2014-2018年高考江苏卷 文科数学(江苏卷)五年真题(含答案)

2014年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学Ⅰ
一、
填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1.
已知集合A＝{－2，－1，3，4}，B＝{－1，2，3}，那么A∩B＝________．
2.
已知复数z＝(5－2i)2，那么z的实部为________．
3.
如图是一个算法流程图，则输出的n的值是________．
(第3题)
4.
从1，2，3，6这四个数中一次随机地取两个数，则所取两个数的乘积为6的概率是________．
5.
已知函数y＝cos
x与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)，它们的图象有一个横坐标为的交点，那么φ的值是________．
6.
为了了解一片经济林的生长状况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在[80，130]内，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100
cm.
(第6题)
7.
在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．
8.
已知甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则＝________．
9.
在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．
10.
已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意的x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．
11.
在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．
12.
如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，那么·的值是________．
　　　
(第12题)
13.
已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝，若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．
14.
若△ABC的内角满足sin
A＋sin
B＝2sin
C，则cos
C的最小值是________．
二、
解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
(本小题满分14分)已知α∈，sin
α＝.
(1)
求sin的值；
(2)
求cos的值．
16.
(本小题满分14分)如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.
(1)
求证：直线PA∥平面DEF；
(2)
求证：平面BDE⊥平面ABC.
(第16题)
17.
(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.
(1)
若点C的坐标为，且BF2＝，求椭圆的方程；
(2)
若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
(第17题)
18.
(本小题满分16分)如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80
m．经测量，点A位于点O正北方向60
m处，点C位于点O正东方向170
m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝.
(1)
求新桥BC的长；
(2)
当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
(第18题)
19.
(本小题满分16分)已知函数f(x)＝ex＋e－x.
(1)
求证：f(x)是R上的偶函数；
(2)
若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；
(3)
已知正数a满足：存在x0∈[1，＋∞)，使得f(x0)＜a(－x＋3x0)成立，试比较ea－1与ae－1的大小，并证明你的结论．
20.
(本小题满分16分)设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，则称{an}是“H数列”．
(1)
若数列{an}的前n项和为Sn＝2n(n∈N
)，求证：数列{an}是“H数列”；
(2)
设{an}是等差数列，其首项a1＝1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；
(3)
求证：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N
)成立．
2014年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
1.
{－1，3}　【解析】由题意知A∩B＝{－1，3}．
2.
21　【解析】由题意知z＝(5－2i)2＝52－2×5×2i＋(2i)2＝21－20i，实部为21，虚部为－20.
3.
5　【解析】当n＝1时，21＝2<20；当n＝2时，22＝4<20；当n＝3时，23＝8<20；当n＝4时，24＝16<20；当n＝5时，25＝32>20.故输出的n的值是5.
4.
　【解析】从1，2，3，6中随机取两个数，基本事件为(1，2)，(1，3)，(1，6)，(2，3)，(2，6)，(3，6)，共6个．其中满足乘积为6的基本事件为(1，6)和(2，3)，共2个，故所求的概率为.
5.
　【解析】由题意知cos＝＝sin，解得＋φ＝＋2kπ，k∈Z或＋φ＝＋2kπ，k∈Z，故φ＝－＋2kπ，k∈Z或φ＝＋2kπ，k∈Z.又φ∈[0，π]，则φ＝.
6.
24　【解析】由题图知底部周长在[80，90)内的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90，100)内的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，则(0.15＋0.25)×60＝24(株)．
7.
4　【解析】设数列{an}的公比为q，则a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4，得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，故a6＝a2q4＝1×22＝4.
8.
　【解析】由题意知，＝＝＝，所以＝，圆柱的侧面积S侧＝2πrh，又S侧1＝2πr1h1＝S侧2＝2πr2h2，则＝＝，所以＝＝×＝.
9.
　【解析】由题意知圆心为(2，－1)，半径r＝2，圆心到直线的距离d＝＝，则弦长＝2＝2＝.
10.
　【解析】因为二次函数开口向上，在区间[m，m＋1]上始终满足f(x)<0，所以只需
解得故实数m的取值范围为.
11.
－3　【解析】由题意知，y′＝2ax－，k＝－，
将P(2，－5)代入得
故a＋b＝－3.
12.
22　【解析】以，为基底，因为＝3，·＝2，
又＝＋＝＋，＝＋＝－，
所以·＝2＝·＝2－·－2.
因为AB＝8，AD＝5，所以2＝25－×64－·，故·＝22.
13.
　【解析】根据题意作出f(x)在[－3，4]上的图象如图所示，若要函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个互不相同的零点，只需f(x)的图象与直线y＝a有10个不同的交点，则a∈.
(第13题)
14.
　【解析】由题意及正弦定理知a＋b＝2c，则cos
C＝＝＝＝－≥－＝，当且仅当a＝时取等号．
15.
(1)
因为α∈，sin
α＝，所以cos
α＝－＝－，
故sin＝sincos
α＋cossin
α＝(cos
α＋sin
α)＝×＝－.
(2)
因为sin
2α＝2sin
αcos
α＝－，cos
2α＝cos2α－sin2α＝，
所以cos＝coscos
2α＋sinsin
2α＝－×＋×＝－.
16.
(1)
因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.
因为PA平面DEF，DE平面DEF，
所以PA∥平面DEF.
(2)
因为D，E分别为PC，AC的中点，所以DE＝PA＝3.
因为E，F分别为AC，AB的中点，所以EF＝BC＝4，
所以DE2＋EF2＝DF2，所以∠DEF＝90°，所以DE⊥EF.
因为DE∥PA，PA⊥AC，所以DE⊥AC.
因为AC∩EF＝E，AC，EF平面ABC，
所以DE⊥平面ABC.
因为DE平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.
17.
(1)
因为点C在椭圆上，所以＋＝1，即＋＝9.
因为BF＝b2＋c2＝a2，所以a2＝()2＝2，所以b2＝1，
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)
设焦点F1的坐标为(－c，0)，F2的坐标为(c，0)，
因为点B的坐标为(0，b)，
所以直线BF2的方程为y＝－x＋b.
联立整理得x2－x＝0，
解得x＝0或x＝.
因为点A的坐标为，且A，C关于x轴对称，
所以点C的坐标为，所以kF1C＝＝.
因为AB⊥CF1，所以×＝－1，
由b2＝a2－c2，得＝，即e＝.
18.
(1)
如图(1)，过点B作BE⊥OC于点E，过点A作AF⊥BE于点F，
因为∠ABC＝90°，∠BEC＝90°，所以∠ABF＝∠BCE，
所以tan∠ABF＝tan∠BCO＝.
　　　,
图(2))
(第18题)
设AF＝4x
m，则BF＝3x
m，
因为∠AOE＝∠AFE＝∠OEF＝90°，所以四边形AOEF为矩形，
所以OE＝AF＝4x
m，EF＝AO＝60
m，所以BE＝(3x＋60)m.
因为tan∠BCO＝，所以CE＝BE＝m，
所以OC＝m，所以4x＋x＋45＝170，
解得x＝20，所以BE＝120
m，CE＝90
m，所以BC＝150
m.
(2)
如图(2)，设BC与圆M切于点Q，延长QM，CO交于点P.
因为∠POM＝∠PQC＝90°，所以∠PMO＝∠BCO.
设OM＝x
m，则OP＝x
m，PM＝x
m，所以PC＝m.
所以PQ＝m，设圆M的半径为R，
所以R＝MQ＝m＝m.
因为A，O到圆M上任一点的距离不少于80
m，
所以R－AM≥80
m，R－OM≥80
m，
所以136－x－(60－x)≥80，136－x－x≥80，所以10≤x≤35，
所以R最大，当且仅当x＝10时取到，
所以OM＝10
m时，保护区面积最大．
19.
(1)
任意的x∈R，f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以f(x)是R上的偶函数．
(2)
由题意，m(ex＋e－x)≤e－x＋m－1，即m(ex＋e－x－1)≤e－x－1.
因为x∈(0，＋∞)，所以ex＋e－x－1＞0，
即m≤对x∈(0，＋∞)恒成立．
令t＝ex(t＞1)，则m≤对任意t∈(1，＋∞)恒成立．
因为＝－＝－≥－，
当且仅当t＝2，即x＝ln
2时等号成立，
所以实数m的取值范围是.
(3)
f′(x)＝ex－e－x，当x＞1时，f′(x)＞0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
令h(x0)＝a(－x＋3x0)，h′(x0)＝－3a(x0＋1)(x0－1)，
因为a＞0，x0＞1，所以h′(x0)＜0，
即h(x0)在x∈(1，＋∞)上单调递减．
因为存在x0∈[1，＋∞)，使得f(x0)＜a(－x＋3x0)成立，
所以f(1)＝e＋＜2a，即a＞.
因为ln＝ln
ae－1－ln
ea－1＝(e－1)ln
a－a＋1，
设m(a)＝(e－1)ln
a－a＋1，则m′(a)＝－1＝，a＞.
当＜a＜e－1时，m′(a)＞0，m(a)单调递增；
当a＞e－1时，m′(a)＜0，m(a)单调递减．
因此m(a)至多有两个零点，又m(1)＝m(e)＝0，
所以当a＞e时，m(a)＜0，当＜a＜e时，m(a)＞0，
当a＝e时，m(a)＝0.
因为m(a)＜0?ae－1＜ea－1，m(a)＞0?ae－1＞ea－1，m(a)＝0?ae－1＝ea－1.
综上，当(e＋e－1)＜a＜e时，ae－1＞ea－1；当a＝e时，ae－1＝ea－1；
当a＞e时，ae－1＜ea－1.
20.
(1)
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝2，所以当n＝1时，S1＝a1，当n≥2时，Sn＝an＋1.
所以{an}是“H数列”．
(2)
Sn＝na1＋d＝n＋d，
对任意的n∈N
，存在m∈N
，使Sn＝am，
即n＋＝1＋(m－1)d.
取n＝2，得1＋d＝(m－1)d，m＝2＋.
因为d＜0，所以m＜2，又m∈N
，所以m＝1，所以d＝－1.
当d＝－1时，am＝2－m,
Sn＝是小于2的整数，n∈N
.于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝2－Sn＝2－，使得Sn＝2－m＝am，所以{an}是“H数列”，因此d的值为－1.
(3)
设{an}的公差为d，
令bn＝a1－(n－1)a1＝(2－n)a1，对任意的n∈N
，bn＋1－bn＝－a1，
cn＝(n－1)(a1＋d)，对任意的n∈N
，cn＋1－cn＝a1＋d，
则bn＋cn＝a1＋(n－1)d＝an，且{bn}，{cn}为等差数列．
{bn}的前n项和Tn＝na1＋(－a1)，
令bm＝(2－m)a1＝Tn，则m＝＋2.
当n＝1时，m＝1；当n＝2时，m＝1；
当n≥3时，由于n与n－3奇偶性不同，即n(n－3)为非负偶数，m∈N
，因此对任意的n∈N
，都可找到m∈N
，使Tn＝bm成立，即{bn}为“H数列”．
{cn}的前n项和Rn＝(a1＋d)，
令cm＝(m－1)(a1＋d)＝Rn，则m＝＋1，所以对任意的n∈N
，n(n－1)是非负偶数，m∈N
.即对任意的n∈N
，都可找到m∈N
，使得Rn＝cm成立，即{cn}为“H数列”．
综上，原命题得证．
2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学Ⅰ
一、
填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1.
已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，那么集合A∪B中元素的个数为________．
2.
已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________．
3.
若复数z满足z2＝3＋4i，则z的模为________．
4.
根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________．
(第4题)
5.
袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
6.
已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
7.
不等式2x2－x<4的解集为________．
8.
已知tan
α＝－2，tan(α＋β)＝，那么tan
β的值为________．
9.
现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________．
10.
在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____________．
11.
已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N
)，那么数列的前10项和为________．
12.
在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．
13.
已知函数f(x)＝|ln
x|，g(x)＝那么方程|f(x)＋g(x)|＝1实数根的个数为________．
14.
若向量ak＝(k＝0，1，2，…，12)，则(ak·ak＋1)的值为________．
二、
解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
(本小题满分14分)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.
(1)
求BC的长；
(2)
求sin
2C的值．
16.
(本小题满分14分)如图，在直三棱柱AB-CA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.若AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.
(1)
求证：DE∥平面AA1C1C；
(2)
求证：BC1⊥AB1.
(第16题)
17.
(本小题满分14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5
km和40
km，点N到l1，l2的距离分别为20
km和
2.5
km，以l1，l2所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝(其中a，b为常数)模型．
(1)
求a，b的值；
(2)
设公路l与曲线C相切于点P，点P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．
(第17题)
18.
(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.
(1)
求椭圆的标准方程；
(2)
过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．
(第18题)
19.
(本小题满分16分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)．
(1)
试讨论f(x)的单调性；
(2)
若b＝c－a(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(－∞，－3)∪∪，求c的值．
20.
(本小题满分16分)设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列．
(1)
求证：2a1，2a2，2a3，2a4依次成等比数列；
(2)
是否存在a1，d，使得a1，a，a，a依次成等比数列，并说明理由；
(3)
是否存在a1，d及正整数n，k，使得a，a，a，a依次成等比数列，并说明理由．
2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
1.
5　【解析】由题意知A∪B＝{1，2，3，4，5}，则集合中有5个元素．
2.
6　【解析】平均数为＝＝6.
3.
　【解析】方法一：由z2＝3＋4i，知|z2|＝|z|2＝5，所以|z|＝.
方法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)代入z2＝3＋4i，得解得所以z＝±(2＋i)，所以|z|＝.
4.
7　【解析】由题意知，在循环的过程中，S与I的值依次为3，4；5，7；7，10.最后输出的S的值为7.
5.
　【解析】方法一：从4只球中一次摸出2只，基本事件共有6个，2只颜色相同的事件只有1个，根据对立事件的概率公式知所求的概率为1－＝.
方法二：基本事件共有6个，其中颜色不同的事件有5个：(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，黄1)，(红，黄2)，故所求的概率为.
6.
－3　【解析】由题意知m(2，1)＋n(1，－2)＝(9，－8)，所以
解得
所以m－n＝－3.
7.
(－1，2)　【解析】由2x2－x<4，知x2－x<2，解得－18.
3　【解析】方法一：tan
β＝tan(α＋β－α)＝＝＝3.
方法二：由tan(α＋β)＝，得＝，解得tan
β＝3.
9.
　【解析】底面半径为5，高为4的圆锥的体积是π；底面半径为2，高为8的圆柱的体积是32π，故总体积是π.设重新制作后的圆锥、圆柱的底面半径为r，则πr2·4＋πr2·8＝π，所以r2＝7，所以r＝.
10.
(x－1)2＋y2＝2　【解析】方法一：圆半径r＝，由r2＝＝1＋≤2，知r≤，所以半径最大的圆为(x－1)2＋y2＝2.
方法二：直线mx－y－2m－1＝0过定点(2，－1)，该点必须不在以(1，0)为圆心的圆(x－1)2＋y2＝r2内，所以(2－1)2＋(－1)2≥r2，从而r2≤2，即所求半径最大的圆为(x－1)2＋y2＝2.
　【解析】由an＋1－an＝n＋1知，当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝.当n＝1时上式也成立，所以an＝，n∈N
，所以＝＝2，所以的前10项和为2(－＋－＋…＋－)＝2＝.
12.
　【解析】方法一：如图，数形结合，双曲线右支上点P到直线x－y＋1＝0的距离大于渐近线y＝x到x－y＋1＝0的距离，即c的最大值为.
方法二：设右支上点P，－<α<，则点P到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝·＝·＝·＝·＝·＝·>，即c的最大值为.
(第12题)
13.
4　【解析】若|f(x)＋g(x)|＝1，即f(x)＋g(x)＝±1.令h(x)＝f(x)＋g(x)，分段考虑函数．当x∈(0，1]时，h(x)＝－lnx，函数h(x)的值域为[0，＋∞)，且函数单调递减，故存在1个实数根；当x∈(1，2]时，h(x)＝lnx－x2＋2，h′(x)＝<0，所以函数单调递减，所以函数h(x)的值域为[ln2－2，1)，因为ln2－2<－1，故存在1个实数根；当x∈(2，＋∞)时，h(x)＝lnx＋x2－6，函数单调递增，函数的值域为(ln2－2，＋∞)，故存在2个实数根．综上，一共存在4个实数根．
14.
9　【解析】方法一：a0·a1＝(1，1)·＝＋，a1·a2＝＋1，a2·a3＝＋，a3·a4＝－，a4·a5＝－1，a5·a6＝－，a6·a7＝a0·a1，a7·a8＝a1·a2，…，所以(ak·ak＋1)＝2×＝9.
方法二：ak·ak＋1＝·(cos
，sin
＋cos
)＝cos
cos
＋sin
＋cos
＝cos
＋sin
＋，根据三角函数的周期性，(ak·ak＋1)＝cos
＋sin
＋＝0＋0＋12×＝9.
15.
(1)
由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos
A＝4＋9－2×2×3×＝7，所以BC＝.
(2)
由正弦定理知，＝，
所以sin
C＝·sin
A＝＝.
因为AB所以cos
C＝＝＝，
所以sin
2C＝2sin
Ccos
C＝2××＝.
16.
(1)
由题意知，E为B1C的中点，
又D为AB1的中点，所以DE∥AC.
又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，
所以DE∥平面AA1C1C.
(2)
因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.
因为AC平面ABC，所以AC⊥CC1.
又因为AC⊥BC，CC1，BC平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，
所以AC⊥平面BCC1B1.
又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.
因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥B1C.
因为AC，B1C平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.
又因为AB1平面B1AC，所以BC1⊥AB1.
17.
(1)
由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)．
将其分别代入y＝，得
(2)
①由(1)知，y＝(5≤x≤20)，则点P的坐标为.
设在点P处的切线l交x，y轴分别于点A，B，y′＝－，
则直线l的方程为y－＝－(x－t)，
由此得A，B，
故f(t)＝＝，t∈[5，20]．
②设g(t)＝t2＋，则g′(t)＝2t－.
令g′(t)＝0，解得t＝10.
当t∈(5，10)时，g′(t)<0，g(t)单调递减；
当t∈(10，20)时，g′(t)>0，g(t)单调递增．
所以，当t＝10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，g(t)min＝300，此时f(t)min＝15.
答：当t＝10时，公路l的长度最短，最短长度为15
km.
18.
(1)
由题意，得＝且c＋＝3，解得a＝，c＝1，则b＝1，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)
当AB⊥x轴时，AB＝，又CP＝3，不合题意．
当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将AB的方程代入椭圆方程，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，
则x1，2＝，点C的坐标为，且
AB＝＝＝.
若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意．
从而k≠0，故直线PC的方程为y＋＝－，
则点P的坐标为，所以PC＝.
因为PC＝2AB，所以＝，解得k＝±1.
此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.
19.
(1)
f′(x)＝3x2＋2ax，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝－.
当a＝0时，因为f′(x)＝3x2>0(x≠0)，
所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a>0时，x∈∪(0，＋∞)，f′(x)>0，函数f(x)在，(0，＋∞)上单调递增；x∈，f′(x)<0，函数f(x)在上单调递减；
当a<0时，x∈(－∞，0)∪，f′(x)>0，函数f(x)在(－∞，0)，上单调递增；x∈时，f′(x)<0，函数f(x)在上单调递减．
由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)＝b，f＝a3＋b，
则函数f(x)有三个零点等价于f(0)·f＝b(a3＋b)<0，
又因为b＝c－a，所以当a>0时，a3－a＋c>0；当a<0时，a3－a＋c<0.
设g(a)＝a3－a＋c，因为函数f(x)有三个不同的零点时，
a的取值范围恰好是(－∞，－3)∪∪，
则在(－∞，－3)上，g(a)<0，且在∪上，g(a)>0均恒成立，
从而g(－3)＝c－1≤0，且g＝c－1≥0，因此c＝1.
此时，f(x)＝x3＋ax2＋1－a＝(x＋1)[x2＋(a－1)x＋1－a]，
因为函数f(x)有三个不同的零点，
所以x2＋(a－1)x＋1－a＝0有两个异于－1的不相等的实数根，
所以Δ＝(a－1)2－4(1－a)＝a2＋2a－3>0，
且(－1)2－(a－1)＋1－a≠0，
解得a∈(－∞，－3)∪∪.
综上，c的值为1.
20.
(1)
因为＝2an＋1－an＝2d(n＝1，2，3)是同一个常数，
所以2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列．
(2)
令a1＋d＝a，则a1，a2，a3，a4分别为a－d，a，a＋d，a＋2d(a>d，a>－2d，d≠0)．
假设存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列，
则a4＝(a－d)(a＋d)3，且(a＋d)6＝a2(a＋2d)4.
令t＝，则1＝(1－t)(1＋t)3，
且(1＋t)6＝(1＋2t)4，
化简得t3＋2t2－2＝0(
)，且t2＝t＋1.将t2＝t＋1代入(
)式，
t(t＋1)＋2(t＋1)－2＝t2＋3t＝t＋1＋3t＝4t＋1＝0，则t＝－.
显然t＝－不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，
因此不存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列．
(3)
假设存在a1，d及正整数n，k，使得a，a，a，a依次构成等比数列，
则a(a1＋2d)n＋2k＝(a1＋d)2(n＋k)，且(a1＋d)n＋k(a1＋3d)n＋3k＝(a1＋2d)2(n＋2k)．
分别在两个等式的两边同除以a及a，并令t＝，
则(1＋2t)n＋2k＝(1＋t)2(n＋k)，且(1＋t)n＋k(1＋3t)n＋3k＝(1＋2t)2(n＋2k)，
将上述两个等式两边取对数，得(n＋2k)ln(1＋2t)＝2(n＋k)ln(1＋t)，
且(n＋k)ln(1＋t)＋(n＋3k)ln(1＋3t)＝2(n＋2k)ln(1＋2t)．
化简得2k[ln(1＋2t)－ln(1＋t)]＝n[2ln(1＋t)－ln(1＋2t)]，
且3k[ln(1＋3t)－ln(1＋t)]＝n[3ln(1＋t)－ln(1＋3t)]．
再将这两式相除，化简得
ln(1＋3t)ln(1＋2t)＋3ln(1＋2t)ln(1＋t)＝4ln(1＋3t)ln(1＋t)．　(
)
令g(t)＝4ln(1＋3t)ln(1＋t)－ln(1＋3t)ln(1＋2t)－3ln(1＋2t)ln(1＋t)，
则g′(t)＝
.
令φ(t)＝(1＋3t)2ln(1＋3t)－3(1＋2t)2ln(1＋2t)＋3(1＋t)2ln(1＋t)，
则φ′(t)＝6[(1＋3t)ln(1＋3t)－2(1＋2t)ln(1＋2t)＋(1＋t)ln(1＋t)]．
令φ1(t)＝φ′(t)，则φ′1(t)＝6[3ln(1＋3t)－4ln(1＋2t)＋ln(1＋t)]．
令φ2(t)＝φ′1(t)，则φ′2(t)＝>0.
由g(0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0，φ′2(t)>0，
知φ2(t)，φ1(t)，φ(t)，g(t)在和(0，＋∞)上均单调．
故g(t)只有唯一零点t＝0，即方程(
)只有唯一解t＝0，故假设不成立．
所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a，a，a，a依次构成等比数列．
2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学Ⅰ
一、
填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1.
已知集合A＝{－1，2，3，6}，B＝{x|－22.
若复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________．
3.
在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是________．
4.
已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，那么该组数据的方差是________．
5.
函数y＝的定义域是________．
6.
如图所示的算法流程图，输出的a的值是________．
(第6题)
7.
将一枚质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．
8.
已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．
9.
定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin
2x的图象与y＝cos
x的图象的交点个数是________．
10.
如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，若直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
(第10题)
11.
设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝其中a∈R.若f＝f，则f(5a)的值是________．
12.
已知实数x，y满足那么x2＋y2的取值范围是________．
13.
如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，若·＝4，·＝－1，则·的值是________．
(第13题)
14.
在锐角三角形ABC中，若sin
A＝2sin
Bsin
C，则tan
Atan
Btan
C的最小值是________．
二、
解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
(本小题满分14分)在△ABC中，已知AC＝6，cos
B＝，C＝.
(1)
求边AB的长；
(2)
求cos的值．
\
16.
(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
(1)
求证：直线DE∥平面A1C1F；
(2)
求证：平面B1DE⊥平面A1C1F.
(第16题)
17.
(本小题满分14分)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，如图，上部分的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．
(1)
若AB＝6
m，PO1＝2
m，则仓库的容积是多少？
(2)
若正四棱锥的侧棱长为6
m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？
(第17题)
18.
(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4)．
(1)
设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)
设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；
(3)
设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．
(第18题)
19.
(本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax＋bx(a>0，b>0，a≠1，b≠1)．
(1)
设a＝2，b＝.
①求方程f(x)＝2的根；
②若对于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m的最大值．
(2)
若01，函数g(x)＝f(x)－2有且只有1个零点，求ab的值．
20.
(本小题满分16分)记U＝{1，2，…，100}．对数列{an}(n∈N
)和U的子集T，若T＝?，定义ST＝0；若T＝{t1，t2，…，tk}，定义ST＝at1＋at2＋…＋atk.例如：T＝{1，3，66}时，ST＝a1＋a3＋a66.现设{an}(n∈N
)是公比为3的等比数列，且当T＝{2，4}时，ST＝30.
(1)
求数列{an}的通项公式；
(2)
对任意正整数k(1≤k≤100)，若T?{1，2，…，k}，求证：ST(3)
设SC≥SD，求证：SC＋SC∩D≥2SD.
2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
1.
{－1，2}　【解析】由题意知A∩B＝{－1，2}．
2.
5　【解析】由题意知z＝5＋5i，所以z的实部是5.
3.
2　【解析】由题意知c＝＝＝，所以焦距为2c＝2.
4.
0.1　【解析】因为x＝(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5)＝5.1，所以s2＝(0.42＋0.32＋02＋0.32＋0.42)＝0.1.
5.
[－3，1]　【解析】由题意知3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1，所以原函数的定义域为[－3，1]．
6.
9　【解析】由流程图可知，在循环的过程中，a与b的值依次为1，9；5，7；9，5.因为9>5，所以输出的a＝9.
7.
　【解析】由题意知，先后抛掷骰子2次，共有36个基本事件．其中点数之和大于等于10的基本事件有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6个，则点数之和小于10的基本事件共有30个．故所求的概率为＝.
8.
20　【解析】设等差数列{an}的公差为d，则由题意知a1＋(a1＋d)2＝－3，5a1＋10d＝10，解得a1＝－4，d＝3，所以a9＝－4＋8×3＝20.
9.
7　【解析】如图，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝sin
2x与y＝cos
x在区间[0，3π]上的图象，可知共有7个交点．
(第9题)
　【解析】由题意知焦点F的坐标为(c，0)，联立
解得x＝±a，故点B的坐标为，点C的坐标为.
因为∠BFC＝90°，所以·＝0.又＝，＝，
所以c2－a2＋b2＝0.因为b2＝a2－c2，所以c2＝a2，即＝，
所以e＝＝＝.
11.
－　【解析】由题意知f＝f＝－＋a，f＝f＝＝.
因为f＝f，所以－＋a＝，解得a＝，
所以f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－1＋a＝－1＋＝－.
12.
　【解析】作出实数x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，则x2＋y2即为可行域内的点(x，y)到原点O的距离的平方．由图可知点A到原点O的距离最近，点B到原点O的距离最远．点A到原点O的距离即原点O到直线2x＋y－2＝0的距离d＝＝，则(x2＋y2)min＝；点B为直线x－2y＋4＝0与3x－y－3＝0的交点，即点B的坐标为(2，3)，则(x2＋y2)max＝13.综上，x2＋y2的取值范围是.
(第12题)
13.
　【解析】方法一：设＝a，＝b，则＝－b，＝2a，＝3a，所以＝－＝3a－b，＝－＝3a＋b，＝－＝2a－b，＝－＝2a＋b，＝－＝a－b，＝－＝a＋b，所以·＝9a2－b2，·＝a2－b2，·＝4a2－b2.又因为·＝4，·＝－1，所以9a2－b2＝4，a2－b2＝－1，解得a2＝，b2＝，所以·＝4a2－b2＝－＝.
方法二：以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设点B的坐标为(－a，0)，点C的坐标为(a，0)，点A的坐标为(b，c)，所以＝(b＋a，c)，＝(b－a，c)，＝，＝.
因为·＝b2－a2＋c2＝4，·＝－a2＋＝－1，所以b2＋c2＝，a2＝.
又因为＝＋＝，＝＋＝(b－a，)，
所以·＝b2－a2＋＝×－＝.
14.
8　【解析】因为sin
A＝2sin
Bsin
C，所以sin(B＋C)＝2sin
Bsin
C，
所以sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C＝2sin
Bsin
C，
等式两边同时除以cos
Bcos
C，得tan
B＋tan
C＝2tan
Btan
C.
又因为tan
A＝－tan(B＋C)＝，
所以tan
Atan
Btan
C－tan
A＝2tan
Btan
C，
即tan
Btan
C(tan
A－2)＝tan
A.
因为A，B，C为锐角，所以tan
A，tan
B，tan
C>0，且tan
A>2，
所以tan
Btan
C＝，所以原式＝.
令tan
A－2＝t(t>0)，则＝＝＝t＋＋4≥8，
当且仅当t＝2，即tan
A＝4时取等号．
故tan
Atan
Btan
C的最小值为8.
15.
(1)
因为cos
B＝，0B＝＝＝.
由正弦定理知＝，所以AB＝＝＝5.
(2)
在△ABC中，因为A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，
所以cos
A＝－cos(B＋C)＝－cos＝－cos
Bcos
＋sin
Bsin
.
又cos
B＝，sin
B＝，故cos
A＝－×＋×＝－.
因为0A＝＝，
所以cos＝cos
Acos
＋sin
Asin
＝－×＋×＝.
16.
(1)
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1∥AC.
在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，
所以DE∥AC，所以DE∥A1C1.
又因为DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，
所以直线DE∥平面A1C1F.
(2)
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.
因为A1C1平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.
又因为A1C1⊥A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，
所以A1C1⊥平面ABB1A1.
因为B1D平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.
又因为B1D⊥A1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，
所以B1D⊥平面A1C1F.
因为直线B1D平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
17.
(1)
由PO1＝2
m，知O1O＝4PO1＝8
m，因为A1B1＝AB＝6
m，
所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥＝·A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)，
正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)，
所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．
(2)
设A1B1＝a
m，PO1＝h
m，则0m.
如图，连接O1B1.在Rt△PO1B1中，因为O1B＋PO＝PB，
所以＋h2＝36，即a2＝2(36－h2)，
所以仓库的容积V＝V柱＋V锥＝a2·4h＋a2·h＝a2h＝(36h－h3)，0所以V′＝(36－3h2)＝26(12－h2)．令V′＝0，得h＝2或h＝－2(舍去)．
当00，V在(0，2)上是单调增函数；
当2故当h＝2时，V取得极大值，也是最大值．
所以，当PO1＝2
m时，仓库的容积最大．
(第17题)
18.
圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，
所以圆心M(6，7)，半径为5.
(1)
由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．
因为圆N与x轴相切，与圆M外切，
所以0半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1，
所以圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)
因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2.
设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，
则圆心M到直线l的距离d＝＝.
(第18题)
如图，因为BC＝OA＝＝2，又MC2＝d2＋，所以25＝＋5，
解得m＝5或m＝－15.
故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.
(3)
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，因为A(2，4)，T(t，0)，＋＝，
所以
因为点Q在圆M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.　②
将①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25，
所以点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，
从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25与圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共点，
所以5－5≤≤5＋5，
解得2－2≤t≤2＋2.
所以实数t的取值范围是[2－2，2＋2
]．
19.
(1)
因为a＝2，b＝，所以f(x)＝2x＋2－x.
①方程f(x)＝2，则2x＋2－x＝2，即(2x)2－2×2x＋1＝0，
所以(2x－1)2＝0，所以2x＝1，解得x＝0.
②由题意知f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝(f(x))2－2，
因为f(2x)≥mf(x)－6对于x∈R恒成立，且f(x)>0，
所以m≤对于x∈R恒成立．
又＝f(x)＋≥2＝4，且＝4，
所以m≤4，故实数m的最大值为4.
因为函数g(x)＝f(x)－2只有1个零点，
又g(0)＝f(0)－2＝a0＋b0－2＝0，所以0是函数g(x)的唯一零点．
因为g′(x)＝axln
a＋bxln
b，又由01，知ln
a<0，ln
b>0，
所以g′(x)＝0有唯一解x0＝log.令h(x)＝g′(x)，
则h′(x)＝(axln
a＋bxln
b)′＝ax(ln
a)2＋bx(ln
b)2，
从而对任意x∈R，h′(x)>0，所以g′(x)＝h(x)是(－∞，＋∞)上的单调增函数，
所以当x∈(－∞，x0)时，g′(x)g′(x0)＝0.
所以函数g(x)在(－∞，x0)上是单调减函数，在(x0，＋∞)上是单调增函数．
下证x0＝0.
若x0<0，则x0<<0，所以galoga2－2＝0，且函数g(x)在以和loga2为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和loga2之间存在g(x)的零点，记为x1.因为0又<0，所以x1<0，与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾．
若x0>0，同理可得，在和logb2之间存在g(x)的非0的零点，矛盾．
综上，x0＝0.
所以－＝1，故ln
a＋ln
b＝0，所以ab＝1.
20.
(1)
由已知得an＝a1·3n－1，n∈N
.
所以当T＝{2，4}时，ST＝a2＋a4＝3a1＋27a1＝30a1.
又ST＝30，故30a1＝30，即a1＝1，
所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N
.
(2)
因为T{1，2，…，k}，an＝3n－1>0，n∈N
，
所以ST≤a1＋a2＋…＋ak＝1＋3＋…＋3k－1＝(3k－1)<3k，
所以ST(3)
下面分三种情况证明．
①若D是C的子集，则SC＋SC∩D＝SC＋SD≥SD＋SD＝2SD.
②若C是D的子集，则SC＋SC∩D＝SC＋SC＝2SC≥2SD.
③若D不是C的子集，且C不是D的子集．
令E＝C∩?UD，F＝D∩?UC，则E≠，F≠，E∩F＝，
所以SC＝SE＋SC∩D，SD＝SF＋SC∩D，又由SC≥SD，得SE≥SF.
设k为E中的最大数，l为F中的最大数，则k≥1，l≥1，k≠l.
由(2)知，SE又k≠l，故l≤k－1，所以SF≤a1＋a2＋…＋al＝1＋3＋…＋3l－1＝≤＝≤，故SE≥2SF＋1，所以SC－SC∩D≥2(SD－SC∩D)＋1，
即SC＋SC∩D≥2SD＋1.
综合①②③得，SC＋SC∩D≥2SD.
2017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学Ⅰ
一、
填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1.
已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1},
则实数a的值为________．
2.
已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________．
3.
某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200件、400件、300件、100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．
4.
如图是一个算法流程图，若输入的x的值为，则输出的y的值是________．
(第4题)
若tan＝，则tanα＝________．
6.
如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．
(第6题)
7.
记函数f(x)＝的定义域为D，在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．
8.
在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－y2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是________．
9.
设等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________．
10.
某公司一年购买某种货物600
t，每次购买x
t，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
11.
已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数，若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．
12.
如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα＝7，与的夹角为45°，若＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n＝________．
(第12题)
13.
在平面直角坐标系xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．
14.
设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1)上，f(x)＝其中集合D＝，则方程f(x)－lgx＝0的解的个数是________．
二、
解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
(本小题满分14分)如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
(1)
求证：EF∥平面ABC；
(2)
求证：AD⊥AC.
(第15题)
16.
(本小题满分14分)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．
(1)
若a∥b，求x的值；
(2)
记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．
17.
(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8，点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2.
(1)
求椭圆E的标准方程；
(2)
若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
(第17题)
18.
(本小题满分16分)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32
cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10
cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14
cm和62
cm，分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12
cm,
现有一根玻璃棒l，其长度为40
cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)
(1)
将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；
(2)
将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．
(第18题)
19.
(本小题满分16分)对于给定的正整数k，若数列{an}满足an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”．
(1)
求证：等差数列{an}是“P(3)数列”；
(2)
若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，求证：{an}是等差数列．
20.
(本小题满分16分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1(a>0，b∈R)有极值，且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
(1)
求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
(2)
求证：b2>3a；
(3)
若f(x)，f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于－，求a的取值范围．
2017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)1.
1　
2.
　【解析】化简，复数z＝1＋2i＋i＋2i2＝－1＋3i，故z的模为.
3.
18　【解析】因为丙的产量占总产量的，由分层抽样的性质知应从丙中抽取60×＝18(件)．
4.
－2　【解析】因为输入的x的值小于1，所以将x＝代入y＝2＋log2x，解得y＝－2.
5.
　【解析】因为tan＝＝，所以tanα＝.
6.
　【解析】设球的半径为R，则V1＝2R×πR2＝2πR3，V2＝πR3，所以＝.
7.
　【解析】由题意得6＋x－x2≥0，即(x＋2)(x－3)≤0，解得－2≤x≤3，由几何概型的性质知所求概率P＝＝.
8.
2　【解析】根据双曲线方程易知a＝，b＝1，c＝2，渐近线方程为y＝±x，右准线方程为x＝＝.当x＝时，代入渐近线方程y＝±x中，得y＝±，所以PQ＝2×＝.因为F1F2＝2c＝4,
所以S四边形F1PF2Q＝F1F2·PQ＝2.
9.
32　【解析】因为数列{an}是等比数列，设公比为q，则
S3＝＝，S6＝＝，由＝1＋q3＝9，得q＝2.
把q＝2代入S3＝中，易得＝，
所以a1＝，所以an＝·2n－1＝2n－3，所以a8＝25＝32.
10.
30　【解析】设y为一年的总运费与总储存费用之和，则y＝·6＋4x＝＋4x≥2＝240，当且仅当＝4x，即x＝30时y取得最小值．
11.
　【解析】因为f′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥0，
所以f(x)在定义域内为单调增函数．
又f(－x)＝－x3＋2x＋－ex＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
因为f(a－1)＋f(2a2)≤0，所以f(a－1)≤－f(2a2)，即f(a－1)≤f(－2a2)．
又因为f(x)为单调增函数，
所以a－1≤－2a2，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤，
所以实数a的取值范围是.
12.
3　【解析】由tanα＝7，得tan＝＝－，
以点O为坐标原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，
则点A的坐标为A(1，0)，
由tan＝－，的模为1，可得B.
由tanα＝7，OC的模为，可得C.
由＝m＋n，得所以m＋n＝3.
13.
[－5，1]　【解析】设点P的坐标为(x，y)，则＝(－12－x，－y)，＝(－x，6－y)，·＝x2＋y2＋12x－6y≤20.因为x2＋y2＝50，所以·＝x2＋y2＋12x－6y＝50＋12x－6y≤20，即2x－y＋5≤0，所以点P的轨迹在直线2x－y＋5＝0的上方．
又因为点P在圆x2＋y2＝50上，所以点P是图中粗实线部分，
由图易知点P横坐标的取值范围是[xM，xN]，
因为xM＝－5，消去y，易得x2＋4x－5＝0，
解得x1＝－5，x2＝1，即xN＝1，
所以点P横坐标的取值范围是[－5，1]．
(第13题)
14.
8　【解析】由于f(x)∈[0，1)，则需考虑1≤x<10的情况．
在此范围内，x∈Q且x∈Z时，设x＝，p，q∈N
，p≥2，且p，q互质．
若lgx∈Q，则由lgx∈(0，1)，可设lgx＝，m，n∈N
，m≥2，且m，n互质，
因此10＝，则10n＝，此时左边是整数，右边是非整数，矛盾，因此lgx?Q.
因为D是有理数集，所以自变量x∈D所对应的函数值都为有理数，
因此lgx不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等，只需考虑lgx与每个周期
x?D的部分的交点．
画出函数图象如图所示，图中交点除(1，0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x?D的部分，
且x＝1处(lgx)′＝＝<1，则在x＝1附近有一个交点，
因此方程解的个数为8.
(第14题)
15.
(1)
在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.
又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF∥平面ABC.
(2)
因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
BC平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.
因为AD平面ABD，所以BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB平面ABC，BC平面ABC，
所以AD⊥平面ABC.
又因为AC平面ABC，所以AD⊥AC.
16.
(1)
因为a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，a∥b，
所以－cosx＝3sinx.
若cosx＝0，则sinx＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，故cosx≠0.
于是tanx＝－.又x∈[0，π],
所以x＝.
(2)
f(x)＝a·b＝(cosx，sinx)·(3，－)＝3cosx－sinx＝2cos.
因为x∈[0，π]，所以x＋∈，从而－1≤cos≤.
于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.
17.
(1)
设椭圆的半焦距为c.
因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，
所以＝，＝8，解得a＝2，c＝1，于是b＝＝，
因此椭圆E的标准方程是＋＝1.
(2)
由(1)知，F1(－1，0)，F2(1，0)．
设P(x0，y0)，因为P为第一象限的点，故x0>0，y0>0.
当x0＝1时，l2与l1相交于F1，与题设不符．
当x0≠1时，直线PF1的斜率为，直线PF2的斜率为，
因为l1⊥PF1，l2⊥PF2，所以直线l1的斜率为－，直线l2的斜率为－，
从而直线l1的方程为y＝－(x＋1)，①
直线l2的方程为y＝－(x－1)．②
由①②解得x＝－x0，y＝，所以Q.
因为点Q在椭圆上，由对称性，得＝±y0，
即x－y＝1或x＋y＝1.
又点P在椭圆E上，故＋＝1.
因此点P的坐标为.
18.
(1)
由正棱柱的定义知CC1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以CC1⊥AC.
如图(1)，记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处．
因为AC＝10，AM＝40，所以MC＝＝30，
从而sin∠MAC＝.
记AM与水面的交点为P1，过P1作P1Q1⊥AC，Q1为垂足，
则P1Q1⊥平面ABCD，故P1Q1＝12，从而AP1＝＝16.
答：玻璃棒l没入水中部分的长度为16
cm.
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24
cm)
(第18(1)题)
(第18(2)题)
(2)
如图(2)，O，O1是正棱台的两底面中心．
由正棱台的定义知，OO1⊥平面EFGH，
EG平面EFGH，所以O1O⊥EG.同理，O1O⊥E1G1.
记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处．过G作GK⊥E1G1，K为垂足，则GK＝OO1＝32.因为EG＝14，E1G1＝62，所以KG1＝＝24，
从而GG1＝＝＝40.
设∠EGG1＝α，∠ENG＝β，则sinα＝sin＝cos∠KGG1＝.
因为<α<π，所以cosα＝－.
在△ENG中，由正弦定理可得＝，解得sinβ＝.
因为0<β<，所以cosβ＝.
于是sin∠NEG＝sin(π－α－β)＝sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝.
记EN与水面的交点为P2，过P2作P2Q2⊥EG，Q2为垂足，则P2Q2⊥平面EFGH，故P2Q2＝12，从而EP2＝＝20.
答：玻璃棒l没入水中部分的长度为20
cm.
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20
cm)
19.
(1)
因为{an}是等差数列，设其公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，
从而，当n≥4时，an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d＝2a1＋2(n－1)d＝2an，k＝1，2，3，所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an.
因此等差数列{an}是“P(3)数列”．
(2)
因为数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此，
当n≥3时，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，　①
当n≥4时，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an，　②
由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)，　③
an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an)．　④
将③④代入②，得an－1＋an＋1＝2an，其中n≥4，
所以a3，a4，a5，…是等差数列，设其公差为d′.
在①中，取n＝4，则a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，所以a2＝a3－d′，
在①中，取n＝3，则a1＋a2＋a4＋a5＝4a3，所以a1＝a3－2d′，
所以数列{an}是等差数列．
20.
(1)
由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝3＋b－.
当x＝－时，f′(x)有极小值b－.因为f′(x)的极值点是f(x)的零点，
所以f＝－＋－＋1＝0.又a>0，故b＝＋.
因为f(x)有极值，故f′(x)＝0有实根，从而b－＝(27－a3)≤0，即a≥3.
当a＝3时，f′(x)>0(x≠－1)，故f(x)在R上是增函数，f(x)没有极值；
当a>3时，f′(x)＝0有两个相异的实根x1＝，x2＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
故f(x)的极植点是x1，x2，从而a>3.因此b＝＋，定义域为(3，＋∞)．
(2)
由(1)知，＝＋.设g(t)＝＋，则g′(t)＝－＝.
当t∈时，g′(t)>0，从而g(t)在上单调递增．
因为a>3，所以a>3，故g(a)>g(3)＝，即>.
因此b2>3a.
(3)
由(1)知，f(x)的极值点是x1，x2，且x1＋x2＝－a，x1x2＝，所以x＋x＝.
从而f(x1)＋f(x2)＝x＋ax＋bx1＋1＋x＋ax＋bx2＋1
＝(3x＋2ax1＋b)＋(3x＋2ax2＋b)＋a(x＋x)＋b(x1＋x2)＋2
＝－＋2＝0.
记f(x)，f′(x)所有极值之和为h(a)，因为f′(x)的极值为b－＝－a2＋，
所以h(a)＝－a2＋，a>3.因为h′(a)＝－a－<0，于是h(a)在(3，＋∞)上单调递减．
因为h(6)＝－，于是h(a)≥h(6)，故a≤6.因此a的取值范围为(3，6]．
2018年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学Ⅰ
一、
填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1.
已知集合A＝{0，1，2，8}，B＝{－1，1，6，8}，那么A∩B＝________．
2.
若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．
3.
已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．
(第3题)
4.
一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为________．
　　　　　
(第4题)
5.
函数f(x)＝的定义域为________．
6.
某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．
7.
已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值是________．
8.
在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是________．
9.
已知函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝
则f(f(15))的值为________．
10.
如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．
(第10题)
11.
若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________．
12.
在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5，0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·＝0，则点A的横坐标为________．
13.
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．
14.
已知集合A＝{x|x＝2n－1，n∈N
}，B＝{x|x＝2n，n∈N
}．将集合A∪B中的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}．记Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn>12an＋1成立的n的最小值为________．
二、
解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
(本小题满分14分)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.
(1)
求证：AB∥平面A1B1C；
(2)
求证：平面ABB1A1⊥平面A1BC.
(第15题)
16.
(本小题满分14分)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－.
(1)
求cos
2α的值；
(2)
求tan(α－β)的值．
17.
(本小题满分14分)、某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成．已知圆O的半径为40
m，点P到MN的距离为50
m．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ.
(1)
用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；
(2)
若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
(第17题)
18.
(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点，焦点为F1(－，0)，F2(，0)，圆O的直径为F1F2.
(1)
求椭圆C及圆O的方程．
(2)
设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于A，B两点，若△OAB的面积为，求直线l的方程．
(第18题)
19.
(本小题满分16分)记f′(x)，g′(x)分别为函数f(x)，g(x)的导函数．若存在x0∈R，满足f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”．
(1)
求证：函数f(x)＝x与g(x)＝x2＋2x－2不存在“S点”；
(2)
若函数f(x)＝ax2－1与g(x)＝lnx存在“S点”，求实数a的值；
(3)
已知函数f(x)＝－x2＋a，g(x)＝，对任意a>0，判断是否存在b>0，使函数f(x)与g(x)在(0，＋∞)内存在“S点”，并说明理由．
20.
(本小题满分16分)设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，{bn}是首项为b1，公比为q的等比数列．
(1)
设a1＝0，b1＝1，q＝2，若|an－bn|≤b1对n＝1，2，3，4均成立，求d的取值范围；
(2)
若a1＝b1>0，m∈N
，q∈(1，]，证明：存在d∈R，使得|an－bn|≤b1对n＝2，3，…，m＋1均成立，并求d的取值范围(用b1，m，q表示)．
2018年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
1.
{1，8}　【解析】由题知A∩B＝{1，8}．
2.
2　【解析】因为i·z＝1＋2i，所以z＝＝2－i，所以复数z的实数为2.
3.
90　【解析】由题知x＝×(89＋89＋90＋91＋91)＝90.
4.
8　【解析】循环过程中，I，S的变化情况如下表：
初始
第一次
第二次
第三次
I
1
3
5
7
S
1
2
4
8
当I＝7时，不满足I<6，跳出循环，输出S的值为8.
5.
[2，＋∞)　【解析】由题知
解得x≥2，所以函数f(x)的定义域为[2，＋∞)．
6.
　【解析】记2名男生分别为A，B，3名女生分别为a，b，c.从中任选2名学生的基本事件包括：AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10个，恰好选到2名女生的事件包括：
ab，ac，bc，共3个，故所求概率P＝.
7.
－　【解析】由题意可知，2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z.又因为φ∈，所以k＝0，φ＝－.
8.
2　【解析】取渐近线bx－ay＝0，F(c，0)到直线bx－ay＝0的距离d＝＝b＝c，所以b2＝c2－a2＝c2，解得＝4，即e＝2.
9.
　【解析】由f(x＋4)＝f(x)可知f(x)的周期T＝4，从而f(15)＝f(16－1)＝f(－1)＝，所以f(f(15))＝f＝cos＝.
10.
　【解析】如图，所求多面体体积V＝VM-ABCD＋VN-
ABCD＝2VM-ABCD，而四棱锥M-ABCD的高为1，底面积SABCD＝AB2＝2，所以V＝2××2×1＝.
(第10题)
－3　【解析】方法一：由题知f′(x)＝2x(3x－a)，x∈(0，＋∞)．①当a≤0时，
f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，而f(0)＝1，则f(x)在(0，＋∞)上无零点，舍去．②当a>0时，f′(x)>0的解为x>，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，又f(x)只有一个零点，所以f＝－＋1＝0，解得a＝3.所以f(x)＝2x3－3x2＋1，f′(x)＝6x(x－1)，x∈[－1，1]．令f′(x)>0，得－1≤x<0；令f′(x)<0，得0方法二：由2x3－ax2＋1＝0，x∈(0，＋∞)，得a＝2x＋，令φ(x)＝2x＋，x∈(0，＋∞)，φ′(x)＝2－＝，令φ′(x)＝0，解得x＝1.所以φ(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，作出φ(x)的大致图象如图所示，由题意可知a＝3.以下同方法一．
(第11题)
12.
3　【解析】方法一：由题意知点D在以AB为直径的圆上，所以BD⊥AD，又因为A，D均在直线y＝2x上，所以kBD＝－，结合B(5，0)得直线BD：y＝－x＋，联立解得D(1，2)．设A(a，2a)，a>0，则C，所以＝(5－a，－2a)，＝，所以·＝(5－a)＋(－2a)(2－a)＝0，化简得a2－2a－3＝0，解得a＝3(舍去负值)．
方法二：由·＝0知AB⊥CD，又因为C为AB中点，所以∠BAD＝45°.设直线l的倾斜角为θ，则tan∠ABO＝－tan(θ＋45°)＝－＝3，kAB＝－tan∠ABO＝－3，联立解得x＝3，即点A的横坐标为3.
13.
9　【解析】方法一：如图，设∠ADB＝θ，在△ADB中，＝，所以c＝＝.在△BCD中，＝，所以a＝，所以＋＝＝1，所以4a＋c＝(4a＋c)＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当c＝2a时取等号．
(第13题)
方法二：由题知acsin120°＝asin60°＋csin60°，所以ac＝a＋c，即＋＝1，所以4a＋c＝(4a＋c)＝＋＋5≥9，当且仅当＝，即c＝2a时取等号．
方法三：＝·＋，平方得1＝，则ac＝a＋c，所以(a－1)(c－1)＝1，所以4a＋c＝4(a－1)＋(c－1)＋5≥9，当且仅当c－1＝4(a－1)，即c＝3，a＝时取等号．
方法四：以B为坐标原点，BD为x轴建立平面直角坐标系，则D(1，0)，A，C.由A，D，C三点共线，得＝－，即＝－，所以ac＝a＋c.以下同方法二．
14.
27　【解析】将集合A∪B中的元素按从小到大的顺序排列为1，2，3，4，5，7，8，…，2k，…，则an＝2k，其前面所有奇数的个数为2k－1，其和为22k－2(因为1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2)，所有偶数的和为2＋22＋…＋2k＝2k＋1－2，即当n＝2k－1＋k时，Sn＝S2k－1＋k＝22k－2＋2k＋1－2，an＋1＝2k＋1.然后列举验证：当k＝5时，S21＝28＋26－2＝318，12a22＝12×(25＋1)＝396，所以S21≥12a22不成立；当k＝6时，S38＝210＋27－2＝1
150，12a39＝12×(26＋1)＝780，所以S38≥12a39成立，所以2115.
(1)
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1.
因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，
所以AB∥平面A1B1C.
(2)
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．
因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.
又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.
又因为A1B∩BC＝B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，
所以AB1⊥平面A1BC.又因为AB1平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.
16.
(1)
因为tanα＝＝，所以sinα＝cosα.
因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，
因此cos2α＝2cos2α－1＝－.
(2)
因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，
因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝，所以tan2α＝＝－，
因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.
(1)
如图，连接PO并延长交MN于点H，则PH⊥MN，
所以OH＝10.过点O作OE⊥BC于点E，则OE∥MN，所以∠COE＝θ，
故OE＝40cosθ，EC＝40sinθ，
则矩形ABCD的面积为2×40cosθ(40sinθ＋10)＝800(4sinθcosθ＋cosθ)．
△CDP的面积为×2×40cosθ(40－40sinθ)＝1
600(cosθ－sinθcosθ)．
过点N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于点G和K，则GK＝KN＝10.
令∠GOK＝θ0，则sinθ0＝，θ0∈.
当θ∈时，才能作出满足条件的矩形ABCD，
所以sinθ的取值范围是.
答：矩形ABCD的面积为800(4sinθcosθ＋cosθ)
m2，△CDP的面积为1
600(cosθ－sinθcosθ)
m2，sinθ的取值范围是.
(第17题)
(2)
因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k(k>0)，
则年总产值为4k×800(4sinθcosθ＋cosθ)＋3k×1
600(cosθ－sinθcosθ)＝
8
000k(sinθcosθ＋cosθ)，θ∈.
设f(θ)＝sinθcosθ＋cosθ，θ∈，
则f′(θ)＝cos2θ－sin2θ－sinθ＝－(2sin2θ＋sinθ－1)＝－(2sinθ－1)(sinθ＋1)．
令f′(θ)＝0，得θ＝，
当θ∈时，f′(θ)>0，所以f(θ)为增函数；
当θ∈时，f′(θ)<0，所以f(θ)为减函数，
因此，当θ＝时，f(θ)取到最大值．
答：当θ＝时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
18.
(1)
因为椭圆C的焦点为F1(－，0)，F2(，0)，
所以可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．
又点在椭圆C上，所以
因此椭圆C的方程为＋y2＝1.
因为圆O的直径为F1F2，所以其方程为x2＋y2＝3.
(第18题)
(2)
①设直线l与圆O相切于点P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，
则x＋y＝3，
所以直线l的方程为y＝－(x－x0)＋y0，即y＝－x＋.
联立椭圆方程和直线方程，消去y，得
(4x＋y)x2－24x0x＋36－4y＝0.(
)
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
所以Δ＝(－24x0)2－4(4x＋y)(36－4y)＝48y(x－2)＝0.
因为x0>0，y0>0，所以x0＝，y0＝1.
因此，点P的坐标为(，1)．
②因为△OAB的面积为，所以AB·OP＝，从而AB＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(
)得x1，2＝，
所以AB2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝·.
因为x＋y＝3，所以AB2＝＝，即2x－45x＋100＝0，
解得x＝(x＝20舍去)，则y＝，因此P的坐标为.
综上，直线l的方程为y＝－x＋3.
19.
(1)
函数f(x)＝x，g(x)＝x2＋2x－2，则f′(x)＝1，g′(x)＝2x＋2.
由f(x)＝g(x)且f′(x)＝g′(x)，得
此方程组无解，
因此,f(x)与g(x)不存在“S点”．
(2)
函数f(x)＝ax2－1，g(x)＝lnx，则f′(x)＝2ax，g′(x)＝.
设x0为f(x)与g(x)的“S点”，由f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)，
得lnx0＝－，即x0＝e－，则a＝＝.
当a＝时，x0＝e－满足方程组(
)，即x0为f(x)与g(x)的“S点”．
因此a的值为.
(3)
对任意a>0，设h(x)＝x3－3x2－ax＋a.
因为h(0)＝a>0，h(1)＝1－3－a＋a＝－2<0，且h(x)的图象是不间断的，
所以存在x0∈(0，1)，使得h(x0)＝0.令b＝，则b>0.
函数f(x)＝－x2＋a，g(x)＝，则f′(x)＝－2x，g′(x)＝.
由f(x)＝g(x)且f′(x)＝g′(x)，得
此时x0满足方程组(
)，即x0是函数f(x)与g(x)在(0，1)内的一个“S点”．
因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f(x)与g(x)在(1，＋∞)内存在“S点”．
20.
(1)
由条件知an＝(n－1)d，bn＝2n－1.
因为|an－bn|≤b1对n＝1，2，3，4均成立，
即|(n－1)d－2n－1|≤1对n＝1，2，3，4均成立，
即1≤1，1≤d≤3，3≤2d≤5，7≤3d≤9，得≤d≤.
因此d的取值范围为.
(2)
由条件知an＝b1＋(n－1)d，bn＝b1qn－1.
若存在d∈R，使得|an－bn|≤b1(n＝2，3，…，m＋1)成立，
即|b1＋(n－1)d－b1qn－1|≤b1(n＝2，3，…，m＋1)，
即当n＝2，3，…，m＋1时，d满足b1≤d≤b1.
因为q∈(1，]，则1从而b1≤0，b1>0对n＝2，3，…，m＋1均成立．
因此，取d＝0时，|an－bn|≤b1对n＝2，3，…，m＋1均成立．
下面讨论数列的最大值和数列的最小值(n＝2，3，…，m＋1)．
①当2≤n≤m时，－＝＝，
当10.
因此，当2≤n≤m＋1时，数列单调递增，
故数列的最大值为.
②设f(x)＝2x(1－x)，当x>0时，f′(x)＝(ln2－1－xln2)2x<0，
所以f(x)单调递减，从而f(x)当2≤n≤m时，＝≤2＝f<1，
因此，当2≤n≤m＋1时，数列单调递减，
故数列的最小值为.
因此，d的取值范围为.