第二章 相交线与平行线复习题---解答题（含解析）

北师大版数学七下第二章相交线与平行线复习题---解答题
一．解答题
1．（2018秋?海珠区期末）如图，已知直线AB以及点C、点D、点E．
（1）画直线CD交直线AB于点O，画射线OE；
（2）在（1）所画的图中，若∠AOE＝40°，∠EOD：∠AOC＝3：4，求∠AOC的度数．
2．（2018秋?静宁县期末）如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，∠2＝2∠1，∠3＝3∠2，求∠DOE的度数．
3．（2017秋?洛宁县期末）观察，在如图所示的各图中找对顶角（不含平角）：
（1）如图a，图中共有　 　对对顶角．
（2）如图b，图中共有　 　对对顶角．
（3）如图c，图中共有　 　对对顶角
（4）研究（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？
（5）若有2000条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？
4．（2018春?奉贤区期中）如图，已知，∠3＝∠B，∠1+∠2＝180°，∠AED＝∠C大小相等吗？请说明理由．
请完成填空并补充完整．
解：因为∠1+∠2＝180°（已知）
又因为∠2+∠　 　＝180°（邻补角的意义）
所以∠1＝∠　 　（　 　）
5．（2018秋?鞍山期末）已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥OC，OF平分∠AOE
（1）若∠BOC＝60°，则∠AOF的度数为　 　．
（2）若∠COF＝x°，求∠BOC的度数．
6．（2018春?赣县区期末）如图，已知∠DAB＝65°，∠1＝∠C．
（1）在图中画出∠DAB的对顶角；
（2）写出∠1的同位角；
（3）写出∠C的同旁内角；
（4）求∠B的度数．
7．（2018春?金华期中）如图所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．
（1）请指出与∠1是同旁内角的有哪些角？请指出与∠2是内错角的有哪些角？
（2）若∠1＝115°，测得∠BOM＝145°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由．
8．（2018秋?兰州期末）如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，∠1＝∠2，求证：DC∥AB．
9．（2018秋?桐梓县校级期中）已知：如图，BC＝EF，AD＝BE，AC＝DF．求证：BC∥EF．
10．（2018春?庐阳区期末）如图1，点E在直线AB上，点F在直线CD上，EG⊥FG．
（1）若∠BEG+∠DFG＝90°，请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的结论下，当EG⊥FG保持不变，EG上有一点M，使∠MFG＝2∠DFG，则∠BEG与∠MFD存在怎样的数量关系？并说明理由．
（3）如图2，若移动点M，使∠MFG＝n∠DFG，请直接写出∠BEG与∠MFD的数量关系．
11．（2018秋?上杭县期中）如图，点D在△ABC的边AB上，且∠ACD＝∠A．
（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，但不必写出作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．
12．（2018秋?宁阳县期中）已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2．求证：EF∥CD．
13．（2018春?渠县期末）如图，已知∠A＝∠C，∠E＝∠F，试说明：AD∥BC．
14．（2018春?大冶市期末）已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．
（1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数；
（2）求证：BE∥CD．
15．（2018春?新泰市期末）已知：如图，∠A＝∠F，∠C＝∠D．可以判断BD∥CE吗？说明理由．
16．（2018春?孝义市期末）如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠BPQ，OH平分∠CQP，并且∠l＝∠2．说出图中哪些直线互相平行，并说明理由，
17．（2018春?邹城市期末）在横线上完成下面的证明，并在括号内注明理由．
已知：如图，∠ABC+∠BGD＝180°，∠1＝∠2．
求证：EF∥DB．
证明：∵∠ABC+∠BGD＝180°，（已知）
∴　 　．（　 　）
∴∠1＝∠3．（　 　）
又∵∠1＝∠2，（已知）
∴　 　．（　 　）
∴EF∥DB．（　 　）
18．（2018?重庆）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝54°，求∠2的度数．
19．（2018?重庆）如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG＝90°，∠E＝35°，求∠EFB的度数．
20．（2017?重庆）如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC＝42°，EF平分∠AED交AB于点F，求∠AFE的度数．
21．（2018秋?二道区期末）探究：
如图①，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、CB上，且DE∥BC，EF∥AB，若∠ABC＝65°，求∠DEF的度数．请将下面的解答过程补充完整，并填空（理由或数学式）：
解：∵DE∥BC（　 　）
∴∠DEF＝　 　（　 　）
∵EF∥AB
∴　 　＝∠ABC（　 　）
∴∠DEF＝∠ABC（　 　）
∵∠ABC＝65°
∴∠DEF＝　 　
应用：
如图②，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC的延长线上，且DE∥BC，EF∥AB，若∠ABC＝β，则∠DEF的大小为　 　（用含β的代数式表示）．
22．（2018秋?江海区期末）如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠EAB＝110°，∠C＝60°，点D在GH上，求∠BDC的度数．
23．（2018?房山区二模）如图，四边形ABCD，AD∥BC，DC⊥BC于C点，AE⊥BD于E，且DB＝DA．求证：AE＝CD．
24．（2017秋?安岳县期末）如图，已知AB∥CD，∠A＝40°．点P是射线AB上一动点（与点A不重合），CE、CF分别平分∠ACP和∠DCP交射线AB于点E、F．
（1）求∠ECF的度数；
（2）随着点P的运动，∠APC与∠AFC之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；
（3）当∠AEC＝∠ACF时，求∠APC的度数．
25．（2018秋?点军区期中）如图所示，折叠一个宽度相等的纸条，求∠1的度数．
26．（2018秋?道里区校级期中）如图，AB∥CD，∠ABD和∠BDC的平分线交于点E，BE交CD于点F．
（1）求证：∠1+∠2＝90°；
（2）如果∠EDF＝36°，那么∠BFC等于多少度？
27．（2018秋?忻城县期中）如图，已知AB∥ED，CD∥BF，AE＝CF．求证：AB＝ED．
28．（2018秋?嘉祥县期中）如图1，已知过线段AB的两端作直线l1∥l2，作同旁内角的平分线交于点E，过点E作直线m分别和直线l1，12交于点D、C．
（1）如图所示，当D、C在AB的同侧，且不与点A、B重合时，求证：AD+BC＝AB．
（2）当D、C在AB的异侧，且不与点A、B重合时，请在备用图上画出直线m，标出点D、C，并在图形下方直接写出AD、BC、AB之间的数量关系．不用说明理由．
29．（2018秋?南岗区期中）如图，E为DF上的点，B为AC上的点，DF∥AC，∠C＝∠D，求证：∠2＝∠1．
30．（2018秋?九龙坡区校级期中）如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于M、N两点，过点M作MG⊥MN交CD于G点，过点G作GH平分∠MGD，若∠EMB＝40°，求∠MGH的度数．
31．（2018春?鱼台县期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能．
阅读理解：
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．
求∠BAC+∠B+∠C的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程
解：过点A作ED∥BC，所以∠B＝∠EAB，∠C＝　 　．
又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，
所以∠B+∠BAC+∠C＝180°
解题反思：
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：
（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．（提示：过点C作CF∥AB）
深化拓展：
（3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°．点B在点A的左侧，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间，求∠BED的度数．
32．（2017秋?永安市期末）直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，点P是平面内一动点．设∠PFD＝∠1，∠PEB＝∠2，∠FPE＝∠α．
（1）若点P在直线CD上，如图①，∠α＝50°，则∠1+∠2＝　 　°；
（2）若点P在直线AB、CD之间，如图②，试猜想∠α、∠1、∠2之间的等量关系并给出证明；
（3）若点P在直线CD的下方，如图③，（2）中∠α、∠1、∠2之间的关系还成立吗？请作出判断并说明理由．
33．（2018春?上饶县期末）（1）如图1，AM∥CN，求证：
①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；
②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；
（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．
34．（2017秋?新野县期末）（1）如图1，已知AB∥CD，求证：∠BED＝∠1+∠2．
（2）如图2，已知AB∥CD，写出∠1、∠EGH与∠2、∠BEG之间数量关系，并加以证明．
（3）如图3，已知AB∥CD，直接写出∠1、∠3、∠5、与∠2、∠4、∠6之间的关系．
35．（2018春?安庆期末）如图，已知AD∥BC，∠A＝∠C＝50°，线段AD上从左到右依次有两点E、F（不与A、D重合）
（1）AB与CD是什么位置关系，并说明理由；
（2）观察比较∠1、∠2、∠3的大小，并说明你的结论的正确性；
（3）若∠FBD：∠CBD＝1：4，BE平分∠ABF，且∠1＝∠BDC，求∠FBD的度数，判断BE与AD是何种位置关系？
北师大版数学七下第二章相交线与平行线复习题---解答题
参考答案与试题解析
一．解答题
1．（2018秋?海珠区期末）如图，已知直线AB以及点C、点D、点E．
（1）画直线CD交直线AB于点O，画射线OE；
（2）在（1）所画的图中，若∠AOE＝40°，∠EOD：∠AOC＝3：4，求∠AOC的度数．
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）设∠EOD＝3x，∠AOC＝4x，根据对顶角的性质得到∠BOD＝4x，根据平角的定义列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，直线CD，射线OE即为所求；
（2）∵∠EOD：∠AOC＝3：4，
∴设∠EOD＝3x，∠AOC＝4x，
∵∠BOD＝∠AOC，
∴∠BOD＝4x，
∵∠AOB＝180°，
∴40°+3x+4x＝180°，
∴x＝20°，
∴∠AOC＝4x＝80°．
2．（2018秋?静宁县期末）如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，∠2＝2∠1，∠3＝3∠2，求∠DOE的度数．
【分析】直接利用已知结合邻补角的定义分析得出答案．
【解答】解：∵∠2＝2∠1，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝3∠2，
∴∠1+∠2+∠3＝∠2+∠2+3∠2＝180°，
解得：∠2＝40°，
∴∠3＝3∠2＝120°，
∴∠DOE＝∠3＝120°．
3．（2017秋?洛宁县期末）观察，在如图所示的各图中找对顶角（不含平角）：
（1）如图a，图中共有　2　对对顶角．
（2）如图b，图中共有　6　对对顶角．
（3）如图c，图中共有　12　对对顶角
（4）研究（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？
（5）若有2000条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？
【分析】（1）根据对顶角的定义找出即可；
（2）根据对顶角的定义找出即可；
（3）根据对顶角的定义找出即可；
（4）根据求出的结果得出规律，即可得出答案；
（5）把n＝2000代入n（n﹣1），求出即可．
【解答】解：（1）如图a，图中共有2对对顶角，
故答案为：2；
（2）如图b，图中共有6对对顶角．
故答案为：6；
（3）如图c，图中共有12对对顶角；
故答案为；12；
（4）2＝2×1，3×（3﹣1）＝6，4×（4﹣1）＝12，
所以若有n条直线相交于一点，则可形成n（n﹣1）对对顶角；
（5）2000×（2000﹣1）＝3998000，
若有2000条直线相交于一点，则可形成3998000对对顶角．
4．（2018春?奉贤区期中）如图，已知，∠3＝∠B，∠1+∠2＝180°，∠AED＝∠C大小相等吗？请说明理由．
请完成填空并补充完整．
解：因为∠1+∠2＝180°（已知）
又因为∠2+∠　DFE　＝180°（邻补角的意义）
所以∠1＝∠　DFE　（　等量代换　）
【分析】根据平行线的判定方法和平行线的性质填空即可．
【解答】解：因为∠1+∠2＝180°（已知）
又因为∠2+∠DFE＝180°（邻补角的意义）
所以∠1＝∠DFE（ 等量代换），
所以AB∥EF（内错角相等，两直线平行），
所以∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）
因为∠3＝∠B（已知）
所以∠B＝∠ADE（等量代换），
∴DE∥BC（ 同位角相等两直线平行）
∴∠AED＝∠C（ 两直线平行，同位角相等）．
故答案为DFE，DFE，等量代换．
5．（2018秋?鞍山期末）已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥OC，OF平分∠AOE
（1）若∠BOC＝60°，则∠AOF的度数为　15°　．
（2）若∠COF＝x°，求∠BOC的度数．
【分析】（1）根据对顶角的性质得到∠AOD＝∠BOC＝60°，根据垂直的定义得到∠DOE＝90°，根据角平分线的定义即可得到结论；
（2）由垂直的定义得到∠DOE＝∠COE＝90°，根据角平分线的定义得到∠AOE＝2∠EOF＝180°﹣2x°，根据对顶角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠AOD＝∠BOC＝60°，
∵OE⊥OC于点O，
∴∠DOE＝90°，
∴∠AOE＝30°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠AOE＝15°，
故答案为：15°；
（2）∵OE⊥OC于点O，
∴∠COE＝∠DOE＝90°，
∵∠COF＝x°，
∴∠EOF＝x°﹣90°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝2x°﹣180°，
∴∠AOD＝90°﹣∠AOE＝270°﹣2x°，
∴∠BOC＝∠AOD＝270°﹣2x°．
6．（2018春?赣县区期末）如图，已知∠DAB＝65°，∠1＝∠C．
（1）在图中画出∠DAB的对顶角；
（2）写出∠1的同位角；
（3）写出∠C的同旁内角；
（4）求∠B的度数．
【分析】（1）根据对顶角概念，延长DA、BA即可得；
（2）根据同位角定义可得；
（3）根据同旁内角定义求解可得；
（4）由∠1＝∠C知AE∥BC，据此可得∠DAB+∠B＝180°，进一步求解可得．
【解答】解：（1）如图，∠GAH即为所求；
（2）∠1的同位角是∠DAB；
（3）∠C的同旁内角是∠B和∠ADC；
（4）因为∠1＝∠C，
所以AE∥BC．
所以∠DAB+∠B＝180°，
又因为∠DAB＝65°，
所以∠B＝115°．
7．（2018春?金华期中）如图所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．
（1）请指出与∠1是同旁内角的有哪些角？请指出与∠2是内错角的有哪些角？
（2）若∠1＝115°，测得∠BOM＝145°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由．
【分析】（1）根据同位角、内错角的定义（两条直线被第三条直线所截，处于两条直线的同旁，位于第三条直线的一侧的两个角叫同位角，处于两条直线之间，处于第三条直线两侧的两个角叫内错角）逐个判断即可．
（2）根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：（1）与∠1是同旁内角的有∠AOE，∠MOE，∠ADE；
与∠2是内错角的有∠MOE，∠AOE；
（2）∵AB∥CD，
∴∠BOE＝∠1＝115°，
∵∠BOM＝45°，
∴∠MOE＝∠BOM﹣∠BOE＝145°﹣115°＝30°，
∴向上折弯了30°．
8．（2018秋?兰州期末）如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，∠1＝∠2，求证：DC∥AB．
【分析】先利用角平分线定义得到∠3＝∠ADC，∠2＝∠ABC，而∠ABC＝∠ADC，则∠3＝∠2，加上∠1＝∠2，则∠1＝∠3，于是可根据平行线的判定得到DC∥AB．
【解答】证明：∵DE、BF分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，
∴∠3＝∠ADC，∠2＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠3＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴DC∥AB．
9．（2018秋?桐梓县校级期中）已知：如图，BC＝EF，AD＝BE，AC＝DF．求证：BC∥EF．
【分析】证明△CBA≌△FED，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠FED，根据平行线的判定定理证明．
【解答】证明：∵AD＝BE，
∴AD+AE＝BE+AE，即BA＝ED，
在△CBA和△FED中，
，
∴△CBA≌△FED（SSS），
∴∠B＝∠FED，
∴BC∥EF．
10．（2018春?庐阳区期末）如图1，点E在直线AB上，点F在直线CD上，EG⊥FG．
（1）若∠BEG+∠DFG＝90°，请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的结论下，当EG⊥FG保持不变，EG上有一点M，使∠MFG＝2∠DFG，则∠BEG与∠MFD存在怎样的数量关系？并说明理由．
（3）如图2，若移动点M，使∠MFG＝n∠DFG，请直接写出∠BEG与∠MFD的数量关系．
【分析】（1）延长EG交CD于H，根据平角的定义得到∠HGF＝∠EGF＝90°，根据平行线判定定理即可得到结论；
（2）延长EG交CD于H，根据平角的定义得到∠HGF＝∠EGF＝90°，根据平行线判定定理即可得到结论；
（3）根据平角的定义得到∠HGF＝∠EGF＝90°，根据平行线判定定理即可得到结论；
【解答】解：（1）AB∥CD，
理由：延长EG交CD于H，
∴∠HGF＝∠EGF＝90°，
∴∠GHF+∠GFH＝90°，
∵∠BEG+∠DFG＝90°，
∴∠BEG＝∠GHF，
∴AB∥CD；
（2）∠BEG+∠MFD＝90°，
理由：延长EG交CD于H，
∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠GHF，
∵EG⊥FG，
∴∠GHF+∠GFH＝90°，
∵∠MFG＝2∠DFG，
∴∠BEG+∠MFD＝90°；
（3）∠BEG+（）∠MFD＝90°，
理由：∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠GHF，
∵EG⊥FG，
∴∠GHF+∠GFH＝90°，
∵∠MFG＝n∠DFG，
∴∠BEG+∠MFG＝∠BEG+（）∠MFD＝90°．
11．（2018秋?上杭县期中）如图，点D在△ABC的边AB上，且∠ACD＝∠A．
（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，但不必写出作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．
【分析】（1）利用基本作图（作已知角的平分线）作∠BDC的平分线DE；
（2）先根据角平分线的定义得到∠BDE＝∠CDE，再利用三角形外角性质得∠BDC＝∠A+∠ACD，加上∠ACD＝∠A，则∠BDE＝∠A，然后根据平行线的判定方法可判断DE∥BC．
【解答】解：（1）如图，DE为所作；
（2）DE∥AC．理由如下：
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE＝∠CDE，
而∠BDC＝∠A+∠ACD，
即∠BDE+∠CDE＝∠A+∠ACD，
∵∠ACD＝∠A，
∴∠BDE＝∠A，
∴DE∥BC．
12．（2018秋?宁阳县期中）已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2．求证：EF∥CD．
【分析】推出DG∥AC，根据平行线性质得出∠2＝∠ACD，求出∠1＝∠DCA，根据平行线判定推出即可．
【解答】证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC，
∴∠DGB＝∠ACB＝90°（垂直定义），
∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠ACD（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠DCA，
∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）．
13．（2018春?渠县期末）如图，已知∠A＝∠C，∠E＝∠F，试说明：AD∥BC．
【分析】由∠E＝∠F，根据内错角相等，两直线平行得AE∥CF，根据平行线的性质得∠A＝∠ADF，利用等量代换得到∠ADF＝∠C，然后根据同位角相等，两直线平行可判定AD∥BC．
【解答】证明：∵∠E＝∠F，
∴AE∥CF，
∴∠A＝∠ADF，
∵∠A＝∠C，
∴∠ADF＝∠C，
∴AD∥BC．
14．（2018春?大冶市期末）已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．
（1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数；
（2）求证：BE∥CD．
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出∠C的度数；
（2）根据AC∥DE，∠C＝∠E，即可得出∠C＝∠ABE，进而判定BE∥CD．
【解答】解：（1）∵∠A＝∠ADE，
∴AC∥DE，
∴∠EDC+∠C＝180°，
又∵∠EDC＝3∠C，
∴4∠C＝180°，
即∠C＝45°；
（2）∵AC∥DE，
∴∠E＝∠ABE，
又∵∠C＝∠E，
∴∠C＝∠ABE，
∴BE∥CD．
15．（2018春?新泰市期末）已知：如图，∠A＝∠F，∠C＝∠D．可以判断BD∥CE吗？说明理由．
【分析】根据平行线的判定得出AC∥DF，根据平行线的性质求出∠C＝∠CEF，求出∠D＝∠CEF，根据平行线的判定得出即可．
【解答】解：BD∥CE，
理由是：∵∠A＝∠F，
∴AC∥DF，
∴∠C＝∠CEF，
∵∠C＝∠D，
∴∠D＝∠CEF，
∴BD∥CE
16．（2018春?孝义市期末）如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠BPQ，OH平分∠CQP，并且∠l＝∠2．说出图中哪些直线互相平行，并说明理由，
【分析】依据PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，即可得到∠GPQ＝∠1＝∠BPQ，∠HQP＝∠2＝∠CQP，依据∠1＝∠2，可得∠GPQ＝∠HQP，∠BPQ＝∠CQP，进而得出QH∥PG，AB∥CD．
【解答】解：AB∥CD，QH∥PG．
理由：∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，
∴∠GPQ＝∠1＝∠BPQ，∠HQP＝∠2＝∠CQP，
∵∠1＝∠2，
∴∠GPQ＝∠HQP，∠BPQ＝∠CQP，
∴QH∥PG，AB∥CD．
17．（2018春?邹城市期末）在横线上完成下面的证明，并在括号内注明理由．
已知：如图，∠ABC+∠BGD＝180°，∠1＝∠2．
求证：EF∥DB．
证明：∵∠ABC+∠BGD＝180°，（已知）
∴　DG∥AB　．（　同旁内角互补，两直线平行．　）
∴∠1＝∠3．（　两直线平行，内错角相等．　）
又∵∠1＝∠2，（已知）
∴　∠2＝∠3　．（　等量代换　）
∴EF∥DB．（　同位角相等，两直线平行．　）
【分析】由已知的一对同旁内角互补，利用同旁内角互补，两直线平行得出DG与AB平行，再由两直线平行内错角相等得到∠1＝∠3，而∠1＝∠2，等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得到EF与DB平行．
【解答】证明：∵∠ABC+∠BGD＝180°，（已知）
∴DG∥AB（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴EF∥DB（同位角相等，两直线平行 ）．
故答案为：DG∥AB；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠2＝∠3；等量代换；同位角相等，两直线平行．
18．（2018?重庆）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝54°，求∠2的度数．
【分析】直接利用平行线的性质得出∠3的度数，再利用角平分线的定义结合平角的定义得出答案．
【解答】解：∵直线AB∥CD，
∴∠1＝∠3
∵∠1＝54°，
∴∠3＝54°
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠3＝108°，
∵AB∥CD，
∴∠BDC＝180°﹣∠ABD＝72°，
∴∠2＝∠BDC＝72°．
19．（2018?重庆）如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG＝90°，∠E＝35°，求∠EFB的度数．
【分析】依据三角形内角和定理可得∠FGH＝55°，再根据GE平分∠FGD，AB∥CD，即可得到∠FHG＝∠HGD＝∠FGH＝55°，再根据∠FHG是△EFH的外角，即可得出∠EFB＝55°﹣35°＝20°．
【解答】解：∵∠EFG＝90°，∠E＝35°，
∴∠FGH＝55°，
∵GE平分∠FGD，AB∥CD，
∴∠FHG＝∠HGD＝∠FGH＝55°，
∵∠FHG是△EFH的外角，
∴∠EFB＝55°﹣35°＝20°．
20．（2017?重庆）如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC＝42°，EF平分∠AED交AB于点F，求∠AFE的度数．
【分析】由平角求出∠AED的度数，由角平分线得出∠DEF的度数，再由平行线的性质即可求出∠AFE的度数．
【解答】解：∵∠AEC＝42°，
∴∠AED＝180°﹣∠AEC＝138°，
∵EF平分∠AED，
∴∠DEF＝∠AED＝69°，
又∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠DEF＝69°．
21．（2018秋?二道区期末）探究：
如图①，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、CB上，且DE∥BC，EF∥AB，若∠ABC＝65°，求∠DEF的度数．请将下面的解答过程补充完整，并填空（理由或数学式）：
解：∵DE∥BC（　已知　）
∴∠DEF＝　∠CFE　（　两直线平行，内错角相等　）
∵EF∥AB
∴　∠CFE　＝∠ABC（　两直线平行，同位角相等　）
∴∠DEF＝∠ABC（　等量代换　）
∵∠ABC＝65°
∴∠DEF＝　65°　
应用：
如图②，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC的延长线上，且DE∥BC，EF∥AB，若∠ABC＝β，则∠DEF的大小为　180°﹣β　（用含β的代数式表示）．
【分析】探究：依据两直线平行，内错角相等以及两直线平行，同位角相等，即可得到∠DEF＝∠ABC，进而得出∠DEF的度数．
应用：依据两直线平行，同位角相等以及两直线平行，同旁内角互补，即可得到∠DEF的度数．
【解答】解：探究：∵DE∥BC（已知）
∴∠DEF＝∠CFE（两直线平行，内错角相等）
∵EF∥AB
∴∠CFE＝∠ABC（两直线平行，同位角相等）
∴∠DEF＝∠ABC（等量代换）
∵∠ABC＝65°
∴∠DEF＝65°
故答案为：已知；∠CFE；两直线平行，内错角相等；∠CFE；两直线平行，同位角相等；等量代换；65°．
应用：∵DE∥BC
∴∠ABC＝∠D＝β
∵EF∥AB
∴∠D+∠DEF＝180°
∴∠DEF＝180°﹣∠D＝180°﹣β，
故答案为：180°﹣β．
22．（2018秋?江海区期末）如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠EAB＝110°，∠C＝60°，点D在GH上，求∠BDC的度数．
【分析】先利用平行线求出∠CBG，再用邻补角的定义求出∠CBD，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵EF∥GH，
∴∠CBG＝∠EAB，
∵∠EAB＝110°，
∴∠CBG＝110°，
∴∠CBD＝180°﹣∠CBG＝70°，
在△BCD中，∵∠C＝60°，
∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝180°﹣60°﹣70°＝50°，
即：∠BDC的度数为50°．
23．（2018?房山区二模）如图，四边形ABCD，AD∥BC，DC⊥BC于C点，AE⊥BD于E，且DB＝DA．求证：AE＝CD．
【分析】依据平行线的性质，即可得到∠ADB＝∠DBC，再根据∠C＝∠AED＝90°，DB＝DA，即可得到△AED≌△DCB，进而得到AE＝CD．
【解答】解：∵AD∥BC
∴∠ADB＝∠DBC
∵DC⊥BC于点C，AE⊥BD于点E
∴∠C＝∠AED＝90°
又∵DB＝DA
∴△AED≌△DCB（AAS）
∴AE＝CD
24．（2017秋?安岳县期末）如图，已知AB∥CD，∠A＝40°．点P是射线AB上一动点（与点A不重合），CE、CF分别平分∠ACP和∠DCP交射线AB于点E、F．
（1）求∠ECF的度数；
（2）随着点P的运动，∠APC与∠AFC之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；
（3）当∠AEC＝∠ACF时，求∠APC的度数．
【分析】（1）依据平行线的性质，即可得到∠ACD的度数，再根据角平分线，即可得出∠ECF的度数；
（2）依据平行线的性质，以及角平分线，即可得到∠APC＝2∠AFC；
（3）依据平行线的性质可得∠AEC＝∠ECD，当∠AEC＝∠ACF时，则有∠ECD＝∠ACF，进而得出∠ACE＝∠DCF，依据∠PCD＝∠ACD＝70°，即可得出∠APC＝70°．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠A+∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝180°﹣40°＝140°，
∵CE平分∠ACP，CF平分∠DCP，
∴∠ACP＝2∠ECP，∠DCP＝2∠PCF，
∴∠ECF＝∠ACD＝70°；
（2）不变．数量关系为：∠APC＝2∠AFC．
∵AB∥CD，
∴∠AFC＝∠DCF，∠APC＝∠DCP，
∵CF平分∠DCP，
∴∠DCP＝2∠DCF，
∴∠APC＝2∠AFC；
（3）∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠ECD，
当∠AEC＝∠ACF时，则有∠ECD＝∠ACF，
∴∠ACE＝∠DCF，
∴∠PCD＝∠ACD＝70°，
∴∠APC＝∠PCD＝70°．
25．（2018秋?点军区期中）如图所示，折叠一个宽度相等的纸条，求∠1的度数．
【分析】依据折叠以及平行线的性质，即可得出∠1＝∠2，再根据三角形外角性质，即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3，
由折叠可得∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
又∵∠EFC＝∠1+∠2，
∴∠1＝∠EFC＝40°．
26．（2018秋?道里区校级期中）如图，AB∥CD，∠ABD和∠BDC的平分线交于点E，BE交CD于点F．
（1）求证：∠1+∠2＝90°；
（2）如果∠EDF＝36°，那么∠BFC等于多少度？
【分析】（1）依据平行线的性质，以及角平分线的定义，即可得到∠1+∠2＝（∠ABD+∠BDC），进而得出结论；
（2）依据角平分线定义以及（1）中的结论，即可得出∠1＝54°，再根据平行线的性质，即可得到∠BFC的度数．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠BDC＝180°，
∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，
∴∠1＝∠ABD，∠2＝∠BDC，
∴∠1+∠2＝（∠ABD+∠BDC）＝90°，
（2）∵DE平分∠BDC，
∴∠2＝∠EDF＝36°，
又∵∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝54°，
又∵AB∥CD，
∴∠BFC＝180°﹣∠1＝180°﹣54°＝126°．
27．（2018秋?忻城县期中）如图，已知AB∥ED，CD∥BF，AE＝CF．求证：AB＝ED．
【分析】根据平行线性质得到∠A＝∠DEC，∠C＝∠AFB，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵AB∥ED，CD∥BF，
∴∠A＝∠DEC，∠C＝∠AFB，
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE，
在△ABF与△EDC中，
∴△ABF≌△EDC，（ASA），
∴AB＝ED．
28．（2018秋?嘉祥县期中）如图1，已知过线段AB的两端作直线l1∥l2，作同旁内角的平分线交于点E，过点E作直线m分别和直线l1，12交于点D、C．
（1）如图所示，当D、C在AB的同侧，且不与点A、B重合时，求证：AD+BC＝AB．
（2）当D、C在AB的异侧，且不与点A、B重合时，请在备用图上画出直线m，标出点D、C，并在图形下方直接写出AD、BC、AB之间的数量关系．不用说明理由．
【分析】（1）延长BE与l1交于F，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠FAE＝∠BAD，∠ABE＝ABC，根据全等三角形的性质得到BE＝FE，AB＝AF，根据全等三角形的性质得到BC＝FD，于是得到AD+BC＝AB；
（2）方法同（1）．
【解答】（1）证明：延长BE与l1交于F，
∵AE平分∠FAB，EB平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠FAE＝∠BAD，∠ABE＝ABC，
∵l1∥l2，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∴∠BAE+∠ABE＝（BAD+∠ABC+＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠AEF＝90°，
在△AEB与△AEF中，
∴△AEB≌△AEF，（ASA），
∴BE＝FE，AB＝AF，
即AD+FD＝AB，
∵l1∥l2，
∴∠CBE＝∠DFE，
在△CBE与△DFE中，，
∴△CBE≌△DFE（ASA），
∴BC＝FD，
∴AD+BC＝AB；
（2）如备用图1，BC﹣AD＝AB；
如备用图2，AD﹣BC＝AB．
29．（2018秋?南岗区期中）如图，E为DF上的点，B为AC上的点，DF∥AC，∠C＝∠D，求证：∠2＝∠1．
【分析】依据平行线的性质，即可得到∠C＝∠CEF，依据∠CEF＝∠D，即可得到BD∥CE，进而得出∠3＝∠4，再根据对顶角相等，即可得到∠2＝∠1．
【解答】证明：∵DF∥AC，
∴∠C＝∠CEF，
又∵∠C＝∠D，
∴∠CEF＝∠D，
∴BD∥CE，
∴∠3＝∠4，
又∵∠3＝∠2，∠4＝∠1，
∴∠2＝∠1．
30．（2018秋?九龙坡区校级期中）如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于M、N两点，过点M作MG⊥MN交CD于G点，过点G作GH平分∠MGD，若∠EMB＝40°，求∠MGH的度数．
【分析】首先求出∠MGN，再根据角平分线的定义可得∠MGH．
【解答】解：∵MG⊥EF，
∴∠GME＝90°，
∴∠BMG＝90°﹣∠EMB＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠BMG＝∠MGN＝50°，
∴∠MGD＝130°，
∵GH平分∠MGD，
∴∠MGH＝∠MGD＝65°．
31．（2018春?鱼台县期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能．
阅读理解：
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．
求∠BAC+∠B+∠C的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程
解：过点A作ED∥BC，所以∠B＝∠EAB，∠C＝　∠DAE　．
又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，
所以∠B+∠BAC+∠C＝180°
解题反思：
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：
（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．（提示：过点C作CF∥AB）
深化拓展：
（3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°．点B在点A的左侧，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间，求∠BED的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）过C作CF∥AB根据平行线的性质得到∠D＝∠FCD，∠B＝∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；
（3）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数．
【解答】解：（1）∵ED∥BC，
∴∠C＝∠DAE，
故答案为：∠DAE；
（2）过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠D＝∠FCD，
∵CF∥AB，
∴∠B＝∠BCF，
∵∠BCF+∠BCD+∠DCF＝360°，
∴∠B+∠BCD+∠D＝360°，
（3）如图3，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，
∴∠ABE＝∠ABC＝30°，∠CDE＝∠ADC＝35°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝30°+35°＝65°．
32．（2017秋?永安市期末）直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，点P是平面内一动点．设∠PFD＝∠1，∠PEB＝∠2，∠FPE＝∠α．
（1）若点P在直线CD上，如图①，∠α＝50°，则∠1+∠2＝　50　°；
（2）若点P在直线AB、CD之间，如图②，试猜想∠α、∠1、∠2之间的等量关系并给出证明；
（3）若点P在直线CD的下方，如图③，（2）中∠α、∠1、∠2之间的关系还成立吗？请作出判断并说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）过点P作PG∥AB，根据平行线的性质即可得到结论；
（3）过点P作PG∥CD，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠α＝50°，
故答案为：50；
（2）∠α＝∠1+∠2，
证明：过点P作PG∥∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠2＝∠3，∠1＝∠4，
∴∠α＝∠3+∠4＝∠1+∠2；
（3）∠α＝∠2﹣∠1，
证明：过点P作PG∥CD，
∵AB∥CD，
∴PG∥AB，
∴∠2＝∠EPG，∠1＝∠3，
∴∠α＝∠EPG﹣∠3＝∠2﹣∠1．
33．（2018春?上饶县期末）（1）如图1，AM∥CN，求证：
①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；
②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；
（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．
【分析】（1）①过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG，依据平行线的性质，即可得到∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°，即可得到∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；
②过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN，依据平行线的性质，即可得到∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°，即可得到∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；
（2）过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，即可得出所有角的和为（n+1）?180°．
【解答】解：（1）①证明：如图1，过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG
∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°
∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360°
∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°
②如图，过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN，
∵AM∥CN，
∴EP∥FQ，
∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°
∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°；
（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）?180°．
证明：如图2，过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，
∴所有角的和为（n+1）?180°．
34．（2017秋?新野县期末）（1）如图1，已知AB∥CD，求证：∠BED＝∠1+∠2．
（2）如图2，已知AB∥CD，写出∠1、∠EGH与∠2、∠BEG之间数量关系，并加以证明．
（3）如图3，已知AB∥CD，直接写出∠1、∠3、∠5、与∠2、∠4、∠6之间的关系．
【分析】（1）过点E作EF∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠3+∠4＝∠1+∠2，进而得出∠BED＝∠1+∠2；
（2）分别过点E、G作EF∥AB，GH∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠1+∠5+∠6＝∠3+∠4+∠2，进而得到∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG；
（3）分别过平行线间的折点作AB的平行线，依据平行线的性质，即可得到∠1、∠3、∠5与∠2、∠4、∠6之间的关系．
【解答】解：（1）证明：如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠3＝∠1，∠4＝∠2，
∴∠3+∠4＝∠1+∠2，
即∠BED＝∠1+∠2；
（2）∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG，
理由如下：如图，分别过点E、G作EF∥AB，GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥GH∥CD，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠2，
∴∠1+∠5+∠6＝∠3+∠4+∠2，
即∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG；
（3）由题可得，向左的角度数之和与向右的角度数之和相等，
∴∠1、∠3、∠5与∠2、∠4、∠6之间的关系为：
∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4+∠6．
35．（2018春?安庆期末）如图，已知AD∥BC，∠A＝∠C＝50°，线段AD上从左到右依次有两点E、F（不与A、D重合）
（1）AB与CD是什么位置关系，并说明理由；
（2）观察比较∠1、∠2、∠3的大小，并说明你的结论的正确性；
（3）若∠FBD：∠CBD＝1：4，BE平分∠ABF，且∠1＝∠BDC，求∠FBD的度数，判断BE与AD是何种位置关系？
【分析】（1）根据平行线的判定证明即可；
（2）根据平行线的性质解答即可；
（3）根据平行线的性质和角平分线的性质解答即可．
【解答】解：（1）AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∵∠A＝50°，
∴∠ABC＝130°，
∵∠C＝50°，
∴∠C+∠ABC＝180°，
∴AB∥CD；
（2）∠1＞∠2＞∠3，
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠EBC，∠2＝∠FBC，∠3＝∠DBC，
∵∠EBC＞∠FBC＞∠DBC，
∴∠1＞∠2＞∠3．
（3）∵AD∥BC，
∴∠1＝∠EBC，
∵AB∥CD，
∴∠BDC＝∠ABD，
∵∠1＝∠BDC，
∴∠ABE＝∠DBC，
∵BE平分∠ABF，
设∠FBD＝x°，则∠DBC＝4x°，
∴∠ABE＝∠EBF＝4x°，
∴4x+4x+x+4x＝130°，
∴x＝10°，
∴∠1＝4x+x+4x＝90°，
∴BE⊥AD．