2018-2019学年黑龙江省哈尔滨四十九中八年级（上）期中数学试卷（五四学制）（pdf版，含答案解析）

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2018-2019 学年黑龙江省哈尔滨四十九中八年级（上）期中数学试卷（五四学制）

一、选择题（每小题 3 分，共计 30 分）
1．（3 分）下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3 分）点 P（1，﹣2）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣2，1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）
3．（3 分）已知等腰三角形有一个角为 100°，那么它的底角为（ ）
A．100° B．40° C．50° D．80°
4．（3 分）多项式 8a
3
b
2
+12ab
3
c 的公因式是（ ）
A．abc B．4ab
2
C．ab
2
D．4ab
2
c
5．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．a
3
+a
4
＝a
7
B．（﹣a
3
）?a
3
＝a
6

C．（﹣x
2
）
3
＝﹣x
6
D．（﹣x）
2
?x＝x
4

6．（3 分）下列从左到右的变形是分解因式的是（ ）
A．3x+3y﹣5＝3（x+y）﹣5 B．（x+1）（x﹣1）＝x
2
﹣1
C．x
2
﹣9＝（x+3）（x﹣3） D．x+1＝x（x+ ）
7．（3 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD 分别是△ABC 的角平分线，则图中与∠A 相等的角共有
（ ）

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
8．（3 分）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a
2
+（﹣b）
2
B．5m
2
﹣20mn C．﹣x
2
﹣y
2
D．﹣x
2
+9
9．（3 分）若（x﹣2）（x+3）＝x
2
+ax+b，则 a、b 的值分别为（ ）
A．a＝5，b＝6 B．a＝1，b＝﹣6 C．a＝1，b＝6 D．a＝5，b＝﹣6

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10．（3 分）下列命题正确的是（ ）
①有两个角为 60°三角形一定是等边三角形；②等腰三角形顶角的外角是底角的二倍；③3
0
＝3；④等腰三角形
的角分线，高线，中线相互重合．
A．①② B．②③ C．①③ D．①④
二、填空题（每小题 3 分，共计 30 分）
11．（3 分）等腰三角形的两边长为 6 和 3，则它周长是 ．
12．（3 分）多项式 a
2
﹣2a+m 是完全平方式，则 m＝ ．
13．（3 分）将多项式﹣5a
2
+3ab 提出公因式﹣a 后，另一个因式是 ．
14．（3 分）计算（2×10
3
）×（3×10
5
）＝ ．
15．（3 分）若 10
x
＝4，10
y
＝7，则 10
x+y
＝ ．
16．（3 分）已知 a+b＝3，ab＝2，则 a
2
+b
2
的值为 ．
17．（3 分）如图所示，△ABC 中，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，延长 CB 至 D，使 DB＝BA，延长 BC 至 E，使
CE＝CA，连接 AD、AE，则∠D＝ 度，∠E＝ 度，∠DAE＝ 度．

18．（3 分）在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC 交 BC 于点 D，BD＝1，则 BC 的长＝ ．

19．（3 分）等腰三角形有一内角的度数为 50°，一腰的垂直平分线与另一腰所在直线相交所成的锐角的度数
为 ．
20．（3 分）在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点 D 在 CB 上，连接 AD，EA⊥AD，∠ACE＝∠ABD，若点 F
为 CD 中点，AF 交 BE 于点 G，∠CBE＝15°，AG＝3 ，则 BC 的长为 ．

三、解答题（21 题 6 分，22--24 每题 8 分，25--27 每题 10 分）
21．（6 分）计算：

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（1）﹣ xy?（2x
2
y﹣3xy
2
）
（2）（12a
3
﹣6a
2
+3a）÷3a．
22．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点 A、B、C 坐标分别为（﹣3，2），（﹣4，﹣3），（﹣1，﹣1）．
（1）画出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1；（A、B、C 的对称点分别为 A1、B1、C1）
（2）写出△A1B1C1 各顶点 A1、B1、C1 的坐标．A1 、B1 、C1
（3）直接写出△ABC 的面积＝ ．

23．（8 分）先化简，再求值（2x+3y）（2x﹣3y）﹣（2x﹣y）
2
，其中 x＝﹣ ，y＝ ．
24．（8 分）已知：在△ABC 中 AB＝AC，D、E 分别在 AC、AB 上，且 BE＝CD，BD 与 CE 交于点 F，连接 AF 交
BC 于 G
（1）如图 1，求证：AG⊥BC；
（2）如图 2，当 BD⊥AC 时，直接写出所有等于 ∠BAC 的角．

25．（10 分）阅读材料并解决问题：
我们已经知道完全平方公式：（a+b）
2
＝a
2
+2ab+b
2
可以用平面几何图形拼图来表示面积，实际上还有一些多项式乘
法也可以用这种拼图形式来表示结果，例如：（a+2b）（a+b）＝a
2
+3ab+2b
2
就可以用图甲中的①、②、③表示
图乙或图丙图形的面积．
（1）画出一个新几何图形，使它的面积能表示：（a+2b）（a+b）＝a
2
+3ab+2b
2
（注意在图中标出①②③）
（2）请你写出图丁所表示的整式乘法及其结果；
（ 3）请仿照上述方法另写一个含有 a、 b 的整式乘法及其结果为 2a
2
+5ab+2b
2
，并画出与之相应几何

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26．（10 分）在△ABC 中，AB＝AC，D 是直线 AB 上一点，E 在直线 BC 上，且 DE＝DC．
（1）如图 1，当 D 在 AB 上，E 在 CB 延长线上时，求证：∠EDB＝∠ACD；
（2）如图 2，当∠DAC＝120°D 是 BA 的延长线上一点，E 在 BC 上时，求证：BE＝AD；
（3）在（2）的条件下，∠ABC 的平分线 BF 交 CD 于点 F，过 A 点作 AH⊥CD 于点 H，当∠EDC＝30°，CF＝6
时，求 DH 的长度．

27．（10 分）在平面直角坐标系中，A、B 的坐标分别为（2，0）（7，0），D、C 分别在 x 轴的负半轴，y 轴的负半
轴上，AO＝CO＝DO，E 在射线 DC 上，EF⊥x 轴于 F 且△ABE 的面积为 25．
（1）求 E 点的坐标；
（2）动点 G 从 A 点出发以 1 个单位每秒速度向终点 F 运动，设 G 运动时间为 t 秒，△GBE 的面积为 S，用 t 表示
S，并直接写出 t 范围；
（3）在（2）的条件下，M 为 DE 的中点，连接 MG，作 MH⊥MG 交 EF 于点 H，连接 EG，过 M 作 MQ⊥EG 交
EF 于点 Q，当 QH：HE＝3：4 时，求 FQ 的长度并求出相应的 t 值．

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2018-2019 学年黑龙江省哈尔滨四十九中八年级（上）期中数学试卷（五
四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题 3 分，共计 30 分）
1．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
2．【解答】解：点 P（m，n）关于 x 轴对称点的坐标 P′（m，﹣n）
所以点 P（1，﹣2）关于 x 轴对称的点的坐标为（1，2）
过应选 D．
3．【解答】解：当 100°为顶角时，其他两角都为 40°、40°，
当 100°为底角时，等腰三角形的两底角相等，由三角形的内角和定理可知，底角应小于 90°，故底角不能为 100°，
所以等腰三角形的底角为 40°、40°．
故选：B．
4．【解答】解：多项式 8a
3
b
2
+12ab
3
c 的公因式是：4ab
2
．
故选：B．
5．【解答】解：A、a
3
+a
4
，无法计算，故此选项错误；
B、（﹣a
3
）?a
3
＝﹣a
6
，故此选项错误；
C、（﹣x
2
）
3
＝﹣x
6
，故此选项正确；
D、（﹣x）
2
?x＝x
3
，故此选项错误；
故选：C．
6．【解答】解：A、右边不是整式积是形式，故本选项错误；
B、（x+1）（x﹣1）＝x
2
﹣1，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误；
C、x
2
﹣9＝（x+3）（x﹣3）是因式分解，故本选项正确；
D、右边不是整式的积，括号内的字母 x 在分母上，故本选项错误．
故选：C．
7．【解答】解：∵在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，

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∴∠ABC＝ ＝72°．
∵BD 是∠ABC 的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC＝36°．
故选：B．
8．【解答】解：A、a
2
+（﹣b）
2
符号相同，不能用平方差公式分解因式，故 A 选项错误；
B、5m
2
﹣20mn 两项不都是平方项，不能用平方差公式分解因式，故 B 选项错误；
C、﹣x
2
﹣y
2
符号相同，不能用平方差公式分解因式，故 C 选项错误；
D、﹣x
2
+9＝﹣x
2
+3
2
，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，故 D 选项正确．
故选：D．
9．【解答】解：∵（x﹣2）（x+3）＝x
2
+x﹣6＝x
2
+ax+b，
∴a＝1，b＝﹣6．
故选：B．
10．【解答】解：有两个角为 60°三角形一定是等边三角形，所以①正确；
等腰三角形顶角的外角是底角的二倍，所以②正确；
3
0
＝1，所以③错误；
等腰三角形的顶角的分线，底边上的高线和底边上的中线相互重合，所以④错误．
故选：A．
二、填空题（每小题 3 分，共计 30 分）
11．【解答】解：根据三角形三边关系可得出：等腰三角形的腰长为 6，底长为 3，因此其周长＝6+6+3＝15．
当底边为 6，腰为 3 时，不符合三角形三边关系，此情况不成立．
故填 15．
12．【解答】解：∵多项式 a
2
﹣2a+m 是完全平方式，
∴m＝1，
故答案为：1
13．【解答】解：多项式﹣5a
2
+3ab 提出公因式﹣a 后，另一个因式是：5a﹣3b．
故答案为：5a﹣3b．
14．【解答】解：（2×10
3
）×（3×10
5
）＝6×10
8
．
故答案为：6×10
8
．
15．【解答】解：∵10
x
＝4，10
y
＝7，
∴10
x+y
＝10
x
×10
y
＝28．

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故答案为：28．
16．【解答】解：∵a+b＝3，ab＝2，
∴a
2
+b
2

＝（a+b）
2
﹣2ab
＝3
2
﹣2×2
＝5，
故答案为：5
17．【解答】解：等腰△ADB 中，有顶角的外角∠ABC＝40°，
则∠ABC＝40°＝2∠D＝40°；
同理可得：∠E＝ ∠ACB＝40°；
故∠DAE＝180°﹣20°﹣40°＝120°．
故填 20°；40°；120°．
18．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝ ×（180°﹣120°）＝30°，
∵AD⊥AC，
∴∠DAC＝90°，
∴∠DAB＝30°，
∴∠DAC＝∠B，
∴AD＝BD＝1，
在 Rt△DAC 中，∠C＝30°，
∴CD＝2AD＝2，
∴BC＝BD+CD＝3，
故答案为：3．
19．【解答】解：①此等腰三角形顶角是 50°，如图 1．
∵在 Rt△ABC 中，∠ADE＝90°，∠A＝50°，
∴∠AED＝40°；
②此等腰三角形底角是 50°，如图 2，
∵AB＝AC，∠B＝50°，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠A＝80°．

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∵在 Rt△ABC 中，∠ADE＝90°，∠A＝80°，
∴∠AED＝10°．
综上可知，一腰的垂直平分线与另一腰所在直线相交所成的锐角的度数为 40°或 10°．
故答案为 40°或 10°．


20．【解答】解：∵∠BAC＝90°，EA⊥AD，
∴∠BAD＝∠CAE＝α，
∵∠ACE＝∠ABD，AB＝AC，
∴△ABD≌△AEC，（AAS），
∴AD＝AE，
∴∠ECA＝∠ABC＝45°，而∠ACB＝45°，
∴∠ECB＝90°，
延长 AF 到 M 使 AF＝FM，


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∵DF＝FC，而∠CFM＝∠AFD，∴△AFD≌△MCF，（SAS），
∴∠MCF＝∠ADF＝α+∠ABC＝45°+α，
∴∠ACM＝45°+∠MCF＝90°+α，而∠BAE＝90°+α，
∴∠ACM＝∠BAE，
而 CM＝AE，CA＝AB，
∴△AEB≌△CAM，
∴FAC＝∠ABE＝45°﹣15°＝30°，而∠AHB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AGH＝90°，
在 Rt△AGH 中，AG＝3 ，则：AH＝2 ，
在 Rt△ABH 中，AH＝2 ，∠ABH＝30°，AB＝6 ，
则 BC＝12，
故答案是 12．
三、解答题（21 题 6 分，22--24 每题 8 分，25--27 每题 10 分）
21．【解答】解：（1）﹣ xy?（2x
2
y﹣3xy
2
）
＝ ；
（2）（12a
3
﹣6a
2
+3a）÷3a
＝4a
2
﹣2a+1
22．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1 为所作；

（2）顶点 A1、B1、C1的坐标分别为（3，2），（4，﹣3），（1，﹣1）；
（3）△ABC 的面积＝3×5﹣ ×2×3﹣ ×2×3﹣ ×5×1＝6.5．
故答案为（3，2），（4，﹣3），（1，﹣1）；6.5．
23．【解答】解：原式＝4x
2
﹣9y
2
﹣（4x
2
﹣4xy+y
2
）
＝4x
2
﹣9y
2
﹣4x
2
+4xy﹣y
2

＝4xy﹣10y
2
，

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当 x＝﹣ ，y＝ 时，
原式＝4×（﹣ ）× ﹣10×（ ）2
＝﹣ ﹣
＝﹣1．
24．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠EBC＝∠DCB，
在△EBC 和△DCB 中，
，
∴△EBC≌△DCB（SAS），
∴∠ECB＝∠DBC，
∴FB＝FC，
∵AB＝AC，
∴AF 是线段 BC 的垂直平分线，
即 AG⊥BC．

（2）∵AB＝AC，AG⊥BC，
∴∠BAG＝∠CAG＝ ∠BAC，
∵∠ADF＝∠FGB＝90°，∠AFD＝∠BFG，
∴∠DAF＝∠FBG，
∴∠FCB＝∠DAF，
∴等于 ∠BAC 的角有：∠BAG，∠CAG，∠FBG，∠FCG．

25．【解答】解：（1）如图 1 所示：答案不唯一

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；

（2）（2a+b）（2a+b）＝4a
2
+4ab+b
2
或（2a+b）
2
＝4a
2
+4ab+b
2
；

（3）如图 1 所示：答案不唯一，
整式乘法及结果：（2a+b）（a+2b）＝2a
2
+5ab+2b
2
；

26．【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵DE＝DC，
∴∠E＝∠DCE，
∴∠ABC﹣∠E＝∠ACB﹣∠DCB，
即∠EDB＝∠ACD；
（2）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
∵∠ACD＝∠DCE﹣∠ACB，∠BDE＝∠DEC﹣∠ABC，
∴∠BDE＝∠ACD，
如图 2，过 E 作 EF∥AC 交 AB 于 F，
∵∠DAC＝120°，
∴∠BAC＝60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∴∠B＝60°，

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∴△BEF 是等边三角形，
∴BE＝EF，∠BFE＝60°，
∴∠DFE＝120°，
∴∠DFE＝∠CAD，
在△DEF 与△CAD 中， ，
∴△DEF≌△CAD（AAS），
∴EF＝AD，
∴AD＝BE；
（3）连接 AF，如图 3 所示：
∵DE＝DC，∠EDC＝30°，
∴∠DEC＝∠DCE＝75°，
∴∠ACF＝75°﹣60°＝15°，
∵BF 平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
在△ABF 和△CBF 中， ，
△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF＝CF，
∴∠FAC＝∠ACF＝15°，
∴∠AFH＝15°+15°＝30°，
∵AH⊥CD，
∴AH＝ AF＝ CF＝3，
∵∠DEC＝∠ABC+∠BDE，
∴∠BDE＝75°﹣60°＝15°，
∴∠ADH＝15°+30°＝45°，
∴∠DAH＝∠ADH＝45°，
∴DH＝AH＝3．

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27．【解答】解：（1）如图 1 中，连接 AE，BE．设 E（m，n）．

∵A（2，0），B（7，0），
∴OA＝2，OB＝7，AB＝5，
∵OA＝OD＝OC＝2，
∴C（0，﹣2），D（﹣2，0），
∴直线 CD 的解析式为 y＝﹣x﹣2，
∵S△ABE＝25，
∴ ×5×（﹣n）＝25，
∴n＝﹣10，
∴m＝8，
∴E（8，﹣10）．

（2）当 0≤t＜5 时，S＝ ?（5﹣t）×10＝25﹣5t．
当 5＜t≤8 时，S＝ （t﹣5）×10＝5t﹣25．
综上所述，S＝ ．


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（3）如图 3 中，作 MJ⊥AB 于 J，ML⊥EF 于 L，设 ML 交 EG 于 K．

∵DM＝ME，D（﹣2，0），E（8，﹣10），
∴M（3，﹣5），
∴J（3，0），
∴MJ＝ML＝5，
∵∠MJG＝∠JFL＝∠MLF＝90°，
∴四边形 MJFL 是矩形，
∴∠JML＝∠GMH＝90°，
∴∠JMG＝∠LMH，
∴△JMG≌△LMH（ASA），
∴GJ＝LH＝t﹣1，
∵KL∥GF，EL＝LF，
∴EK＝KG，
∴LK＝ ，
∵∠LMQ+∠MQL＝90°，∠MQL+∠KEL＝90°，
∴∠QML＝∠KEL，
∵ML＝EL，∠MLQ＝∠ELK＝90°，
∴△MLQ≌△ELK（ASA），
∴QL＝KL＝ ，
∴EH＝5﹣（t﹣1），QH＝t﹣1+ ，
∵QH：EH＝3：4，
∴（t﹣1+ ）：[5﹣（t﹣1）}＝3：4，

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解得 t＝ ．此时 FQ＝5﹣QL＝5﹣ ＝ ．
∴满足条件的 QF 的长为 ，t＝ s．