17.1 勾股定理（3）课件
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(共26张PPT)
人教版数学八年级下册
17.1勾股定理（3）
在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
A
B
C
A
B
C′
′
′
新知导入
′
′
′
′
′
′
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△ABC 中，∠C=∠C'
=90°，AB=A'B' ，AC=A'C'．
求证：△ABC≌△A'B'C'．
在Rt△ABC 和
Rt△A B C 中，∠C=∠C′
=90°，根据勾股定理，得
′
′
′
A
B
C
A
B
C′
′
′
新知讲解
证明：
∴△ABC≌△A'B'C'
（SSS）
步骤：
l
A
B
4
0
1
2
3
C
1、在数轴上找到点A,使OA=3;
2、过点A作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2;
3、以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示 的点。
新知讲解
0
1
2
3
4
l
A
B
C
√
√
0
1
2
3
4
A
B
C
新知讲解
你能在数轴上画出表示 的点和 的点吗？
-1 0 1 2 3
新知讲解
你能在数轴上表示出 的点吗？ 呢？
在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案。
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
第七届国际数学
教育大会的会徽
1
数学海螺图
新知讲解
例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，S△ABC =30cm2。
A
B
C
12
S=30
5
根据题意画图题
新知讲解
（1）求边AB的长；
（2）求斜边AB上的高。
解：
（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得
D
（2）∵S△ABC=AC×BC÷2
S△ABC=AB×CD÷2
∴AC×BC=AB×CD
即5×12=13CD
∴CD=
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=50cm，BC=
30cm，CD⊥AB于D，求CD的长。
A
B
C
D
方法1：利用面积相等
方法2：利用勾股定理
建立方程
新知讲解
24cm
例2 在等腰△ABC中，腰AB=10cm，底BC=16cm，求底边BC上的高AD。
A
B
C
D
新知讲解
解：
依题意AC=AB=10cm.
又∵AD⊥BC
∴BD= BC=8cm
在Rt△ABD中，由勾股定理得
在等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm ，BC=10cm,求△ABC的面积和AC边上的高。
D
A
B
C
13
13
10
H
新知讲解
例3 如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积。
A
B
C
15
14
13
D
方法：利用勾股定理建立方程
新知讲解
14-x
x
解：
在Rt△ABD中，
在Rt△ACD中，
设CD=x，那么BD=14-x.
解得x=5
例4 如图，有一块直角三角形纸板ABC，两直角边AC
=6，BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且点C落到点E处，求CD的长。
拓展提高
x
x
8-x
解:
C
A
B
D
E
6
8
4
6
由折叠可知AE=AC=6,
DE=DC,DE⊥AB。
在Rt△ABC中，由勾股定理得
∴BE=AB-AE=4
在Rt△BDE中，由勾股定理得
解得x=3
设CD=x.
即CD的长为3.
如图，矩形纸片ABCD的长AD＝9cm，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，求折叠后DE和折痕EF的长．
D
A
B
C
E
F
G
拓展提高
小结：折叠问题里通常隐含了全等形，因此会产生很多相等的角和线段，要注意发掘，这些都是解题的关键。
例5 如图，∠ACB=∠ABD=90°，CA=CB，∠DAB=
30°，AD=8，求AC的长。
解：
∵∠ABD=90°，∠DAB=30°
∴BD= AD=4
在Rt△ABD中
,根据勾股定理
在Rt△ABC中，
又AD=8
A
B
C
D
30°
8
拓展提高
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是BC边上的一点，且BD=AD=10，∠ADC=60° ，求△ABC的面积．
A
60°
C
B
D
拓展提高
小结：含特殊角的直角三角形也是常考查的对象。
30°所对的直角边是斜边的一半，长直角边等于短直角边的 倍；含45°的直角三角形两直角边相等，斜边等于直角边的 倍。
例6 如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上，求证：AD2-AB2=BD·CD
A
B
C
D
证明：
过A作AE⊥BC于E
E
∵AB=AC，∴BE=CE
在Rt △ADE中，
AD2=AE2+DE2
在Rt △ABE中，
AB2=AE2+BE2
∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)
= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
= (DE+CE)·( DE- BE)
=BD·CD
拓展提高
如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB
=∠ECD =90°，D为AB边上一点．
求证：AD2 +DB2 =DE2．
证明：∵ ∠ACB =∠ECD，
∴ ∠ACD +∠BCD=∠ACD +∠ACE ，
∴ ∠BCD =∠ACE．
又 BC=AC， DC=EC，
∴ △ACE≌△BCD．
A
B
C
D
E
拓展提高
例7 如图，D(2,1),以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个 写出落在x轴上的顶点坐标.
Ｏ
Ｄ
⌒
Ｃ
Ｅ
Ｆ
Ｈ
x
y
拓展提高
（1）本节课学习了勾股定理哪几方面的应用？
（2）你能说说勾股定理求线段长的基本思路吗？
（3）本节课体现出哪些数学思想方法？
课堂总结
2.如图，在△ABC中，AB=15，AC= 20，BC边上的高AD=12，求BC的长。
C
A
B
D
当堂检测
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=8，c=17，求△ABC的周长和△ABC的面积。
A
B
D
C
3.如图，等边△ABC，高AD=6。（1）求等边三角形的边长；（2）求△ABC的面积。
60
25
4.已知等边三角形ABC的边长是6cm，(1)求高AD的长；(2)S△ABC。
A
B
C
D
解：(1)
∵△ABC是等边三角形，AD是高
在Rt△ABD中
, ∠ADB = 90°
若等边三角形的边长是a呢？
当堂检测
A
B
C
D
E
F
5.如右图将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F处,已知CE=3,AB=8,则BF=___。
6
当堂检测
6.已知，在△ABC中，∠C=900，AC=5cm,BC=10cm,将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE.求CD的长度.
必做题：教材第29页习题17.1第11、12题.
选做题： 教材习题17.1第14题.
作业布置
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人教版数学八年级下册
17.1勾股定理（3）
在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
A
B
C
A
B
C′
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新知导入
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已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△ABC 中，∠C=∠C'
=90°，AB=A'B' ，AC=A'C'．
求证：△ABC≌△A'B'C'．
在Rt△ABC 和
Rt△A B C 中，∠C=∠C′
=90°，根据勾股定理，得
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B
C′
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新知讲解
证明：
∴△ABC≌△A'B'C'
（SSS）
步骤：
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A
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C
1、在数轴上找到点A,使OA=3;
2、过点A作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2;
3、以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示 的点。
新知讲解
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新知讲解
你能在数轴上画出表示 的点和 的点吗？
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新知讲解
你能在数轴上表示出 的点吗？ 呢？
在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案。
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第七届国际数学
教育大会的会徽
1
数学海螺图
新知讲解
例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，S△ABC =30cm2。
A
B
C
12
S=30
5
根据题意画图题
新知讲解
（1）求边AB的长；
（2）求斜边AB上的高。
解：
（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得
D
（2）∵S△ABC=AC×BC÷2
S△ABC=AB×CD÷2
∴AC×BC=AB×CD
即5×12=13CD
∴CD=
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=50cm，BC=
30cm，CD⊥AB于D，求CD的长。
A
B
C
D
方法1：利用面积相等
方法2：利用勾股定理
建立方程
新知讲解
24cm
例2 在等腰△ABC中，腰AB=10cm，底BC=16cm，求底边BC上的高AD。
A
B
C
D
新知讲解
解：
依题意AC=AB=10cm.
又∵AD⊥BC
∴BD= BC=8cm
在Rt△ABD中，由勾股定理得
在等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm ，BC=10cm,求△ABC的面积和AC边上的高。
D
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B
C
13
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新知讲解
例3 如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积。
A
B
C
15
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13
D
方法：利用勾股定理建立方程
新知讲解
14-x
x
解：
在Rt△ABD中，
在Rt△ACD中，
设CD=x，那么BD=14-x.
解得x=5
例4 如图，有一块直角三角形纸板ABC，两直角边AC
=6，BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且点C落到点E处，求CD的长。
拓展提高
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8-x
解:
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A
B
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由折叠可知AE=AC=6,
DE=DC,DE⊥AB。
在Rt△ABC中，由勾股定理得
∴BE=AB-AE=4
在Rt△BDE中，由勾股定理得
解得x=3
设CD=x.
即CD的长为3.
如图，矩形纸片ABCD的长AD＝9cm，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，求折叠后DE和折痕EF的长．
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G
拓展提高
小结：折叠问题里通常隐含了全等形，因此会产生很多相等的角和线段，要注意发掘，这些都是解题的关键。
例5 如图，∠ACB=∠ABD=90°，CA=CB，∠DAB=
30°，AD=8，求AC的长。
解：
∵∠ABD=90°，∠DAB=30°
∴BD= AD=4
在Rt△ABD中
,根据勾股定理
在Rt△ABC中，
又AD=8
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拓展提高
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是BC边上的一点，且BD=AD=10，∠ADC=60° ，求△ABC的面积．
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拓展提高
小结：含特殊角的直角三角形也是常考查的对象。
30°所对的直角边是斜边的一半，长直角边等于短直角边的 倍；含45°的直角三角形两直角边相等，斜边等于直角边的 倍。
例6 如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上，求证：AD2-AB2=BD·CD
A
B
C
D
证明：
过A作AE⊥BC于E
E
∵AB=AC，∴BE=CE
在Rt △ADE中，
AD2=AE2+DE2
在Rt △ABE中，
AB2=AE2+BE2
∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)
= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
= (DE+CE)·( DE- BE)
=BD·CD
拓展提高
如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB
=∠ECD =90°，D为AB边上一点．
求证：AD2 +DB2 =DE2．
证明：∵ ∠ACB =∠ECD，
∴ ∠ACD +∠BCD=∠ACD +∠ACE ，
∴ ∠BCD =∠ACE．
又 BC=AC， DC=EC，
∴ △ACE≌△BCD．
A
B
C
D
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拓展提高
例7 如图，D(2,1),以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个 写出落在x轴上的顶点坐标.
Ｏ
Ｄ
⌒
Ｃ
Ｅ
Ｆ
Ｈ
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拓展提高
（1）本节课学习了勾股定理哪几方面的应用？
（2）你能说说勾股定理求线段长的基本思路吗？
（3）本节课体现出哪些数学思想方法？
课堂总结
2.如图，在△ABC中，AB=15，AC= 20，BC边上的高AD=12，求BC的长。
C
A
B
D
当堂检测
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=8，c=17，求△ABC的周长和△ABC的面积。
A
B
D
C
3.如图，等边△ABC，高AD=6。（1）求等边三角形的边长；（2）求△ABC的面积。
60
25
4.已知等边三角形ABC的边长是6cm，(1)求高AD的长；(2)S△ABC。
A
B
C
D
解：(1)
∵△ABC是等边三角形，AD是高
在Rt△ABD中
, ∠ADB = 90°
若等边三角形的边长是a呢？
当堂检测
A
B
C
D
E
F
5.如右图将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F处,已知CE=3,AB=8,则BF=___。
6
当堂检测
6.已知，在△ABC中，∠C=900，AC=5cm,BC=10cm,将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE.求CD的长度.
必做题：教材第29页习题17.1第11、12题.
选做题： 教材习题17.1第14题.
作业布置
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站
有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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