17.2勾股定理的逆定理（1）课件
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人教版数学八年级下册
17.2勾股定理的逆定理（1）
1、什么叫命题？
2、命题的一般形式如何？
3、命题由几部分组成？
4、命题的真假？
命题“两直线平行,内错角相等”的一般形式是
，题设是
，结论是 。这是一个
命题。
如果两直线平行，那么内错角相等
两直线平行
内错角相等
真
交换该命题的题设和结论的位置看看得到一个什么新命题？
两个命题的题设与结论正好相反，像这样的两个命
题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那
么另一个命题叫做它的逆命题．
新命题： 。它的一般形式是 ，题设是 ，结论是 ，这是一个 命题。
内错角相等，两直线平行
两直线平行
如果内错角相等，那么两直线平行
真
内错角相等
两直线平行，内错角相等
(1)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
(2)全等三角形的对应角相等
(3)角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
说出下列命题的逆命题，指出这些互逆命题的真假性。
逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.
逆命题:三个角对应相等的两个三角形是全等三角形.
逆命题:角平分线上的点到角两边的距离相等。
感悟: 原命题成立时, 逆命题有时成立, 有时不成立
一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.
?
?
?
?
?
?
逆命题:
13，12，5； 6，8，10 ； 8，15，17。
证明：作Rt△A′B′C′，
使∠C′=900，A′C′=b，B′C′=a
∴∠C= ∠C′=900 △ABC是直角三角形
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
勾股定理的逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2。
勾股定理
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边C所对的角为直角。
互逆命题
定理
逆定理
定理与逆定理：
我们已经学习了一些互逆的定理,如:
勾股定理及其逆定理。
两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行。
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
分析：根据勾股定理的逆定理, 判断一个三角形是不是直角三角形, 只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形?
(1) a=15，b=17，c=8; (2) a=13，b=15，c=14
解:(1)最大边为17
∵152+82=225+64 =289
172 =289
∴152+82 =172
∴以15, 8, 17为边长的三角形是直角三角形
(2)最大边为15
∵132+142=169+196=365
152 =225
∴132+ 142 ≠ 152
∴以13, 15, 14为边长的三角形不是直角三角形
像15,17,8,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
观察3，4，5；6，8，10；9，12，15；12，16，20；18，24，30这几组勾股数？你发现它们有何联系？有什么样的猜想？
结论：若a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck
（k为正整数)也是一组勾股数．
1.下列各组线段中，不能够围成直角三角形是 （ ）
A、9、12、15 B、8、15、17
C、7、24、25 D、6、8、9
D
看看谁更快！
A、锐角三角形 B、钝角三角形
C、直角三角形 D、等边三角形
C
C
A、锐角三角形 B、钝角三角形
C、直角三角形 D、等边三角形
证明：
∴△AEF是直角三角形，
∠AEF=90°
如图：在Δ ABC中，AB=13㎝，BC=10㎝，BC边上的中线AD=12㎝，求证：AB=AC。
证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD=1/2BC=5㎝
∵在△ABD中，AB=13，
BD=5，AD=12
∴ BD2+AD2=52+122=169=AB2
∴ △ABD是直角三角形，且∠ ADB=900
∴∠ ADC=900， △ACD也是直角三角形。
∴AC=AB=13㎝
∴AB=AC
根据勾股定理得：
例3 已知 , 则由此为三边的三角形是 三角形。
解：依题意 x=6, y=8, z=10,
∵62＋82＝102
∴这个三角形是直角三角形
直角
练习 已知a，b，c为△ABC的三边,且满足
a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判断△ABC的形状.
直角三角形
例4 判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：a=m2-n2，b=m2+n2，c=2mn（m＞n，m、n是正整数）
∵a2 = (m2 - n2 )2 = m4 - 2m2n2 + n4,
b2 = (m2 + n2 )2 = m4 + 2m2n2 + n4,
c2 = (2mn )2 = 4m2n2
又∵m4 - 2m2n2 + n4 + 4m2n2
= m4 + 2m2n2 + n4
∴ a2 + c2 = b2
即: 三角形是直角三角形
解：
练习 已知a.b.c为△ABC的三边,且满足
a2c2 – b2c2=a4 – b4,试判断△ABC的形状.
解 ∵ a2c2- b2c2 = a4 – b4 (1)
∴ c2(a2 – b2) = (a2+ b2) (a2- b2) (2)
∴ c2 = a2 + b2 (3)
∴ △ABC是直角三角形
问: (1) 上述解题过程,从哪一步开始出现错误?＿＿＿
(2) 错误原因是＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
(3) 本题正确的结论是 。
（3）
a2- b2可能是0
直角三角形或等腰三角形
（2）原命题，逆命题之间有什么联系？
（1）勾股定理的逆定理的内容是什么？它有什么作用？
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边C所对的角为直角。
作用：用于判断某个三角形是否是直角三角形。
两个命题的题设与结论正好相反，像这样的两个命题叫做互逆命题．
（1）同旁内角互补，两直线平行。
逆命题是： 。
（2）如果两个角是直角，那么它们相等。
逆命题是： 。
（3）全等三角形的对应边相等。
逆命题是： 。
两直线平行，同旁内角互补
相等的两个角都是直角
三边对应相等的两个三角形全等
1.写出下列命题的逆命题：
2.如果线段a,b,c能组成直角三角形, 则它们的比可能是 ( )
3:4:7; B. 5:12:13; C. 1:2:4; D. 1:3:5.
B
A
3.将直角三角形的三边长度扩大同样的倍数，则得到的三角形是（ ）
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
4.若一个三角形的三边长分别是5、12、13，那么这个三角形的面积是 。
30
5. 以?ABC的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面积是25, 144 , 169, 则这个三角形是______三角形.
直角
6.已知△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下面以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
____ _____ ；
____ _____ ；
____ _____ ；
____ _____ ；
____ _____ ．
不是
是
是
是
是
∠C=90°
∠B=90°
∠C=90°
∠B=90°
记住：小的两个数的平方和等于最大的数的平方时才是直角三角形！
7.△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，以三边为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则△ABC是直角三角形吗？
A
C
a
b
c
S1
S2
S3
B
A
B
C
a
b
c
S1
S2
S3
8.已知三角形ABC的三边长a，b，c为满足a+b=10，ab=18，c=8。此三角形是什么三角形？
直角三角形
是
1.必做题：教材习题17.2第1，2，3题.
2.选做题：教材习题17.2第7题.
谢谢
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17.2勾股定理的逆定理（1）
1、什么叫命题？
2、命题的一般形式如何？
3、命题由几部分组成？
4、命题的真假？
命题“两直线平行,内错角相等”的一般形式是
，题设是
，结论是 。这是一个
命题。
如果两直线平行，那么内错角相等
两直线平行
内错角相等
真
交换该命题的题设和结论的位置看看得到一个什么新命题？
两个命题的题设与结论正好相反，像这样的两个命
题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那
么另一个命题叫做它的逆命题．
新命题： 。它的一般形式是 ，题设是 ，结论是 ，这是一个 命题。
内错角相等，两直线平行
两直线平行
如果内错角相等，那么两直线平行
真
内错角相等
两直线平行，内错角相等
(1)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
(2)全等三角形的对应角相等
(3)角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
说出下列命题的逆命题，指出这些互逆命题的真假性。
逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.
逆命题:三个角对应相等的两个三角形是全等三角形.
逆命题:角平分线上的点到角两边的距离相等。
感悟: 原命题成立时, 逆命题有时成立, 有时不成立
一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.
?
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逆命题:
13，12，5； 6，8，10 ； 8，15，17。
证明：作Rt△A′B′C′，
使∠C′=900，A′C′=b，B′C′=a
∴∠C= ∠C′=900 △ABC是直角三角形
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
勾股定理的逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2。
勾股定理
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边C所对的角为直角。
互逆命题
定理
逆定理
定理与逆定理：
我们已经学习了一些互逆的定理,如:
勾股定理及其逆定理。
两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行。
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
分析：根据勾股定理的逆定理, 判断一个三角形是不是直角三角形, 只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形?
(1) a=15，b=17，c=8; (2) a=13，b=15，c=14
解:(1)最大边为17
∵152+82=225+64 =289
172 =289
∴152+82 =172
∴以15, 8, 17为边长的三角形是直角三角形
(2)最大边为15
∵132+142=169+196=365
152 =225
∴132+ 142 ≠ 152
∴以13, 15, 14为边长的三角形不是直角三角形
像15,17,8,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
观察3，4，5；6，8，10；9，12，15；12，16，20；18，24，30这几组勾股数？你发现它们有何联系？有什么样的猜想？
结论：若a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck
（k为正整数)也是一组勾股数．
1.下列各组线段中，不能够围成直角三角形是 （ ）
A、9、12、15 B、8、15、17
C、7、24、25 D、6、8、9
D
看看谁更快！
A、锐角三角形 B、钝角三角形
C、直角三角形 D、等边三角形
C
C
A、锐角三角形 B、钝角三角形
C、直角三角形 D、等边三角形
证明：
∴△AEF是直角三角形，
∠AEF=90°
如图：在Δ ABC中，AB=13㎝，BC=10㎝，BC边上的中线AD=12㎝，求证：AB=AC。
证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD=1/2BC=5㎝
∵在△ABD中，AB=13，
BD=5，AD=12
∴ BD2+AD2=52+122=169=AB2
∴ △ABD是直角三角形，且∠ ADB=900
∴∠ ADC=900， △ACD也是直角三角形。
∴AC=AB=13㎝
∴AB=AC
根据勾股定理得：
例3 已知 , 则由此为三边的三角形是 三角形。
解：依题意 x=6, y=8, z=10,
∵62＋82＝102
∴这个三角形是直角三角形
直角
练习 已知a，b，c为△ABC的三边,且满足
a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判断△ABC的形状.
直角三角形
例4 判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：a=m2-n2，b=m2+n2，c=2mn（m＞n，m、n是正整数）
∵a2 = (m2 - n2 )2 = m4 - 2m2n2 + n4,
b2 = (m2 + n2 )2 = m4 + 2m2n2 + n4,
c2 = (2mn )2 = 4m2n2
又∵m4 - 2m2n2 + n4 + 4m2n2
= m4 + 2m2n2 + n4
∴ a2 + c2 = b2
即: 三角形是直角三角形
解：
练习 已知a.b.c为△ABC的三边,且满足
a2c2 – b2c2=a4 – b4,试判断△ABC的形状.
解 ∵ a2c2- b2c2 = a4 – b4 (1)
∴ c2(a2 – b2) = (a2+ b2) (a2- b2) (2)
∴ c2 = a2 + b2 (3)
∴ △ABC是直角三角形
问: (1) 上述解题过程,从哪一步开始出现错误?＿＿＿
(2) 错误原因是＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
(3) 本题正确的结论是 。
（3）
a2- b2可能是0
直角三角形或等腰三角形
（2）原命题，逆命题之间有什么联系？
（1）勾股定理的逆定理的内容是什么？它有什么作用？
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边C所对的角为直角。
作用：用于判断某个三角形是否是直角三角形。
两个命题的题设与结论正好相反，像这样的两个命题叫做互逆命题．
（1）同旁内角互补，两直线平行。
逆命题是： 。
（2）如果两个角是直角，那么它们相等。
逆命题是： 。
（3）全等三角形的对应边相等。
逆命题是： 。
两直线平行，同旁内角互补
相等的两个角都是直角
三边对应相等的两个三角形全等
1.写出下列命题的逆命题：
2.如果线段a,b,c能组成直角三角形, 则它们的比可能是 ( )
3:4:7; B. 5:12:13; C. 1:2:4; D. 1:3:5.
B
A
3.将直角三角形的三边长度扩大同样的倍数，则得到的三角形是（ ）
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
4.若一个三角形的三边长分别是5、12、13，那么这个三角形的面积是 。
30
5. 以?ABC的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面积是25, 144 , 169, 则这个三角形是______三角形.
直角
6.已知△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下面以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
____ _____ ；
____ _____ ；
____ _____ ；
____ _____ ；
____ _____ ．
不是
是
是
是
是
∠C=90°
∠B=90°
∠C=90°
∠B=90°
记住：小的两个数的平方和等于最大的数的平方时才是直角三角形！
7.△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，以三边为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则△ABC是直角三角形吗？
A
C
a
b
c
S1
S2
S3
B
A
B
C
a
b
c
S1
S2
S3
8.已知三角形ABC的三边长a，b，c为满足a+b=10，ab=18，c=8。此三角形是什么三角形？
直角三角形
是
1.必做题：教材习题17.2第1，2，3题.
2.选做题：教材习题17.2第7题.
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