是正方形，
∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；
又∵AB﹣BM=AM，BC﹣BE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE，
∴AM=PF，
∴△AMP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF，∠APM=∠FPN=∠PEF,
∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF，
∴∠FPN+∠PFE=90°，即AP⊥EF，
故AP=EF，且AP⊥EF．
（3）题（1）（2）的结论仍然成立；
如右图，延长AB交PF于H，证法与（2）完全相同．
?//?
【点评】利用正方形，等腰三角形，菱形等含等边的特殊图形，不管其他条件如何变化，等边作为证明等边三角形的隐含条件，证明三角形的全等，是证明此类问题的关键.
考点六：中点四边形
顺次连结等腰梯形各边中点得到的四边形( )
A.只能是平行四边形 B.是矩形 C.是菱形 D.是正方形
【答案】C
【解析】解：连接AC、BD，
/
∵M、N分别为AD、AB的中点
∴MN为△ABD的中位线，∴MN∥BD，MN= BD，
同理可证BD∥PQ，PQ= BD，
∴MN=PQ，MN∥PQ，四边形PQMN为平行四边形，
同理可证NP=MQ= AC，
根据等腰梯形的性质可知AC=BD，
∴PQ=NP，
∴?PQMN为菱形．
故选C．
【解析】本题主要考查中点四边形.利用三角形中位线原理是解题的关键.
变式跟进6我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形. 如图,
E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点.
/
(1) 求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2) 如果我们对四边形ABCD的对角线AC与BD添加一定的条件, 则可使四边形EFGH成为特殊的平行四边形, 请你经过探究后直接填写答案：
① 当AC＝BD时, 四边形EFGH为__________；
② 当AC____BD时, 四边形EFGH为矩形；
③ 当AC＝BD且AC⊥BD时, 四边形EFGH为__________.
【答案】(1)证明见解析；(2) ①菱形；②⊥；③正方形.
【解析】解：（1）连接AC、BD，
因为H、G，分别为AD、DC的中点，
所以HG∥AC，
同理EF∥AC，
所以HG∥EF；
同理可知HE∥GF．
于是四边形EFGH是平行四边形．
（2）①由于对角线相等，
因为H，G，分别为AD、DC的中点，
所以HG=AC，
同理EF=AC，
所以HG=EF；
同理可知HE=BD，
GF=BD．
又因为AC=BD
所以HE=EF=FG=GH．
又因为是四边形EFGH是平行四边形．
所以四边形EFGH为菱形．
②由于四边形EFGH是平行四边形．
当AC⊥BD时，
HE⊥EF，
故四边形EFGH为矩形；
③由于四边形EFGH是平行四边形．
当AC⊥BD时，
HE⊥EF，
故四边形EFGH为矩形；
AC=BD时，
四边形EFGH为正方形．
【点评】先根据中位线定理证明：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形；顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所得四边形是正方形．
一、单选题
1．(2016·青海)如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为（ ）
/
A．（）6 B．（）7 C．（）6 D．（）7
【答案】A
【解析】解：如图所示．
/
∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，
∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，
∴S2+S2=S1．
观察发现规律：S1=22=4，S2=S1=2，S3=S2=1，S4=S3=，…，
由此可得Sn=（）n﹣3．当n=9时，S9=（）9﹣3=（）6，
故选A．
【点评】本题考查的主要知识为勾股定理．结合正方形的面积可快速找规律.
2．（2016?陕西）如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M，N是边AD上的两点，连接MO，NO，并分别延长交边BC于两点M′，N′，则图中的全等三角形共有( )
/
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，
在△ABD和△BCD中，
∵AB=BC，∠A=∠C，AD=CD，
∴△ABD≌△BCD，
∵AD∥BC，
∴∠MDO=∠M′BO，
在△MOD和△M′OB中，
∵∠MDO=∠M'BO，∠MOD=∠M'OB，DM=BM'，
∴△MDO≌△M′BO，
同理可证△NOD≌△N′OB，
∴△MON≌△M′ON′，
∴全等三角形一共有4对．
故选C．
3．(2017·贵州黔东南州)如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（ ）
/
A. 60° B. 67.5° C. 75° D. 54°
【答案】A
【解析】解：如图，连接DF、BF．
/
∵FE⊥AB，AE=EB，
∴FA=FB，
∵AF=2AE，
∴AF=AB=FB，
∴△AFB是等边三角形，
∵AF=AD=AB，
∴点A是△DBF的外接圆的圆心，
∴∠FDB=∠FAB=30°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∠ADB=∠DBC=45°，
∴∠FAD=∠FBC，
∴△FAD≌△FBC，
∴∠ADF=∠FCB=15°，
∴∠DOC=∠OBC+∠OCB=60°．
故选A．
【点评】本题考查正方形的性质．利用三角形的外接圆可巧妙解题.
4．(2017·攀枝花)如图，正方形ABCD中．点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形．连接AC交EF于点G．过点G作GH⊥CE于点H．若，则=（ ）
/
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∵AE=AF，AB=AD，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵BC=CD，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF，
∴EG=GF，
∵GH⊥CE，
∴GH∥CF，
∴△EGH∽△EFC，
∵S△EGH=3，
∴S△EFC=12，
∴CF=，EF=，
∴AF=，
设AD=x，则DF=x﹣，
∵AF2=AD2+DF2，
∴（）2=x2+（x﹣）2，
∴x=，
∴AD=，DF=，
∴S△ADF=AD?DF=6．
故选A．
【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，解答本题的关键是运用勾股定理的性质．
5．(2017·张掖)如图①，在边长为4的正方形ABCD中，点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿AB→BC的路径运动，到点C停止．过点P作PQ∥BD，PQ与边AD（或边CD）交于点Q，PQ的长度y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图②所示．当点P运动2.5秒时，PQ的长是（ ）
/
A．2/cm B．3/cm C．4/cm D．5/cm
【答案】B．
【解析】解：点P运动2.5秒时P点运动了5cm，
CP=8-5=3cm，
由勾股定理，得
PQ=cm，
故选B．
【点评】本题是建立在正方形上的动点函数图象问题.利用正方形的性质及勾股定理即可得出PQ的长.
6．（2018?恩施）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（ ）
/
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出
????
????
=
????
????
=2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，
∴△ABF∽△GDF，
∴
????
????
=
????
????
=2，
∴AF=2GF=4，
∴AG=6．
∵CG∥AB，AB=2CG，
∴CG为△EAB的中位线，
∴AE=2AG=12．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．
7．（2018?天津）如图，在正方形????????中，??，??分别为????，????的中点，??为对角线????上的一个动点，则下列线段的长等于????+????最小值的是（ ）
/
A．???? B．???? C．???? D．????
【答案】D
【解析】点E关于BD的对称点E′在线段CD上，得E′为CD中点，连接AE′，它与BD的交点即为点P，PA+PE的最小值就是线段AE′的长度；通过证明直角三角形ADE′≌直角三角形ABF即可得解．
解：过点E作关于BD的对称点E′，连接AE′，交BD于点P．
/
∴PA+PE的最小值AE′；
∵E为AD的中点，
∴E′为CD的中点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABF=∠AD E′=90°,
∴DE′=BF，
∴ΔABF≌ΔAD E′，
∴AE′=AF.
故选D.
【点评】本题考查了轴对称--最短路线问题、正方形的性质．此题主要是利用“两点之间线段最短”和“任意两边之和大于第三边”．因此只要作出点A（或点E）关于直线BD的对称点A′（或E′），再连接EA′（或AE′）即可．
8．（2018?贺州）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，依此下去，第n个正方形的面积为（ ）
/
A．（
2
）n﹣1 B．2n﹣1 C．（
2
）n D．2n
【答案】B
【解析】先求出第一个正方形面积、第二个正方形面积、第三个正方形面积，…探究规律后，即可解决问题．
解：第一个正方形的面积为1=20，
第二个正方形的面积为（
2
）2=2=21，
第三个正方形的边长为22，
…
第n个正方形的面积为2n﹣1，
故选B．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，正方形的性质，根据前后正方形边长之间的关系找到Sn的规律是解题的关键．
二、填空题
9．(2016·葫芦岛)如图，一只蚂蚁在正方形ABCD区域内爬行，点O是对角线的交点，∠MON=90°，OM，ON分别交线段AB，BC于M，N两点，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为 ．
/
【答案】．
【解析】
解：∵四边形ABCD为正方形，点O是对角线的交点，
∴∠MBO=∠NCO=45°，OB=OC，∠BOC=90°，
∵∠MON=90°，
∴∠MOB+∠BON=90°，∠BON+∠NOC=90°，
∴∠MOB=∠NOC．
在△MOB和△NOC中，有，
∴△MOB≌△NOC（ASA）．
同理可得：△AOM≌△BON．
∴S阴影=S△BOC=S正方形ABCD．
∴蚂蚁停留在阴影区域的概率P==．
【点评】本题考查正方形的性质及概率.利用正方形的性质证全等三角形是解题的关键.
10．（2016?广安）如图，三个正方形的边长分别为2，6，8；则图中阴影部分的面积为 ．
/
【答案】21
【解析】如图，根据题意，知△ABE∽△ADG，∴AB：AD=BE：DG，又∵AB=2，AD=2+6+8=16，GD=8，∴BE=1，∴HE=6﹣1=5；同理得，△ACF∽△ADG，∴AC：AD=CF：DG，∵AC=2+6=8，AD=16，DG=8，∴CF=4，∴IF=6﹣4=2；∴S梯形IHEF=
1
2
（IF+HE）?HI=
1
2
×（2+5）×6=21；所以，则图中阴影部分的面积为21．故答案为：21．
/
11．(2017·新疆建设兵团)如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为______s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是________cm2．
/
【答案】3，18
【解析】设运动时间为t（0≤t≤6），则AE=t，AH=6﹣t，
根据题意得：S四边形EFGH=S正方形ABCD﹣4S△AEH=6×6﹣4×t（6﹣t）=2t2﹣12t+36=2（t﹣3）2+18，
∴当t=3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18．
【点评】本题考查二次函数的最值与正方形的性质．利用正方形的性质建立二次函数是解题的关键.
12．(2017·张家界)如图，在正方形ABCD中，AD=，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为________.
/
【答案】
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∵把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，∴PB=BC=AB，∠PBC=30°，∴∠ABP=60°，∴△ABP是等边三角形，∴∠BAP=60°，AP=AB=/，∵AD=/，∴AE=4，DE=2，∴CE=/﹣2，PE=4﹣/，过P作PF⊥CD于F，∴PF=/PE=/﹣3，∴三角形PCE的面积=/CE?PF=/×（/﹣2）×（/﹣3）=/，故答案为：/．
/
【点评】本题主要考查正方形的性质.利用旋转和正方形的性质求出相关线段的长是解题的关键．
13．(2017·云南)如图，边长为4的正方形ABCD外切于⊙O，切点分别为E、F、G、H．则图中阴影部分的面积为______．
/
【答案】2π+4．
【解析】解：如图，连接HO，延长HO交CD于点P，∵正方形ABCD外切于⊙O，∴∠A=∠D=∠AHP=90°，∴四边形AHPD为矩形，∴∠OPD=90°，又∠OFD=90°，∴点P于点F重合，则HF为⊙O的直径，同理EG为⊙O的直径，由∠B=∠OGB=∠OHB=90°且OH=OG知，四边形BGOH为正方形，同理四边形OGCF、四边形OFDE、四边形OEAH均为正方形，∴BH=BG=GC=CF=2，∠HGO=∠FGO=45°，∴∠HGF=90°，GH=GF= =，则阴影部分面积=S⊙O+S△HGF=?π?22+××=2π+4．故答案为：2π+4．
/
【点评】本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，熟练掌握切线的性质、正方形的判定得出圆的半径是解题的关键．
14．（2018?台州）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为_____．
/
【答案】
15
+3．
【解析】根据面积之比得出△BGC的面积等于正方形面积的
1
6
，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长．
解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为
2
3
×9=6，
∴空白部分的面积为9-6=3，
由CE=DF，BC=CD，∠BCE=∠CDF=90°，可得△BCE≌△CDF，
∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为
1
2
×3=
3
2
，
设BG=a，CG=b，则
1
2
ab=
3
2
，
又∵a2+b2=32，
∴a2+2ab+b2=9+6=15，
即（a+b）2=15，
∴a+b=
15
，即BG+CG=
15
，
∴△BCG的周长=
15
+3，
故答案为：
15
+3．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形面积问题．解题时注意数形结合思想与方程思想的应用．
15．（2018?枣庄）如图，在正方形ABCD中，AD=2
3
，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为___．
/
【答案】9﹣5
3
【解析】根据旋转的想知道的PB=BC=AB，∠PBC=30°，推出△ABP是等边三角形，得到∠BAP=60°，AP=AB=2
3
，解直角三角形得到CE=2
3
-2，PE=4-2
3
，过P作PF⊥CD于F，于是得到结论．
解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∵把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，∴PB=BC=AB，∠PBC=30°，∴∠ABP=60°，∴△ABP是等边三角形，∴∠BAP=60°，AP=AB=2
3
，∵AD=2
3
，∴AE=4，DE=2，∴CE=2
3
﹣2，PE=4﹣2
3
，过P作PF⊥CD于F，∴PF=
3
2
PE=2
3
﹣3，∴三角形PCE的面积=
1
2
CE?PF=
1
2
×（2
3
﹣2）×（2
3
﹣3）=9-5
3
，故答案为：9-5
3
．
/
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
16．（2018?武汉）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是_____．
【答案】30°或150°．
【解析】分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解即可得．
解：如图1，
/
∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，
∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠AED=∠ADE=∠DAE=60°，
∴∠BAE=∠CDE=150°，又AB=AE，DC=DE，
∴∠AEB=∠CED=15°，
则∠BEC=∠AED﹣∠AEB﹣∠CED=30°；
如图2，
/
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，
∴DE=DC，
∴∠CED=∠ECD，
∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，
∴∠CED=∠ECD=
1
2
×（180°﹣30°）=75°，
∴∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°，
故答案为：30°或150°．
【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质、运用分类讨论思想画出符合题意的图形并准确识图是解题的关键．
三、解答题
17．(2016·杭州)如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一直线上，且AD＝3，DE＝1，连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H.
(1)求sin∠EAC的值；
(2)求线段AH的长．
/
【答案】（1） ；（2）
【解析】解：(1)作EM⊥AC于M.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC＝3，∠DCA＝45°.
在Rt△ADE中，∵∠ADE＝90°，AD＝3，DE＝1，
∴AE＝.
在Rt△EMC中，∵∠EMC＝90°，∠ECM＝45°，EC＝2，
∴EM＝CM＝.
∴在Rt△AEM中，sin∠EAM＝；
/
(2)在△GDC和△EDA中，
，
∴△GDC≌△EDA，
∴∠GCD＝∠EAD，GC＝AE＝.
又∵∠AED＝∠CEH，
∴∠EHC＝∠EDA＝90°，
∴AH⊥GC.
∵S△AGC＝AG·DC＝GC·AH，
∴×4×3＝ ×AH，
∴AH＝.
【点评】（1）如图，过点E作EM⊥AC于点M，则∠EMA=∠EMC=90°，△EMC为等腰直角三角形，在Rt△ADE中易得AE=，在Rt△EMC中易得EM=，∴sin∠EAM=；（2）由已知易证△ADE≌△CDG，从而可得GC=AE=，∠DAE=∠DCG，由此可证得AH⊥CG，最后利用S△AGC= 可解得AH的长.
18．（2017·湖州）已知正方形/的对角线/，/相交于点/．
（1）如图1，/，/分别是/，/上的点，/与/的延长线相交于点/．若/，求证：/；
（2）如图2，/是/上的点，过点/作/，交线段/于点/，连结/交/于点/，交/于点/．若/，
①求证：/；
②当/时，求/的长．
/
【答案】（1）证明见解析（2）①证明见解析②
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD，OD=OC
∴∠DOG=∠COE=90°
∴∠OEC+∠OCE=90°
∵DF⊥CE
∴∠OEC+∠ODG=90°
∴∠ODG=∠OCE
∴△DOG≌△COE（ASA）
∴OE=OG
（2）①证明：∵OD=OC，∠DOG=∠COE=90°
又OE=OG
∴△DOG≌△COE（SAS）
∴∠ODG=∠OCE
②解：设CH=x，
∵四边形ABCD是正方形，AB=1
∴BH=1-x
∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°
∵EH⊥BC
∴∠BEH=∠EBH=45°
∴EH=BH=1-x
∵∠ODG=∠OCE
∴∠BDC-∠ODG=∠ACB-∠OCE
∴∠HDC=∠ECH
∵EH⊥BC
∴∠EHC=∠HCD=90°
∴△CHE∽△DCH
∴
∴HC2=EH·CD
得x2+x-1=0
解得，（舍去）
∴HC=
【点评】（1）根据正方形的性质，可根据三角形全等的判定（ASA）与性质求证即可；
（2）①同（1）中，利用上面的结论，根据SAS可证的结论；
②设CH=x，然后根据正方形的性质和相似三角形的判定与性质可得，然后列方程求解即可.
19．（2018?吉林）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．
/
【答案】证明见解析.
【解析】由正方形的性质可知AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，已知BE=CF，即可证明△ABE≌△BCF.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
在△ABE和△BCF中，
????=????,
∠??????=∠??????,
????=????.
∴△ABE≌△BCF．
【点评】本题主要是根据正方形的性质得到两个三角形中有关的角相等以及线段相等，充分运用全等三角形的判定方法证明两个三角形全等.
20．（2018?盘锦）如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM．
（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；
（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；
（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
/
【答案】（1）CM=EM，CM⊥EM，理由见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析；（3）（1）中的结论成立，理由见解析.
【解析】（1）延长EM交AD于H，证明△FME≌△AMH，得到HM=EM，根据等腰直角三角形的性质可得结论；
（2）根据正方形的性质得到点A、E、C在同一条直线上，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半证明即可；
（3）根据题意画出完整的图形，根据平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质证明即可．
解：（1）如图1，结论：CM=EM，CM⊥EM．
/
理由：∵AD∥EF，AD∥BC，
∴BC∥EF，
∴∠EFM=∠HBM，
在△FME和△BMH中，
∠??????＝∠??????
????＝????
∠??????＝∠??????
，，
∴△FME≌△BMH，
∴HM=EM，EF=BH，
∵CD=BC，
∴CE=CH，∵∠HCE=90°，HM=EM，
∴CM=ME，CM⊥EM．
（2）如图2，连接AE，
/
∵四边形ABCD和四边形EDGF是正方形，
∴∠FDE=45°，∠CBD=45°，
∴点B、E、D在同一条直线上，
∵∠BCF=90°，∠BEF=90°，M为AF的中点，
∴CM=
1
2
AF，EM=
1
2
AF，
∴CM=ME，
∵∠EFD=45°，
∴∠EFC=135°，
∵CM=FM=ME，
∴∠MCF=∠MFC，∠MFE=∠MEF，
∴∠MCF+∠MEF=135°，
∴∠CME=360°-135°-135°=90°，
∴CM⊥ME．
（3）如图3，连接CF，MG，作MN⊥CD于N，
/
在△EDM和△GDM中，
????＝????
∠??????＝∠??????
????＝????
，
∴△EDM≌△GDM，
∴ME=MG，∠MED=∠MGD，
∵M为BF的中点，FG∥MN∥BC，
∴GN=NC，又MN⊥CD，
∴MC=MG，
∴MD=ME，∠MCG=∠MGC，
∵∠MGC+∠MGD=180°，
∴∠MCG+∠MED=180°，
∴∠CME+∠CDE=180°，
∵∠CDE=90°，
∴∠CME=90°，
∴（1）中的结论成立．
【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
一、单选题
1．（2017·东兴模拟）如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是（ ）
/
A. 5：8 B. 3：4 C. 9：16 D. 1：2
【答案】A
【解析】通过拼接，阴影部分有10个小正方形，大正方形有16个小正方形，所以面积比为10:16=5:8选A.
【点评】通过拼补法即可得出二者的面积.
2．（2017·苏州二模）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则DM的长为（?? ）
/
A. +1????????????? B. +1??????????? C. 2?????????????? D. 2﹣
【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，△CDE为等边三角形，
∴CD＝CE＝CB，∠DCE＝60°，∠DCB＝90°，
∴∠BCE＝150°，
∴∠CBE＝15°，
∴∠ABM＝90°－15°＝75°，
过B作BF⊥AC于点F，如图，
/
∵∠BAC＝45°，
∴BF＝AB＝，
∴∠MBF＝75°－45°＝30°，
∴BM＝ BF÷ cos30°＝÷＝2，
∵M在AC上，
根据正方形的对称性可得：DM＝BM＝2，
故选C．
【点评】利用正方形的性质即可求解.
3．（201·西安模拟）如图，正方形中， 是对角线，将绕点顺时针旋转得到， 交于点，图中有几对全等三角形（ ）．
/
A. 对 B. 对 C. 对 D. 对
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴△ABD≌△CBD.
由旋转的性质得，△CBD≌GHD,DH=BD,DG=CD,
∴△ABD≌△GHD,
∴DH-AD=BD-DG,
∴AH=BG.
在△AHE和△BGE中，
∵∠AEH=∠BAG,
∠HAE=∠AGB=90°,
AH=BG,
∴△AHE≌△BGE,
∴有4对三角形全等.
故选C.
【点评】以正方形的性质为基础，借助旋转及全等即可得出结论.
4．（2017·江阴二模）如图，将正方形ABCD的一角折向边CD，使点A与CB上一点E重合，若BE=1，CE=2，则折痕FG的长度为（ ）
/
A. B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】如图：
/
过G作GM⊥AB于M，连接AE，
则MG=AD=AB，
∵将正方形ABCD的一角折向边CD，使点A与CB上一点E重合，
∴AE⊥GF，
∴∠FAE+∠AFG=∠AFG+∠MGF，
∴∠BAE=∠MGF，
在△ABE与△MGF中，
，
∴△ABE≌△GMF，
∴MF=BE=1，
∵MG=AD=BC=3，
∴FG==，
故选A.
【点评】利用轴对称的性质来证明全等是解题的关键.
5．（2017·宁波联考）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（ ）
/
A. B.
5
C. D.
【答案】A
【解析】连接AC、CF，根据正方形性质求出AC=?
2
，CF=3?
2
?，由∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF=?
??
??
2
+??
??
2
=
(
2
)
2
+
(3
2
)
2
=2
5
，
??
△??????
=
??
梯形????????
?
??
△??????
?
??
△??????
=3，即?
1
2
×2?
5
·CH=?3，解得CH=
3
5
5
?． 故选：A． 【点评】利用正方形的性质与勾股定理即可得出答案.
6．（2018?昆明模拟）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（ ）
/
A．（2，0） B．（1，1） C．（
2
，
2
） D．（2，2）
【答案】D
【解析】根据两图形成位似图形，则对应边成比例可得
????
????
=
1
2
，再根据已知点A的坐标，即可求出OD的长，结合正方形的性质就能得到点E的坐标.
解：∵A（1，0），
∴AO=1.
∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，相似比为1:2，
∴
????
????
=
1
2
∵OA=1，
∴OD=2.
∵四边形ODEF是正方形，
∴OD=DE，DE⊥OD.
∵OD=DE，OD=2，DE⊥OD，
∴点E的坐标为（2，2）.
故选:D.
【点评】考查位似图形的性质，数形结合是解题的关键.
7．（2018?余姚四模）如图，正方形ABCD的顶点C在正方形AEFG的边AE上，AB＝2，AE＝4
2
，则点G 到BE的距离是（ ）
/
A．
16
5
5
B．
36
2
5
C．
32
2
5
D．
18
5
5
【答案】A
【解析】根据平行线的判定，可得AB与GE的关系，根据平行线间的距离相等，可得△BEG与△AEG的关系，根据根据勾股定理，可得AH与BE的关系，再根据勾股定理，可得BE的长，根据三角形的面积公式，可得G到BE的距离．
解：连接GB、GE，
/
由已知可知∠BAE=45°．
又∵GE为正方形AEFG的对角线，
∴∠AEG=45°．
∴AB∥GE．
∵AE=4
2
，AB与GE间的距离相等，
∴GE=8，S△BEG＝S△AEG＝
1
2
SAEFG＝16．
过点B作BH⊥AE于点H，
∵AB=2，
∴BH＝AH＝
2
．
∴HE＝3
2
．
∴BE＝2
5
．
设点G到BE的距离为h．
∴S△BEG＝
1
2
?BE?h＝
1
2
×2
5
×h＝16．
∴h＝
16
5
5
．
即点G到BE的距离为
16
5
5
．
故选A．
【点评】本题主要考查了几何变换综合题．涉及正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等积式及四点共圆周的知识，综合性强．解题的关键是运用等积式及四点共圆的判定及性质求解．
8．（2018·温州模拟）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．如图是一个七巧板迷宫，它恰好拼成了一个正方形ABCD，其中点E，P分别是AD，CD的中点，AB=2
2
，一只蚂蚁从A处沿图中实线爬行到出口P处，则它爬行的最短路径长为（ ）
/
A．3 B．2+
2
C．4 D．3
2
【答案】B
【解析】由图可知，蚂蚁从点A处沿图中实线爬行到出口点P处，它爬行的最短路程为????+????．
解：∵正方形ABCD，E，P分别是AD，CD的中点，????=2
2
，
∴????=????=????=
2
，∠??=90°，
∴????=
??
??
2
+??
??
2
=
2
2
+
2
2
=2，
∴蚂蚁从点A处沿图中实线爬行到出口点P处，它爬行的最短路程为????+????=
2
+2．
故选：B．
【点评】考查正方形的性质以及七巧板的组成，熟练七巧板的结构是解题的关键.
9．（2018?周口模拟）如图，已知菱形ABCD，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ ）
/
A．16 B．12 C．24 D．18
【答案】A
【解析】由菱形ABCD，∠B=60°，易证得△ABC是等边三角形，继而可得AC=AB=4，则可求得以AC为边长的正方形ACEF的周长．
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC．
∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=BC=4，∴以AC为边长的正方形ACEF的周长为：4AC=16．
故选A．
【点评】本题考查了菱形的性质、正方形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
10．（2018?深圳押题）已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=
5
．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为
6
2
；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+
6
．其中正确结论的序号是（ ）
/
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【解析】①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；
③利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证；
④连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可．
解：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
∵在△APD和△AEB中，
????＝????
∠??????＝∠??????
????＝????
∴△APD≌△AEB（SAS）；
故此选项成立；
③∵△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB，
∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB⊥ED；
故此选项成立；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE=AP，∠EAP=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB=∠FBE=45°，
又∵BE=
??
??
2
???
??
2
=
3
，
∴BF=EF=
6
2
，
故此选项正确；
④如图，连接BD，在Rt△AEP中，
∵AE=AP=1，
∴EP=
2
，
又∵PB=
5
，
∴BE=
3
，
∵△APD≌△AEB，
∴PD=BE=
3
，
∴S△ABP+S△ADP=S△ABD﹣S△BDP=
1
2
S正方形ABCD﹣
1
2
×DP×BE=
1
2
×（4+
6
）﹣
1
2
×
3
×
3
=
1
2
+
6
2
．
故此选项不正确．
综上可知其中正确结论的序号是①②③，
//
故选：A．
【点评】考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理，综合性比较强，解题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题．
二、填空题
11．（2017·长春二模）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，
3
），则点C的坐标为_____．
/
【答案】（﹣
3
，1）
【解析】如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E．
/
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∵∠COE+∠AOF=90°，∠AOF+∠OAF=90°，
∴∠COE=∠OAF，
在△COE和△OAF中，
∠??????=∠??????=
90
0
∠??????=∠??????
????=????
，
∴△COE≌△OAF，
∴CE=OF，OE=AF，
∵A（1，
3
），
∴CE=OF=1，OE=AF=
3
，
∴点C坐标（﹣
3
，1），
故答案为（?
3
，1）．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，坐标与图形的性质，解题的关键是学会添加常用的辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.注意：距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号.
12．（2017·滨州模拟）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在边DC上，且DM=2，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为 ______ ．
/
【答案】10
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于直线AC对称，
连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，N′即为所求的点，
/
则BM的长即为DN+MN的最小值，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
又∵CM=CD-DM=8-2=6，
∴在Rt△BCM中，BM===10，
故答案为：10．
【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出M关于直线AC的对称点M′，由轴对称及正方形的性质判断出点M′在BC上是解答此题的关键．
13．（2017·广东预测）一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3、…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2016B2016C2016D2016的边长是_____．
/
【答案】（）2015．
【解析】解：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，
∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，
∴D1E1=C1D1sin30°=
1
2
，
则B2C2=
??
2
??
2
??????
30
0
=（
3
3
）1，
同理可得：B3C3=
1
3
=（
3
3
）2，
故正方形AnBnCnDn的边长是：（
3
3
）n﹣1，
则正方形A2016B2016C2016D2016的边长为：（
3
3
）2015，
故答案为：（
3
3
）2015．
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键．
14．（2018?银川一模）如图，正方形ABCD的面积为4，点F，G分别是AB，DC的中点，将点A折到FG上的点P处，折痕为BE，点E在AD上，则AE长为______．
/
【答案】
2
3
3
【解析】利用正方形ABCD的面积为4得到正方形ABCD的边长为2，再根据折叠的性质得BA＝BP＝2，∠ABE＝∠PBE；由于点F，G分别是AB，DC的中点，则FG⊥AB，BF＝1，在Rt△BPF中，由于PB＝4，BF＝2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到得到∠FPB＝30°，利用互余得∠ABP＝60°，则∠ABE＝30°，然后在Rt△ABE中根据含30度的直角三角形三边的关系求AE的长．
解：如图，
/
∵正方形ABCD的面积为4，
∴正方形ABCD的边长为2，
∵点A折到FG上的点P处，折痕为BE，
∴BA＝BP＝2，∠ABE＝∠PBE，
∵点F，G分别是AB，DC的中点，
∴FG⊥AB，BF＝1，
在Rt△BPF中，PB＝4，BF＝2，
∴∠FPB＝30°，
∴∠ABP＝60°，
∴∠ABE＝30°，
在Rt△ABE中，AE＝
3
3
AB＝
2
3
3
．
故答案为：
2
3
3
．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了正方形的性质和含30度的直角三角形三边的关系．
15．（2018?青海模拟）如图为两正方形ABCD、CEFG和矩形DFHI的位置图，其中D，A两点分别在CG、BI上，若AB=3，CE=5，则矩形DFHI的面积是_____．
/
【答案】
87
2
【解析】由题意先求出DG和FG的长，再根据勾股定理可求得DF的长，然后再证明△DGF∽△DAI，依据相似三角形的性质可得到DI的长，最后依据矩形的面积公式求解即可．
解：∵四边形ABCD、CEFG均为正方形，
∴CD=AD=3，CG=CE=5，
∴DG=2，
在Rt△DGF中， DF=
??
??
2
+??
??
2
=
2
2
+
5
2
=
29
，
∵∠FDG+∠GDI=90°，∠GDI+∠IDA=90°，
∴∠FDG=∠IDA．
又∵∠DAI=∠DGF，
∴△DGF∽△DAI，
∴
????
????
=
????
????
=
2
3
，即
29
????
=
2
3
，解得：DI=
3
29
2
，
∴矩形DFHI的面积/是=DF?DI=
29
×
3
29
2
=
87
2
，
故答案为：
87
2
．
【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握相关性质定理与判定定理是解题的关键．
16．（2018?包头二模）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH?PC
其中正确的是_____（填序号）
/
【答案】①②④
【解析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．
解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴BE=2AE；故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH；故②正确；
∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，
∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，
∴∠PFD≠∠PDB，
∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴
????
????
=
????
????
，
∴DP2=PH?PC，故④正确；
故答案是：①②④．
【点评】本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．
三、解答题
17．（2017·满洲里模拟）在正方形ABCD中，过点A引射线AH，交边CD于点H（点H与点D不重合），通过翻折，使点B落在射线AH上的点G处，折痕AE交BC于点E，延长EG 交CD于点F.如图①，当点H与点C重合时，易证得FG=FD（不要求证明）;如图②，当点H为边CD上任意一点时，求证：FG=FD.
【应用】在图②中，已知AB=5，BE=3，则FD= ，△EFC的面积为 .(直接写结果)
/
【答案】（1）证明见解析；（2）应用： ；
【解析】证明：（1）由翻折得AB=AG,∠AGE=∠ABE=90°
∴∠AGF=90°
由正方形ABCD得 AB=AD
∴AG=AD
在Rt△AGF和Rt△ADF中，
∴Rt△AGF ≌ Rt△ADF
∴FG=FD
（2）[应用]设FG=x，则FC=5-x，FE=3+x，
在Rt△ECF中，EF2=FC2+EC2，即（3+x）2=（5-x）2+22，
解得x=.
即FG的长为．
由（1）得：FD=FG=，FC=5-=，BC=AB=5，BE=3
∴EC=5-3=2
∴ΔEFC的面积=
【点评】由折叠的性质可得AB=AG=AD，∠AGF=∠AGE=∠B=∠D=90°,再结合AF为△AGF和△ADF的公共边，从而证明△AGF≌△ADF，从而得出结论．
[应用]设FG=x，则FC=5-x，FE=3+x，在Rt△ECF中利用勾股定理可求出x的值，进而可得出答案．
18．（2017·西安模拟）如图，正方形是绿地公园的一块空地，其边长为米．公园设计部门为了给儿童提供更舒适、更安全的活动场地，准备将空地中的四边形部分作为儿童活动区，并用围栏围挡起来，只留三个出入口，即点、点、点，而且根据实际需要，要使得，并将儿童活动区（即四边形）划分为和两种不同的游戏场地，儿童活动区之外的部分种植花草．
（）请直接写出线段， ， 之间的数量关系：__________．
（）如图②，若米，请你计算儿童活动区的面积．
（）请问是否存在一种设计方案，使得儿童活动区的面积最大？若存在，请求出儿童活动区面积的最大值；若不存在，请说明理由．
///
【答案】
【解析】解：正方形边长， ，
（）将旋转到与重合，
/
易证≌，
∴，
（）同理．将旋转至，
/
同上，此时， ， ，
∴，
．
∴．
（），
当时， ，
/
，
，
，
，
，
∴，
．
【点评】（1）由旋转的性质证明两个三角形全等，即可得出线段， ， 之间的数量关系；（2）同（1）可得，利用勾股定理求出a，即可求得儿童活动区的面积；（3）由两直线平行推出比例式，从而得出儿童活动区的面积最大．
19．（2018?北流一模）如图，已知ABCD是边长为3的正方形，点P在线段BC上，点G在线段AD上，PD＝PG，DF⊥PG于点H，交AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连接EF．
（1）求证：DF＝PG；
（2）若PC＝1，求四边形PEFD的面积．
/
【答案】（1）证明见解析；（2）8.
【解析】作PM⊥AD,在四边形ABCD和四边形ABPM证AD＝PM；DF⊥PG，得出∠GDH+∠DGH＝90°，推出∠ADF＝∠MPG；还有两个直角即可证明△ADF≌△MPG，从而得出对应边相等
（2）由已知得，DG＝2PC＝2；△ADF≌△MPG得出DF＝PD；根据旋转，得出∠EPG＝90°，PE＝PG从而得出四边形PEFD为平行四边形；根据勾股定理和等量代换求出边长DF的值；根据相似三角形得出对应边成比例求出GH的值，从而求出高PH 的值；最后根据面积公式得出
解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，
∵四边形ABPM为矩形，
∴AB＝PM，
∴AD＝PM，
∵DF⊥PG，
∴∠DHG＝90°，
∴∠GDH+∠DGH＝90°，
∵∠MGP+∠MPG＝90°，
∴∠GDH＝∠MPG，
在△ADF和△MPG中/，
∴△ADF≌△MPG（ASA），
∴DF＝PG；
（2）作PM⊥DG于M，如图，
∵PD＝PG，
∴MG＝MD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴PCDM为矩形，
∴PC＝MD，
∴DG＝2PC＝2；
∵△ADF≌△MPG（ASA），
∴DF＝PG，
而PD＝PG，
∴DF＝PD，
∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，
∴∠EPG＝90°，PE＝PG，
∴PE＝PD＝DF，
而DF⊥PG，
∴DF∥PE，
即DF∥PE，且DF＝PE，
∴四边形PEFD为平行四边形，
在Rt△PCD中，PC＝1，CD＝3，
∴PD＝/＝/，
∴DF＝PG＝PD＝/，
∵四边形CDMP是矩形，
∴PM＝CD＝3，MD＝PC＝1，
∵PD＝PG，PM⊥AD，
∴MG＝MD＝1，DG＝2，
∵∠GDH＝∠MPG，∠DHG＝∠PMG＝90°，
∴△DHG∽△PMG，
∴/，
∴GH＝/＝/，
∴PH＝PG﹣GH＝/﹣/＝/，
∴四边形PEFD的面积＝DF?PH＝/×/＝8．
/
【点评】本题考查了平行四边形的面积、勾股定理、相似三角形判定、全等三角形性质，本题的关键是求边长和高的值
20．（2018?宜春模拟）如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，连接AF．
（1）求∠EAF的度数；
（2）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．求证：BD=AF+2DM．
/
【答案】（1）∠EAF=135°．（2）详见解析.
【解析】（1）过点F作FM⊥AB并交AB的延长线于点M，只要证明△EBC≌△FME（AAS）即可解决问题； （2）过点F作FG∥AB交BD于点G．首先证明四边形ABGF为平行四边形，再证明△FGM≌△DMC（AAS）即可解决问题；
解：（1）解：过点F作FM⊥AB并交AB的延长线于点M，
/
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠M=∠CEF=90°，
∴∠MEF+∠CEB=90°，∠CEB+∠BCE=90°，
∴∠MEF=∠ECB，
∵EC=EF，
∴△EBC≌△FME（AAS）
∴FM=BE
∴EM=BC
∵BC=AB，
∴EM=AB，
∴EM﹣AE=AB﹣AE
∴AM=BE，
∴FM=AM，
∵FM⊥AB，
∴∠MAF=45°，
∴∠EAF=135°．
（2）证明：过点F作FG∥AB交BD于点G．
/
由（1）可知∠EAF=135°，
∵∠ABD=45°
∴∠EAF+∠ABD=180°，
∴AF∥BG，
∵FG∥AB，
∴四边形ABGF为平行四边形，
AF=BG，FG=AB，
∵AB=CD，
∴FG=CD，
∵AB∥CD，
∴FG∥CD，
∴∠FGM=∠CDM，
∵∠FMG=∠CMD
∴△FGM≌△CDM（AAS），
∴GM=DM，
∴DG=2DM，
∴BD=BG+DG=AF+2DM．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.
/
