《最高考》高考数学小三轮复习 回归基础(含详细解答)

第一部分　知识微专题——回归课本

第1练　函数图象与性质



1. 会画基本初等函数的图象．
2. 会通过平移、翻折和对称等方法画函数的图象．
3. 能利用函数的图象研究函数的性质．


一、 填空题
1. 函数f(x)＝的图象的对称中心的坐标是________．　
答案：(1，2)
解析：∵ f(x)＝2＋，∴ 函数f(x)的对称中心为(1，2)．
2. 如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f()＝________．

答案：2
解析：∵ 由图象知f(3)＝1，∴ ＝1.
∴ f()＝f(1)＝2.
3. 函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为________．
答案：2
解析：在同一坐标系中，画出两个函数的图象(图略)，由图象可知，有2个交点．
4. 函数f(x)＝|x|(x－2)的单调递减区间是________．
答案：(0，1)
解析：∵ f(x)＝∴ 由f(x)的图象可知，函数的单调递减区间为(0，1)．
5. 已知R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增．若f(lg x)＜0，则x的取值范围是________．
答案：(0，1)
解析：依题意，函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0，∴ lg x＜0，故0＜x＜1.
6. 函数y＝f(x)在x∈[－2，2]上的图象如图所示，则当x∈[－2，2]时，f(x)＋f(－x)＝________．

答案：0
解析：由题图可知，函数f(x)为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0.
7. 若函数y＝f(x)的图象过点(1，1)，则函数y＝f(4－x)的图象一定经过点________．
答案：(3，1)
解析：由于函数y＝f(4－x)的图象可以看作y＝f(x)的图象先关于y轴对称，再向右平移4个单位长度得到．点(1，1)关于y轴对称的点为(－1，1)，再将此点向右平移4个单位长度，可推出函数y＝f(4－x)的图象过定点(3，1)．
8. 已知定义在D＝[－4，4]上的函数f(x)＝对任意x∈D，存在x1，x2∈D，使得f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最大值与最小值之和为________．
答案：9
解析：作出函数f(x)的图象如图所示，由任意x∈D，f(x1)≤f(x)≤f(x2)知，f(x1)，f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值，由图可知|x1－x2|max＝8，|x1－x2|min＝1，所以|x1－x2|的最大值与最小值之和为9.

二、 解答题
9. 函数f(x)＝m＋logax(a＞0且a≠1)的图象过点(8，2)和(1，－1)．
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 令g(x)＝2f(x)－f(x－1)，求g(x)的最小值及取得最小值时x的值．
解：(1) 由得
解得
故函数f(x)的解析式为f(x)＝－1＋log2x.
(2) g(x)＝2f(x)－f(x－1)
＝2(－1＋log2x)－[－1＋log2(x－1)]
＝log2－1(x＞1)．
∵ ＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝4.
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．
而函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
则log2－1≥log24－1＝1，
故当x＝2时，函数g(x)取得最小值1.
10. 已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝x，且在[－1，3]内，关于x的方程f(x)＝kx＋k＋1(k∈R，k≠－1)恰有四个根，求实数k的取值范围．
解：由题意作出f(x)在[－1，3]上的图象如图．
y＝k(x＋1)＋1的图象过定点(－1，1)．
由图象可知，方程有四个根，即函数y＝f(x)与y＝kx＋k＋1有四个交点，
∴ ∴ －∴ 实数k的取值范围是(－，0)．

11. 设函数f(x)＝x＋的图象为C1，C1关于点A(2，1)的对称图形为C2，C2对应的函数为g(x)．
(1) 求函数g(x)的解析式；
(2) 若直线y＝b与C2有且仅有一个公共点，求b的值，并求出交点的坐标．
解：(1) 设曲线C2上的任意一点为P(x，y)，则P关于A(2，1)的对称点P′(4－x，2－y)在C1上，
所以2－y＝4－x＋，
即y＝x－2＋＝，
所以g(x)＝(x≠4)．
(2) 由＝b，得(x－3)2＝b(x－4)(x≠4)．
所以x2－(b＋6)x＋4b＋9＝0(x≠4)　(*)有唯一实根．
故Δ＝[－(b＋6)]2－4(4b＋9)＝b2－4b＝0，
得b＝0或b＝4，
把b＝0代入(*)式得x＝3，所以g(3)＝＝0；
把b＝4代入(*)式得x＝5，所以g(5)＝＝4，
所以当b＝0或b＝4时，直线y＝b与C2有且仅有一个公共点，且交点的坐标分别为(3，0)，(5，4)．

第2练　函数与方程



1. 掌握函数零点的概念．
2. 领会函数与方程的关系，能利用函数与方程思想解决函数零点问题和方程的根的问题．


一、 填空题
1. 函数f(x)＝ln x－1的零点为________．
答案：e
解析：令f(x)＝0，即ln x－1＝0，解得x＝e，∴ 函数f(x)的零点为e.
2. 若函数f(x)＝ax＋1在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．
答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：由题意知，f(－1)·f(1)＜0，即(1－a)(1＋a)＜0，解得a＜－1或a＞1.
3. 方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)上实根的个数是________．
答案：2
解析：原方程根的个数，就是两个函数y＝|x|和y＝cos x的图象的交点的个数，画出函数图象如图所示．由图象知，有两个公共点，所以原方程有且仅有2个根．

4. 已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为________．　
答案：－
解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.
5. 函数f(x)＝|x|－k有两个零点，则实数k的取值范围是________．
答案：(0，＋∞)
解析：函数f(x)＝|x|－k有两个零点，即函数y＝|x|与y＝k的图象有两个交点，画出函数图象如图所示，可得实数k的取值范围是(0，＋∞)．

6. 若函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________．　
答案：2
解析：∵ 函数f(x)＝3x－7＋ln x在(0，＋∞)上是增函数，且f(2)＝－1＋ln 2＜0，f(3)＝2＋ln 3＞0，∴ 函数f(x)的零点在区间(2，3)内，∴ n＝2.
7. 已知0答案：(0，1)
解析：函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，即f(x)－k＝0有两个解，即y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点．分k>0和k<0，作出函数f(x)的图象．当01或k<0时，没有交点，故当0

8. 已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是________．
答案：10
解析：由F(x)＝0得f(x)＝|lg x|，分别作y＝f(x)与y＝|lg x|的图象，如图，

所以F(x)有10个零点．
二、 解答题
9. 已知二次函数f(x)＝x2－16x＋q＋3.若函数在区间[－1，1]上存在零点，求实数q的取值范围．
解：∵ 函数f(x)＝x2－16x＋q＋3的对称轴是直线x＝8，
∴ f(x)在区间[－1，1]上是减函数．
∵ 函数在区间[－1，1]上存在零点，
∴ 即
解得－20≤q≤12，
∴ 实数q的取值范围是[－20，12]．
10. 设函数f(x)＝(x>0)．
(1) 作出函数f(x)的图象；
(2) 当0 (3) 若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．
解：(1) 如图所示．

(2) ∵ f(x)＝＝
故f(x)在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数．
由0(3) 由函数f(x)的图象可知，当011. 已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1) 写出函数y＝f(x)的解析式；
(2) 若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
解：(1) 当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)．
因为y＝f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
所以f(x)＝
(2) 当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；
当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.
据此可作出函数y＝f(x)的图象，如图所示．

根据图象得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，
则－1＜a＜1，
所以实数a的取值范围是(－1，1)．

第3练　基本初等函数



1. 熟悉基本初等函数的定义、图象和性质．
2. 能利用函数的图象和性质解决问题．


一、 填空题
1. (必修1P110复习题3改编)函数f(x)＝的定义域为________．
答案：[2，＋∞)
解析：由2x－4≥0，解得x≥2，故函数的定义域是[2，＋∞)．
2. 函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点________．　
答案：(2，2)
解析：∵ loga1＝0，∴ x－1＝1，即x＝2，此时y＝2，∴ 函数图象恒过定点(2，2)．
3. 已知a＝()，b＝()，c＝log3π，则a，b，c的大小关系为________．　
答案：c＞b＞a
解析：已知b＝＝，由指数函数的性质易知<<1.又c＝log3π>1，所以c＞b＞a.
4. 已知幂函数y＝f(x)的图象经过点 (，)，则f()＝________．
答案：
解析：设幂函数的解析式为f(x)＝xα，将 代入解析式得3－α＝，解得α＝－，∴ f(x)＝x－，f＝.
5. 已知点P1(x1，2 018)和P2(x2，2 018)在二次函数f(x)＝ax2＋bx＋9的图象上，则f(x1＋x2)的值为________．
答案：9
解析：依题意得x1＋x2＝－，则f(x1＋x2)＝f(－)＝a(－)2＋b(－)＋9＝9.
6. 设函数f(x)＝若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是________．　
答案：[3，＋∞)
解析：当x>2时，f(x)∈(5，＋∞)；当x≤2时，f(x)∈(－∞，2＋a]．∵ f(x)的值域为R，∴ 2＋a≥5，解得a≥3.
7. 函数f(x)＝loga(x2－2x－3)(a>0，a≠1)的定义域为________．
答案：{x|x>3或x<－1}
解析：由题意得x2－2x－3>0，解得x>3或x<－1，所以函数的定义域为{x|x>3或x<－1}．
8. 已知函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是x－y＝0，且f′(x)＝xex＋ex，则函数f(x)的最小值为________．
答案：－
解析：因为f′(x)＝xex＋ex，设f(x)＝xex＋c，因为函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是x－y＝0，所以切点为(0，0)，故c＝0，故f(x)＝xex，令f′(x)＝xex＋ex>0，解得x>－1，令f′(x)＝xex＋ex<0，解得x<－1，故当x＝－1时，函数f(x)取得最小值，所以f(x)min＝f(－1)＝－.
二、 解答题
9. 已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)．若不等式()x＋()x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
解：把A(1，6)，B(3，24)代入f(x)＝b·ax，得
结合a>0，且a≠1，解得
要使()x＋()x≥m在x∈(－∞，1]上恒成立，
只需保证函数y＝()x＋()x在(－∞，1]上的最小值不小于m即可．
因为函数y＝()x＋()x在(－∞，1]上为减函数，
所以当x＝1时，y＝()x＋()x有最小值.
所以只需m≤即可．
即m的取值范围是(－∞，]．
10. 函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)，且f(2)－f(4)＝1.
(1) 若f(3m－2)>f(2m＋5)，求实数m的取值范围；
(2) 求使f(x－)＝log3成立的x的值．
答案：(1) 由f(2)－f(4)＝1，得a＝.
∵ 函数f(x)＝logx为减函数且f(3m－2)>f(2m＋5)，
∴ 0<3m－2<2m＋5，解得故m的取值范围是 .
(2)f＝log3，即x－＝3，x2－3x－4＝0，
解得x＝4或x＝－1.
11. 已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.
(1) 求f(x)的定义域；
(2) 判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3) 当a>1时，求使f(x)>0的x的解集．
解：(1) 要使函数f(x)有意义．
则解得－1故所求函数f(x)的定义域为(－1，1)．
(2) f(x)为奇函数．
证明如下：由(1)知f(x)的定义域为(－1，1)，
且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)，
故f(x)为奇函数．
(3) 因为当a>1时，f(x)在定义域(－1，1)内是增函数，所以f(x)>0?>1，解得0所以使f(x)>0的x的解集是(0，1)．

第4练　用导数研究函数的性质



1. 掌握导数的公式．
2. 能利用导数研究函数的性质．


一、 填空题
1. 函数f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为________．　
答案：(0，4)
解析：f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)<0，得02. 函数f(x)＝的单调递增区间为________．　
答案：(1，＋∞)
解析：函数的定义域为{x|x≠0}，且f′(x)＝，令f′(x)>0得x>1.
3. (课本改编)设函数f(x)＝x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常数a＞1，则f(x)的单调递减区间为________．
答案：(2，2a)
解析：f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)·(x－2a)．∵ a＞1，∴ 2＜2a.令f′(x)<0，解得2＜x＜2a，∴ f(x)的单调递减区间为(2，2a)．
4. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，若x＝－3是函数f(x)的一个极值点，则实数a＝________．
答案：5
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3.
依题意知，－3是方程f′(x)＝0的根，
所以3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5.
经检验，a＝5时，f(x)在x＝－3处取得极值．
5. 若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的递减区间为(－1，3)，则b＋c＝________．
答案：－12
解析：f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知，－16. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为________．　
答案：－
解析：由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝0，f(1)＝10，即解得或经检验满足题意，故＝－.
7. 若函数f(x)＝x3－3x＋m有三个不同的零点，则实数m的取值范围是________．
答案：(－2，2)
解析：函数f(x)＝x3－3x＋m有三个不同的零点，则函数f(x)有两个极值点，极小值小于0，极大值大于0.由f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，解得x1＝1，x2＝－1，所以函数f(x)的两个极值点为x1＝1，x2＝－1.
由于x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0；x∈(－1，1)时，
f′(x)＜0；x∈(1，＋∞)时f′(x)＞0，所以函数的极小值f(1)＝m－2，极大值f(－1)＝m＋2.
因为函数f(x)＝x3－3x＋m有三个不同的零点，所以解得－2＜m＜2.
8. 已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝3，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<2(x∈R)，则不等式f(x)<2x＋1的解集为________．
答案：(1，＋∞)
解析：令g(x)＝f(x)－2x－1，∴ g′(x)＝f′(x)－2<0，∴ g(x)在R上是单调递减的，g(1)＝f(1)－2－1＝0.由g(x)<0＝g(1)，得x>1.∴ 不等式的解集为(1，＋∞)．
二、 解答题
9. 已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.
(1) 当a＝0时，判断函数f(x)的单调性；
(2) 当x∈[2，＋∞)时，不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1) 当a＝0时，f(x)＝x3＋3x＋1，
∴ f′(x)＝3x2＋3＞0恒成立，
∴ 函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
(2) 由f(2)≥0得，a≥－.
当a≥－，x∈(2，＋∞)时，
f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3(x2－x＋1)
＝3(x－)(x－2)＞0，
∴ f(x)在(2，＋∞)上是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0.
综上所述，实数a的取值范围是[－，＋∞)．
10. 已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.
(1) 求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；
(2) 求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程．
解：(1) 由f(x)＝x3－3x，得f′(x)＝3x2－3，
过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0，
∴ 所求直线方程为y＝－2.
(2) 设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)，则f′(x0)＝3x－3.
又直线过(x0，y0)，P(1，－2)，
故其斜率可表示为＝，
又＝3x－3，即x－3x0＋2＝3(x－1)·(x0－1)，
解得x0＝1(舍去)或x0＝－，
故所求直线的斜率为k＝3×＝－，
∴ y－(－2)＝－(x－1)，即9x＋4y－1＝0.
11. 高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4 500元/台．当笔记本电脑的售价为6 000元/台时，月销售量为a台．市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的售价提高的百分率为x(0(1) 写出月利润y与x的函数关系式；
(2) 如何确定这种笔记本电脑的售价，可使得该公司的月利润最大？
解：(1) 依题意，知售价提高后变为6 000(1＋x)元/台，月销售量为a(1－x2)台，
则y＝a(1－x2)[6 000(1＋x)－4 500]，
即y＝1 500a(－4x3－x2＋4x＋1)，0(2) 由(1)知y′＝1 500a(－12x2－2x＋4)．
令y′＞0，得6x2＋x－2＜0，解得0＜x＜.
∴ y在(0，)上是增函数，在(，1)上是减函数，
∴ 当x＝时，y取得最大值，
此时售价为6 000×＝9 000(元)．
故笔记本电脑的售价为9 000元/台时，该公司的月利润最大．

第5练　不等式的解法



1. 会解一元二次不等式．
2. 会利用分类讨论的思想解含参数的不等式．


一、 填空题
1. 设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(?RS)∪T＝________．
答案：(－∞，1]
解析： 由题意知?RS＝{x|x≤－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}＝{x|－4≤x≤1}，故(?RS)∪T＝{x|x≤1}．
2. 已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{1，2，3，4}，则(?RA)∩B＝________．
答案：{3，4}
解析：依题意A＝{x|x2－3x＋2≤0}＝[1，2]，所以?RA＝(－∞，1)∪(2，＋∞)．因为 B＝{1，2，3，4}，所以(?RA)∩B＝{3，4}．
3. 若不等式x2＋px＋q＜0的解集为{x|10的解集为________．　
答案：(－，1)
解析：由题意可知，1和2是方程x2＋px＋q＝0的两根，∴ p＝－3，q＝2，∴ 不等式px2＋x＋q>0可化为－3x2＋x＋2>0，即3x2－x－2<0，
∴ (3x＋2)(x－1)<0，解得－∴ 不等式的解集为(－，1)．
4. 不等式－2x2＋x＋1>0的解集为________．　
答案：(－，1)
解析：－2x2＋x＋1>0，即2x2－x－1<0，(2x＋1)·(x－1)<0，解得－0的解集为(－，1)．
5. 不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案：[－1，4]
解析：x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.
6. 若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案：(－2，2]
解析：当a－2＝0，即a＝2时，满足题意；当a≠2时，由得－2＜a＜2.综上所述，－2＜a≤2.
7. 若关于x的不等式4x－2x>a的解集为R，则实数a的取值范围是________．
答案：(－∞，－)
解析：∵ 不等式4x－2x>a的解集为R，
∴ (4x－2x)min>a.又4x－2x＝(2x－)2－≥－，故a＜－.
8. 若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是________．
答案：[－4，3]
解析：原不等式即(x－a)(x－1)≤0，当a＜1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a＜1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a＞1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1＜a≤3.综上可得－4≤a≤3.
二、 解答题
9. 已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．
(1) 求a，b的值；
(2) 解不等式：ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
解：(1) 因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1.
由根与系数的关系，得解得
(2) 所求不等式可化为
x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
① 当c>2时，不等式的解集为{x|2② 当c<2时，不等式的解集为{x|c③ 当c＝2时，不等式的解集为?.
10. 对任意x∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，求k的取值范围．
解：函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的对称轴为直线x＝－＝.
① 当<－1，即k>6时，f(x)的值恒大于零等价于f(－1)＝1＋(k－4)×(－1)＋4－2k>0，解得k<3，故k∈?；
② 当－1≤≤1，即2≤k≤6时，
f(x)的值恒大于零等价于f＝ ＋(k－4)×＋4－2k>0，解得k2<0，故k∈?；
③ 当>1，即k<2时，f(x)的值恒大于零等价于f(1)＝1＋(k－4)＋4－2k>0，解得k<1，故有k<1.
综上可知，当k∈(－∞，1)时，对任意x∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零．
11. 设函数f(x)＝－4x＋b，且不等式|f(x)|＜c的解集为{x|－1＜x＜2}．
(1) 求b的值；
(2) 解关于x的不等式：(4x＋m)f(x)＞0(m∈R)．
解：(1) 由|－4x＋b|＜c，得＜x＜，
∵ |f(x)|＜c的解集为(－1，2)，
∴ 解得b＝2.
(2) ∵ f(x)＝－4x＋2，
∴ 所求不等式变为(4x＋m)·(－4x＋2)＞0，
即(x＋)(x－)＜0.
当－＞，即m＜－2时，解得＜x＜－；
当－＝，即m＝－2时，不等式的解集为空集；
当－＜，即m＞－2时，解得－＜x＜.
综上所述，当m＜－2时，不等式的解集为(，－)；当m＝－2时，不等式的解集为空集；当m＞－2时，不等式的解集为(－，)．

第6练　基本不等式与线性规划



1. 掌握基本不等式的应用．
2. 会求解简单的线性规划问题．


一、 填空题
1. 若a>0，b>0，且a＋2b＝1，则ab的最大值为________．
答案：
解析：∵ a>0，b>0，∴ 1＝a＋2b≥2，即ab≤，当且仅当a＝2b＝时等号成立．
2. 若a，b都是正数，则(1＋)·(1＋)的最小值为________．
答案：9
解析：∵ a，b都是正数，∴ (1＋)(1＋)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号．故最小值为9.
3. (必修5P98例2改编)函数y＝＋x(x＞3)的最小值是________．
答案：5
解析：∵ x＞3，∴ y＝＋x＝＋(x－3)＋3≥5，当且仅当x－3＝，即x＝4时取等号，
∴ ymin＝5.
4. 若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为________．
答案：2
解析：(解法1)由已知得＋＝＝，且a>0，b>0，∴ ab＝b＋2a≥2，∴ ab≥2.
(解法2)由题设易知a>0，b>0，∴ ＝＋≥2，即ab≥2.
5. 设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝________．　
答案：3
解析：根据约束条件画出可行域如图①中阴影部分所示：

①
可知可行域为开口向上的V字型．在顶点处z有最小值，顶点为，则＋a＝7，解得a＝3或a＝－5.当a＝－5时，如图②，

②
虚线向上移动时z减小，故z→－∞，没有最小值，故只有a＝3满足题意．
6. (必修5P101练习2改编)已知直角三角形两条直角边的和等于14 cm，则此直角三角形的最大面积是________cm2.
答案：
解析：设直角三角形两条直角边长分别为a，b.∵ a＋b＝14，∴ S＝ab≤()2＝cm2，当且仅当a＝b＝7时等号成立．
7. 已知实数x，y满足不等式|x|＋|2y|≤4，记Z＝x＋y，则Z的最小值为________．　
答案：－4
解析：|x|＋|2y|≤4表示的平面区域为如图所示的四边形ABCD内部及其边界，由图可知当直线y＝－x＋Z经过点C(－4，0)时，Z取得最小值，所以Zmin＝0＋(－4)＝－4.

8. 对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．　
答案：[－2，＋∞)
解析：当x＝0时，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，此时a∈R，当x≠0时，则有a≥＝－，设f(x)＝－，则a≥f(x)max，由基本不等式得|x|＋≥2(当且仅当|x|＝1时取等号)，则f(x)max＝－2，故a≥－2.
二、 解答题
9. 设a，b，c均为正实数，求证：＋＋≥(a＋b＋c)．
证明：∵ a2＋b2≥2ab，∴ 2(a2＋b2)≥(a＋b)2，
∴ ≥|a＋b|＝(a＋b)　①.
同理，≥(b＋c)　②，
≥(c＋a)　③.
①＋②＋③，得＋＋≥(a＋b＋c)．
10. 已知x，y满足条件且M(2，1)，P(x，y)．
(1) 求的取值范围；
(2) 求x2＋y2的最大值和最小值；
(3) 求·的最大值．
解：画出约束条件表示的平面区域如图所示，其中A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)．

(1) 表示区域内点P(x，y)与点D(－4，－7)连线的斜率，
所以kDB≤≤kCD，即≤≤9.
所以的取值范围是[，9]．
(2) x2＋y2表示区域内点P(x，y)到原点距离的平方，
所以(x2＋y2)max＝(－1)2＋(－6)2＝37，(x2＋y2)min＝0，
所以x2＋y2的最大值和最小值分别为37和0.
(3) 设·＝(2，1)·(x，y)＝2x＋y＝t，
则当直线2x＋y＝t经过点A(4，1)时，tmax＝2×4＋1＝9，
所以·的最大值为9.
11. 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，屋顶每平方米造价20元，试计算：
(1) 仓库面积S的最大允许值是多少？
(2) 为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
解：(1) 设铁栅长为x m，一堵砖墙长为y m，则S＝xy.
由题意得40x＋2×45y＋20xy＝3 200，
根据基本不等式，得3 200≥2＋20xy，
即S＋6≤160，
而(＋16)(－10)≤0，
∴ ≤10，即S≤100.
∴ S的最大允许值是100 m2.
(2) 由(1)知，当时，S取得最大值，
此时x＝15，即铁栅的长为15 m.

第7练　三角函数化简与求值



1. 掌握三角函数公式．
2. 能利用公式进行三角函数式的化简和求值．


一、 填空题
1. 若cos(π＋x)＝，x∈(π，2π)，则tan x＝________．
答案：
解析：由cos (π＋x)＝－cos x＝，得cos x＝
－＜0，∴ x∈(π，)，∴ sin x＝－，
故tan x＝.
2. 计算：sin－cos＝________.　
答案：－
解析：sin －cos ＝2(sin －·cos )＝2sin (－)＝2sin (－)＝－.
3. (必修4P120练习1改编)求值：1－2sin222.5°＝________.　
答案：
解析：原式＝cos 45°＝.
4. (必修4P111习题2改编)求值：sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°＝________．
答案：
解析：原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin (68°－23°)＝sin 45°＝.
5. 已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则sin 2α＝________．
答案：－1
解析：∵ sin α－cos α＝，∴ (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝2，∴ 2sin α·cos α＝－1，∴ sin 2α＝－1.
6. (必修4P112习题4改编)已知0<α<，<β<π，且cos α＝，sin β＝，则β－α＝________．
答案：
解析：因为0＜α＜，＜β＜π，所以0＜β－α＜π.
又cos α＝，sin β＝，所以sin α＝，cos β＝－，所以cos(β－α)＝，所以β－α＝.
7. 计算：4sin 80°－＝________．
答案：－
解析：4sin 80°－＝＝＝＝－.
8. 计算：(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)(1＋tan 27°)(1＋tan 18°)＝________．　
答案：4
解析：∵ (1＋tan 17°)(1＋tan 28°)＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°，tan 45°＝＝1，∴ (1＋tan 17°)(1＋tan 28°)＝2，同理(1＋tan 27°)(1＋tan 18°)＝2，∴ (1＋tan 17°)(1＋tan 28°)(1＋tan 27°)(1＋tan 18°)＝4.
二、 解答题
9. 化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β.　
解：原式＝·＋·－cos 2αcos 2β＝－cos 2αcos 2β＝.
10. 求值：sin 50°(1＋tan 10°)．
解：原式＝sin 50°(1＋)
＝sin 50°·
＝2sin 50°·
＝＝＝＝1.
11. (2018·江苏泰州中学摸底)已知0<α<<β<π，且sin(α＋β)＝，tan＝.
(1) 求cos α的值；
(2) 求证：sin β>.
(1) 解：∵ tan＝，∴ tan α＝＝＝.
∴ 又α∈，解得cos α＝.
(2) 证明：由已知得<α＋β<.
∵ sin(α＋β)＝，∴cos (α＋β)＝－.
由(1)可得sin α＝，∴ sin β＝sin [(α＋β)－α]＝×－×＝>.

第8练　解 三 角 形



1. 掌握正弦定理、余弦定理和面积公式．
2. 能利用正、余弦定理解三角形．


一、 填空题
1. (必修5P7例2改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________．
答案：1
解析：由正弦定理，有＝，即sin B＝.因为C为钝角，所以B必为锐角，所以B＝，所以A＝.故a＝b＝1.
2. (必修5P7例2改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，a＝5，c＝10，A＝30°，则角B＝________．
答案：105°或15°
解析：由正弦定理＝，得sin C＝＝＝，∴ C＝45°或C＝135°，∴ 当C＝45°时，B＝105°；当C＝135°时，B＝15°.
3. (必修5P17习题6改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若b2＋c2＝bc＋a2，则角A＝________．　
答案：
解析：由题意可知，b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理，得cos A＝＝，∴ A＝.
4. 在锐角三角形ABC中，a＝2，b＝3，S△ABC＝2，则c＝________．
答案：3
解析：由已知得×2×3×sin C＝2，所以sin C＝.由于C＜90°，所以cos C＝＝.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝22＋32－2×2×3×＝9，所以c＝3.
5. 已知△ABC三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，3acos A＝bcos C＋ccos B，b＝2，则asin B＝________．
答案：
解析：因为3acos A＝bcos C＋ccos B，即3acos A＝b·＋c·＝a，
所以cos A＝.又0＜A＜π，所以sin A＝.又b＝2，所以asin B＝bsin A＝2×＝.
6. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B＝________．　
答案：
解析：由sin A＝，sin B＝，sin C＝，代入整理得＝?c2－b2＝ac－a2，所以a2＋c2－b2＝ac，即cos B＝，所以B＝.
7. 已知△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝120°，a＝7，S△ABC＝ ，则b＋c＝________．　
答案：8
解析：由题意得
即所以b2＋c2＋2bc＝64.所以b＋c＝8.
8. 如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C＝________．

答案：
解析：设AB＝a，∴ BD＝a，BC＝2BD＝a，cos A＝＝＝，
∴ sin A＝＝.由正弦定理知sin C＝·sin A＝×＝.
二、 解答题
9. 在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.
(1) 求角A的度数；
(2) 若B－C＝90°，c＝4，求b的值．(结果保留根号)
解：(1) 由条件，得(b＋c)2－a2＝3bc，即b2＋c2－a2＝bc，
∴ cos A＝＝.
∵ 0°(2) 由得B＝105°，C＝15°.
由正弦定理，得＝，即b＝，
∴ b＝4tan 75°.
∵ tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝2＋，
∴ b＝8＋4.
10. 在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD的面积是△ADC面积的2倍．
(1) 求；
(2) 若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．
解：(1) S△ABD＝AB·ADsin ∠BAD，S△ADC＝AC·ADsin ∠CAD.
因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，
所以AB＝2AC.
由正弦定理，可得＝＝.
(2) 因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.
在△ABD和△ADC中，由余弦定理知
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.
故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6.
由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1，即BD＝，AC＝1.
11. 已知向量a＝(sin A，)，b＝(cos A，1)，且在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且a＝.
(1) 若a∥b，求△ABC的外接圆半径；
(2) 若BC边上的高为，求b＋c的值．
解：(1) 由a∥b，得sin A＝cos A.
所以tan A＝， 所以A为锐角，所以A＝.
设外接圆的半径为R，
根据正弦定理得2R＝＝＝2，所以R＝1.
(2) 由已知，得××＝bcsin A，
因为A＝，所以bc＝.
根据余弦定理可得()2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－4，
所以(b＋c)2＝7，所以b＋c＝.

第9练　三角函数与平面向量



1. 掌握平面向量的数量积．
2. 能利用向量和三角函数知识解决三角函数与平面向量相结合的综合问题．


一、 填空题
1. (必修4P89习题4改编)若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝________．　
答案：6
解析：由已知得a2－a·b－6b2＝－72，∴ |a|2－2|a|－24＝0，解得|a|＝6或－4(舍)．
2. 已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(，)，且＜x＜.若a·b＝，则cos(x－)＝________．
答案：
解析：∵ a·b＝，∴ cos x＋sin x＝，
∴ cos (x－)＝.
3. 已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，a＋b＝(，1)，则向量a与b的夹角是________．　
答案：
解析：设向量a与b的夹角是θ，则a·b＝1××cos θ＝cos θ.
由|a＋b|＝＝
＝＝2，可得cos θ＝0，∴ θ＝.
4. 已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝________．
答案：8
解析：由向量的坐标运算得a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b，得(a＋b)·b＝12－2(m－2)＝0，解得m＝8.
5. (必修4P98复习题23改编)若|a|＝1，|b|＝2，c＝a－b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．　
答案：
解析：∵ c⊥a，∴ (a－b)·a＝0，即a·b＝a2＝1，
∴ cos 〈a，b〉＝＝，∴ a与b的夹角为.
6. 在如图所示的矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为线段BC上的点，则·的最小值为________．
　
答案：15
解析：以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴，BA所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，4)，D(2，4)，设E(x，0)(0≤x≤2)，所以·＝(x，－4)·(x－2，－4)＝x2－2x＋16＝(x－1)2＋15，于是当x＝1，即E为BC的中点时，·取得最小值15.

7. 已知a，b为单位向量，设a与b的夹角为，则a与a－b的夹角为________．
答案：
解析：由题意，得a·b＝1×1×cos ＝，所以|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋1＝1，所以cos 〈a，a－b〉＝＝＝1－＝，所以〈a，a－b〉＝.
8. 已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，且||＝，则·＝________．　
答案：－
解析：因为圆的半径为1，||＝，
所以∠AOB＝120°，所以·＝1×1×cos 120°＝－.
二、 解答题
9. 已知a＝(cos x，2cos x)，b＝(2cos x，sin x)，f(x)＝a·b.
(1) 把f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间；
(2) 当a≠0，a与b共线时，求f(x)的值．
解：(1) ∵ f(x)＝a·b＝2cos 2x＋2sin xcos x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin (2x＋)＋1，
∴ g(x)＝sin [2(x－)＋]＋1
＝sin (2x－)＋1.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z得，
－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴ g(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.　
(2) ∵ a≠0，a与b共线，∴ cos x≠0，
∴ sin xcos x－4cos2x＝0，∴ tan x＝4，
∴ f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x
＝＝＝.
10. 已知向量a＝(1－tan x，1)，b＝(1＋sin 2x＋cos 2x，0)．记函数f(x)＝a·b.
(1) 求函数f(x)的解析式，并指出它的定义域；
(2) 若f(α＋)＝，α∈(0，)，求f(α)．
解：(1) f(x)＝a·b＝(1－tan x)(1＋sin 2x＋cos 2x)
＝·(2cos2x＋2sin xcos x)
＝2(cos2x－sin2x)＝2cos 2x，
∴ 定义域为.
(2) ∵ f(α＋)＝2cos (2α＋)＝，
∴ cos (2α＋)＝＞0，且2α＋∈(，)，
∴ sin (2α＋)＝.
∴ f(α)＝2cos 2α＝2cos [(2α＋)－]
＝2cos (2α＋)cos ＋2sin (2α＋)sin ＝.
11. 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝sin 2C.
(1) 求角C的度数；
(2) 若sin A，sin C，sin B成等差数列，且·(－)＝18，求边c的长．
解：(1) m·n＝sin A·cos B＋sin B·cos A＝sin (A＋B)，对于△ABC，A＋B＝π－C，0∴ sin (A＋B)＝sin C，∴ m·n＝sin C.
又m·n＝sin 2C，∴ sin 2C＝sin C，∴ cos C＝，
∴ C＝.
(2) 由sin A，sin C，sin B成等差数列，可得2sin C＝sin A＋sin B.
由正弦定理得2c＝a＋b.
∵ ·(－)＝18，
∴ ·＝18，即abcos C＝18，ab＝36.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab，
∴ c2＝4c2－3×36，c2＝36，∴ c＝6.

第10练　等差数列与等比数列



1. 等差数列、等比数列的判断与证明．
2. 基本量的运算：在等差数列、等比数列中，a，d(q)，n，an，Sn五个元素可以知三求二．
3. 等差数列、等比数列性质的应用．


一、 填空题
1. (必修5P52例1改编)在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81，则an＝________．
答案：3n－1
解析：设{an}的公比为q，依题意得解得所以an＝3n－1.
2. (必修5P47习题5改编)已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项和S10＝________．　
答案：95
解析：由等差数列的性质得2a3＝4，2a4＝10，即a3＝2，a4＝5，公差d＝3，a1＝2－6＝－4，
∴ S10＝－4×10＋×3＝95.
3. 已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d＝________．
答案：－3
解析：(解法1)由题意可得解得a1＝5，d＝－3.
(解法2)a1＋a7＝2a4＝－8，∴ a4＝－4，∴ a4－a2＝－4－2＝2d，∴ d＝－3.
4. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S1，2S2，3S3成等差数列，则数列{an}的公比为________．　
答案：
解析：∵ S1，2S2，3S3成等差数列，∴ 4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)，∴ 3a3＝a2.设等比数列{an}的公比为q，∵ a2≠0，∴ q＝＝.
5. 已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝________．　
答案：－7
解析：设数列{an}的公比为q，
由得或
所以或
所以或所以a1＋a10＝－7.
6. 在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q＝________．
答案：3
解析：两式相减得a4－a3＝2a3，从而求得＝3，即q＝3.
7. 设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝________．
答案：100
解析：设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，∴ {an＋bn}为等差数列．又a1＋b1＝a2＋b2＝100，∴ {an＋bn}为常数列，∴ a37＋b37＝100.
8. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝________．
答案：2n－1
解析：∵ ∴
由①除以②可得＝2，解得q＝，代入①得a1＝2，
∴ an＝2×()n－1＝，Sn＝＝4(1－)，∴ ＝＝2n－1.
二、 解答题
9. 设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.
(1) 若S5＝5，求S6及a1；
(2) 求d的取值范围．
解：(1) 由题意知S6＝－＝－3，a6＝S6－S5＝－8，
所以解得a1＝7，
所以S6＝－3，a1＝7.
(2) 因为S5S6＋15＝0，
所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，
即2a＋9da1＋10d2＋1＝0.
故(4a1＋9d)2＝d2－8，所以d2≥8，
解得d≤－2或d≥2.
故d的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
10. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．
(1) 求证：an＋2－an＝λ；
(2) 是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
(1) 证明：由题设知，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1.
两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.
由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.
(2) 解：由题设知，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.
由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，
由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.
所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.
因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．
11. 已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．
(1) 求证：数列{bn}是等差数列；
(2) 求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．
(1) 证明：因为an＝2－(n≥2，n∈n*)，bn＝，
所以当n≥2时，
bn－bn－1＝－＝－＝－＝1.
又b1＝＝－，
所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．
(2) 解：由(1)知，bn＝n－，则an＝1＋＝1＋.设函数f(x)＝1＋，易知f(x)在区间(－∞，)和(，＋∞)上为减函数，
所以当n＝3时，an取得最小值－1；
当n＝4时，an取得最大值3.

第11练　数列的通项与求和


1. 会求数列的通项．
2. 会求一些特殊数列的前n项和．


一、 填空题
1. 已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋1，则a4＋a5＋a6＋…＋a10＝________．
答案：161
解析：原式＝S10－S3＝2×102－3×10＋1－(2×32－3×3＋1)＝161.
2. (必修5P68复习题13改编)已知数列{an}的通项公式为an＝.若前n项和为10，则项数n为________．
答案：120
解析：∵ an＝＝－，
∴ Sn＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1，由Sn＝10，解得n＝120.
3. 数列，，，…，的前n项和Sn为________．　
答案：n－1＋
解析：∵ ＝1－，∴ Sn＝n－＝n－1＋.
4. 数列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和等于________．　
答案：2n＋1－n－2
解析：设an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，则a1＋a2＋…＋an＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.
5. 已知数列{an}的前n项和为Sn.若an＝(－1)n－1·(4n－3)，则S15＝________．
答案：29
解析：S15＝1－5＋9－13＋…＋57＝1＋(9－5)＋(17－13)＋…＋(57－53)＝29.
6. 求和：Sn＝1＋＋＋…＋＝________．　
答案：
解析：an＝＝＝2(－)，∴ Sn＝2[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝2(1－)＝.
7. 数列{an}中，a1＝1，an，an＋1是方程x2－(2n＋1)x＋＝0的两个根，则数列{bn}的前n项和Sn＝________．
答案：
解析：an＋an＋1＝2n＋1，anan＋1＝，∴ bn＝.∵ a1＝1，∴ a2＝2，a3＝3，…，an＝n，∴ bn＝＝－，∴ Sn＝＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.
8. 数列{an}中，a1＝0，若an＋1＝[1＋(－1)n]·an＋n(n∈N*)，且S2m＋1＋60＝2 018，则m＝________．
答案：22
解析：当n为奇数时，an＋1＝n，则a2＝1，a4＝3，a6＝5，…，所以a2m＝2m－1；当n为偶数时，an＋1＝2an＋n，则a3＝4，a5＝10，a7＝16，…，a2m＋1＝2a2m＋2m＝6m－2.所以a2m＋a2m＋1＝8m－3，所以S2m＋1＝0＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2m＋a2m＋1)＝4m2＋m.又S2m＋1＋60＝2 018，所以4m2＋m＝1 958，解得m＝22(负值舍去)．
二、 解答题
9. 已知数列{an}满足a1＝1，(n＋1)an＝(n－1)an－1(n≥2，n∈N*)．
(1) 求数列{an}的通项公式an；
(2) 设数列{an}的前n项和为Sn，证明：Sn<2.
(1) 解：∵ 当n≥2时，(n＋1)an＝(n－1)an－1，
∴ ＝，＝，…，＝.
将上述式子相乘得＝.又a1＝1，∴ an＝.
(2) 证明：∵ an＝＝2(－)，
∴ Sn＝2[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝2(1－)＝2－，
∴ Sn<2.
10. 已知数列{an}：a1，a2，a3，…，an，…，构造一个新数列：a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…，此数列是首项为1，公比为的等比数列．
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 求数列{an}的前n项和Sn.
解：(1) 由已知，得an－an－1＝()n－1(n≥2)，a1＝1，
∴ an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝＝[1－()n]，当n＝1时，同样成立．
∴ 数列{an}的通项公式为an＝[1－()n]．
(2) Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝－[＋()2＋…＋()n]＝－[1－()n]
＝＋.
11. 已知数列{an}满足an＋1＝2an－1，且a1＝3，bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn.
(1) 求证：数列{an－1}是等比数列；
(2) 求Sn.
(1) 证明：∵ an＋1＝2an－1，
∴ an＋1－1＝2(an－1)，∴ ＝2，
∴ 数列{an－1}是公比为2的等比数列．
(2) 解：∵ a1－1＝2，
∴ an－1＝2n，∴ an＝2n＋1，
bn＝＝＝－，
∴ Sn＝＋＋…＋＝－.

第12练　直 线 与 圆



1. 掌握直线方程，能利用两直线的位置关系解题．
2. 掌握圆的方程，会求解直线与圆的位置关系问题．


一、 填空题
1. (必修2P115练习3改编)经过圆x2＋y2＋2x＝0的圆心，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是________．　
答案：x－y＋1＝0
解析：∵ (x＋1)2＋y2＝1，∴ 圆心坐标为(－1，0)．∴ 过点(－1，0)且与直线x＋y＝0垂直的直线方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.
2. 已知点A(1，－2)，B(m，2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m＝________．
答案：3
解析：因为线段AB的中点(，0)在直线x＋2y－2＝0上，代入解得m＝3.
3. (必修2P111练习3改编)圆心为(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上的圆的标准方程为____________．
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝13
解析：设圆的直径的两个端点分别为(x，0)和(0，y)，则由中点坐标公式可求得两个端点分别为(4，0)和(0，－6)，半径长为×＝，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
4. 直线4x－3y＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得的弦长为________．
答案：6
解析：假设直线4x－3y＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得的弦为AB.∵ 圆的半径r＝，圆心到直线的距离d＝＝1，∴ 弦AB＝2×＝2×＝2×3＝6.
5. (必修2P128复习题16改编)已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为________．
答案：或－6
解析：∵ ＝，∴ |3m＋5|＝|m－7|，解得m＝或m＝－6.
6. (必修2P117习题8改编)若直线ax＋by＝1过点A(b，a)，则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是________．
答案：π
解析：∵ 直线ax＋by＝1过点A(b，a)，∴ ab＋ab＝1，∴ ab＝.又OA＝，∴ 以O为圆心，OA长为半径的圆的面积为S＝π·OA2＝(a2＋b2)·π≥2ab·π＝π，∴ 面积的最小值为π.
7. 如果直线l将圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝13平分，那么坐标原点O到直线l的最大距离为________．
答案：
解析：由题意知，直线l过圆心C(2，－3)，
当直线OC⊥l时，坐标原点到直线l的距离最大，
OC＝＝.
8. 过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为________．
答案：y＝－
解析：圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1，0)，半径为1，以PC＝＝2为直径，PC中点为圆心的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.
二、 解答题
9. 已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3，4)．
(1) 求证：直线l过某定点，并求该定点的坐标；
(2) 当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．
(1) 证明：直线l的方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，
由得
∴ 直线l恒过定点(－2，3)．
(2) 解：由(1)知，直线l恒过定点A(－2，3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大．
又直线PA的斜率kPA＝＝，
∴ 直线l的斜率kl＝－5.
故直线l的方程为y－3＝－5(x＋2)，即5x＋y＋7＝0.
10. 求过点P(4，－1)，且与圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0切于点M(1，2)的圆的方程．
解：(解法1)设所求圆的圆心为A(m，n)，半径为r，
则A，M，C三点共线，且MA＝AP＝r.
∵ 圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0的圆心为C(－1，3)，则

解得
∴ 所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5.
(解法2)∵ 圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0过点M(1，2)的切线方程为2x－y＝0，
∴ 设所求圆A的方程为x2＋y2＋2x－6y＋5＋λ(2x－y)＝0.
∵ 点P(4，－1)在圆A上，
∴ 代入圆A的方程，解得λ＝－4，
∴ 所求圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋5＝0.
11. 已知点P(＋1，2－)，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1) 求过点P的圆C的切线方程；
(2) 求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
解：(1) 由题意得圆心C(1，2)，半径r＝2.
∵ (＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，
∴ 点P在圆C上．
又kPC＝＝－1，∴ 切线的斜率k＝－＝1.
∴ 过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝1×[x－(＋1)]，即x－y＋1－2＝0.
(2) ∵ (3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，∴ 点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.
又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，解得k＝.
∴ 切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
综上，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
∵ MC＝＝，∴ 过点M的圆C的切线长为＝＝1.

第13练　圆 锥 曲 线



1. 掌握圆锥曲线的方程、图象和性质．
2. 会求圆锥曲线方程．
3. 能利用圆锥曲线的性质解决问题．


一、 填空题
1. 抛物线y＝x2的焦点坐标是________．
答案：(0，1)
解析：由y＝x2，得x2＝4y，其焦点为(0，1)．
2. 若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝________．
答案：4
解析：由题意得＝2?b＝2a，C2的焦距2c＝4?c＝＝2?b＝4.
3. 已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为A(0，－1)，其右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3，则椭圆的方程为____________．
答案：＋y2＝1
解析：由题意可得，b＝1.设右焦点为(c，0)(c>0)，它到已知直线的距离为＝3，解得c＝，所以a2＝b2＋c2＝3，故椭圆的方程为＋y2＝1.
4. 若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率e等于________．
答案：
解析：设双曲线方程为－＝1，则F(c，0)到y＝x的距离为＝2a，解得b＝2a，∴ e＝＝.
5. 已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，AB＝8，则AF2＋BF2＝________．　
答案：12
解析：由题意，得长半轴长a＝5，由椭圆定义知AB＋AF2＋BF2＝4a＝20.∵ AB＝8，∴ AF2＋BF2＝20－8＝12.
6. (课本改编)若双曲线－＝1的一条准线恰为圆x2＋y2＋2x＝0的一条切线，则k＝________．
答案：48
解析：∵ 圆的方程为(x＋1)2＋y2＝1，∴ －＝－2，即＝2，解得k＝48.
7. 如图，在椭圆＋＝1(a>b>0)中，左焦点为F，右顶点为A，短轴上方端点为B.若∠ABF＝90°，则该椭圆的离心率e为________．

答案：
解析：∵ ∠ABF＝90°，OB⊥OA，∴ Rt△OBF∽Rt△BAF，∴ BF2＝OF·AF，即a2＝c(c＋a)，∴ e2＋e－1＝0，解得e＝(负值舍去)．
8. 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在y轴的正半轴上，若线段AF的中点B在抛物线上，且AF＝3，则直线AF的方程为________________．　
答案：2x＋y－2＝0
解析：因为线段AF的中点为B，所以BF＝AF＝.设B点的横坐标为x0，因为抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，所以x0＋＝，即x0＝－.因为y2＝2px的焦点坐标为F，线段AF的中点为B，所以＝－，解得p＝2，即抛物线为y2＝4x，所以B点的坐标为，所以A点的坐标为(0，2)，所以直线AF的方程为y＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.
二、 解答题
9. 已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点为F1(－，0)，而且过点H(，)．
(1) 求椭圆E的方程；
(2) 如图，设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T.求证：线段OT的长为定值，并求出该定值．

(1) 解：(解法1)由题意，知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点为F1(－，0)，
∴ a2－b2＝3　①.
∵ 椭圆过点H，∴ ＋＝1　②.
由①②解得a2＝4，b2＝1，
∴ 椭圆E的方程为＋y2＝1.
(解法2)由题意得椭圆的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，
由椭圆的定义可得2a＝HF1＋HF2＝＋＝4，
∴ a＝2，b2＝1，
∴ 椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2) 证明：(证法1)由(1)可知A1(0，1)，A2(0，－1)，设P(x0，y0)，
直线PA1：y－1＝x，令y＝0，得xN＝；
直线PA2：y＋1＝x，令y＝0，得xM＝.
设圆G的圆心为，
则r2＝＋h2＝＋h2，
OG2＝＋h2，
OT2＝OG2－r2＝＋h2－2－h2＝，
而＋y＝1，所以x＝4(1－y)，所以OT2＝＝4，
所以OT＝2，即线段OT的长度为定值2.
(证法2)由(1)可知A1(0，1)，A2(0，－1)，设P(x0，y0)，
直线PA1：y－1＝x，令y＝0，得xN＝；
直线PA2：y＋1＝x，令y＝0，得xM＝.
则OM·ON＝＝，而＋y＝1，所以x＝4(1－y)，
所以OM·ON＝＝4，由切割线定理得OT2＝OM·ON＝4，
所以OT＝2，即线段OT的长度为定值2.
10. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，直线l1：－＝1被椭圆C截得的弦长为2，过椭圆C的右焦点，且斜率为的直线l2被椭圆C截得的弦长是椭圆长轴长的，求椭圆C的方程．
解：由l1被C截得的弦长为2，得a2＋b2＝8，　①
设l2：y＝(x－c)，代入C的方程，
化简得(b2＋3a2)x2－6a2cx＋a2(3c2－b2)＝0，
∴ x1＋x2＝，x1x2＝，
∴ |x1－x2|＝＝.
由弦长公式得·＝，
即a2＝3b2，　②
联立①②得a2＝6，b2＝2.
∴ 椭圆C的方程为＋＝1.
11. 已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 设点M(m，0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当||2最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．
解：(1) 由题意知解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2) 设P(x0，y0)，且＋＝1，
所以||2＝(x0－m)2＋y＝x－2mx0＋m2＋12(1－)＝x－2mx0＋m2＋12，
即||2＝(x0－4m)2－3m2＋12(－4≤x0≤4)．
所以||2为关于x0的二次函数，图象开口向上，对称轴为直线x0＝4m.
由题意知，当x0＝4时，||2最小，所以4m≥4，所以m≥1.
又点M(m，0)在椭圆长轴上，所以1≤m≤4.
故实数m的取值范围是[1，4]．

第14练　立 体 几 何



1. 掌握特殊几何体的侧面积和体积公式，并能求解．
2. 掌握平行与垂直的判定定理和性质定理，并能证明平行和垂直问题．


一、 填空题
1. 给出下列说法：① 梯形的四个顶点共面；② 三条平行直线共面；③ 有三个公共点的两个平面重合；④ 三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面．其中正确的是________．(填序号)
答案：①④
解析：显然命题①正确；由于三棱柱的三条平行棱不共面，②错误；命题③中，两个平面重合或相交，③错误；三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④正确．
2. (必修2P44例1改编)平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，且不为零，则α与β的位置关系为________．
答案：平行或相交
解析：若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行；若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．∴ α与β的位置关系为平行或相交．
3. 如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE与BD的位置关系是________．(选填“垂直”或“不垂直”)

答案：垂直
解析：∵ ABCDA1B1C1D1是正方体，∴ BD⊥平面CC1E.∵ CE?平面CC1E，∴ BD⊥CE.
4. 如图，P为?ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝________．

答案：
解析：连结AC交BE于点M，连结FM.
∵ PA∥平面EBF，PA?平面PAC，平面PAC∩平面EBF＝FM，∴ PA∥FM，∴ ＝＝＝.
5. (必修2P64习题6改编)若两个球的体积之比为8∶27，则它们的表面积之比为________．
答案：4∶9
解析：由体积之比为8∶27，知半径之比为2∶3，
∴ 表面积之比为4∶9.
6. (必修2P71习题20改编)已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是________．
答案：24π
解析：设正四棱柱底面边长为a，则S底＝a2，∴ V＝S底·h＝4a2＝16，∴ a＝2.又正四棱柱内接于球，设球半径为R，则(2R)2＝22＋22＋42＝24，∴ R＝，∴ 球的表面积为4πR2＝24π.
7. 已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________．
答案：
解析：依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，则2R＝＝2，解得R＝1，所以V＝R3＝.
8. 如图，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，且BC＝2AD.若M是SD上一点，且SM＝2MD，则＝________.

答案：3
解析：因为M是SD上一点，且SM＝2MD，所以VSMAC＝VMSAC＝VDSAC＝VSADC，
所以＝·.因为底面ABCD是梯形，AD∥BC，且BC＝2AD，所以＝＝2，即＝×2＝3.
二、 解答题
9. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，E为侧棱PC的中点．求证：PA∥平面EDB.

证明：连结AC，交BD于点O，连结OE，
在△PAC中，O为AC的中点，且E为PC的中点，
∴ PA∥OE.
∵ OE?平面EDB，PA?平面EDB，
∴ PA∥平面EDB.
10. 如图，在斜三棱柱ABC?A1B1C1中，底面ABC中，AC⊥AB，AB＝AC＝AA1＝BA1＝A1C.若 D为BC的中点，求证：
(1) BA1∥平面ADC1；
(2) AD⊥平面A1BC.

证明：(1) 如图，连结AC1交A1C于O，连结OD，DC1.

因为四边形AA1C1C为平行四边形，
所以O为A1C的中点．
因为D为BC的中点，所以OD∥A1B.
因为OD?平面ADC1，A1B?平面ADC1，
所以BA1∥平面ADC1.
(2) 令AB＝AC＝AA1＝BA1＝A1C＝2a，
因为AC⊥AB，所以在△ABC中，BC＝2CD＝2a，即CD＝a.
因为四边形AA1C1C为平行四边形，AC1交A1C于O，
所以O为A1C的中点，即OC＝a.
因为OD＝A1B＝a，所以在△OCD中，CD＝a，OC＝a，OD＝a，所以CD2＝OC2＋OD2，
所以OC⊥OD，即A1C⊥OD.
因为四边形AA1C1C为平行四边形，AC＝AA1，所以四边形AA1C1C为菱形，
所以A1C⊥AC1.因为AC1∩OD＝O，所以A1C⊥平面AC1D，所以A1C⊥AD.
因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC.因为BC∩A1C＝C，所以AD⊥平面A1BC.
11. 如图，已知三棱柱ABC ? A′B′C′的侧棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．
(1) 求证：MN∥平面AA′C′C；
(2) 设AB＝λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN，试证明你的结论．


(1) 证明：如图，取A′B′的中点E，连结ME，NE.
因为M，N分别为A′B和B′C′的中点，
所以NE∥A′C′，ME∥B′B∥AA′.
又A′C′?平面AA′C′C，A′A?平面AA′C′C，
所以ME∥平面AA′C′C，同理，NE∥平面AA′C′C.
又ME∩NE＝E，
所以平面MNE∥平面AA′C′C.
因为MN?平面MNE，
所以MN∥平面AA′C′C.

(2) 当λ＝时，CN⊥平面A′MN.
如图，连结BN，设AA′＝a，则AB＝AC＝λAA′＝λa，
由题意知BC＝λa，CN＝BN＝，
因为三棱柱ABCA′B′C′的侧棱垂直于底面，
所以平面A′B′C′⊥平面BB′C′C.
因为AB＝AC，点N是B′C′的中点，
所以A′N⊥平面BB′C′C，所以CN⊥A′N.
要使CN⊥平面A′MN，只需CN⊥BN即可，
所以CN2＋BN2＝BC2，即2(a2＋λ2a2)＝2λ2a2，解得λ＝，故当λ＝时，CN⊥平面A′MN.

第二部分　热点微专题——抢分冲刺

第1练　多元函数的最值问题

一、 填空题
1. 已知x＋y＝2，则x2＋2y的最小值为________．　
答案：3
解析：由x＋y＝2，得y＝2－x，所以x2＋2y＝x2＋2(2－x)＝(x－1)2＋3≥3，
所以，当x＝1时，x2＋2y取得最小值为3.
2. 已知x>0，y>0，且xy＝2，则x＋y的最小值为________．
答案：2
解析：因为x>0，y>0，所以x＋y≥2＝2，当且仅当x＝y＝时取等号．
3. 设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值是________．
答案：3
解析：由x－2y＋3z＝0得y＝，代入得
＝(＋)＋≥(2)＋＝3，当且仅当x＝3z时取“＝”．
4. 已知正实数a，b，c满足＋＝1，＋＋＝1，则实数c的取值范围是________．
答案：
解析： ＋＋＝1?＋＝1?＝1－.因为＋＝1?1≥2?0<≤ ，所以≤<1，故15. 当x>1>y时，有x2－2xy＋y2≥m[xy－(x＋y)＋1]恒成立，则实数m的取值范围是________．　
答案：[－4，＋∞)
解析：因为xy－(x＋y)＋1＝(x－1)(y－1)<0，x2－2xy＋y2＝(x－y)2＝[(x－1)－(y－1)]2，所以m≥＝＋－2，所以＋－2≤－2－2＝－4，所以m≥－4.
6. 已知实数x，y满足x2＋2xy＋4y2＝1，则x＋2y的取值范围是________．　
答案：
解析：设x＋2y＝t，则y＝，代入x2＋2xy＋4y2＝1得x2－tx＋t2－1＝0，则Δ＝t2－4(t2－1)≥0，解得－≤t≤.
7. 已知实数x，y满足x>0，y>0，且x＋y＝2，则＋的最小值为________．
答案：
解析：＋＝＋＝(＋)＋≥2＋＝＋，当且仅当＝，即x＝4－2，y＝2－2时取等号，故＋的最小值为.
8. 若实数a，b，c，d满足＝＝1，则 (a―c)2＋(b―d)2的最小值为________．
答案：
解析：令A(a，b)，B(c，d)，则u＝(a－c)2＋(b－d)2＝AB2，且点A(a，b)，B(c，d) 分别在函数y＝x2－2ln x，y＝3x－4的图象上．结合图形易知ABmin为函数y＝x2－2ln x图象与直线y＝3x－4平行的切线的切点与直线y＝3x－4的距离，可求得切点为(2，4－2ln 2)，所以ABmin＝，umin＝AB＝2＝.
二、 解答题
9. 设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，当取得最小值时，求x＋2y－z的最大值．
解：因为z＝x2－3xy＋4y2，且x，y，z为正实数，
所以＝＝＋－3≥2－3＝1，当且仅当＝，即x＝2y时取等号，此时z＝2y2，
所以x＋2y－z＝－2y2＋4y＝－2(y－1)2＋2(y>0)，
当y＝1，x＝2时，x＋2y－z取最大值为2.
10. 已知任意非零实数x，y满足3x2＋4xy≤λ(x2＋y2)恒成立，求实数λ的最小值．
解：因为3x2＋4xy≤λ(x2＋y2)，
所以(λ－3)x2－4xy＋λy2≥0.
当λ＝3时，得3y2－4xy≥0，显然不恒成立；
当λ≠3时，不等式两边同除以y2得(λ－3)()2－4()＋λ≥0恒成立，
所以解得λ≥4，
所以实数λ的最小值为4.
11. 已知函数f(x)＝ln x－x2＋bx＋c.若f(x)≤0对一切x∈(0，＋∞)，b∈(0，)恒成立，求实数c的取值范围．
解：(解法1)因为f(x)＝ln x－x2＋bx＋c，
所以f′(x)＝.
令f′(x)＝0，得x1＝<0(舍去)，x2＝，
易知x2＝是极大值点，
所以f(x)max＝f(x2)＝ln x2－x＋bx2＋c.
令－x＋bx2＋1＝0，即bx2＝x－1，代入上式，得f(x2)＝ln x2＋x＋c－1.
由b∈(0，)，解得x2∈(1，2)，
所以f(x2)＝ln x2＋x＋c－1∈(c－，ln 2＋1＋c)，
若f(x)≤0对一切的x∈(0，＋∞)，b∈(0，)恒成立，则需ln 2＋1＋c≤0，
因此实数c的取值范围是(－∞，－ln 2－1]．
(解法2)因为f(x)＝ln x－x2＋bx＋c，
记关于b的一次函数g(b)＝xb＋ln x－x2＋c，
因为x>0，所以g(b)＝xb＋ln x－x2＋c在b∈(0，)上单调递增，
要使得f(x)≤0恒成立，只需要g()＝x＋ln x－x2＋c≤0在x>0上恒成立，
记关于x的函数h(x)＝x＋ln x－x2＋c，x>0，　
则h′(x)＝－x＋＝－，
令h′(x)＝0，得x＝2，
当00，h(x)单调递增；当x>2时，h′(x)<0，h(x)单调递减．
所以h(x)在x＝2时取得最大值为h(2)＝ln 2＋1＋c，所以c≤－ln 2－1，
因此实数c的取值范围是(－∞，－ln 2－1]．

第2练　三角形中的三角函数

一、 填空题
1. 在平行四边形ABCD中，AB＝4，AC＝4，∠BAC＝45°，则AD＝________．
答案：4
解析：AD＝BC
＝
＝ ＝4.
2. (必修5P9练习3改编)在△ABC中，a＝13，c＝10，A＝30°，则cos B＝________．
答案：
解析：由＝，得sin C＝＝＝.因为c＜a，所以C为锐角，所以cos C＝，所以cos B＝－cos (A＋C)＝－cos Acos C＋sin Asin C＝－×＋×＝.
3. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝5，·＝－5，则△ABC的面积是________．
答案：
解析：因为·＝－5，所以abcos C＝－5.因为a＝2，b＝5，所以2×5cos C＝－5，解得cos C＝－，所以C＝120°，所以S△ABC＝absin C＝×2×5×＝.
4. 已知△ABC中，a＝1，b＝，B＝45°，则A＝________．　
答案：30°
解析：由正弦定理，得＝，解得
sin A＝.又a5. 在△ABC中，若(a2＋c2－b2)·tan B＝·ac，则B＝________.
答案：或
解析：把a2＋c2－b2＝2accos B，tan B＝代入已知等式，得sin B＝.又B∈(0，π)，所以B＝或.
6. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A＝，tan(A－B)＝－，则tan B＝________．
解析：因为A为锐角，sin A＝，所以cos A＝，所以tan A＝.由tan(A－B)＝＝－，解得tan B＝2.
7. 在Rt△ABC中，C＝90°，则的最大值为________．　
答案：
解析：＝＝sin A＋cos A＝sin (A＋)(0＜A＜)，所以当A＝时，取得最大值为.
8. 在平面四边形ABCD中，AD＝2，CD＝4，△ABC为等边三角形，则△BCD面积的最大值是________．
　
答案：4＋4
解析：设△BCD的面积为S，则S＝×4×BC×sin∠BCD＝2BCsin (∠ACD＋)
＝BCsin∠ACD＋BCcos∠ACD.设∠ADC＝α，则＝，于是ACsin∠ACD＝2sin α，即BCsin∠ACD＝2sin α.又BCcos∠ACD＝AC×＝＝＝4－2cos α，所以S＝2sin α＋(4－2cos α)＝4sin(α－)＋4，
从而S的最大值为4＋4，此时α＝.
二、 解答题
9. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知m＝(2cos A，sin A)，n＝(cos A，－2cos A)，m·n＝－1.
(1) 求角A的大小；
(2) 若a＝2，c＝2，求△ABC的面积．
解：(1) (解法1)由题意知m·n＝2cos2A－2sin Acos A＝－1，
∴ 1＋cos 2A－sin 2A＝－1，
即sin 2A－cos 2A＝2，
∴ 2sin (2A－)＝2，即sin (2A－)＝1.
∵ 0∴ －<2A－<，
∴ 2A－＝，即A＝.
(解法2)由题意知m·n＝2cos 2A－2sin Acos A＝－1，
∴ 2cos 2A－2sin Acos A＋sin 2A＋cos 2A＝0，
即3cos 2A－2sin Acos A＋sin 2A＝0，
即(cos A－sin A)2＝0，
∴ cos A＝sin A，即tan A＝.
∵ 0(2) (解法1)由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos A，
即12＝b2＋4－2b，
∴ b2－2b－8＝0，解得b＝4或b＝－2(舍去)．
∴ △ABC的面积为S＝bcsin A＝×4×2×＝2.
(解法2)由正弦定理可知＝，
∴ sin C＝.
∵ C∈(0，)，∴ C＝，B＝.∴ △ABC的面积为S＝acsin B＝×2×2×1＝2.
10. 设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(2a＋c)·＋c·＝0.
(1) 求角B的大小；
(2) 若b＝2，试求·的最小值．
解：(1)因为(2a＋c)·＋c·＝0，
所以(2a＋c)accos B＋cabcos C＝0，即(2a＋c)cos B＋bcos C＝0.
由正弦定理得(2sin A＋sin C)cos B＋sin Bcos C＝0，
即2sin Acos B＋sin (C＋B)＝0，亦即2sin Acos B＋sin A＝0，
因为sin A≠0，故cos B＝－.
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos ，即12＝a2＋c2＋ac.
因为12＝a2＋c2＋ac≥3ac，所以ac≤4，
所以·＝accos ＝－ac≥－2，当且仅当a＝c＝2时取等号，
所以·的最小值为－2.
11. 某飞机失联，经卫星侦查，其最后出现在小岛O附近．现派出四艘搜救船A，B，C，D，为方便联络，船A，B始终在以小岛O为圆心，100海里为半径的圆上，船A，B，C，D构成正方形编队展开搜索，小岛O在正方形编队外(如图)．设小岛O到AB的距离为x，∠OAB＝α，D船到小岛O的距离为d.
(1) 分别求d关于x，α的函数关系式d＝g(x)，d＝f(α)，并分别写出定义域；
(2) 当A，B两艘船之间的距离是多少时，搜救范围最大(即d最大)?

解：设x的单位为百海里．
(1) 由∠OAB＝α，得AB＝2OAcos α＝2cos α，AD＝AB＝2cos α，在△AOD中，OD＝f(α)
＝
＝，α∈(0，)．
若小岛O到AB的距离为x，则AB＝AD＝2，
OD＝g(x)＝
＝，x∈(0，1)．
(2) OD2＝4cos 2α＋1＋4cos αsin α
＝4×＋1＋4×
＝2(sin 2α＋cos 2α)＋3
＝2sin (2α＋)＋3，α∈(0，)．
因为2α＋∈(，)，
所以当2α＋＝，即α＝时，OD取得最大值．
此时AB＝2cos ＝2×＝(百海里)．
故当AB间距离为(100)海里时，搜救范围最大．

第3练　解析几何中最值与范围问题

一、 填空题
1. 若点P(x，y)在椭圆＋＝1上，则x2＋y2的最大值是________．
答案：12
解析：∵ ＋＝1，∴ y2＝12－3x2，则x2＋y2＝x2＋(12－3x2)＝12－2x2.∵ －2≤x≤2，
∴ x2＋y2的最大值是12.
2. 若双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为e1，双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为e2，则e1e2的最小值为________．　
答案：2
解析：e1·e2＝·＝＝＋≥2，当且仅当a＝b时取等号．
3. 若点P(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则x＋y的最大值为________．
答案：
解析：令x＋y＝t，代入椭圆方程，得5x2－2tx＋t2－4＝0，由Δ＝4t2－20(t2－4)≥0，解得－≤t≤，故x＋y的最大值为.
4. (课本改编)点P为椭圆＋＝1上一点，点F为椭圆的右焦点，则PF的最小值为________．
答案：1
解析：根据椭圆的性质知，当点P为椭圆的右顶点时，PF取得最小值，且最小值为a－c＝5－4＝1.
5. 已知点A是抛物线x2＝4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足PA＝mPB，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为________．
答案：＋1
解析：如图，过点P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得PN＝PB.
∵ PA＝mPB，∴ PA＝mPN，∴ ＝.设PA的倾斜角为α，则sin α＝，当m取得最大值时，sin α最小，此时直线PA与抛物线相切．设直线PA的方程为y＝kx－1，代入x2＝4y，可得x2＝4(kx－1)，即x2－4kx＋4＝0，∴ Δ＝16k2－16＝0，∴ k＝±1，∴ P(2，1)，∴ 双曲线的实轴长为PA－PB＝2(－1)，∴ 双曲线的离心率为＝＋1.


6. 点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)左支上的一点，其右焦点为F(c，0)．若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e的取值范围是________．　
答案：(1，]
解析：设左焦点为F′，则PF′＝2MO＝，设PF＝xc，则有即≤x<.由双曲线的定义有xc－＝2a，∴ e＝＝.由≤x<得e∈(1，]．
7. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P(1，1)，若圆M：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)上存在两点A，B使得＝2，则r的取值范围是________．
答案：(，3]
解析：设B(x0，y0)，根据＝2，可得A(3－2x0，3－2y0)，则有(1－2x0)2＋(3－2y0)2＝r2，即＋＝.又(x0－2)2＋y＝r2，故有r－≤≤r＋，解得≤r≤3，易知点P(1，1)在圆(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)内，所以r＞，从而r∈(，3]．
8. 动直线l交圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝4于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O，则当该圆面积取得最大时，直线l的方程为________．
答案：x＋y－1－＝0
解析：取AB的中点M，所以MC⊥AB，因为以AB为直径的圆过原点O，所以MA＝MO＝MB.因为MC2＋MB2＝4，所以MC2＋MO2＝4.设M(x，y)，所以(x－1)2＋(y－1)2＋x2＋y2＝4，即2＋2＝，所以当 M时，MOmax＝，所以k CM＝1，所以kAB＝－1，所以直线l的方程为y－＝－，即x＋y－1－＝0.
二、 解答题
9. 如图，椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别记作F1，F2，过F1作直线l1与椭圆交于点A，B，过F2作直线l2与椭圆交于点C，D，连结BC，AD，且l1∥l2.
(1) 当直线l1的斜率k1与直线BC的斜率k2都存在时，求证：k1·k2为定值；
(2) 求四边形ABCD面积的最大值．

(1) 证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
根据对称性，有C(－x1，－y1)，
因为A(x1，y1)，B(x2，y2)都在椭圆C上，
所以＋y＝1，＋y＝1 ，
两式相减，得＋y－y＝0，
即x－x＝－4(y－y)，
所以k1·k2＝·＝＝－为定值．
(2) 解：① 当l1的倾斜角为0°时，l1与l2重合，不合题意．
② 当l1的倾斜角不为0°时，由对称性得四边形ABCD为平行四边形．而l1过F1(－，0)，设直线l1的方程为x＝my－ ，
代入＋y2＝1，得(m2＋4)y2－2my－1＝0,
显然Δ>0，所以y1＋y2＝，y1·y2＝，
所以S△OAB＝··|y1－y2|
＝·
＝2· .
设m2＋1＝t，所以m2＝t－1，t∈(1，＋∞)，
所以＝＝≤ ，
当且仅当t＝，即m＝±时等号成立．
所以(S△OAB)max＝2×＝1，
所以平行四边形面积的最大值＝4×(S△OAB)max＝4.
10. 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点A，B为椭圆的右顶点和上顶点，且S△ABO＝1，设椭圆上存在任意两点M(x1，y1)，N(x2，y2)．若点P满足 ＝＋且x1x2＋4y1y2＝－2，求三角形PAB面积的最大值．
解：由题意，得解得
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
设P(x，y)，则x＝x1＋x2，y＝y1＋y2，
从而x2＋4y2＝(x1＋x2)2＋4(y1＋y2)2＝(x＋4y)＋(x＋4y)＋2(x1x2＋4y1y2)．因为x＋4y＝4，x＋4y＝4，x1x2＋4y1y2＝－2，所以x2＋4y2＝4，即点P在椭圆C上．
所以S△PAB＝×1×|x|＋×2×|y|＋1＝(|x|＋2|y|)＋1＝＋1＝＋1≤＋1＝＋1.
即三角形PAB面积的最大值为＋1.
11. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点(0，1)，且离心率为.若F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上．
(1) 求证：PF1·≥0；
(2) 过原点O且垂直于PF2的直线与直线y＝2交于点Q，求△OPQ面积的最小值．
(1) 证明：因为椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点(0，1)，所以b＝1.
因为离心率为，所以＝＝，解得a＝，
所以椭圆方程为＋y2＝1.
由题意可知F1(－1，0)，F2(1，0)，设点P(x0，y0)，
则＝(－1－x0，－y0)，＝(1－x0，－y0)，
所以·＝x＋y－1.
因为点P(x0，y0)在椭圆C上，所以＋y＝1，
即y＝1－，
所以·＝x＋1－－1＝(－≤x0≤)，
所以·≥0.
(2) 解：设点Q(m，2)，
当m＝0时，点Q(0，2)，P点坐标为(－，0)或(，0)，
此时S△OPQ＝××2＝.
当m≠0时，直线OQ的方程为y＝x，即2x－my＝0.
所以直线PF2的方程为y＝－(x－1)．
所以点P到直线OQ的距离d＝，OQ＝，
所以S＝·OQ·d＝×＝.
又y0＝－(x0－1)，
所以S＝＝＝×＝×＝(＋)≥1(－＜x0＜，且x0≠1)，
当且仅当＝，即x0＝0时等号成立，
综上，当x0＝0时，△OPQ面积有最小值1.

第4练　实际应用性问题

一、 填空题
1. 某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是________．
答案：9
解析：由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获得利润为y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10，k∈N)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，所以当k＝9时，获得利润最大．
2. 如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OA＝1 m，水从喷头A喷出后呈抛物线状，先向上至最高点再落下．若最高点距水面2 m，A离抛物线对称轴1 m，则水池半径最合适是________m．(精确到0.1)

答案：2.5
解析：建立如图所示的坐标系，设y轴右侧的抛物线方程为y＝a(x－1)2＋2.
∵ 抛物线过点A(0，1)，∴ a＝－1，∴ y＝－(x－1)2＋2.令y＝0，得x＝1＋或x＝1－(舍去)，
∴ 落在水面上最远点B与点O的距离为(1＋) m，
∴ 最合适的水池半径为2.5 m.

3. 某旅店有客床100张，各床每天收费10元时可全部客满，若每床每天收费每提高2元，则减少10张客床租出．这样为了减少投入多获利，每床每天收费应提高________元．
答案：6
解析：设每床每天收费提高2x元(x∈N*)，则收入为y＝(10＋2x)(100－10x)＝20(5＋x)(10－x)＝－20(x2－5x－50)，∴ 当x＝2或3时，y取最大值，为了满足减少投入要求应在相同条件下多空出床位，故x＝3，∴ 每床每天收费应提高6元．
4. (必修1P70习题1改编)某种细菌在培养过程中，每15 min分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个分裂成4 096个需经过________h.
答案：3
解析：设共分裂了x次，则有2x＝4 096，∴ 2x＝212，∴ x＝12.又每次分裂为15 min，∴ 共15×12＝180(min)，即3 h.
5. 拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．
答案：4.24
解析：∵ m＝6.5，∴ [m]＝6，则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24(元)．
6. (课本改编)圆柱的底面半径与高的和为9，则当圆柱的体积最大时，圆柱的底面半径为________．
答案：6
解析：设圆柱底面半径为r，则高为h＝9－r，∴ V＝πr2h＝πr2(9－r)＝π(9r2－r3)，则V′＝π(18r－3r2)＝3πr(6－r)>0，解得07. (必修5P108本章测试15改编)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为 2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业________年后需要更新设备．
答案：10
解析：由题意可知x年的维护费用共为2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均费用y＝＝x＋＋1.5.由基本不等式得y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5，当且仅当x＝，即x＝10时取等号，所以该企业10年后需要更新设备．
8. 一群羊中，每只羊的质量数均为整数，其总质量为65 kg.已知最轻的一只羊的质量为7 kg，除去一只10 kg的羊外，其余各只羊的质量恰好组成一组等差数列，则这群羊共有________只．
答案：6
解析：由题意，除去一只羊外，其余的(n－1)只羊的质量从小到大排列构成等差数列，设a1＝7，d>0，Sn－1＝65－10＝55，∴ Sn－1＝(n－1)a1＋d＝55，即(n－1)[7＋]＝55.∵ 55＝11×5，(n－1)∈Z，[7＋]∈Z，∴ 解得n＝6.
二、 解答题
9. 如图，l1，l2是通过某城市O的两条东西和南北走向的公路(近似看成两条直线)，连结P，Q两地之间的铁路线是圆心在l1上的一段圆弧．若点P在点O正北方向，且OP＝6 km，点Q到l1，l2的距离分别为10 km和8 km.
(1) 请你建立适当的平面直角坐标系，求铁路线所在圆弧PQ的方程(注明范围)；
(2) 随着该城市的发展，教育行政部门拟在点O正西方向选址建城西学校，考虑交通、环境等问题，要求校址到点O的距离大于8 km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于2 km，求该校址距点O的最近距离．(注：校址视为一个点)

解：(1)分别以l1，l2为x轴、y轴建立直角坐标系，
依题意得P(0，6)，Q(－8，10)，
故kPQ＝＝－，线段PQ的中点为(－4，8)．
故线段PQ的垂直平分线方程为y－8＝2(x＋4)．
令y＝0得x＝－8，故圆心A的坐标为(－8，0)，
半径r＝＝10.
所以，⊙A的方程为(x＋8)2＋y2＝100，
所以，铁路线所在圆弧PQ的方程为(x＋8)2＋y2＝100(－8≤x≤0，6≤y≤10)．
(2)设校址选在B(a，0)(a＜－8)，
则≥2对－8≤x≤0恒成立，
即≥2对－8≤x≤0恒成立，
整理得 (16＋2a)x－a2＋68≤0　①对－8≤x≤0恒成立．
因为a＜－8，所以16＋2a<0.
令f(x)＝(16＋2a)x－a2＋68，则f(x)在[－8，0]上为减函数，
故要使①式对－8≤x≤0恒成立，必须有
即
解得a≤－10，即校址距点O的最近距离为10 km.
10. 某火山喷发停止后，为测量的需要，设距离喷口中心50米内的圆面为第1区，50米至100米的圆环面为第2区，…，50(n－1)米至50n米的圆环面为第n区，n∈N*，n≥2.现测得第1区火山灰平均每平方米的质量为1 000千克，第2区火山灰平均每平方米的质量较第1区减少2%，…，第n＋1区火山灰平均每平方米的质量较第n区减少2%，n∈N*.设第n区火山灰的总质量为an，n∈N*.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 第几区火山灰的总质量最大，说明理由．
解：(1)设第n区火山灰平均每平方米的质量为bn千克，
则bn＝1 000(1－2%)n－1＝1 000×0.98n－1.
设第n区的面积为cn平方米，则当n≥2时，cn＝π×502×n2－π×502×(n－1)2＝2 500π(2n－1)，
又c1＝2 500π＝2 500π(2×1－1)，因此cn＝2 500π(2n－1)，n∈N*.
所以第n区内火山灰的总质量为an＝bncn＝2.5×106π×(2n－1)×0.98n－1(千克)．
(2) an＋1－an＝2.5×106π(2n＋1)×0.98n－2.5×106π×(2n－1)×0.98n－1
＝2.5×106π[(2n＋1)×0.98－(2n－1)]×0.98n－1
＝2.5×106π(－0.04n＋1.98)×0.98n－1.
当1≤n≤49时，an＋1－an＞0，即an＜an＋1,
当n≥50时， an＋1－an＜0，即an＞an＋1,
所以，当n＝50时，an最大．
答：第50区火山灰的总质量最大．
11. 某地举行水上运动会，如图，岸边有A，B两点，相距2千米，∠BAC＝30°.小船从A点以v千米/时的速度沿AC方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t小时与小船相遇．
(1) 若v＝12，运动员从B处出发游泳匀速直线追赶，为保证在15分钟内(含15分钟)能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；
(2) 若运动员先从A处沿射线AB方向在岸边跑步匀速行进 m (0＜m＜t)小时后，再游泳匀速直线追赶小船，已知运动员在岸边跑步的速度为16千米/时，在水中游泳的速度为8千米/时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v的最大值．

解：(1)设运动员游泳速度为x千米/时，
由题意可知(xt)2＝22＋(12t)2－2×2×12tcos 30°，
整理得x2＝－＋144＝＋36.
由于0＜t≤，所以≥8，
所以当＝6，即t＝时，x2取得最小值36，即x最小值为6.
答：运动员游泳速度的最小值为6千米/时．
(2)由题意知[8(t－m)]2＝(16m)2＋(vt)2－2×16m ×vtcos 30°，
两边同除以t2，得192＋(128－16v)＋v2－64＝0，
设＝k，0＜k＜1，
则有192k2＋(128－16v)k＋v2－64＝0，
其中k∈(0，1)，
即关于k的方程192k2＋(128－16v)k＋v2－64＝0在(0，1)上有解，
则必有Δ＝(128－16v)2－4×192×(v2－64)≥0，
解得0＜v≤，
当v＝时，可得k＝∈(0，1)，因此v的最大值为.
答：小船的最大速度为千米/时．

第5练　探索与创新性问题

一、 填空题
1. 若实数数列{an}满足an＋2＝|an＋1|－an(n∈N*)，则称数列{an}为“P数列”．若数列{an}是P数列，且a1＝0，a4＝1，则a3＝________．
答案：
解析：∵ a1＝0，∴ a3＝|a2|－a1＝|a2|，∴ a4＝|a3|－a2＝|a2|－a2.∵ a4＝1，∴ a2＝－，∴ a3＝|a2|＝.
2. 已知两个非零向量a与b，定义|a×b|＝|a|·|b|sin θ，其中θ为a与b的夹角．若a＝(－3，4)，b＝(0，2)，则|a×b|＝________．
答案：6
解析：∵ |a|＝＝5，|b|＝＝2，∴ a·b＝－3×0＋4×2＝8，∴ cos θ＝＝＝.∵ θ∈[0，π]，∴ sin θ＝＝＝.∴ 根据定义可知|a×b|＝|a|·|b|sin θ＝5×2×＝6.
3. 对于使f(x)≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做f(x)的上确界，则函数f(x)＝－x2＋2x的上确界为________．　
答案：1
解析：f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，∴ M≥1，∴ f(x)＝－x2＋2x的上确界为1.
4. 在平面直角坐标系中，定义两点P(x1，y1)与Q(x2，y2)之间的“直角距离”为d(P，Q)＝|x1－x2|＋|y1－y2|.若P(1，2)，Q(sin α，cos α)(α∈R)，则d(P，Q)的最大值为________．　
答案：3＋
解析：d(P，Q)＝|1－sin α|＋|2－cos α|＝3－sin (α＋)，∵ α∈R，∴ d(P，Q)的最大值为3＋.　
5. 对于集合M，定义函数fM(x)＝ 对于两个集合A，B，定义集合A△B＝{x|fA(x)·fB(x)＝－1}．已知A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A△B的结果为________．
答案：{1，6，10，12}
解析：因为集合A△B中的元素满足fA(x)fB(x)＝－1，根据条件fM(x)＝，所以只有－1×1＝－1，即x∈A且x?B，或x?A
且x∈B，即x＝1，6，10，12，那么A△B＝{1，6，10，12}．
6. 若关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|－1答案：－1＋2i
解析：因为不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|－17. 对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(－x)＝－f(x)，称f(x)为“局部奇函数”．若f(x)＝4x－m·2x＋3为R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是 ________．　
答案：[4，＋∞)
解析：因为f(x)为“局部奇函数”，所以4x－m·2x＋3＋(4－x－m·2－x＋3)＝0有解，即(4x＋4－x)－m(2x＋2－x)＋6＝0.设2x＋2－x＝t(t≥2)，即t2－2－mt＋6＝0，所以m＝t＋在[2，＋∞)上有解．因为m＝t＋≥2＝4，当且仅当t＝2时取等号，所以实数m的取值范围是[4，＋∞)．
8. 将n2个正整数1，2，3，…，n2(n≥2)任意排成n行n列的数表．对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a，b(a>b)的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当n＝2时，数表的所有可能的“特征值”的最大值为________．
答案：
解析：当n＝2时，这4个数分别为1，2，3，4，排成了2行2列的数表．当1，2同行或同列时，这个数表的“特征值”为；当1，3同行或同列时，这个数表的“特征值”为或；当1，4同行或同列时，这个数表的“特征值”为或.故这些可能的“特征值”的最大值为.
二、 解答题
9. 已知x为实数，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.2]＝1，[－1.2]＝－2，[1]＝1.对于函数f(x)，若存在m∈R且m?Z，使得f(m)＝f([m])，则称函数f(x)是Ω函数．
(1) 判断函数f(x)＝x2－x是否为Ω函数；
(2) 已知f(x)＝x＋，请写出a的一个值，使得f(x)为Ω函数，并给出证明．
解：(1) 当m＝时，[m]＝[]＝0，
∴ f()＝0＝f(0)，
∴ f(m)＝f([m])，∴ 函数f(x)是Ω函数．
(2) 取a＝，函数f(x)＝x＋.证明如下：
取m＝－，则[m]＝－1，
此时f(－)＝f([－])＝f(－1)＝－，
∴ f(x)是Ω函数．
10. 如图，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥BC，且A1A＝AB＝BC＝1，CD＝2.
(1) 求证：AB1⊥平面A1BC；
(2) 在线段CD上是否存在点N，使得D1N∥平面A1BC？若存在，求出三棱锥N?AA1C的体积；若不存在，请说明理由．

(1) 证明：因为直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD.又BC?平面ABCD，所以A1A⊥BC.
因为AB⊥BC，AB∩A1A＝A，所以BC⊥平面AA1B1B.
又AB1?平面AA1B1B，
所以AB1⊥BC.
因为A1A⊥AB，A1A＝AB＝1，
所以四边形AA1B1B是正方形，所以AB1⊥A1B.
因为A1B∩BC＝B，
所以AB1⊥平面A1BC.
(2) 解：(解法1)存在，当N为CD的中点时，D1N∥平面A1BC.理由如下：
若N为CD的中点，连结BN，如图，因为AB∥CD，AB＝BC＝1，CD＝2，所以AB∥DN，AB＝DN，所以四边形ABND为平行四边形，所以BN∥AD，BN＝AD.
在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD∥A1D1，AD＝A1D1，所以BN＝A1D1，BN∥A1D1，所以四边形A1BND1为平行四边形，所以A1B∥D1N.
又D1N?平面A1BC，A1B?平面A1BC，所以D1N∥平面A1BC.
易知S△ACN＝S△BCN＝CN·BC＝×1×1＝.
又A1A⊥平面ABCD，A1A＝1，所以VNAA1C＝VA1ACN＝S△ACN·A1A＝××1＝，即三棱锥NAA1C的体积为.
(解法2)存在，当N为CD的中点时，D1N∥平面A1BC.
证明如下：若N为CD的中点，取C1D1的中点M，连结BN，A1M，MC，如图．因为在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，A1B1∥C1D1，A1B1＝1，C1D1＝2，所以A1B1∥MC1，A1B1＝MC1，所以四边形A1B1C1M为平行四边形，所以A1M∥B1C1，A1M＝B1C1.

又BC∥B1C1，BC＝B1C1