江苏省18市县2019届高三上学期期中期末考试数学试题分类汇编：立体几何

江苏省18市县2019届高三上学期期中期末考试数学试题分类汇编
立体几何
一、填空题
1、（常州市2019届高三上学期期末）已知圆锥，过的中点作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱，圆柱的下底面落在圆锥的底面上（如图），则圆柱的体积与圆锥的体积的比值为________.

2、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝4，AC＝，BC＝1，E，F分别为AB，PC的中点，则三棱锥B－EFC的体积为 ▲ ．

3、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末）
已知正三棱柱ABC－则三棱锥D－BB1C1的体积为＿＿＿

4、（如皋市2019届高三上学期期末）如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AA1＝3，AB＝2，点D是棱CC1的中点，点E在棱AA1上，则三棱锥B1－EBD的体积为 ▲ ．

5、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019高三期末） 已知正四棱锥的底面边长为，高为1，则该正四棱锥的侧面积为 ．
6、（苏州市2019届高三上学期期末）如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为 ．

7、（泰州市2019届高三上学期期末）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M为棱AA1的中点，记三棱锥A1－MBC的体积为V1，四棱锥A1－BB1C1C的体积为V2，则的值是　　　

8、（无锡市2019届高三上学期期末）已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6，则该圆锥的体积等于　　　　．
9、（宿迁市2019届高三上学期期末）设圆锥的轴截面是一个边长为2cm的正三角形，则该圆锥的体积为　 ▲ 　cm3．
10、（徐州市2019届高三上学期期中）如图，已知正方体的棱长为1，点为棱上任意一点，则四棱锥的体积为 ▲ ．


11、（扬州市2019届高三上学期期末）底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是 ．
12、（镇江市2019届高三上学期期末）已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为 ．


参考答案
一、填空题
1、　　2、　　　3、　　　4、　　5、　　6、2　　7、
8、3　　　9、　　
10、　　　11、　　12、

二、解答题
1、（常州市2019届高三上学期期末）如图，正三棱柱中，点分别是棱的中点.
求证：（1）//平面；
（2）平面平面.


2、（海安市2019届高三上学期期末）如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥PC，M是AB的中点，点D在PB上，MD∥平面PAC，平面PAB⊥平面PMC，△CPM为锐角三角形，求证：
⑴D是PB的中点；
⑵平面ABC⊥平面PMC．


3、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为棱B1C1上的中点，且A1F⊥B1C1．
求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）A1F//平面ADE．


4、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝1，PA＝AB＝，点E是棱PB的中点．
（1）求异面直线EC与PD所成角的余弦值；
（2）求二面角B－EC－D的余弦值．

5、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末）

6、（如皋市2019届高三上学期期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，DC∥AB，DC＝2AB，平面PCD平面PAD，△PAD是正三角形，E是PD的中点．
（1）求证：AE⊥PC；
（2）求证：AE∥平面PBC．






7、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）如图，在直三棱柱中，分别是的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）若，求证：平面平面．



8、（苏州市2019届高三上学期期末）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AB⊥BC，E，F分别是A1C1，BC的中点．
（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
（2）求证：C1F//平面ABE．


9、（（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末））如图, 在三棱锥中，平面，，且，，为的中点．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求二面角的余弦值．


10、（泰州市2019届高三上学期期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点O为对角线BD的中点，点E，F分别为棱PC，PD的中点，已知PA⊥AB，PA⊥AD。
求证：（1）直线PB∥平面OEF；
（2）平面OEF⊥平面ABCD。


11、（无锡市2019届高三上学期期末）在四棱锥 P - ABCD 中，锐角三角形 PAD 所在平面垂直于平面 PAB，AB⊥AD，AB⊥BC。
(1) 求证：BC∥平面 PAD；
(2) 平面 PAD⊥ 平面 ABCD．


12、（无锡市2019届高三上学期期中）在四棱锥P ? ABCD中，已知M，N分别是BC，PD的中点，若四边形ABCD是平行四边形，且∠BAC＝90°.
(1) 求证： MN∥平面PAB；
(2) 若PA⊥平面ABCD，求证：MN⊥AC.


13、（宿迁市2019届高三上学期期末）在四棱锥中，，底面ABCD是菱形．
（1）求证：；
（2）若点是棱AD的中点，点在棱SA上，
且，求证：．


14、（徐州市2019届高三上学期期中）如图，在三棱锥中， 分别为，的中点，点在上，且底面.
（1）求证：平面；
（2）若，求证：平面平面.


15、（宿迁市2019届高三上学期期末）如图，在直三棱柱中，，，点在棱 上，且．
（1）求线段的长；
（2）求二面角的余弦值．


16、（扬州市2019届高三上学期期末）如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）BB1⊥AC．


17、（扬州市2019届高三上学期期末）将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，又AE⊥平面ABD．
（1）若AE＝，求直线DE与直线BC所成角；
（2）若二面角A—BE—D的大小为，求AE的长度．


18、（镇江市2019届高三上学期期末）如图，在四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是矩形，VD⊥平面ABCD，过AD的平面分别与VB，VC交于点M，N．
（1）求证：BC⊥平面VCD；
（2）求证：AD∥MN．




参考答案
二、解答题
1、（1）设A1B与AB1的交点为O，连MO，NO

在正三棱柱ABC-A1B1C1中，O为AB1的中点，OM∥BB1，且OM＝BB1，
依题意，有CN∥BB1，且CN＝BB1，
∴　OM∥CN，且OM＝CN
∴　四边形CMON为平行四边形，
∴　CM∥ON
而CM平面AB1N，ON平面AB1N，
∴　CM∥平面AB1N。
（2）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∴　BB1⊥CM，
又CM⊥AB，AB∩BB1＝B，∴　CM⊥平面ABB1A1，
因为CM∥ON，∴　ON⊥平面ABB1A1
ON平面A1BN，
∴　平面A1BN⊥平面ABB1A1
2、

3、证明：（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC． ……………………2分
因为AD平面ABC，所以BB1⊥AD．
又因为AD⊥DE，在平面BCC1B1中，BB1与DE相交，所以AD⊥平面BCC1B1．
又因为AD平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1． …………………6分
（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1． …………………8分
因为A1F平面A1B1C1，所以BB1⊥A1F．
又因为A1F⊥B1C1，BB1∩B1C1＝B1，所以A1F⊥平面BCC1B1． …………………10分
在(1)中已证得AD⊥平面BCC1B1，所以A1F//AD．
又因为A1F平面ADE，AD平面ADE，所以A1F//平面ADE． …………………14分
4、解：（1）因PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直，
以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
又因PA＝AB＝，AD＝1，
所以A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，)，………2分
因为E是棱PB的中点，所以E(，0，)，
所以＝(，1，－)，＝(0，1，－)，
所以cos＜，＞＝＝，
所以异面直线EC与PD所成角的余弦值为． ……………………6分
（2）由（1）得＝(，1，－)，＝(0，1，0)，＝(，0，0)，
设平面BEC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，所以
令x1＝1，则z1＝1，所以面BEC的一个法向量为n1＝(1，0，1)，
设平面DEC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，所以
令z2＝，则y2＝1，所以面DEC的一个法向量为n2＝(0，1，)，
所以cos＜n1，n2＞＝＝．由图可知二面角B－EC－D为钝角，
所以二面角B－EC－D的余弦值为－． …………………………10分
5、

6、【证明】（1）因为△PAD是正三角形，点E是PD的中点，
所以AE⊥PD． …… 2分
又平面PCD⊥面PAD，平面PCD∩平面PAD＝PD，AE?平面PAD．
所以AE⊥平面PCD． …… 5分
又PC?平面PCD，
所以AE⊥PC． …… 7分
（2）取PC的中点F，连结EF，
在△PCD中，E，F分别是PD，PC的中点，
所以EF∥CD且CD＝2EF．
又AB∥CD，CD＝2AB，
所以EF∥AB且EF＝AB，
所以四边形AEFB是平行四边形，
所以AE∥BF， …… 10分
又AE平面PBC，BF平面PBC，
所以AE∥平面PBC． …… 14分
7、（1）因为分别是的中点，所以∥． ………………………3分
因为平面，平面，
所以∥平面． …………………………6分
（2）在直三棱柱中，平面，
因为平面，所以． ……8分
因为，且是的中点，
所以． ………………………………10分
因为，平面，
所以平面． ………………………12分
因为平面，
所以平面平面． …………………14分
8、

9、因为平面，，所以可以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，，
所以，，，，
因为点为线段的中点，
所以.

（1），，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.……………………………………5分
（2）设平面的法向量为，
因为，，
所以，，即且，取，得，，
所以是平面的一个法向量．
设平面的法向量为，
因为，，
所以，，
即且，取，得，，
所以是平面的一个法向量．
所以． ……………………………………8分
所以二面角的余弦值为. ………………………………………10分

10、（1）O为PB中点，F为PD中点，所以，PB∥FO
而PB平面OEF，FO平面OEF，
∴　PB∥平面OEF。
（2）连结AC，因为ABCD为平行四边形，
∴AC与BD交于点O，O为AC中点，又E为PC中点，
∴　PA∥OE，
因为PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，
∴　PA⊥平面ABCD，
∴　OE⊥平面ABCD
又OE平面OEF，
∴　平面OEF⊥平面ABCD
11、答案：（1）四边形ABCD中，因为AB⊥AD，AB⊥BC，
所以，BC∥AD，BC在平面PAD外，
所以，BC∥平面PAD
（2）作DE⊥PA于E，
因为平面PAD⊥平面PAB，而平面PAD∩平面PAB＝AB，
所以，DE⊥平面PAB，
所以，DE⊥AB，又AD⊥AB，DE∩AD＝D
所以，AB⊥平面PAD，
AB在平面ABCD内
所以，平面PAD⊥平面ABCD
12、证明：(1) (证法1)取PA的中点G，连结BG，GN.
∵ 点N是PD的中点，∴ NG∥AD，且NG＝AD.(2分)
∵ 点M是BC的中点，∴ BM＝BC.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ BM∥AD，且BM＝AD.(4分)
∴ 四边形BMNG是平行四边形.
又MN∥平面PAB，BG?平面PAB，
∴ MN∥平面PAB.(6分)
(证法2)取AD中点H，连结NH，MH.
∵ 点N是PD的中点，∴ NH∥PA.
又NH?平面PAB，PA?平面PAB，∴ NH∥平面PAB.(2分)
∵ M，H分别是BC，AD的中点，四边形ABCD是平行四边形，
∴ MH∥AB.
又MH?平面PAB，AB?平面PAB，∴ MH∥平面PAB.(4分)
又MH∩NH＝H，∴ 平面MNH∥平面PAB.
∵ MN?平面PAB，∴ MN∥平面PAB.(6分)
(2) ∵ PA⊥平面ABCD，由(1)知NH∥PA，
∴ NH⊥平面ABCD，AC?平面ABCD.
∴ NH⊥AC，即AC⊥NH.(8分)
∵ ∠BAC＝90°，∴ AC⊥AB.
又MH∥AB，∴ AC⊥MH.(10分)
∵ MH∩NH＝H，NH?平面MNH，MH?平面MNH，
∴ AC⊥平面MNH.(12分)
而MN?平面MNH，∴ AC⊥MN，即MN⊥AC.(14分)
13、解：（1）因为，，
所以， ………………………………2分
又因为底面ABCD是菱形，得，
由SA，AC都在面SAC内，且，
所以，………………………………5分
由，得；…………7分

（2）由底面ABCD是菱形，得
所以………………9分
又因为，
所以 ，
所以…，………………………11分
因为，
所以.………………………………14分
14、1）由中位线知：DE‖AC，可证：DE‖平面SAC
（2）由SD⊥平面ABC，知SD⊥AC，又SF⊥AC，SD与SF交于点S，
所以，AC⊥平面SFD，所以，平面SAC⊥平面SFD
15、解：在直三棱柱中，由则以为基底构建如图所示的空间直角坐标系，则,
所以,
设，则,

（1）由得,
所以,
所以=．……………………………………………3分
（2）由，取的一个法向量为,
设的一个法向量,
由（1）知
又因为,
所以，取，
则,…………………6分
所以,
所以．
所以二面角的余弦值为．…………………………10分
16、证明：（1）∵三棱柱 ∴四边形，四边形均为平行四边形
∵分别是侧面，对角线的交点 ∴分别是，的中点
∴ ………………4分
∵平面，平面∴平面 ………………8分
（2）∵四边形为矩形 ∴
∵平面平面，平面，平面平面
∴平面 ………………12分
∵平面 ∴ ………………14分
17、解：∵正方形边长为2 ∴，，
又⊥平面
∴以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系．
作，垂足为
∵平面⊥平面，平面，平面平面
∴平面
∵ ∴点为的中点， …………2分

（1）∵
∴，，，，
∴ ∴
∴ ∴直线与直线所成角为； …………5分
（2）设的长度为，则
∵⊥平面 ∴平面的一个法向量为 …………6分
设平面的法向量为，又
∴ ∴，解得：，取，则
∴平面的一个法向量为 …………8分
∴
∵二面角的大小为 ∴，解得：
∴的长度为． …………10分
18、（1）ABCD是矩形，所以，BC⊥CD，
VD⊥平面ABCD，所以，VD⊥BC，
又VD交CD于D
所以，BC⊥平面VCD
（2）AD∥BC，得AD∥平面VBC，
平面ADMN交平面VBC于MN
所以，AD∥MN




B

A

P

C

D

E

（第15题图）

P

A

B

C

D

E

（第15题图）

F

A

B

C

A1

B1

C1

F



E

D

A

B

C

D

S

M

N

(第16题)