中小学教育资源及组卷应用平台
第22讲简单的轴对称图形满分冲刺学案（教师版）
【经典例题】
考点一：等腰三角形
【例1】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，直线BD平分∠ABC交AC于点
D．求证：△ABD与△DBC都是等腰三角形；
【分析】:本题主要考查等腰三角形的性质和判定，掌握等腰三角形的性质和判定是解题的关键;（1）等腰三角形的性质及其判定：等边对等角等角对等边.（2）等腰三角形还有其它特征也要了解：如：①等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（“三线合一”）.②等腰三角形是轴对称图形.这对解题有帮助，本题可利用条件可求得∠1=∠2=36°，可得出AD=BD=BC，可证得结论；
【解答】证明：在△ABC中，
∵AB=AC， ∠A=36°
∴∠ABC=∠C=()=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2=36°，
∴∠BDC=∠C=72°，
AD=DB=BC
∴△ABD与△BDC都是等腰三角形；
【例2】如图，现给出四个论断：①DB=DE；②CE=CD；③BD是△ABC的中线；④△ABC是
等边三角形．请以其中的三个为条件，余下的一个为结论，组成一个正确的命题（只需
写出一种），并给予证明．
已知：___________，____________；_________．
求证:________________.
证明：
【分析】:本题是一道开放性的题目．考查了三角形的外角性质；等腰三角形的性质；
等边三角形的判定与性质等知识点的应用，培养了学生的发散思维的能力．解题关键是
要对以上性质和定理理解和熟练运用:根据等边三角形性质推出AB=BC，∠ABC=∠
ACB=，根据等腰三角形性质可求出∠DBC=30°，∠E=∠CDE，根据三角形外角性质（或
三角形内角和定理）求出∠E=30°，从而推出∠E=∠DBE即可．
【解答】解：证明：∵三角形ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD是△ABC的中线，
∴∠DBC=∠ABC=30°，
∵CD=CE，
∴∠E=∠CDE，
∵∠E+∠CDE=∠ACB=60°，
∴∠E=30°，
∴∠E=∠DBE，
∴DB=DE．
故答案为：△ABC是等边三角形，BD是△ABC的中线，CD=CE，DB=DE．
考点二：线段的垂直平分线
【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，直线DE垂直平分AB，若∠A=40°，则
（1）求∠DBC的度数；
（2）若AB=12，BC=7，求△BCD的周长．
【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等
角的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．（1）先根据三角形内角和等于180°
求出∠ABC，再根据等边对等角求出∠ABD，然后求解即可；
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得①AD=BD，②等量代换得出△BDC的周长=BD+DC+BC=AC+BC，③代入数据进行计算即可得解（代入求值）．
【解答】解：（1）∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=（180°-∠A）=（180°-40°）=70°，
∵DE垂直平分AB
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=40°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴△BDC的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，
∵AC=12，BC=7，
∴△BDC的周长=12+7=19．
考点三：角平分线
【例4】如图，在△ABC中，∠B=90°．
（1）作∠BAC的平分线AD，交BC于D；
（2）若AC=10cm，BD=4cm，求△ADC的面积．
【分析】:本题考查了角平分线作法，角平分线的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．（1）根据三角形角平分线的定义，即可得到AD；
（2）过D作DE⊥AC于E，根据角平分线的性质得到DE=BD=4，由三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，AD即为所求；
（2）如图，过D作DE⊥AC于E，
∵AD平分∠BAC，∠B=90°
∴DE=BD=4，
∴=AC×DE=×10×4=20cm2．
【知识巩固】
1. 如果等腰三角形有两条边长分别为2cm和3cm，那么它的周长是________．
解：当2是腰时，2，2，3能组成三角形，周长=3+2+2=7（cm）；
当3是腰时，3，3，2能够组成三角形，周长=3+3+2=8（cm），．
综上所述，周长为7cm或8cm，
故答案为：7cm或8cm．
2.等腰三角形的底角为65°，则它的顶角为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
解：∵等腰三角形的底角为65°， 从而得到它的顶角=180°-65°-65°=50°，
故选：B．
3.如图，OP平分∠MON，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A、B．若PA=6，则PB为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
解：∵OP平分∠MON，PA⊥OM，PB⊥ON，
∴PB=PA=6，
故选：C．
4.下列说法：
①等边三角形的三个内角都相等；
②等边三角形的每一个角都等于60°；
③三个角都相等的三角形是等边三角形；
④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．其中，正确说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：①等边三角形的三个内角都相等；正确；
②等边三角形的每一个角都等于60°；正确；
③三个角都相等的三角形是等边三角形；正确；
④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．正确；
故选：D．
5.如图，在△ABC中，AB=AC=20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为（ ）
A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm
解：∵△DBC的周长=BC+BD+CD=35cm（已知）
∵DE垂直平分AB
∴AD=BD（线段垂直平分线的性质）
故BC+AD+CD=35cm
∵AC=AD+DC=20（已知）
∴BC=35-20=15cm．
故选：C．
6. △ABC中，AB=AC，利用尺规作AB边上的垂直平分线MN与∠BAC的角平分线AD，两线交于点P．（保留作图痕迹，不写作法）
解：如图所示，点P就是所要求作的一点．
7. 如图，已知等边△ABC，D、E分别在 BC、AC上，且BD=CE，连接BE、AD交于F点．
求证：∠AFE=60°．
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABD=∠BCE=60°，
在△ABD和△BCE中，，
∴△ABD≌△BCE（SAS）；
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠ABD，
∴∠BFD=∠ABD=∠AFE=60°．
8.如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，BC=4cm，AD是∠CAB的平分
线，与BC交于D，DE⊥AB于E，则
（1）图中与线段AC相等的线段是______；
（2）与线段CD相等的线段是________；
（3）△DEB的周长为______cm．
解：（1）AD是∠CAB的平分线，得
∠C=90°,DE⊥AB,得
在△ACD和△AED中，∴△ACD≌△AED，得AE=AC，
故答案为：AE；
（2）∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，得DE=CD，
故答案为：DE；
（3）∵AB=5cm，AC=3cm，AE=AC，得BE=AB-AE=2cm，
∴△DEB的周长=DE+DB+BE=CD+DB+BE=CB+BE=6cm，
故答案为：6．
9. 如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG//AC交BC于G）
证明：过点D作DG//AC交BC于点G，如图所示．
∵DG//AC，
∴∠GDF=∠E，∠DGB=∠ACB．
在△GDF和△CEF中，，∴△GDF≌△CEF（ASA），即GD=CE．
∵BD=CE，
∴BD=GD，
∴∠B=∠DGB=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
10.如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD//AB，OE//AC
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC=10，求△ODE的周长．
解：（1）△ODE是等边三角形；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°；
∵OD//AB，OE//AC，
∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°，从而可计算得
∴△ODE为等边三角形．
（2）∵OB平分∠ABC，OD//AB，
∴∠ABO=∠DOB，∠ABO=∠DBO，
∴∠DOB=∠DBO，
∴BD=OD；同理可证CE=OE；
∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+EC=BC=10．
【培优特训】
11.如图是一个三角形测平架，已知AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤DE，让其自然下垂，调整架身，使点A恰好在重锤线上，这时AD和BC的位置关系为_______．
解：∵在三角测平架中，AB=AC，D为BC中点
∴AD为等腰△ABC的底边BC上的高，
又AD自然下垂，
∴BC处于水平位置．
∴AD垂直平分BC，
故答案为：AD垂直平分BC．
12.如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方？
（1）使从A、B到它的距离相等．
（2）使从A、B到它的距离之和最短．
解：（1）如图1所示：点P即为所求；
（2）如图2所示：点M即为所求．
13.如图，在△ABC中，∠BAC是钝角，按要求完成下列画图．（不写作法，保留作图痕迹，并分别写出结论）
①用尺规作∠BAC的角平分线AE．
②用三角板作AC边上的高BD．
③用尺规作AB边上的垂直平分线MN．
解：如图所示：
．
14. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5cm，△ABD的周长为17cm，求△ABC的周长．
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，AC=2AE=10cm，
∵△ABD的周长为17cm，
∴AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=17cm，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=27cm．
15. 在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，那么点C的个数是_______．
解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故答案为：8．
16.在一张长为8cm，宽为6cm的矩形纸片上，要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合，其余的两个顶点都在矩形的边上）．这个等腰三角形有几种剪法？（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：有3种情况：
①当∠A为顶角时，如图1，此时AE=AF=5cm．
②当∠A为底角时，有两种情况：如图2，图3，
此时AE=EF=5cm．
故选：C．
17.在等腰三角形ABC中，
（1）若∠A=110°，则∠B=_____度；
（2）若∠A=40°，则∠B=________度．
通过上述解答，发现∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A=α，求∠B的度数（用含α的式子表示）．请你根据∠B的度数的个数探索α的取值范围．
解：（1）∵∠A=110°＞90°，
∴∠A为顶角，
∴∠B=∠C=35°；
故答案为：35；
（2）若∠A为顶角，则∠B=（180°-∠A）=70°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°-2×40°=100°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=40°；
故∠B=70或100或40；
分两种情况：
①当90°≤α＜180°时，∠A只能为顶角，
∴∠B的度数只有一个；
②当0°＜α＜90°时，
若∠A为顶角，则∠B=（180°-α）=90°-α；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=（180-2α）°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=α．
当90°-α≠180°-2α且180°-2α≠α且90°-α≠α，
即α≠60°时，∠B有三个不同的度数．
∴当0°＜α＜90°且α≠60°时，∠B有三个不同的度数．
综上所述，当90°≤α＜180°时，∠B的度数只有一个；当0°＜α＜90°且α≠60°时，∠B有三个不同的度数．
18.如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线．
（1）若∠B=60°，求∠C的值；
（2）求证：AD是∠EAC的平分线．
【解答】（1）解：∵∠B=60°，∠BDA=∠BAD，
∴∠BAD=∠BDA=60°，
∴AB=AD，
∵CD=AB，
∴CD=AD，
∴∠DAC=∠C，
∴∠BDA=∠DAC+∠C=2∠C，
∵∠BDA=60°，
∴∠C=30°；
（2）证明：延长AE到M，使EM=AE，连接DM，
在△ABE和△MDE中，，∴△ABE≌△MDE，得∠B=∠MDE，AB=DM，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠MDE+∠BDA=∠ADM，
在△MAD与△CAD，，∴△MAD≌△CAD，得∠MAD=∠CAD，
∴AD是∠EAC的平分线．
【中考链接】
19.如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长度是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
解：∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF=6，
故选：D．
20.如图，AB//CD，AD=CD，∠1=65°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．65° D．70°
解：∵AB//CD，
∴∠1=∠ACD=65°，
∵AD=CD，
∴∠DCA=∠CAD=65°，
∴∠2的度数是：180°-65°-65°=50°．
故选：A．
21.如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC=45°，
∴∠ECB=45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，
故选：A．
22.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD为（ ）
A．50° B．70° C．75° D．80°
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=25°，
∵∠B=60°，∠C=25°，
∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°，
故选：B．
23. 如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=_______．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC．
又点D是边BC的中点，
∴∠BAD=∠BAC=30°．
故答案是：30°．
24. 如图，AB//CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB//CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4．
故选：C．
25.如图，AD//BC，BD平分∠ABC．求证：AB=AD．
证明：∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD．
26.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足．
求证：DE=DF．
证明：∵AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠B=∠C，BD=DC，∠BED=∠CFD=90°．
∴△BDE≌△CDF（AAS）．
∴DE=DF．
27.在一次数学课上，王老师在黑板上画出图，如图，并写下了四个等式：①AB=DC，②BE=CE，③∠B=∠C，④∠BAE=∠CDE．要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）
解：已知：①③（或①④，或②③，或②④）
证明：在△ABE和△DCE中，
∵，得△ABE≌△DCE，
∴AE=DE，即△AED是等腰三角形．
28.如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．
（1）求证：AE=BD； （2）求证：MN//AB．
证明：（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，
∵∠DCA=∠ECB=60°，
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，
在△ACE与△DCB中，
∵，得△ACE≌△DCB，即有AE=BD；
（2）∵由（1）得，△ACE≌△DCB，
∴∠CAM=∠CDN，
∵∠ACD=∠ECB=60°，而A、C、B三点共线，
∴∠DCN=60°，
在△ACM与△DCN中，
∵，从而得△ACM≌△DCN（ASA），∴MC=NC，
∵∠MCN=60°，
∴△MCN为等边三角形，
∴∠NMC=∠DCN=60°，
∴∠NMC=∠DCA，
∴MN//AB．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
中小学教育资源及组卷应用平台
第22讲简单的轴对称图形满分冲刺学案（学生版）
【经典例题】
考点一：等腰三角形
【例1】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，直线BD平分∠ABC交AC于点
D．求证：△ABD与△DBC都是等腰三角形；
【分析】:本题主要考查等腰三角形的性质和判定，掌握等腰三角形的性质和判定是解题的关键;（1）等腰三角形的性质及其判定：等边对等角等角对等边.（2）等腰三角形还有其它特征也要了解：如：①等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（“三线合一”）.②等腰三角形是轴对称图形.这对解题有帮助，本题可利用条件可求得∠1=∠2=36°，可得出AD=BD=BC，可证得结论；
【解答】证明：在△ABC中，
∵AB=AC， ∠A=36°
∴∠ABC=∠C=()=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2=36°，
∴∠BDC=∠C=72°，
AD=DB=BC
∴△ABD与△BDC都是等腰三角形；
【例2】如图，现给出四个论断：①DB=DE；②CE=CD；③BD是△ABC的中线；④△ABC是
等边三角形．请以其中的三个为条件，余下的一个为结论，组成一个正确的命题（只需
写出一种），并给予证明．
已知：___________，____________；_________．
求证:________________.
证明：
【分析】:本题是一道开放性的题目．考查了三角形的外角性质；等腰三角形的性质；
等边三角形的判定与性质等知识点的应用，培养了学生的发散思维的能力．解题关键是
要对以上性质和定理理解和熟练运用:根据等边三角形性质推出AB=BC，∠ABC=∠
ACB=，根据等腰三角形性质可求出∠DBC=30°，∠E=∠CDE，根据三角形外角性质（或
三角形内角和定理）求出∠E=30°，从而推出∠E=∠DBE即可．
【解答】解：证明：∵三角形ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD是△ABC的中线，
∴∠DBC=∠ABC=30°，
∵CD=CE，
∴∠E=∠CDE，
∵∠E+∠CDE=∠ACB=60°，
∴∠E=30°，
∴∠E=∠DBE，
∴DB=DE．
故答案为：△ABC是等边三角形，BD是△ABC的中线，CD=CE，DB=DE．
考点二：线段的垂直平分线
【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，直线DE垂直平分AB，若∠A=40°，则
（1）求∠DBC的度数；
（2）若AB=12，BC=7，求△BCD的周长．
【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等
角的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．（1）先根据三角形内角和等于180°
求出∠ABC，再根据等边对等角求出∠ABD，然后求解即可；
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得①AD=BD，②等量代换得出△BDC的周长=BD+DC+BC=AC+BC，③代入数据进行计算即可得解（代入求值）．
【解答】解：（1）∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=（180°-∠A）=（180°-40°）=70°，
∵DE垂直平分AB
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=40°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴△BDC的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，
∵AC=12，BC=7，
∴△BDC的周长=12+7=19．
考点三：角平分线
【例4】如图，在△ABC中，∠B=90°．
（1）作∠BAC的平分线AD，交BC于D；
（2）若AC=10cm，BD=4cm，求△ADC的面积．
【分析】:本题考查了角平分线作法，角平分线的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．（1）根据三角形角平分线的定义，即可得到AD；
过D作DE⊥AC于E，根据角平分线的性质得到DE=BD=4，由三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，AD即为所求；
（2）如图，过D作DE⊥AC于E，
∵AD平分∠BAC，∠B=90°
∴DE=BD=4，
∴=AC×DE=×10×4=20cm2．
【知识巩固】
如果等腰三角形有两条边长分别为2cm和3cm，那么它的周长是________．
2.等腰三角形的底角为65°，则它的顶角为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
3.如图，OP平分∠MON，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A、B．若PA=6，则PB为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4.下列说法：
①等边三角形的三个内角都相等；
②等边三角形的每一个角都等于60°；
③三个角都相等的三角形是等边三角形；
④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．其中，正确说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5.如图，在△ABC中，AB=AC=20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为（ ）
A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm
△ABC中，AB=AC，利用尺规作AB边上的垂直平分线MN与∠BAC的角平分线AD，两线交于点P．（保留作图痕迹，不写作法）
如图，已知等边△ABC，D、E分别在 BC、AC上，且BD=CE，连接BE、AD交于F点．
求证：∠AFE=60°．
8.如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，BC=4cm，AD是∠CAB的平分
线，与BC交于D，DE⊥AB于E，则
（1）图中与线段AC相等的线段是______；
（2）与线段CD相等的线段是________；
（3）△DEB的周长为______cm．
如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG//AC交BC于G）
10.如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD//AB，OE//AC
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC=10，求△ODE的周长．
【培优特训】
11.如图是一个三角形测平架，已知AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤DE，让其自然下垂，调整架身，使点A恰好在重锤线上，这时AD和BC的位置关系为_______．
12.如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方？
使从A、B到它的距离相等．
（2）使从A、B到它的距离之和最短．
13.如图，在△ABC中，∠BAC是钝角，按要求完成下列画图．（不写作法，保留作图痕迹，并分别写出结论）
①用尺规作∠BAC的角平分线AE．
②用三角板作AC边上的高BD．
③用尺规作AB边上的垂直平分线MN．
如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5cm，△ABD的周长为17cm，求△ABC的周长．
在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，那么点C的个数是_______．
16.在一张长为8cm，宽为6cm的矩形纸片上，要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合，其余的两个顶点都在矩形的边上）．这个等腰三角形有几种剪法？（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
17.在等腰三角形ABC中，
（1）若∠A=110°，则∠B=_____度；
（2）若∠A=40°，则∠B=________度．
通过上述解答，发现∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A=α，求∠B的度数（用含α的式子表示）．请你根据∠B的度数的个数探索α的取值范围．
18.如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线．
（1）若∠B=60°，求∠C的值；
（2）求证：AD是∠EAC的平分线．
【中考链接】
19.如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长度是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
20.如图，AB//CD，AD=CD，∠1=65°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．65° D．70°
21.如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
22.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD为（ ）
A．50° B．70° C．75° D．80°
如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=_______．
如图，AB//CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
25.如图，AD//BC，BD平分∠ABC．求证：AB=AD．
26.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足．
求证：DE=DF．
27.在一次数学课上，王老师在黑板上画出图，如图，并写下了四个等式：①AB=DC，②BE=CE，③∠B=∠C，④∠BAE=∠CDE．要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）
28.如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．
（1）求证：AE=BD； （2）求证：MN//AB．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
