第五章 生活中的轴对称复习题---解答题（含解析）

北师大版数学七下第五章生活中的轴对称复习题---解答题
一．解答题
1．（2018秋?丰城市期中）如图，∠A＝90°，E为BC上的一点，A点和E点关于BD对称；B点、C点关于DE对称，请你求∠C的度数．
2．（2017秋?滦南县期末）如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若ED＝4cm，FC＝lcm，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°
（1）求出BF的长度；
（2）求∠CAD的度数；
（3）连接EC，线段EC与直线MN有什么关系？
3．（2017秋?无为县期末）如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA．
（1）求证：∠BAD＝∠EDC；
（2）作出点E关于直线BC的对称点M，连接DM、AM，猜想DM与AM的数量关系，并说明理由．
4．（2018秋?潮安区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，4），B（2，﹣4）．
（1）若点A关于x轴、y轴的对称点分别是点C、D，请分别描出并写出点C、D的坐标；
（2）在y轴上求作一点P，使PA+PB最小（不写作法，保留作图痕迹）
5．（2018秋?江阴市期中）如图，在△ABC的一边AB上有一点P．
（1）能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N，使得△PMN的周长最短．若能，请画出点M、N的位置，若不能，请说明理由；
（2）若∠ACB＝40°，在（1）的条件下，求出∠MPN的度数．
6．（2018秋?长春期末）如图所示，在△ABC中：
（1）下列操作中，作∠ABC的平分线的正确顺序是　 　（将序号按正确的顺序写在横线上）．
①分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点P；
②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交AB于点M，交BC于N点；
③画射线BP，交AC于点D．
（2）能说明∠ABD＝∠CBD的依据是　 　（填序号）．
①SSS．②ASA．③AAS．④角平分线上的点到角两边的距离相等．
（3）若AB＝18，BC＝12，S△ABC＝120，过点D作DE⊥AB于点E，求DE的长．
7．（2018秋?德惠市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，求AC的长．
8．（2018秋?浦东新区期末）已知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．
9．（2018秋?江门期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM⊥DM；
（2）M为BC的中点．
10．（2018秋?老河口市期中）如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．
11．（2018秋?武昌区校级期中）在△ABC中，AE、BF是角平分线，交于O点．
（1）如图1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度数．
（2）如图2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度数．
（3）如图3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，S△CEF＝4，求S△AOB．
12．（2018秋?淮上区期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于D、E两点，连接AE，若AE平分∠BAC，求∠C的度数．
13．（2018秋?淮安区期中）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若△AEG的周长为8，求BC的长．
14．（2018秋?垦利区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点F，若∠F＝30°，DE＝1，试求EF的长
15．（2018秋?合阳县期中）如图所示，在△ABC中，MP和NQ分别垂直平分AB和AC，MP分别交AB、BC于M、P两点，NQ分别交AC、BC于N、Q两点，连接AP、AQ．
（1）若△APQ的周长为18，求BC的长；
（2）若∠BAC＝110°，求∠PAQ的度数．
16．（2018春?成都期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°，边AB的垂直平分线分别交AB和BC于点D，E，且AE平分∠BAC．
（1）求∠C的度数；
（2）若CE＝1，求AB的长．
17．（2017秋?盐山县期末）△ABC中，∠ABC＝110°，AB边的垂直平分线交AB于D、AC于E，BC边的垂直平分线交BC于F、AC于G、AB的垂直平分线于H，求∠EBG和∠DHF的度数．
18．（2018春?宿州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的延长线上一点，EH是BD的垂直平分线，DE交AC于F，求证：E在AF的垂直平分线上．
19．（2018春?金牛区校级期中）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，FE垂直平分AD，交AD于E，交BC的延长线于F，那么∠B与∠CAF相等吗？为什么？
20．（2018春?市北区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．
21．（2018秋?石景山区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，CE⊥AB于点E．求证：∠CAD＝∠BCE．
22．（2018秋?密云区期末）已知：如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD平分∠BAC，且AD＝AE；求∠EDC的度数．
23．（2018秋?朝阳区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D是AC上一点，E是BC延长线上一点，连接BD，DE，若∠ABD＝20°，BD＝DE，求∠CDE的度数．
24．（2018秋?朝阳区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形内一点，连接AD，BD，CD，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）求∠ADB的度数．
25．（2018秋?乌拉特前旗期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，直线DE垂直平分AB，若∠A＝40°，则
（1）求∠DBC的度数；
（2）若AB＝12，BC＝7，求△BCD的周长．
26．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．
（1）若∠ABC＝68°，则∠NMA的度数是　 　度；
（2）若AB＝10cm，△MBC的周长是18cm．求BC的长度．
27．（2018秋?南关区期末）在等腰三角形ABC中，
（1）若∠A＝110°，则∠B＝　 　度；
（2）若∠A＝40°，则∠B＝　 　度．
通过上述解答，发现∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝α，求∠B的度数（用含α的式子表示）．请你根据∠B的度数的个数探索α的取值范围．
28．（2018秋?江海区期末）如图：已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC
求证：∠C＝2∠D．
29．（2018秋?南开区期末）如图所示，△ABC中，AB＝AC，E在AC上，D在BA的延长线上，且AD＝AE，连接DE．求证：DE⊥BC．
30．（2018秋?昭通期末）一个等腰三角形的周长为25cm．
（1）已知腰长是底边长的2倍，求各边的长；
（2）已知其中一边的长为6cm．求其它两边的长．
31．（2018秋?南部县校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠CAD＝60°，∠C＝α
（1）用α表示∠BAD，则∠BAD＝　 　；
（2）求∠EDB的度数．
32．（2018秋?临安区期中）（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且AD＝BD＝BC，求∠A的度数；
（2）如图2，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB＝BC＝CD＝DE．
①若∠EDM＝84°，求∠A的度数：
②若以E为圆心，ED为半径作弧，与射线DM上没有交点（除D点外），直接写出∠A的取值范围．
33．（2018秋?海门市期中）如图所示，在△ABC中，BC＝BD＝AD，∠CBD＝36°，求∠A和∠C的度数．
34．（2018秋?沙洋县期中）如图，在△DBC中，DB＝DC，A为△DBC外一点，且∠BAC＝∠BDC，DM⊥AC于M．
（1）求证：AD平分△ABC的外角；
（2）判断AM、AC、AB有怎样的数量关系，并证明你的结论．
35．（2018秋?洪山区期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．
（1）如图，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是　 　
（2）问题解决：如图，求证AD＝CD；
（3）问题拓展：如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC．
36．（2018秋?洪山区期中）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，BC上，且AD＝BE，BD＝AC，过E作EF⊥AB于F．
（1）求证：∠FED＝∠CED；
（2）若BF＝，直接写出CE的长为　 　．

北师大版数学七下第五章生活中的轴对称复习题---解答题
参考答案与试题解析
一．解答题
1．（2018秋?丰城市期中）如图，∠A＝90°，E为BC上的一点，A点和E点关于BD对称；B点、C点关于DE对称，请你求∠C的度数．
【分析】借助轴对称的性质，A点和E点关于BD对称，有∠ABD＝∠EBD，即∠ABC＝2∠ABD＝2∠EBD，B点、C点关于DE对称，可得∠DBE＝∠BCD，结合上式可得：∠ABC＝2∠BCD，且∠ABC+∠BCD＝90°，进而求得∠C的值．
【解答】解：∵A点和E点关于BD对称，
∴∠ABD＝∠EBD，即∠ABC＝2∠ABD＝2∠EBD．
又B点、C点关于DE对称，
∴∠DBE＝∠C，∠ABC＝2∠C．
∵∠A＝90°，
∴∠ABC+∠C＝2∠C+∠C＝3∠C＝90°．
∴∠C＝30°．
2．（2017秋?滦南县期末）如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若ED＝4cm，FC＝lcm，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°
（1）求出BF的长度；
（2）求∠CAD的度数；
（3）连接EC，线段EC与直线MN有什么关系？
【分析】根据△ABC与△ADE关于直线MN对称确定对称点，从而确定对称线段、对称角和对称三角形，利用轴对称的性质即可解决问题；
【解答】解：（1）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，ED＝4cm，FC＝1cm，
∴BC＝ED＝4cm，
∴BF＝BC﹣FC＝3cm．
（2）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°，
∴∠EAD＝∠BAC＝76°，
∴∠CAD＝∠EAD﹣∠EAC＝76°﹣58°＝18°．
（3）结论：直线MN垂直平分线段EC．理由如下：
∵E，C关于直线MN对称，
∴直线MN垂直平分线段EC．
3．（2017秋?无为县期末）如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA．
（1）求证：∠BAD＝∠EDC；
（2）作出点E关于直线BC的对称点M，连接DM、AM，猜想DM与AM的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，得出∠E＝∠DAC，根据等边三角形的性质，得出∠BAD+∠DAC＝∠E+∠EDC＝60°，据此可得出∠BAD＝∠EDC；
（2）根据轴对称作图，要证明DA＝AM，只需根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，证△ADM是等边三角形即可．
【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°．
又∵∠BAD+∠DAC＝∠BAC，∠EDC+∠DEC＝∠ACB，
∴∠BAD+∠DAC＝∠EDC+∠DEC．
∵DE＝DA，
∴∠DAC＝∠DEC，
∴∠BAD＝∠EDC．
（2）猜想：DM＝AM．理由如下：
∵点M、E关于直线BC对称，
∴∠MDC＝∠EDC，DE＝DM．
又由（1）知∠BAD＝∠EDC，
∴∠MDC＝∠BAD．
∵∠ADC＝∠BAD+∠B，
即∠ADM+∠MDC＝∠BAD+∠B，
∴∠ADM＝∠B＝60°．
又∵DA＝DE＝DM，
∴△ADM是等边三角形，
∴DM＝AM．
4．（2018秋?潮安区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，4），B（2，﹣4）．
（1）若点A关于x轴、y轴的对称点分别是点C、D，请分别描出并写出点C、D的坐标；
（2）在y轴上求作一点P，使PA+PB最小（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】（1）利用关于坐标轴对称点坐标关系得出C，D两点坐标即可；
（2）连接BD交y轴于点P，P点即为所求．
【解答】解：（1）如图所示；C点坐标为；（4，﹣4），D点坐标为：（﹣4，4）；
（2）连接BD交y轴于点P，P点即为所求；
5．（2018秋?江阴市期中）如图，在△ABC的一边AB上有一点P．
（1）能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N，使得△PMN的周长最短．若能，请画出点M、N的位置，若不能，请说明理由；
（2）若∠ACB＝40°，在（1）的条件下，求出∠MPN的度数．
【分析】（1）作点P关于AC的对称点P′，点P关于BC的对称点P″，连接P′，P″交AC于点M，交BC于点N．连接PM，PN，△PMN的周长最短；
（2）想办法求出∠APM+∠BPN即可解决问题；
【解答】解：（1）存在，如图，点M，N即为所求；
（2）∵∠ACB＝40°，
∴∠A+∠B＝180°﹣40°＝140°，
根据对称的性质可知：∠A＝∠AMP，∠B＝∠PNB，
∴∠A+∠AMP+∠B+∠PNB＝280°，
∴∠APM+∠BPN＝360°﹣280°＝80°，
∴∠MPN＝180°﹣（∠APM+∠BPN）＝100°．
6．（2018秋?长春期末）如图所示，在△ABC中：
（1）下列操作中，作∠ABC的平分线的正确顺序是　②①③　（将序号按正确的顺序写在横线上）．
①分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点P；
②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交AB于点M，交BC于N点；
③画射线BP，交AC于点D．
（2）能说明∠ABD＝∠CBD的依据是　①　（填序号）．
①SSS．②ASA．③AAS．④角平分线上的点到角两边的距离相等．
（3）若AB＝18，BC＝12，S△ABC＝120，过点D作DE⊥AB于点E，求DE的长．
【分析】（1）根据尺规作图作角平分线的步骤解答；
（2）根据全等三角形的判定定理和性质定理解答；
（3）过点D作DF⊥BC与F，根据角平分线的性质定理得到DE＝DF，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）作∠ABC的平分线的正确顺序是②①③，
故答案为：②①③；
（2）在△MBP和△NBP中，
，
∴△MBP≌△NBP（SSS），
∴∠ABD＝∠CBD，
故答案为：①；
（3）过点D作DF⊥BC与F，
∵∠ABD＝∠CBD，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
S△ABC＝S△ABD+S△CBD，即×AB×DE+×BC×DF＝120，
∴×18×DE+×12×DE＝120，
解得，DE＝8．
7．（2018秋?德惠市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，求AC的长．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，再利用勾股定理列式求出BE，然后设AC＝AE＝x，根据勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，
∴DE＝CD＝1.5，
在Rt△DEB中，由勾股定理得：
BE＝＝＝2，
∵AD＝AD，CD＝DE，∠C＝∠AED，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AC＝AE，
设AC＝AE＝x，则AB＝x+2，
由勾股定理得：AB2＝AC2+CB2，
即（x+2）2＝x2+42，
解得x＝3，
∴AC＝3．
8．（2018秋?浦东新区期末）已知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DOC＝90°，根据等腰三角形的三线合一证明即可．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴∠ODC+∠OCD＝90°，
∴∠DOC＝90°，又CE平分∠BCD，
∴CE是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，又∠DOC＝90°，
∴EC平分∠BED，
∴点O到EB与ED的距离相等．
9．（2018秋?江门期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM⊥DM；
（2）M为BC的中点．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC＝180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM＝90°，根据垂直的定义得到答案；
（2）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM＝MN，MN＝CM，等量代换得到答案．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴2∠MAD+2∠ADM＝180°，
∴∠MAD+∠ADM＝90°，
∴∠AMD＝90°，
即AM⊥DM；
（2）作NM⊥AD交AD于N，
∵∠B＝90°，AB∥CD，
∴BM⊥AB，CM⊥CD，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴BM＝MN，MN＝CM，
∴BM＝CM，
即M为BC的中点．
10．（2018秋?老河口市期中）如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．
【分析】根据DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，可知∠CAD＝∠BAD，然后根据SAS证明△ADC≌△ADB即可证明结论．
【解答】证明：连接AD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD，（SAS），
∴BD＝CD．
11．（2018秋?武昌区校级期中）在△ABC中，AE、BF是角平分线，交于O点．
（1）如图1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度数．
（2）如图2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度数．
（3）如图3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，S△CEF＝4，求S△AOB．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADC＝90°，根据角平分线的定义得到∠ABO＝30°，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）连接OC，根据角平分线的性质得到OM＝ON，根据全等三角形的性质得到∠EOM＝∠FOH，根据角平分线的定义即可得到结论；
（3）根据勾股定理得到AB＝＝10，根据三角形的面积公式得到CF，求得AF，得到S△ABF＝S△ABC﹣S△BCF，根据角平分线定理得到＝＝2，求得＝2，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝70°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；
∵∠BAC＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABO＝30°，
∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°；
（2）连接OC，
∴AE、BF是角平分线，交于O点，
∴OC是∠ACB的角平分线，
∴∠OCF＝∠OCE，
过O作OM⊥BC，ON⊥AC，
则OM＝ON，
在Rt△OEM与Rt△OFN中，，
∴Rt△OEM≌Rt△OFN，（HL），
∴∠EOM＝∠FON，
∴∠MON＝∠EOF＝180°﹣∠C，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠AOB＝90°+∠ACB，
即90°+∠ACB＝180°﹣∠ACB，
∴∠ACB＝60°；
（3）∵∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，
∴AB＝＝10，
∵AE是角平分线，
∴＝，
∴BE＝5，CE＝3，
∵S△CEF＝EC?CF＝×3?CF＝4，
∴CF＝，
∴AF＝，
∵S△ABC＝BC?AC＝×8×6＝24，
∴S△ABF＝S△ABC﹣S△BCF＝24﹣×8×＝，
∵AE平分∠BAC，
∴＝3，
∴＝3，
∴S△AOB＝×＝10．
12．（2018秋?淮上区期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于D、E两点，连接AE，若AE平分∠BAC，求∠C的度数．
【分析】先由线段垂直平分线的性质及∠B＝30°求出∠BAE＝30°，再由AE平分∠BAC可得出∠EAC＝∠BAE＝30°，由三角形内角和定理即可求出∠C的度数．
【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∠B＝30°，
∴∠BAE＝∠B＝30°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAE＝30°，
即∠BAC＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
13．（2018秋?淮安区期中）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若△AEG的周长为8，求BC的长．
【分析】根据题意，利用线段垂直平分线定理得到AE＝BE，AG＝CG，等量代换即可求出所求．
【解答】解：∵△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，
∴AE＝BE，AG＝CG，
∵△AEG的周长为8，
∴BC＝BE+EG+CGAE+EG+AG＝8．
14．（2018秋?垦利区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点F，若∠F＝30°，DE＝1，试求EF的长
【分析】首先连接BE，由AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，可得AE＝BE，又由在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，易求得∠A＝∠F﹣＝∠ABE＝∠CBE＝30°，则可证得BE＝EF，然后在Rt△BCE中，利用含30°角的直角三角形的性质，求得答案．
【解答】解：连接BE，
∵AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，
∴AE＝BE，∠A+∠AED＝90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠F+∠CEF＝90°，
∵∠AED＝∠FEC，
∴∠A＝∠F＝30°，
∴∠ABE＝∠A＝30°，∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，
∴∠CBE＝∠F，
∴BE＝EF，
在Rt△BED中，BE＝2DE＝2×1＝2，
∴EF＝2．
15．（2018秋?合阳县期中）如图所示，在△ABC中，MP和NQ分别垂直平分AB和AC，MP分别交AB、BC于M、P两点，NQ分别交AC、BC于N、Q两点，连接AP、AQ．
（1）若△APQ的周长为18，求BC的长；
（2）若∠BAC＝110°，求∠PAQ的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PB，QA＝QC，根据三角形周长公式计算；
（2）根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝70°，根据等腰三角形的性质计算．
【解答】解：（1）∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴PA＝PB，QA＝QC，
∵△APQ的周长为18，
∴AP+PQ+AQ＝BP+PQ+QC＝18，
∴BC＝18；
（2）∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝70°，
∵PA＝PB，QA＝QC，
∴∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C，
∴∠PAB+∠QAC＝∠B+∠C＝70°，
∴∠PAQ＝40°．
16．（2018春?成都期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°，边AB的垂直平分线分别交AB和BC于点D，E，且AE平分∠BAC．
（1）求∠C的度数；
（2）若CE＝1，求AB的长．
【分析】（1）先由线段垂直平分线的性质及∠B＝30°求出∠BAE＝30°，再由AE平分∠BAC可得出∠EAC＝∠BAE＝30°，由三角形内角和定理即可求出∠C的度数．
（2）根据含30°的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，∠B＝30°，
∴∠BAE＝∠B＝30°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAE＝30°，
即∠BAC＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
（2）∵∠C＝90°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，CE＝1，
∴AC＝，
∴AB＝2．
17．（2017秋?盐山县期末）△ABC中，∠ABC＝110°，AB边的垂直平分线交AB于D、AC于E，BC边的垂直平分线交BC于F、AC于G、AB的垂直平分线于H，求∠EBG和∠DHF的度数．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，GB＝GC，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和解答即可．
【解答】解：∵AB的垂直平分线交AC于点E，BC的垂直平分线交AC于点G，
∴EA＝EB，GB＝GC，
∵∠ABC＝110°，
∴∠A+∠C＝70°，
∵EA＝EB，GB＝GC，
∴∠ABE＝∠A，∠GBC＝∠C，
∴∠ABE+∠GBC＝70°，
∴∠EBG＝110°﹣70°＝40°，
在四边形BDHF中，∵∠ABC＝110°、∠HDB＝∠HFB＝90°，
∴∠DHF＝360°﹣∠ABC﹣∠HDB﹣∠HFB＝70°．
18．（2018春?宿州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的延长线上一点，EH是BD的垂直平分线，DE交AC于F，求证：E在AF的垂直平分线上．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到BE＝DE，根据等腰三角形的性质得到∠BEH＝∠DEH，根据平行线的性质得到∠BEH＝∠BAC，∠DEH＝∠AFE，等量代换得到∠EAF＝∠AFE，根据得到结论．
【解答】证明：∵EH垂直平分BD，
∴BE＝DE，
∴∠BEH＝∠DEH，
∵∠ACB＝90°，
∴EH∥AC，
∴∠BEH＝∠BAC，∠DEH＝∠AFE，
∴∠EAF＝∠AFE，
∴AE＝EF，
∴点E在AF的垂直平分线上．
19．（2018春?金牛区校级期中）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，FE垂直平分AD，交AD于E，交BC的延长线于F，那么∠B与∠CAF相等吗？为什么？
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FD，得到∠FAD＝∠FDA，根据角平分线的定义、三角形的外角的性质解答．
【解答】解：∠B＝∠CAF，
理由如下：∵FE垂直平分AD，
∴FA＝FD，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∠FAD＝∠FAC+∠CAD，∠FDA＝∠B+∠BAD，
∴∠B＝∠CAF．
20．（2018春?市北区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．
【分析】证明Rt△BDE≌Rt△BCE，根据全等三角形的性质得到ED＝EC，根据线段垂直平分线的判定定理证明．
【解答】证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠ACB＝∠BDE＝90°，
在Rt△BDE和Rt△BCE中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE，
∴ED＝EC，
∵ED＝EC，BD＝BC，
∴BE垂直平分CD．
21．（2018秋?石景山区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，CE⊥AB于点E．求证：∠CAD＝∠BCE．
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠ACB，根据等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合得到AD⊥BC，再根据直角三角形的两个锐角互余和等角的余角相等即可求解．
【解答】证明：∵AB＝AC，BD＝CD（已知），
∴∠B＝∠ACB（等边对等角），AD⊥BC（等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）．
又∵CE⊥AB（已知），
∴∠CAD+∠ACB＝90°，∠BCE+∠B＝90°（直角三角形的两个锐角互余）．
∴∠CAD＝∠BCE（等角的余角相等）．
22．（2018秋?密云区期末）已知：如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD平分∠BAC，且AD＝AE；求∠EDC的度数．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得到∠ADC＝90°，根据角平分线的性质得到∠DAE＝40°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠ADE＝70°，再根据角的和差关系求得∠EDC的度数．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠DAE＝∠BAC＝40°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝70°，
∴∠EDC＝90°﹣70°＝20°．
23．（2018秋?朝阳区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D是AC上一点，E是BC延长线上一点，连接BD，DE，若∠ABD＝20°，BD＝DE，求∠CDE的度数．
【分析】由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝50°，那么∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°．因为△BDE是等腰三角形，所以∠E＝∠DBC＝30°，然后根据三角形外角的性质即可求出∠CDE的度数．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣80°）＝50°，
∵∠ABD＝20°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°．
∵BD＝DE，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∴∠CDE＝∠ACB﹣∠E＝20°．
24．（2018秋?朝阳区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形内一点，连接AD，BD，CD，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）求∠ADB的度数．
【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠DBC＝45°，利用等角对等边得出DB＝DC．再根据SSS证明△ABD≌△ACD，那么∠BAD＝∠CAD；
（2）根据全等三角形的对应角相等得出∠ADB＝∠ADC，再利用周角的定义即可求出∠ADB的度数．
【解答】（1）证明：∵∠BDC＝90°，∠DBC＝45°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠DBC＝45°，
∴∠DBC＝∠BCD，
∴DB＝DC．
在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD；
（2）解：∵△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠ADB＝∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC+∠BDC＝360°，∠BDC＝90°，
∴∠ADB＝（360°﹣90°）＝135°．
25．（2018秋?乌拉特前旗期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，直线DE垂直平分AB，若∠A＝40°，则
（1）求∠DBC的度数；
（2）若AB＝12，BC＝7，求△BCD的周长．
【分析】（1）先根据三角形内角和等于180°求出∠ABC，再根据等边对等角求出∠ABD，然后求解即可；
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，然后推出△BDC的周长＝AC+BC，代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣40°）＝70°，
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠BD＝70°﹣40°＝30°；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴△BDC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC，
∵AC＝12，BC＝7，
∴△BDC的周长＝12+7＝19．
26．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．
（1）若∠ABC＝68°，则∠NMA的度数是　46　度；
（2）若AB＝10cm，△MBC的周长是18cm．求BC的长度．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AM＝BM，然后求出△MBC的周长＝AC+BC，再代入数据进行计算即可得解，
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝68°，
∴∠A＝44°，
∵AB的垂直平分线交AB于点N，
∴∠ANM＝90°，
∴∠NMA＝46°，
故答案为：46；
（2）∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∴△MBC的周长＝BM+CM+BC＝AM+CM+BC＝AC+BC，
∵AB＝10，△MBC的周长是18，
∴BC＝18﹣10＝8．
27．（2018秋?南关区期末）在等腰三角形ABC中，
（1）若∠A＝110°，则∠B＝　35　度；
（2）若∠A＝40°，则∠B＝　70或100或40　度．
通过上述解答，发现∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝α，求∠B的度数（用含α的式子表示）．请你根据∠B的度数的个数探索α的取值范围．
【分析】（1）根据三角形内角和定理，因为∠A＝110°＞90°，即可得到∠B＝∠C＝35°；
（2）根据三角形内角和定理，因为∠A＝40°＜90°，所以推出∠A＝∠B或∠A＝∠C或∠B＝∠C，进而得到∠B的度数．
分两种情况：①90°≤α＜180°；②0°＜α＜90°，结合三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：（1）∵∠A＝110°＞90°，
∴∠A为顶角，
∴∠B＝∠C＝35°；
故答案为：35；
（2）若∠A为顶角，则∠B＝（180°﹣∠A）＝70°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°﹣2×40°＝100°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝40°；
故∠B＝70或100或40；
分两种情况：
①当90°≤α＜180°时，∠A只能为顶角，
∴∠B的度数只有一个；
②当0°＜α＜90°时，
若∠A为顶角，则∠B＝（180°﹣α）＝90°﹣；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180﹣2α）°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝α．
当90°﹣≠180°﹣2α且180°﹣2α≠α且90°﹣≠α，
即α≠60°时，∠B有三个不同的度数．
∴当0°＜α＜90°且α≠60°时，∠B有三个不同的度数．
综上所述，当90°≤α＜180°时，∠B的度数只有一个；当0°＜α＜90°且α≠60°时，∠B有三个不同的度数．
28．（2018秋?江海区期末）如图：已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC
求证：∠C＝2∠D．
【分析】根据平行线的性质得到∠D＝∠DBC，根据等腰三角形的性质、等量代换证明．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DBC，
∵AB＝AD，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABC＝2∠D，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠C＝2∠D．
29．（2018秋?南开区期末）如图所示，△ABC中，AB＝AC，E在AC上，D在BA的延长线上，且AD＝AE，连接DE．求证：DE⊥BC．
【分析】过A作AM⊥BC于M，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠BAC＝2∠BAM，由三角形外角的性质及等边对等角的性质得出∠BAC＝2∠D，则∠BAM＝∠D，根据平行线的判定得出DE∥AM，进而得到DE⊥BC．
【解答】证明：如图，过A作AM⊥BC于M，
∵AB＝AC，
∴∠BAC＝2∠BAM，
∵AD＝AE，
∴∠D＝∠AED，
∴∠BAC＝∠D+∠AED＝2∠D，
∴∠BAC＝2∠BAM＝2∠D，
∴∠BAM＝∠D，
∴DE∥AM，
∵AM⊥BC，
∴DE⊥BC．
30．（2018秋?昭通期末）一个等腰三角形的周长为25cm．
（1）已知腰长是底边长的2倍，求各边的长；
（2）已知其中一边的长为6cm．求其它两边的长．
【分析】（1）设底边BC＝acm，则AC＝AB＝2acm，代入求出即可；
（2）已知条件中，没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以有两种情况讨论，还应判定能否组成三角形．
【解答】（1）解：设底边BC＝acm，则AC＝AB＝2acm，
∵三角形的周长是25cm，
∴2a+2a+a＝25，
∴a＝5，2a＝10，
∴AB＝AC＝10cm，BC＝5cm；
（2）解：①底边长为6cm，则腰长为：（25﹣6）÷2＝9.5，所以另两边的长为9.5cm，9.5cm，能构成三角形；
②腰长为6cm，则底边长为：25﹣6×2＝13，不能构成三角形．
因此另两边长为9.5cm，9.5cm．
31．（2018秋?南部县校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠CAD＝60°，∠C＝α
（1）用α表示∠BAD，则∠BAD＝　120°﹣2α　；
（2）求∠EDB的度数．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝α，根据三角形的内角和得到∠BAC＝180°﹣2α，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠ADE＝（180°﹣∠BAD）＝30°+α，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝α，
∴∠BAC＝180°﹣2α，
∵∠DAC＝60°，
∴∠BAD＝120°﹣2α；
故答案为：120°﹣2α；
（2）∵AE＝AD，
∴∠ADE＝（180°﹣∠BAD）＝30°+α，
∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝60°+α，
∴∠EDB＝∠ADB﹣∠ADE＝30°．
32．（2018秋?临安区期中）（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且AD＝BD＝BC，求∠A的度数；
（2）如图2，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB＝BC＝CD＝DE．
①若∠EDM＝84°，求∠A的度数：
②若以E为圆心，ED为半径作弧，与射线DM上没有交点（除D点外），直接写出∠A的取值范围．
【分析】（1）首先设∠A＝x°，然后由等腰三角形的性质，求得∠ABC＝∠C＝2x°，然后由三角形的内角和定理，得到方程：x+2x+2x＝180，解此方程即可求得答案；
（2）根据等边对等角可得∠A＝∠BCA，∠CBD＝∠BDC，∠ECD＝∠CED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠BCA＝∠CBD，∠A+∠CDB＝∠ECD，∠A+∠CED＝∠EDM，然后用∠A表示出∠EDM，计算即可求解；
【解答】解：（1）设∠A＝x°，
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝x°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2x°，
∵BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC＝2x°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180，
解得：x＝36，
∴∠A＝36°；
（2）①∵AB＝BC＝CD＝DE，
∴∠A＝∠BCA，∠CBD＝∠BDC，∠ECD＝∠CED，
根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA＝∠CBD，∠A+∠CDB＝∠ECD，∠A+∠CED＝∠EDM，
又∵∠EDM＝84°，
∴∠A+3∠A＝84°，
解得：∠A＝21°；
②∵以E为圆心，ED为半径作弧，与射线DM上没有交点（除D点外），
∴E到射线AM的距离小于DE，
∴∠EDM＜90°，
∴∠A＜22.5°，
∴∠A的取值范围是0＜∠A＜22.5°．
33．（2018秋?海门市期中）如图所示，在△ABC中，BC＝BD＝AD，∠CBD＝36°，求∠A和∠C的度数．
【分析】根据等腰三角形性质和三角形的内角和可求∠BDC的度数，运用三角形的外角的性质求解．
【解答】解：∵BD＝BC，∠DBC＝36°，
∴∠BDC＝∠C＝＝72°，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠A＝∠BDC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°．
34．（2018秋?沙洋县期中）如图，在△DBC中，DB＝DC，A为△DBC外一点，且∠BAC＝∠BDC，DM⊥AC于M．
（1）求证：AD平分△ABC的外角；
（2）判断AM、AC、AB有怎样的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）如图1中，作DN⊥BA交BA的延长线于点N．只要证明△DNB≌△DMC（AAS），即可推出DN＝DM解决问题；
（2）结论：AC﹣AB＝2AM．利用全等三角形的性质即可证明；
【解答】（1）证明：如图1中，作DN⊥BA交BA的延长线于点N．
∵∠BAO＝∠ODC，∠AOB＝∠DOC，
∴∠ABO＝∠DCO，
∵DM⊥AC，DN⊥AB，
∴∠DNB＝∠DMC＝90°，
∵DB＝DC，
∴△DNB≌△DMC（AAS），
∴DN＝DM，∵DM⊥AC，DN⊥AB，
AD平分△ABC的外角；
（2）结论：AC﹣AB＝2AM．
理由：∵DN＝DM，DA＝DA，∠DNA＝∠DMA＝90°，
∴Rt△DNA≌Rt△DMA（HL），
∴AN＝AM，
∵△DNB≌△DMC（AAS），
∴BN＝CM，
∴AC﹣AB＝AM+CN﹣（BN﹣AN）＝2AM．
35．（2018秋?洪山区期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．
（1）如图，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是　角平分线上的点到角的两边距离相等　
（2）问题解决：如图，求证AD＝CD；
（3）问题拓展：如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC．
【分析】（1）根据角平分线的性质定理解答；
（2）作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，证明△DEA≌△DFC，根据全等三角形的性质证明；
（3）在BC时截取BK＝BD，连接DK，根据（2）的结论得到AD＝DK，根据等腰三角形的判定定理得到KD＝KC，结合图形证明．
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，
∴DA＝DC（角平分线上的点到角的两边距离相等），
故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等；
（2）如图2，作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，
∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，
∴DE＝DF，
∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠C，
在△DEA和△DFC中，
∴△DEA≌△DFC（AAS），
∴DA＝DC；
（3）如图，在BC时截取BK＝BD，连接DK，
∵AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠ABC＝∠C＝40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBK＝∠ABC＝20°，
∵BD＝BK，
∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝180°，
由（2）的结论得AD＝DK，
∵∠BKD＝∠C+∠KDC，
∴∠KDC＝∠C＝40°，
∴DK＝CK，
∴AD＝DK＝CK，
∴BD+AD＝BK+CK＝BC．
36．（2018秋?洪山区期中）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，BC上，且AD＝BE，BD＝AC，过E作EF⊥AB于F．
（1）求证：∠FED＝∠CED；
（2）若BF＝，直接写出CE的长为　5　．
【分析】（1）连接CD，利用SAS定理证明△ADC≌△BED，根据全等三角形的性质得到DC＝DE，∠DCA＝∠EDB，根据等角的余角相等证明；
（2）作DH⊥EC于H，根据等腰三角形的性质得到EH＝HC＝EC，∠EDH＝∠CDH，根据角平分线的性质得到EF＝EH，计算即可．
【解答】解：（1）连接CD，
∵AC＝BC，∠ACB＝90，
∴∠A＝∠B＝45°，
在△ADC和△BED中，
，
∴△ADC≌△BED（SAS），
∴DC＝DE，∠DCA＝∠EDB，
∴∠ECD＝∠CED
∠DCA+∠ECD＝∠EDB+∠FED＝90°，
∴∠FED＝∠ECD，
∴∠FED＝∠CED；
（2）作DH⊥EC于H，
∵DC＝DE，DH⊥EC，
∴EH＝HC＝EC，∠EDH＝∠CDH，
∵DH∥AC，
∴∠CDH＝∠ACD，
∴∠FDE＝∠FDH，又EF⊥AB，EH⊥DH，
∴EF＝EH＝EC，
∵∠BFE＝90°，∠B＝45°，
∴EF＝BF＝，
∴EC＝5，
故答案为：5．