江苏省18市县2019届高三上学期期中期末考试数学试题分类汇编：数列

江苏省18市县2019届高三上学期期中期末考试数学试题分类汇编
数列
一、填空题
1、（常州市2019届高三上学期期末）数列满足，且数列的前项和为，已知数列的前项和为1，那么数列的首项________.
2、（海安市2019届高三上学期期末）已知等比数列｛an｝的各项均为正数，a6＋a5＝4，
a4＋a3－a2－a1＝1，则a1的值为 ．
3、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）若数列{an}满足a1＝0，a4n－1－a4n－2＝a4n－2－a4n－3＝3，＝＝，其中n∈N*，且对任意n∈N*都有an＜m成立，则m的最小值为 ▲ ．
4、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末）设{an}是公比为正数的等比数列，
5、（如皋市2019届高三上学期期末）已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若6a6，a8，8a4成等差数列，且S2k＝65Sk，则正整数k的值是 ▲ ．
6、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）在等差数列中，若，，则的前6项和 的值为 ．
7、（苏州市2019届高三上学期期末）设是等比数列的前n项和，若，则＝ ．
8、（苏州市2019届高三上学期期中）已知等比数列的前项和为，，则 ▲ ．
9、（苏州市2019届高三上学期期中）已知数列的通项公式为，数列的通项公式为,若将数列，中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列，则的值为 ▲ ．
10、（泰州市2019届高三上学期期末）已知数列｛｝满足＝1，
则＝　　　
11、（无锡市2019届高三上学期期末）设公差不为零的等差数列｛｝ 满足 a3＝7，且 a1－1，a2－1，a4－1 成等比数列，则 a10 等于　　　　．
12、（无锡市2019届高三上学期期中）定义为n个正数P1，P2，…，Pn的“均倒数”.若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为，又bn＝，则＋＋…＋＝　　　　
13、（宿迁市2019届高三上学期期末）已知数列前n项和为，，，则的值为 ▲ ．
14、（徐州市2019届高三上学期期中）已知等差数列的前项和为，，，则的值为 ▲ ．
15、（盐城市2019届高三上学期期中）设等差数列的前n项和为，若，，则公差d＝ ．
16、（扬州市2019届高三上学期期末）已知等比数列的前n项和为，若，，则＝ ．
17、（镇江市2019届高三上学期期末）设是等比数列的前n项的和，若，则＝ ．

参考答案
一、填空题
1、　　2、－1　　　3、8　　　4、62　　5、6
6、　　7、　　　8、10　　　9、256　　10、4
11、21　　12、　　13、1013　　14、24　　15、1
16、1　　17、

二、解答题
1、（常州市2019届高三上学期期末）已知数列中，，且.
(1) 求证：是等比数列，并求数列的通项公式；
(2) 数列中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求满足条件的项；若不存在，说明理由.

2、（海安市2019届高三上学期期末）（1）已知数列｛an｝满足：a1＝1，a2＝λ，且an2＝an＋1an－1－λanan－1(λ为非零常数，n≥2，n∈N*)，求数列｛｝(n≥2，n∈N*)的前n项和；
（2）已知数列｛bn｝满足：
（i）对任意的n∈N*，0＜bn≤bn＋1；
（ii）对任意的n≥2，n∈N*，bn－1·bn＋1＝（μ＞0，q1＞0，q2＞0），且＝．
①若μ＝1，q1＝q2，求数列｛bn｝是等比数列的充要条件；
②求证：数列b1，b2，b5，b6，b9，b10，…，b4m－3，b4m－2，…是等比数列，其中m∈N*．

3、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）已知数列{an}，其中n∈N*．
（1）若{an}满足an＋1－an＝qn－1(q＞0，n∈N*)．
①当q＝2，且a1＝1时，求a4的值；
②若存在互不相等的正整数r，s，t，满足2s＝r＋t，且ar，as，at成等差数列，求q的值．
（2）设数列{an}的前n项和为bn，数列{bn}的前n项和为cn，cn＝bn＋2－3，n∈N*，
若a1＝1，a2＝2，且|an＋12－anan＋2|≤k恒成立，求k的最小值．

4、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末）


5、（如皋市2019届高三上学期期末）已知等差数列的前n项和为Sn，若为等差数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数， 使成等比数列？若存在，请求出这个等比数列；若不存在，请说明理由；
（3）若数列满足，，且对任意的，都有，求正整数k的最小值．

6、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）已知数列满足对任意的，都有，且，其中，．记．
（1）若，求的值；
（2）设数列满足．
① 求数列的通项公式；
② 若数列满足，且当时，，是否存在正整数k，t，使，，成等比数列？若存在，求出所有k，t的值；若不存在，说明理由．

7、（苏州市2019届高三上学期期末）定义：对于任意，仍为数列中的项，则称数列为“回归数列”．
（1）己知()，判断数列是否为“回归数列”，并说明理由；
（2）若数列为“回归数列”，，，且对于任意，均有成立．①求数列的通项公式；②求所有的正整数s，t，使得等式成立．

8、（苏州市2019届高三上学期期中）已知等差数列的前n项和为， ，．数列的前n项和为，且．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．

9、（苏州市2019届高三上学期期中）已知数列的首项为1，定义：若对任意的，数列满足，则称数列为“M数列”．
（1）已知等差数列为“M数列”， 其前项和满足，求数列的公差的取值范围；
（2）已知公比为正整数的等比数列为“M数列”，记数列满足，且数列不为“M数列，求数列的通项公式．

10、（泰州市2019届高三上学期期末）已知数列｛｝的前n项和为Sn，，且对任意的n∈N*，n≥2都有
。
（1）若0，，求r的值；
（2）数列｛｝能否是等比数列？说明理由；
（3）当r＝1时，求证：数列｛｝是等差数列。

11、（无锡市2019届高三上学期期末）设等比数列｛｝的公比为 q(q > 0，q ?= 1)，前 n 项和为 Sn，且 2a1a3 = a4，数列｛｝的前 n 项和 Tn 满足2Tn = n(bn - 1)，n ∈N＊，b2 = 1.
(1) 求数列 ｛｝，｛｝的通项公式；
(2) 是否存在常数 t，使得 {Sn+ } 为等比数列？说明理由；
(3) 设 cn =，对于任意给定的正整数 k(k ≥2), 是否存在正整数 l，m(k < l < m), 使得 ck，c1，cm 成等差数列？若存在，求出 l，m（用 k 表示），若不存在，说明理由.

12、（无锡市2019届高三上学期期中）已知数列{an}满足an＋1＝2|an＋c＋2|－|an＋c|，c为正常数.
(1) 求证：对于一切n∈N*，an＋1－an≥c恒成立；
(2) 若数列{an}为等差数列，求a1的取值范围.

13、（宿迁市2019届高三上学期期末）已知数列各项均为正数，是数列的前项的和，对任意的都有.数列各项都是正整数，，，且数列是等比数列．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求满足的最小正整数．

14、（徐州市2019届高三上学期期中）已知数列各项均为正数，,，且对任意恒成立．
（1）若，求的值；
（2）若，（i）求证：数列是等差数列；（ii）在数列中，对任意，总存在，（其中），使构成等比数列，求出符合条件的一组．

15、（盐城市2019届高三上学期期中）已知正项数列的首项，前n项和满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是公比为4的等比数列，且，，也是等比数列，若数列单调递增，求实数的取值范围；
（3）若数列、都是等比数列，且满足，试证明: 数列中只存在三项．

16、（扬州市2019届高三上学期期末）记无穷数列的前n项中最大值为，最小值为，令，数列的前n项和为，数列的前n项和为．
（1）若数列是首项为2，公比为2的等比数列，求；
（2）若数列是等差数列，试问数列是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明；
（3）若，求．

17、（镇江市2019届高三上学期期末）设数列是各项均为正数的等比数列，，．数列满足：对任意的正整数n，都有．
（1）分别求数列与的通项公式；
（2）若不等式对一切正整数n都成立，求实数的取值范围；
（3）已知k，对于数列，若在与之间插入个2，得到一个新数列．
设数列的前m项的和为，试问：是否存在正整数m，使得＝2019？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．




参考答案
二、解答题
1、


2、



3、解：（1）①由a4－a3＝4，a3－a2＝2，a2－a1＝1，a1＝1，累加得a4＝8． …………………3分
②因an＋1－an＝qn－1，所以n≥2时，an－an－1＝qn－2，…，a2－a1＝1．
(i)当q＝1时，an＝n－1＋a1 (n≥2)．又因为a1满足an＝n－1＋a1，所以an＝n－1＋a1 (n∈N*)．
因为2s＝r＋t，所以2as＝ar＋at，所以q＝1满足条件．
(ii)当q≠1且q＞0时，an＝＋a1 (n≥2)．
又因为a1满足an＝＋a1，所以an＝＋a1 (n∈N*)． ………………5分
因为2s＝r＋t，
若存在r，s，t满足条件，即2as＝ar＋at，化简得2qs＝qr＋qt，
则2＝qr－s＋qt－s≥2＝2，
此时r＝t＝s，这与r，s，t互不相等矛盾．
所以q≠1且q＞0不满足条件． ……………………7分
综上所述，符合条件q的值为1． ……………………8分
（2）由cn＝bn＋2－3，n∈N*，可知cn＋1＝bn＋3－3，两式作差可得：bn＋3＝bn＋2＋bn＋1．
又因为a1＝1，a2＝2，所以b1＝1，b2＝3，
从而c1＝1，c2＝4，可得b3＝4，b4＝7，故b3＝b2＋b1，
所以bn＋2＝bn＋1＋bn对一切的n∈N*恒成立． …………………11分
对bn＋3＝bn＋2＋bn＋1，bn＋2＝bn＋1＋bn两式进行作差可得an＋3＝an＋2＋an＋1．
又由b3＝4，b4＝7，可知a3＝1，a4＝3，故an＋2＝an＋1＋an，(n≥2)．…………………13分
又由a－an＋1an＋3＝(an＋1＋an)2－an＋1·(an＋2＋an＋1)＝(an＋1＋an)2－an＋1·(an＋2an＋1)
＝－a＋anan＋2，n≥2，
所以|an＋22－an＋1an＋3|＝|an＋12－anan＋2|， ……………………15分
所以当n≥2时，|a－anan＋2|＝5，当n＝1时|a－anan＋2|＝3，
故k的最小值为5． …………………………16分
4、

5、【解】（1）设等差数列的公差d，则，．
又是等差数列，所以，
即，解得d＝2．
此时，，符合数列是等差数列，
所以． …… 4分
（2）假设存在，使得，，成等比数列．
则，
由（1）可知，，代入上式，得
，
整理得．（*） …… 6分
法一： 令，x≥1．
则，
所以在上单调增，
所以在上至少有一个根．
又，
故是方程（*）的唯一解．
所以存在，使得，，成等比数列，
且该等比数列为3，9，27． …… 9分
法二：，即，
所以方程（*）可整理为．
因为，所以无解，故．
所以存在，使得，，成等比数列，
且该等比数列为3，9，27． …… 9分
（3）由 可知，．
又，，故，所以．
依题意，对任意恒成立，
所以，即，故．
1 若，据，可得
当，时，

．
由及可得．
所以，当，时，，即．
故当，时，，故不合题意． …… 12分
2 若，据，可得，即．
所以，当，时，，
当时，，得，所以．
当，时，
，
所以，
故．
故当时，对任意都成立．
所以正整数k的最小值为3． …… 16分.
6、（1）当时，由，
得，
又，
所以，…………………………………………………………………2分
又，
所以．…………………4分
（2）由，得，
又，所以，……………………………………………6分
又因为，
所以，
所以，
，
所以． ……………………………………………………………………10分
②由题意，得，，
因为c1，ck－c1，ct－ck成等比数列，
所以(ck－c1)2＝c1(ct－ck)，即(2k－2)2＝2t－2k， …………………………………12分
所以2t＝(2k)2－32k＋4，即2t－2＝(2k－1)2－32k－2＋1(*)．
由于ck－c1≠0，所以k≠1，即k≥2．
当k＝2时，2t＝8，得t＝3． ……………………………………………………14分
当k≥3时，由(*)，得(2k－1)2－32k－2＋1为奇数，
所以t－2＝0，即t＝2，代入(*)得22k－2－32k－2＝0，即2k＝3，此时k无正整数解．
综上，k＝2，t＝3．…………………………………………………………………16分
7、


8、解：（1）因为是等差数列,
设的公差为，由，，得 ………………2分
所以，，所以； ………………4分
由可知，当时，； ………………5分
当时，，所以，
从而， ………………7分
又，所以，所以是等比数列， ………………8分
所以． ………………9分
（2）因为，所以，
，
， ………………11分
所以，
所以． ………………14分
9、解：（1）因为等差数列为“M数列”，所以， ………………2分
由 ，得 ， 由题意，得对均成立，
即对均成立， …………………4分
当时，均成立； …………………5分
当时，恒成立，
因为，所以， ………………7分
综上可得，数列的公差的取值范围是． …………………8分
（2）设数列的公比为，则，
因为公比为正整数的等比数列为“M数列”，
所以，

所以至少为大于等于2的正整数； …………………9分
又，所以数列单调递增，
所以在数列中，为最小项， …………………11分
由为“M数列”，可知只需，即 ，所以 ………12分
同理，在中，“”为最小项，
因为不是“M数列”，所以存在，
又“”为最小项，所以， 即 ，所以…………………14分
因为，，． …………………16分
10、
（1）令n＝2，得：，即：，
化简，得：，因为，，，
所以，，解得：r＝1

11、


12、 (1) 证明：因为an＋1－an＝2|an＋c＋2|－|an＋c|－an.
i) 当an＋c≥0时，an＋1－an＝2an＋2c＋4－an＋c－an＝c＋4>c.(2分)
ii) 当an＋c<0时，an＋1－an＝2|an＋c＋2|＋an＋c－an＝2|an＋c＋2|＋c≥c.(4分)
所以对于一切n∈N*，an＋1－an≥c.(6分)
(2) 解：由(1)知，an＋1－an≥c，因为{an}为等差数列，则公差d≥c>0，
故当n无限增大时，总有an>0.
此时an＋1－an＝2an＋2c＋4－an＋c－an＝c＋4.
即d＝c＋4.(8分)
所以a2＝2|a1＋c＋2|－|a1＋c|＝a1＋c＋4，
即2|a1＋c＋2|＝a1＋c＋4＋|a1＋c|.
当a1＋c≥0时，等式恒成立，且此时an＋1－an＝c＋4为常数，
即数列{an}为等差数列.(10分)
当a1＋c<0时，2|a1＋c＋2|＝4，a1＝－c(舍)或a1＝－c－4，(12分)
当a1＝－c－4时，a2＝0，且n>2时，an>0，此时{an}为等差数列.(14分)
综上，满足题意的a1的取值范围是[－c，＋∞)∪{－c－4}.
13、解：（1）当时，，即，
，
由得； …………………………………………………1分
当时，由得，
所以两式相减得，
所以， …………………………3分
由知
所以
所以数列是首项，公差的等差数列. …………………5分
(2)由（1）得，
由
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列
所以， …………………………………………………7分
又，
所以，即.…………………………10分
（3）由，
所以，……………………………………12分
设，
则，
令得，
由得，
所以，………………14分
又因为，
，
，
，
，
所以当时，，
所以满足的最小正整数为5. …………………………16分
14、

15、解：（1） ，故当时，两式做差得， …………2分
由为正项数列知，，即为等差数列，故 …………4分
（2）由题意， ，化简得 ，所以 ，…………6分
所以，由题意知
恒成立，即恒成立，所以，解得 …………8分
（3）不妨设超过项，令，由题意，则有，
即 ………11分
带入，可得 （*），
若则，即为常数数列，与条件矛盾;
若，令得，令得，两式作商，可得，带入（*）得，即为常数数列，与条件矛盾，故这样的只有项 ……………16分
16、解：（1）∵数列是首项为2，公比为2的等比数列，∴，∴，
则，∴ …………4分
（2）方法（一）若数列是等差数列，设其公差为
∵
根据的定义，有以下结论：
，，且两个不等式中至少有一个取等号， …………6分
①若，则必有，∴，即对，都有
∴，，
∴，即为等差数列；
②当时，则必有，所以，即对，都有
∴，，
所以，即为等差数列；
③当，
∵，中必有一个为0，∴根据上式，一个为0，则另一个亦为0，
即，，∴为常数数列，所以为等差数列，
综上，数列也一定是等差数列． …………10分
方法（二）若数列是等差数列，设通项公式为，则．
对于数列：，增加时，有下列情况：
①若时，则，此时，∴对恒成立
则，，∴
即为常数，则数列是等差数列． …………7分
②若时，则， ∴
∵数列是等差数列且 ∴，
∴ ∴，即，即为常数数列 ∴数列是公差为0的等差数列．
③若时，则，此时，∴对恒成立
则，，∴
即为常数，则数列是等差数列． …………10分
（3）∵，
∴当时，，即，当时，，即．
以下证明：，
当时，
若，则，，所以，不合题意；
若，则，，则，得：，与矛盾，不合题意；
∴，即；
同理可证：，即时，．
①当时，， ∴ ∴，
∵ ∴
∴ …………13分
②当时，，且
∴，则为或．若为，则为常数，与题意不符
∴ ∴ ∴
∴

∴． …………16分
17、