江苏省18市县2019届高三上学期期中期末考试数学试题分类汇编：圆锥曲线

江苏省18市县2019届高三上学期期中期末考试数学试题分类汇编
圆锥曲线
一、填空题
1、（常州市2019届高三上学期期末）已知双曲线的离心率为2，直线经过双曲线的焦点，则双曲线的渐近线方程为________.
2、（海安市2019届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的一条准线与两条渐近线所围成的面积为 ．
3、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）若双曲线－＝1的离心率为2，则实数m的值为 ▲ ．
4、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末）
已知经过双曲线的一个焦点，且垂直于实轴的直线l与双曲线交于A、B两点，

5、（如皋市2019届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左准线与抛物线的准线重合，则a的值为 ▲ ．
6、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值为 ．
7、（苏州市2019届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy中，中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(﹣3，1)，则该双曲线的离心率为 ．
8、（泰州市2019届高三上学期期末）若抛物线的准线与双曲线＝1的一条准线重合，则p＝　　　
9、（无锡市2019届高三上学期期末）以双曲线的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是　　　　．
10、（宿迁市2019届高三上学期期末）已知双曲线的离心率为2，右焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的顶点到渐近线的距离为 ▲ .
11、（徐州市2019届高三上学期期中）已知双曲线的离心率为，则实数的值为 ▲ ．
12、（扬州市2019届高三上学期期末）已知双曲线(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ．
13、（扬州市2019届高三上学期期中）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为 ．
14、（扬州市2019届高三上学期期中）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的一个焦点为(3，0)，则双曲线的渐近线方程为 ．
15、（镇江市2019届高三上学期期末）抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为
．

参考答案
一、填空题
1、　　2、　　　3、6　　　4、4　　5、6
6、4　　7、　　　8、　　　9、　　10、
11、2　　12、　　13、　　14、　　15、

二、解答题
1、（常州市2019届高三上学期期末）已知，在平面直角坐标系中，椭圆的焦点在椭圆上，其中，且点是椭圆位于第一象限的交点.
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 过轴上一点的直线与椭圆相切，与椭圆交于点，已知，求直线的斜率.

2、（海安市2019届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A、B，焦距为2，直线l与椭圆交于C，D两点（均异于椭圆的左、右顶点）．当直线l过椭圆的右焦点F且垂直于x轴时，四边形ACBD的面积为6．
⑴求椭圆的标准方程；
⑵设直线AC ，BD的斜率分别为k1，k2．
①若k2＝3k1，求证：直线l过定点；
②若直线l过椭圆的右焦点F，试判断是否为定值，并说明理由．

3、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l：y＝k(x－m)(m∈R)与椭圆C相交于P、Q两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆的左顶点为A，记直线AP、AQ的斜率分别为k1、k2．
①若m＝0，求k1k2的值；
②若k1k2＝－，求实数m的值．

4、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末）


5、（如皋市2019届高三上学期期末）如图，已知椭圆C：的离心率为，右准线方程为，A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线l与椭圆C相交于M，N两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）记△AFM，△BFN的面积分别为S1，S2，若，求k的值；
（3）设线段MN的中点为D，直线OD与右准线相交于点E，记直线AM，BN，FE的斜率分别为k1，k2， ，求k2·(k1－) 的值．


6、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到右准线的距离为1．过轴上一点为常数，且的直线与椭圆交于两点，与交于点，是弦的中点，直线与交于点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）试判断以为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．


7、（苏州市2019届高三上学期期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知焦点在x轴上，离心率为的椭圆E的左顶点为A，点A到右准线的距离为6．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点A且斜率为的直线与椭圆E交于点B，过点B与右焦点F的直线交椭圆E于M点，求M点的坐标．


8、（泰州市2019届高三上学期期末）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：的左顶点为A，点B是椭圆C上异于左、右顶点的任一点，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线OP交于点Q，已知椭圆C的离心率为，点A到右准线的距离为6。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设点Q的横坐标为，求的取值范围。


9、（无锡市2019届高三上学期期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：的离心率为，
且过点 (，)，点 P 在第四象限， A 为左顶点， B 为上顶点， PA 交 y 轴于点 C,
PB 交 x 轴于点 D.
(1) 求椭圆 C 的标准方程；
(2) 求 △PCD 面积的最大值.


10、（宿迁市2019届高三上学期期末）如图所示，椭圆的离心率为，右准线方程为，过点作关于轴对称的两条直线，且与椭圆交于不同两点，与椭圆交于不同两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线与直线交于点；
（3）求线段长的取值范围.


11、（徐州市2019届高三上学期期中）已知椭圆，过右焦点的直线与椭圆交于两点，且当点是椭圆的上顶点时，，线段的中点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）延长线段与椭圆交于点，若，求此时的方程．


12、（扬州市2019届高三上学期期末）在平面直角坐标系中，椭圆M：(a＞b＞0)的离心率为，左右顶点分別为A，B，线段AB的长为4．P在椭圆M上且位于第一象限，过点A，B分别作l1⊥PA，l2⊥PB，直线l1，l2交于点C．
（1）若点C的横坐标为﹣1，求P点的坐标；
（2）直线l1与椭圆M的另一交点为Q，且，求的取值范围．


13、（扬州市2019届高三上学期期中）在平面直角坐标系xOy中，已知直线与圆O：相切．
（1）直线l过点(2，1)且截圆O所得的弦长为，求直线l的方程；
（2）已知直线y＝3与圆O交于A，B两点，P是圆上异于A，B的任意一点，且直线AP，BP与y轴相交于M，N点．判断点M、N的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由．

14、（镇江市2019届高三上学期期末）已知椭圆C：的长轴长为4，两准线间距离为．设A为椭圆C的左顶点，直线l过点D(1，0)，且与椭圆C相交于E，F两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若△AEF的面积为，求直线l的方程；
（3）已知直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为Q，设直线l和QD的斜率分别为k(k≠0)，k′，求证：k·k′为定值．



参考答案
二、解答题
1、（1）如下图所示，依题意，得：c＝b，所以，，
所以，椭圆C1为：，将点代入，解得：b＝1，
所以，C1：，C2：


2、


3、解：（1）因为椭圆C的两个焦点间距离为2，两准线间的距离为2×＝8，
所以a＝2，c＝1，所以b2＝3，
所以椭圆的方程为＋＝1． …………………3分
（2）设P(x0，y0)，由于m＝0，则Q(－x0，－y0)，
由＋＝1，得y02＝3－， ……………………5分
所以k1k2＝·＝＝＝－． …………………8分
（3）由（1）得A(－2，0)．
方法一：设P(x1，y1)，设直线AP的方程为AP：y＝k1(x＋2)，
联立，消去y，得(3＋4k12)x2＋16kx＋16k－12＝0，
所以xA·x1＝， ……………………10分
所以x1＝， 代入y＝k1(x＋2)得y1＝，
所以P(，)． …………………12分
由k1k2＝－，得k2＝－，所以Q(，)． ……………………13分
设M(m，0)，由P，Q，M三点共线，得＝λ，
即×(－m)＝ ×(－m)，
化简得(m－1)(16k12＋4)＝0，所以m＝1． …………………16分
方法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立，消去y，得(3＋4k2)x2－8mk2x＋4m2k2－12＝0，
所以x1＋x2＝，x1·x2＝ ………………10分
而k1k2＝·＝·＝＝－，
…………………13分
化简得＝－，即m2k2＋mk2－2k2＝0．
因为k2≠0，所以m2＋m－2＝0，解得m＝1或m＝－2(舍去)．
当m＝1时，△＞0，
所以，m＝1． …………………………16分
4、


5、【解】（1）设椭圆的焦距为2c(c＞0)．
依题意，，且，解得a＝2，c＝1．
故b2＝a2－c2＝3．
所以椭圆C的标准方程为． …… 4分
（2）设点M(x1，y1)， N(x2，y2)．
据题意，，即，整理可得，所以．
代入坐标，可得 即
又点M， N在椭圆C上，所以解得
所以直线l的斜率． …… 9分
（3）法一：依题意，直线l的方程为．
联立方程组整理得，
所以，．
故，，
所以直线OD的方程为，令x＝4，得，即．
所以． …… 12分
所以




． …… 16分
法二：依题意，直线l的方程为，即，记，
则直线l的方程为，与椭圆C联立方程组
整理得，
所以，．
故，，
所以直线OD的方程为，令x＝4，得，即．
所以． …… 12分
所以


． …… 16分
法三：依题意，点M(x1，y1)， N(x2，y2)在椭圆C上，
所以两式相减，得，
即，所以，即，
所以直线OD的方程为，令x＝4，得，即，
所以． …… 12分
又直线AM的方程为，与椭圆C联立方程组
整理得，
所以，得，．
所以点M的坐标为．
同理，点N的坐标为．
又点M，N，F三点共线，
所以，整理得，
依题意，，，故．
由可得，，即．
所以． …… 16分
6、（1）由题意，得，解得，所以，
所以椭圆C的标准方程为． ………………………………………4分
（2）由题意，当直线的斜率不存在或为零时显然不符合题意；
所以设的斜率为，则直线的方程为，
又准线方程为，
所以点的坐标为，………………………………………………6分
由得，，
即
所以，， …………8分
所以，
从而直线的方程为，（也可用点差法求解）
所以点的坐标为，…………………………………………………10分
所以以为直径的圆的方程为，
即， ………………………………14分
因为该式对恒成立，令，得，
所以以为直径的圆经过定点．………………………………16分
7、


8、（1）依题意，有：，即，
又＝6，所以，＝6，解得：＝2，c＝1，
b＝＝，
所以，椭圆C的方程为：，


9、

10、解：（1）由
得，，
所以椭圆的方程.………………………………………………4分
（2）设直线，，
联立，消得，
， …………………………………6分
又，

，………8分
，故点三点共线，即直线经过点
同理可得直线经过点，
所以直线与直线交于点. …………………………10分
（3）由（2）可知


…………………………12分
令
又由得所以

……………………………………14分
在上恒成立
在上单调递增
， ，

. …………………………………………………16分
11、




12、解：由题意得，解得，∴
∴椭圆M的方程是且 …………3分
（1）方法一：设，，∵ ∴直线AC的方程为，
同理：直线BC的方程为．
联立方程，解得，又∵，
∴点C的坐标为， …………6分
∵点的横坐标为 ∴，又∵P为椭圆上第一象限内一点 ∴
∴点的坐标为． …………8分
（2）设 ∵ ∴，解得：
∵点在椭圆上 ∴ 又
整理得：，解得：或 …………14分
∵P为椭圆上第一象限内一点 ∴，解得： …………16分
方法二：（1）设的斜率为，， ∵P为椭圆上第一象限内一点 ∴
∵ ∴的斜率为．
联立方程，解得，即
∵，∴，则AC的方程为
∵，∴，则BC的方程为．
由，得，即 …………6分
∵点的横坐标为 ∴，解得：
∵ ∴ ∴点的坐标为． …………8分
（2）设，，又直线AC的方程为：
联立方程，得 ∴，解得：
∵ ∴， …………14分
∵ ∴ …………16分
13、解：∵直线与圆相切
∴圆心到直线的距离为． …2分
（1）记圆心到直线的距离为，所以．
当直线与轴垂直时，直线的方程为，满足题意； …3分
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即
所以，解得，此时直线的方程为 …6分
综上，直线的方程为或． …7分
（2）设．∵直线与圆交于、两点，不妨取，
∴直线、的方程分别为，
令，得，则（*）…13分
因为点在圆上，所以，即，代入（*）式
得为定值． …15分
14、