2014-2018年高考全国卷 理科数学(新课标Ⅰ卷)五年真题(含答案)

2014年普通高等学校招生全国统一考试
数学理科(新课标Ⅰ卷)
一、
选择题：本大题共12小题，每小题5分，
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B等于(　　)
A.
[－2，－1]
B.
[－1，2)
C.
[－1，1]
D.
[1，2)
2.
等于(　　)
A.
1＋i
B.
1－i
C.
－1＋i
D.
－1－i
3.
设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)
是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A.
f(x)g(x)是偶函数
B.
|f(x)|g(x)是奇函数
C.
f(x)|g(x)|是奇函数
D.
|f(x)g(x)|是奇函数
4.
已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为(　　)
A.
B.
3
C.
m
D.
3m
5.
若4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
6.
如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的大致图象为(　　)
(第6题)
,A)
,B)
,C)
,D)
7.
执行如图所示的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M等于(　　)
(第7题)
A.
B.
C.
D.
8.
设α∈，β∈，且tan
α＝，则(　　)
A.
3α－β＝
B.
3α＋β＝
C.
2α－β＝
D.
2α＋β＝
9.
不等式组的解集记为D，有下面四个命题：
p1：?(x，y)∈D，x＋2y≥－2；p2：?(x，y)∈D，x＋2y≥2；
p3：?(x，y)∈D，x＋2y≤3；p4：?(x，y)∈D，x＋2y≤－1.
其中的真命题是(　　)
A.
p2，p3
B.
p1，p2
C.
p1，p4
D.
p1，p3
10.
已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝4，则QF等于(　　)
A.
B.
3
C.
D.
2
11.
已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是(　　)
A.
(2，＋∞)
B.
(1，＋∞)
C.
(－∞，－2)
D.
(－∞，－1)
12.
如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为(　　)
(第12题)
A.
6
B.
6
C.
4
D.
4
二、
填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.
(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．
14.
甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一个城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
15.
已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________．
16.
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)·(sin
A－
sin
B)＝(c－b)sin
C，则△ABC的面积的最大值为________．
三、
解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.
(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．
(1)
求证：an＋2－an＝λ；
(2)
是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
18.
(本小题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图所示的频率分布直方图：
(第18题)
(1)
求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
(2)
由频率分布直方图可以认为这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P(187.8②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．
(≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ19.
(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.
(1)
求证：AC＝AB1；
(2)
若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A-A1B1-C1的余弦值．
(第19题)
20.
(本小题满分12分)已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)
求椭圆E的方程；
(2)
设过点A的动直线l与椭圆E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．
21.
(本小题满分12分)设函数f(x)＝aexln
x＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.
(1)
求a，b的值；
(2)
求证：f(x)>1.
请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22.
(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲
如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.
(1)
求证：∠D＝∠E；
(2)
设AD不是圆O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，求证：△ADE为等边三角形．
(第22题)
23.
(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程
已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)
写出曲线C的参数方程与直线l的普通方程；
(2)
过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求PA的最大值与最小值．
24.
(本小题满分10分)选修45：不等式选讲
若a>0，b>0，且＋＝.
(1)
求a3＋b3的最小值；
(2)
是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由.
2014年普通高等学校招生全国统一考试　数学理科(新课标Ⅰ卷)
1.
A　【解析】因为集合A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x<2}，所以A∩B＝[－2，－1]，故选A.
2.
D　【解析】因为＝＝－1－i，故选D.
3.
C　【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)；因为函数g(x)是偶函数，所以g(－x)＝g(x)．因为f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，所以函数f(x)g(x)为奇函数，故排除A；因为|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以函数|f(x)|·g(x)为偶函数，故排除B；因为|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|，所以函数|f(x)g(x)|为偶函数，故排除D；因为f(－x)|g(－x)|＝
－f(x)·|g(x)|，所以函数f(x)|g(x)|为奇函数，故选C.
4.
A　【解析】由题意知双曲线C的焦点坐标为(±，0)，不妨设点F的坐标为(，0)，双曲线的一条渐近线l的方程为x＋y＝0，则点F到l的距离为＝，故选A.
5.
D　【解析】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24＝16种不同的选法，周六、周日都有同学参加公益活动有24－2＝14种不同的选法，故所求概率为＝，故选D.
6.
C　【解析】由题意易得f＝，排除B；因为f＝0，排除A，D，故选C.
7.
D　【解析】输入a＝1，b＝2，k＝3，n＝1≤3，所以M＝1＋＝，a＝2，b＝，n＝2；因为n＝2≤3成立，所以M＝2＋＝，a＝，b＝，n＝3；因为n＝3≤3成立，所以M＝＋＝，a＝，b＝，n＝4.因为n＝4≤3不成立，所以输出的M＝，故选D.
8.
C　【解析】因为tan
α＝，所以＝，所以sin
αcos
β－cos
αsin
β＝cos
α，所以sin(α－β)＝cos
α，即sin(α－β)＝sin.因为α∈，β∈，所以α－β＝－α，即2α－β＝，故选C.
9.
B　【解析】作出不等式组表示的可行域D如图中阴影部分所示，设z＝x＋2y，当直线z＝x＋2y过点B时，z＝x＋2y取得最小值，由解得所以点B的坐标为(2，－1)，所以zmin＝2＋2×(－1)＝0；z无最大值，故存在(x，y)∈D，x＋2y≥2，所以命题p1，p2为真命题，故选B.
(第9题)
10.
B　【解析】由题知抛物线C的焦点F(2，0)，其准线l的方程为x＝－2，且l与x轴交于点B，如图所示．过点Q作QA⊥l于点A，根据抛物线的定义知QA＝QF.因为＝4，所以＝，所以＝，所以QF＝3，故选B.
(第10题)
11.
C　【解析】取a＝－2，则f(x)＝－2x3－3x2＋1，因为f(－1)＝－2×(－1)3－3×(－1)2＋1＝0，所以－1是函数f(x)的零点，所以a≠－2，排除D；取a＝3，则f(x)＝3x3－3x2＋1，f(－1)＝－3－3＋1＝－5<0，f(0)＝1>0，所以函数f(x)在(－1，0)上有零点，排除A，B，故选C.
12.
B　【解析】多面体的直观图为如图所示的三棱锥ABCD(放在棱长为4的正方体中研究)，因为AB＝AC＝4，易求得AD＝DC＝＝2，BC＝4，BD＝＝6，所以该三棱锥的最长的棱的长度为6，故选B.
(第12题)
13.
－20　【解析】(x＋y)8的展开式的通项为Tr＋1＝Cx8－ryr，令8－r＝1，得r＝7；令8－r＝2，得r＝6.所以(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数是C－C＝8－28＝－20.
14.
A　【解析】甲没去过B城市，乙没去过C城市，但他们去过同一个城市，所以他们都去过A城市，所以乙去过A城市，由于甲去过的城市比乙多，所以乙去过的城市仅为A城市．
15.
　【解析】因为A，B，C为圆O上的三点，且＝(＋)，所以点O为线段BC的中点，即线段BC为直径，所以∠BAC＝，即与的夹角为.
16.
　【解析】因为a＝2，(2＋b)(sin
A－sin
B)＝(c－b)sin
C，根据正弦定理得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，所以a2－b2＝c2－bc，所以b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理得cos
A＝＝.因为A∈(0，π)，故A＝.因为b2＋c2－bc＝4，所以4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(当且仅当b＝c＝2时取等号)，所以△ABC的面积S△ABC＝bcsin
A＝bc≤×4＝，所以△ABC的面积的最大值为.
17.
(1)
由题设知anan＋1＝λSn－1，得an＋1an＋2＝λSn＋1－1，
两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.
由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.
(2)
由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1，
由(1)知a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.
故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1、公差为4的等差数列，所以a2n－1＝4n－3；
{a2n}是首项为3、公差为4的等差数列，所以a2n＝4n－1.
所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.
因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．
18.
(1)
抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为
x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，
s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
(2)
①由(1)知，Z～N(200，150)，从而
P(187.8②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.6826，依题意知X～B(100，0.6826)，所以E(X)＝100×0.6826＝68.26.
19.
(1)
连接BC1交B1C于点O，连接AO.
因为侧面BB1C1C为菱形，
所以B1C⊥BC1，且O为B1C和BC1的中点．
又AB⊥B1C，AB∩BC1＝B，AB平面ABO，BC1不属于平面ABO，
所以B1C⊥平面ABO.
由于AO平面ABO，故B1C⊥AO.又B1O＝CO，故AC＝AB1.
(2)
因为AC⊥AB1，且O为B1C的中点，AO⊥B1C，
所以AO＝CO.
又因为AB＝BC，所以△BOA≌△BOC.
故OA⊥OB，从而OA，OB，OB1两两互相垂直．
以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
(第19题)
因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形．又AB＝BC，
则A，B(1，0，0)，B1，C，
所以＝，＝＝，
＝＝.
设n＝(x，y，z)是平面AA1B1的一个法向量，
则即令x＝1，可取n＝(1，，)．
设m是平面A1B1C1的一个法向量，则
同理可取m＝(1，－，)．
则cos〈n，m〉＝＝，
所以二面角A-A1B1-C1的余弦值为.
20.
(1)
设F(c，0)，由条件知＝，解得c＝.
又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1，故椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)
当l⊥x轴时，不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
将y＝kx－2代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，x1，2＝，
从而PQ＝|x1－x2|＝.
又点O到直线PQ的距离d＝
，
所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·PQ＝.
设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.
因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0，
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.
21.
(1)
函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝aexln
x＋ex－ex－1＋ex－1.
由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e，故a＝1，b＝2.
(2)
由(1)知f(x)＝exln
x＋ex－1，
从而f(x)>1等价于xln
x>xe－x－.
设函数g(x)＝xln
x，则g′(x)＝1＋ln
x，
所以当x∈时，g′(x)<0；
当x∈时，g′(x)>0.
故g(x)在上单调递减，在上单调递增，
故g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g＝－.
设函数h(x)＝xe－x－，则h′(x)＝e－x(1－x)．
所以当x∈(0，1)时，h′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.
故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－.
综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.
22.
(1)
由题设知A，B，C，D四点共圆，
(第22题)
所以∠D＝∠CBE.
因为CB＝CE，所以∠CBE＝∠E，
故∠D＝∠E.
(2)
取BC的中点N，连接MN，由MB＝MC，知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是圆O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD，
所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.
又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.
由(1)知∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．
23.
(1)
曲线C的参数方程为(θ为参数)．
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)
曲线C上任意一点P(2cos
θ，3sin
θ)到直线l的距离为
d＝，
则PA＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan
α＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，PA取得最大值.
当sin(θ＋α)＝1时，PA取得最小值.
24.
(1)
由＝＋≥，得ab≥2，当且仅当a＝b＝时等号成立，
故a3＋b3≥2≥4，当且仅当a＝b＝时等号成立，
所以a3＋b3的最小值为4.
(2)
由(1)知2a＋3b≥2·≥4，
由于4>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.
2015年普通高等学校招生全国统一考试
数学理科(新课标Ⅰ卷)一、
选择题：本大题共12小题，每小题5分，
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
设复数z满足＝i，则|z|等于(　　)
A.
1
B.
C.
D.
2
2.
sin
20°cos
10°－cos
160°sin
10°等于(　　)
A.
－
B.
C.
－
D.
3.
设命题p：存在n∈N，n2>2n
，则非p为(　　)
A.
?对任意的n∈N，n2>2n
B.
存在n∈N，n2≤2n
C.
对任意的n∈N，n2≤2n
D.
存在n∈N，n2＝2n
4.
在投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　)
A.
0.648
B.
0.432
C.
0.36
D.
0.312
5.
已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·＜0，则y0的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
6.
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有(　　)
A.
14斛
B.
22斛
C.
36斛
D.
66斛
(第6题)
7.
设D为△ABC所在平面内一点，且＝3，则(　　)
A.
＝－＋
B.
＝－
C.
＝＋
D.
＝－
8.
已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则f(x)的单调减区间为(　　)
A.
，k∈Z
B.
，k∈Z
C.
，k∈Z
D.
，k∈Z
(第8题)
9.
执行如图所示的程序框图，若输入的t＝0.01，则输出的n等于(　　)
A.
5
B.
6
C.
7
D.
8
　　　　　　
(第9题)
10.
(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)
A.
10
B.
20
C.
30
D.
60
11.
圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16＋20π，则r等于(　　)
A.
1
B.
2
C.
4
D.
8
(第11题)
12.
设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0，则实数a的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
二、
填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.
若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则实数a＝________．
14.
若一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为____________．
15.
若变量x，y满足约束条件则的最大值为________．
16.
在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．
三、
解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.
(本小题满分12分)设Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3.
(1)
求数列{an}的通项公式；
(2)
设bn＝，求数列{bn}的前n项和．
18.
(本小题满分12分)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
(1)
求证：平面AEC⊥平面AFC；
(2)
求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
(第18题)
19.
(本小题满分12分)某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值．
(第19题)
(1)
根据散点图判断y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)．
(2)
根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程．
(3)
已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x，根据(2)的结果回答下列问题：
①当年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为
＝，＝v－u.
20.
(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：y＝与直线y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点．
(1)
当k＝0时，分别求曲线C在点M和N处的切线方程；
(2)
y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？请说明理由．
21.
(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋ax＋，g(x)＝－ln
x.
(1)
当x轴为曲线y＝f(x)的切线时，求a的值．
(2)
设函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x>0)，讨论h(x)零点的个数．
请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22.
(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲
如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的切线，BC交圆O于点E.
(1)
若D为AC中点，求证：DE是圆O的切线；
(2)
若OA＝CE，求∠ACB的大小．
(第22题)
23.
(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)
求C1，C2的极坐标方程；
(2)
若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2，C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
24.
(本小题满分10分)选修45：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)
当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)
若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求实数a的取值范围.
2015年普通高等学校招生全国统一考试　数学理科(新课标Ⅰ卷)
1.
A　【解析】由＝i，得z＝＝＝＝i，所以|z|＝1.
2.
D　【解析】sin
20°·cos
10°－cos
160°·sin
10°＝sin
20°·cos
10°＋cos
20°·sin
10°＝sin(20°＋10°)＝.
3.
C　【解析】存在性命题的否定是全称命题．
4.
A　【解析】投中2次或投中3次测试通过，概率P＝0.63＋C×0.62×(1－0.6)＝0.216＋0.432＝0.648.
5.
A　【解析】由题意知F1(－，0)，F2(，0)，所以·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x＋y－3＝2＋2y＋y－3＝3y－1<0，解得y0∈.
6.
B　【解析】由题意可知米堆的下底面圆的半径为r＝＝，所以米堆的体积为V＝×Sh＝××3××5＝，所以估算出堆放的米有≈21.94≈22(斛)．
7.
A　【解析】由题意，可画出图形如图所示，则＝＋＝＋＝＋
(－)＝－＋.
(第7题)
8.
D　【解析】由图可知，T＝－＝1，所以T＝2＝，从而ω＝π.由f＝cos＝0及图象的单调性，可知φ＝.令2kπ<πx＋<π＋2kπ，k∈Z，解得2k－9.
C　【解析】第一次循环：S＝，m＝，n＝1；
第二次循环：S＝，m＝，n＝2；
第三次循环：S＝，m＝，n＝3；
第四次循环：S＝，m＝，n＝4；
第五次循环：S＝，m＝，n＝5；
第六次循环：S＝，m＝，n＝6；
第七次循环：S＝，m＝，n＝7.
此时S＝<0.01，循环结束．
10.
C　【解析】(x2＋x＋y)5展开式的通项为C(x2＋x)5－ryr，令r＝2，得C(x2＋x)3y2.再考虑(x2＋x)3的展开式，其通项为C·(x2)3－r·xr＝C·x6－r，令r＝1，得Cx5＝3x5.所以x5y2的系数为C×3＝10×3＝30.
11.
B　【解析】该几何体由一个半球和半个圆柱组成，圆柱的高为2r，底面半径和球的半径均为r，组合体的表面积为S＝2×πr2＋πr×2r＋2r×2r＋×4πr2＝5πr2＋4r2＝16＋20π，所以r2＝4，r＝2.
12.
D　【解析】由题意可知f(x)<0等价于ex(2x－1)0且x＝0时，不等式f(x)<0显然成立，所以x＝－1时，不满足f(x)<0，所以a≥＝，
所以a∈.
(第12题)
13.
1　【解析】f(－x)＝(－x)·ln(－x＋)
＝(－x)ln
＝(－x)ln
＝(－x)[ln
a－ln(＋x)]
＝x·ln(＋x)－xln
a＝f(x)，
所以xln
a＝0，从而a＝1.
14.
＋y2＝　【解析】由题意，可知圆经过点(0，2)，(0，－2)和(4，0)，设圆心为(a，0)(a>0)，半径为r，则＝|4－a|＝r，解得a＝，r＝，所以圆的标准方程为＋y2＝.
15.
3　【解析】画出可行域如图中阴影部分所示.的几何意义为点P(x，y)
与点(0，0)之间的斜率，由图可知，当点P处于点A(1，3)时，斜率最大，此时＝3.
(第15题)
16.
(－，＋)　【解析】如图，延长BA，CD交于点E，可知EC＝BE，且∠E＝30°，所以cos
30°＝，可得BE＝＋.过点C作CF∥AD交BE于点F，则BC＝CF＝2，∠BCF＝30°.
BF2＝2BC2－2BC2·cos
30°＝8－4，所以BF＝－，
所以AB∈(－，＋)．
　　　
(第16题)
17.
(1)
由a＋2an＝4Sn＋3，可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3，
可得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，
即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．
由于an>0，可得an＋1－an＝2.
又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)，a1＝3，
所以{an}是首项为3、公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.
(2)
由an＝2n＋1可知bn＝＝＝.
设数列{bn}的前n项和为Tn，则
Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝.
18.
(1)
连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.
在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.
由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.
由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.
又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.
在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝.
在Rt△FDG中，可得FG＝.
在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝，
从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.
又AC∩FG＝G，AC平面AFC，FG不属于平面AFC，可得EG⊥平面AFC.
因为EG属于平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.
(2)
如图，以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴、y轴正方向，||为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.由(1)可得A(0，－，0)，E(1，0，)，F，C(0，，0)，
所以＝(1，，)，＝，
(第18题)
故cos〈，〉＝＝－，
所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.
19.
(1)
由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2)
令w＝，先建立y关于w的线性回归方程，由于＝68，
＝y－w＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为y＝100.6＋68w，
因此y关于x的回归方程为y＝100.6＋68.
(3)
①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值y＝100.6＋68＝576.6，
年利润z的预报值z＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值z＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12，
所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，z取得最大值．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
20.
(1)
由题设可得M(2，a)，N(－2，a)或M(－2，a)，N(2，a)．
又y′＝，故y＝在x＝2处的导数值为，曲线C在点(2，a)处的切线方程为y－a＝(x－2)，即x－y－a＝0.
y＝在x＝－2处的导数值为－，曲线C在点(－2，a)处的切线方程为y－a＝－(x＋2)，即x＋y＋a＝0.
故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.
(2)
存在符合题意的点．理由如下：
设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.
将y＝kx＋a代入曲线C的方程，得x2－4kx－4a＝0，
故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a，
从而k1＋k2＝＋
＝
＝.
当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意．
21.
(1)
设曲线y＝f(x)与x轴相切于点(x0，0)，则f(x0)＝0，f′(x0)＝0，即解得x0＝，a＝－.
因此，当a＝－时，x轴为曲线y＝f(x)的切线．
(2)
当x∈(1，＋∞)时，g(x)＝－ln
x<0，从而h(x)＝min{f(x)，g(x)}≤g(x)<0，故h(x)在(1，＋∞)上没有零点．
当x＝1时，若a≥－，则f(1)＝a＋≥0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝g(1)＝0，故x＝1是h(x)的零点；若a<－，则f(1)<0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝f(1)<0，故x＝1不是h(x)的零点．
当x∈(0，1)时，g(x)＝－ln
x>0，所以只需考虑f(x)在(0，1)上的零点个数．
若a≤－3或a≥0，则f′(x)＝3x2＋a在(0，1)上没有零点，故f(x)在(0，1)上单调．又f(0)＝，f(1)＝a＋，所以当a≤－3
时，f(x)在(0，1)上有一个零点；当a≥0时，f(x)在(0，1)上没有零点．
若－3取得最小值，最小值为f＝＋.
①若f>0，即－②若f＝0，即a＝－时，f(x)在(0，1)上有唯一零点；
③若f<0，即－3综上，当a>－或a<－时，h(x)有一个零点；当a＝－或a＝－时，h(x)有两个零点；当－22.
(1)
如图，连接AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB.
在Rt△AEC中，由已知得DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.
连接OE，则∠OBE＝∠OEB.
又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，
故∠OED＝90°，所以DE是圆O的切线．
(2)
设CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝2，BE＝.
由射影定理可得，AE2＝CE·BE，
所以x2＝，即x4＋x2－12＝0，
可得x＝，所以∠ACB＝60°.
(第22题)
23.
(1)
因为x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ，所以C1的极坐标方程为ρcos
θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos
θ－4ρsin
θ＋4＝0.
(2)
将θ＝代入ρ2－2ρcos
θ－4ρsin
θ＋4＝0，得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝，故ρ1－ρ2＝，即MN＝.
又C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.
24.
(1)
当a＝1时，f(x)>1可化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－10，解得当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2，
所以f(x)>1的解集为.
(2)
由题设可得，f(x)＝
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为(a＋1)2.
由题设得(a＋1)2>6，故a>2，
所以实数a的取值范围为(2，＋∞)．
2016年普通高等学校招生全国统一考试
数学理科(新课标Ⅰ卷)
一、
选择题：本大题共12小题，每小题5分．
1.
设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B等于(　　)
A.
B.
C.
D.
2.
设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|等于(　　)
A.
1
B.
C.
D.
2
3.
已知等差数列{an}的前9项和为27，a10＝8，那么a100等于(　　)
A.
100
B.
99
C.
98
D.
97
4.
某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10
min
的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
5.
已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)
A.
(－1，3)
B.
(－1，)
C.
(0，3)
D.
(0，)
6.
如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是(　　)
A.
17π
B.
18π
C.
20π
D.
28π
(第6题)
7.
函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]上的图象大致为(　　)
　　　,A
)
,B
)
　　　,C
)
,D
)
8.
若a>b>1，0A.
acB.
abcC.
alogbcD.
logac9.
执行如图所示的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足(　　)
A.
y＝2x
B.
y＝3x
C.
y＝4x
D.
y＝5x
(第9题)
10.
以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知AB＝4，DE＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)
A.
2
B.
4
C.
6
D.
8
11.
平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　)
A.
B.
C.
D.
12.
已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)
A.
11
B.
9
C.
7
D.
5
二、
填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.
设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________．
14.
(2x＋)5的展开式中，x3的系数是________．(用数字填写答案)
15.
设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．
16.
某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5
kg，乙材料1
kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5
kg，乙材料0.3
kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2
100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150
kg，乙材料90
kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
三、
解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17.
(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cos
C(acos
B＋bcos
A)＝c.
(1)
求角C；
(2)
若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
18.
(本小题满分12分)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F的大小都是60°.
(1)
求证：平面ABEF⊥平面EFDC；
(2)
求二面角E-BC-A的余弦值．
(第18题)
19.
(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到如图所示的柱状图．以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)
求X的分布列；
(2)
若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；
(3)
以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
(第19题)
20.
(本小题满分12分)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)
证明：EA＋EB为定值，并写出点E的轨迹方程；
(2)
设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
21.
(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点．
(1)
求a的取值范围；
(2)
设x1，x2是f(x)的两个零点，求证：x1＋x2<2.
请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22.
(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲
如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB＝120°.以O为圆心，OA为半径作圆．
(1)
求证：直线AB与圆O相切；
(2)
点C，D在圆O上，且A，B，C，D四点共圆，求证：AB∥CD.
(第22题)
23.
(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos
θ.
(1)
说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)
直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan
α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a的值．
24.
(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)
画出y＝f(x)的图象；
(2)
求不等式|f(x)|>1的解集．
(第24题)
.2016年普通高等学校招生全国统一考试
数学理科(新课标Ⅰ卷)
1.
D　【解析】A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|10}＝，故A∩B＝.故选D.
2.
B　【解析】由(1＋i)x＝1＋yi可知x＋xi＝1＋yi，故x=y=1,所以|x＋yi|＝＝.故选B.
3.
C　【解析】由等差数列性质可知S9＝＝＝9a5＝27，故a5＝3，而a10＝8，因此公差d＝＝1，所以a100＝a10＋90d＝98.故选C.
4.
B　【解析】如图所示，画出时间轴，小明到达的时间会随机地落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10
min.根据几何概型，所求概率P＝＝.故选B.
(第4题)
5.
A　【解析】－＝1表示双曲线，则(m2＋n)(3m2－n)>0，
所以－m26.
A　【解析】原立体图如图所示，是一个球被切掉左上角的后的三视图，设半径为R，则×πR3＝，解得R＝2.该几何体的表面积S是的球面面积和三个扇形面积之和，S＝×4π×22＋3×π×22＝17π.故选A.
(第6题)
7.
D　【解析】f(2)＝8－e2>8－2.82>0，排除A；f(2)＝8－e2<8－2.72<1，排除B.当x>0时，f(x)＝2x2－ex，f′(x)＝4x－ex，当x∈时，f′(x)<0，因此f(x)在上单调递减，排除C.故选D.
8.
C　【解析】对于A：由于0b>1?ac>bc，A错误．对于B：由于－1b>1?ac－1b和aln
a，构造函数f(x)＝xln
x(x>1)，则f′(x)＝ln
x＋1>1>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此f(a)>f(b)>0?aln
a>bln
b>0?<.又由0c<0，所以>?blogac>alogbc，C正确．对于D：要比较logac和logbc，只需比较和，只需比较和，而函数y＝ln
x在(1，＋∞)上单调递增，故a>b>1?ln
a>ln
b>0?<.又由0c<0，所以>?logac>logbc，D错误．故选C.
9.
C　【解析】如下表：
循环节运
行次数
x(x＝x＋
)
y(y＝ny)
判断
x2＋y2≥36
是否
输出
n(n＝n＋1)
运行前
0
1
/
/
1
第一次
0
1
否
否
2
第二次
2
否
否
3
第三次
6
是
是
输出x＝，y＝6，满足y＝4x.故选C.
10.
B　【解析】以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理．
设抛物线为y2＝2px(p>0)，设圆的方程为x2＋y2＝r2，如图．设A(x0，2)，D，
点A(x0，2)在抛物线y2＝2px上，所以8＝2px0，　①
点D在圆x2＋y2＝r2上，所以5＋＝r2，　②
点A(x0，2)在圆x2＋y2＝r2上，所以x＋8＝r2.　③
联立①②③，解得p＝4，焦点到准线的距离为p＝4.故选B.
(第10题)
11.
A　【解析】如图，因为α∥平面CB1D1，所以若设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，则m1∥m.又因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，结合平面B1D1C∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥m1，故B1D1∥m.同理可得CD1∥n，故m，n的所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大小．而B1C＝B1D1＝CD1(均为面对角线)，因此∠CD1B1＝，即sin∠CD1B1＝.故选A.
(第11题)
12.
B　【解析】由题意知则ω＝2k＋1，其中k∈Z.因为f(x)在上单调，所以－＝≤，所以ω≤12，接下来用排除法．若ω＝11，则φ＝－，此时f(x)＝sin(11x－)，f(x)在(，)上递增，在上递减，不满足f(x)在上单调；若ω＝9，则φ＝，此时f(x)＝sin(9x＋)，f(x)在(，)上单调递减，满足题意．故选B.
13.
－2　【解析】由已知得a＋b＝(m＋1，3)，|a＋b|2＝|a|2＋|b|2?(m＋1)2＋32＝m2＋12＋12＋22，解得m＝－2.
14.
10　【解析】设展开式的第k＋1项为Tk＋1，k∈{0，1，2，3，4，5}，所以Tk＋1＝C(2x)5－k()k＝C25－kx5－.当5－＝3时，k＝4，即T5＝C25－4x5－＝10x3.
15.
64　【解析】由于{an}是等比数列，设an＝a1qn－1，其中a1是首项，q是公比，所以?解得
故an＝，所以a1a2…an＝＝＝
，
当n＝3或4时，取得最小值－6，此时取得最大值26.故a1a2…an的最大值为64.
16.
216
000　【解析】设生产A产品x件，B产品y件，由题意得
目标函数z＝2
100x＋900y，
作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，平移直线y＝－x＋，可知z在(60，100)处取得最大值，此时z＝2
100×60＋900×100＝216
000，经检验符合题意．
(第16题)
17.
(1)
由已知及正弦定理得2cos
C(sin
Acos
B＋sin
Bcos
A)＝sin
C，
即2cos
Csin(A＋B)＝sin
C，
故2sin
Ccos
C＝sin
C，
可得cos
C＝，所以C＝.
(2)
由已知得absin
C＝.
又C＝，所以ab＝6.
由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos
C＝7，
故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25，
所以△ABC的周长为5＋.
18.
(1)
由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，所以AF⊥平面EFDC.
又AF?平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC.
(第18题)
(2)
过D作DG⊥EF，垂足为G，由(1)知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由(1)知∠DFE为二面角D-AF-E的平面角，故∠DFE＝60°，则DF＝2，DG＝，可得A(1，4，0)，B(－3，4，0)，E(－3，0，0)，D(0，0，)．
由已知，AB∥EF，所以AB∥平面EFDC.
又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，故AB∥CD，CD∥EF.
由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，所以∠CEF为二面角C-BE-F的平面角，故∠CEF＝60°，从而可得C(－2，0，)．所以＝(1，0，)，＝(0，4，0)，＝(－3，－4，)，＝(－4，0，0)．
设n＝(x，y，z)是平面BCE的法向量，
则即
所以可取n＝(3，0，－)．
设m是平面ABCD的法向量，则
同理可取m＝(0，，4)，则cos〈n，m〉＝＝－.
故二面角E-BC-A的余弦值为－.
19.
(1)
由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2.
从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04，
P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16，
P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24，
P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24，
P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2，
P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08，
P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.
所以X的分布列为
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
(2)
由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，
故n的最小值为19.
(3)
记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．
当n＝19时，
E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4
040.
当n＝20时，
E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4
080.
可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.
20.
(1)
因为AD＝AC，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC.
所以EB＝ED，故EA＋EB＝EA＋ED＝AD.
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而AD＝4，
所以EA＋EB＝4.
由题设得A(－1，0)，B(1，0)，AB＝2，
由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
(2)
当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
所以MN＝|x1－x2|＝.
过点B(1，0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，
点A到直线m的距离为，
所以PQ＝2＝4.
故四边形MPNQ的面积S＝MN·PQ＝12.
可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，8)．当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，MN＝3，PQ＝8，四边形MPNQ的面积为12.
综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12，8)．
21.
(1)
f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)．
①若a＝0，则f(x)＝(x－2)ex，f(x)只有一个零点．
②若a>0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b<0且b，
则f(b)>(b－2)＋a(b－1)2＝a>0，
故f(x)存在两个零点．
③若a<0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．
若a≥－，则ln(－2a)≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，因此f(x)在(1，＋∞)上单调递增．又当x≤1时f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点．
若a<－，则ln(－2a)>1，故当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)<0；当x∈(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0.因此f(x)在(1，ln(－2a))上单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)上单调递增．又当x≤1时f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点．
综上，a的取值范围为(0，＋∞)．
(2)
不妨设x1f(2－x2)，即f(2－x2)<0.
由于f(2－x2)＝－x2e2－x2＋a(x2－1)2，而f(x2)＝(x2－2)ex2＋a(x2－1)2＝0，所以f(2－x2)＝－x2e2－x2－(x2－2)ex2.
设g(x)＝－xe2－x－(x－2)ex，则g′(x)＝(x－1)(e2－x－ex)．
所以当x>1时，g′(x)<0，而g(1)＝0，故当x>1时g(x)<0.
从而g(x2)＝f(2－x2)<0，故x1＋x2<2.
22.
(1)
设E是AB的中点，连接OE.
因为OA＝OB，∠AOB＝120°，
所以OE⊥AB，∠AOE＝60°.
在Rt△AOE中，OE＝AO，即O到直线AB的距离等于圆O的半径，
所以直线AB与圆O相切．
(2)
因为OA＝2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．
如图，设O′是A，B，C，D四点所在圆的圆心，作直线OO′.
由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O′在线段AB的垂直平分线上，所以OO′⊥AB.
同理可证OO′⊥CD，所以AB∥CD.
(第22题)
23.
(1)
消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ代入C1的普通方程中，
得C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin
θ＋1－a2＝0.
(2)
曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin
θcos
θ＋1－a2＝0.
由已知tan
θ＝2，可得16cos2θ－8sin
θcos
θ＝0，
从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.
当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．
所以a＝1.
24.
(1)
f(x)＝
y＝f(x)的图象如图所示．
(第24题)
(2)
由f(x)的表达式及图象，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3.
当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.
故f(x)>1的解集为{x|1所以|f(x)|>1的解集为.
2017年普通高等学校招生全国统一考试
数学理科(新课标Ⅰ卷)
一、
选择题：本大题共12小题，每小题5分．
1.
已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则(　　)
A.
A∩B＝{x|x<0}
B.
A∪B＝R
C.
A∪B＝{x|x>1}
D.
A∩B＝
2.
如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(　　)
A.
　
B.
C.
　
D.
(第2题)
3.
设有下面四个命题：
其中的真命题为(　　)
A.
p1，p3　
B.
p1，p4　
C.
p2，p3　
D.
p2，p4
4.
记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)
A.
1
B.
2
C.
4
D.
8
5.
已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足
－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)
A.
[－2，2]
B.
[－1，1]
C.
[0，4]
D.
[1，3]
6.
(1＋x)6的展开式中x2的系数为(　　)
A.
15　
B.
20　
C.
30　
D.
35
7.
某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(　　)
A.
10
B.
12
C.
14
D.
16
(第7题)
8.
如图，程序框图是为了求出满足3n－2n>1
000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入(　　)
A.
A>1
000？和n＝n＋1
B.
A>1
000？和n＝n＋2
C.
A≤1
000？和n＝n＋1
D.
A≤1
000？和n＝n＋2
　　　
(第8题)
9.
已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin，则下列结论正确的是(　　)
A.
把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B.
把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C.
把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D.
把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
10.
已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A，B两点，直线l2与抛物线C交于D，E两点，则AB＋DE的最小值为(　　)
A.
16　
B.
14　
C.
12　
D.
10
11.
设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)
A.
2x<3y<5z
B.
5z<2x<3y
C.
3y<5z<2x
D.
3y<2x<5z
12.
几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是(　　)
A.
440
B.
330
C.
220
D.
110
二、
填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.
已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
14.
设x，y满足约束条件则z＝3x－2y的最小值为
________．
15.
已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
(第16题)
16.
如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5
cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F三点重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________．
三、
解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17.
(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为.
(1)
求sinBsinC的值；
(2)
若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．
18.
(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.
(1)
求证：平面PAB⊥平面PAD；
(2)
若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A-PB-C的余弦值．
(第18题)
19.
(本小题满分12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．
(1)
假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望．
(2)
一天内抽检的零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
①试说明上述监控生产过程方法的合理性；
②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得x＝i＝9.97，s＝＝
之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．
附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ4，0.997
416≈0.959
2，≈0.09.
20.
(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上．
(1)
求椭圆C的方程；
(2)
设直线l不经过点P2且与椭圆C相交于A，B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，求证：直线l过定点．
21.
(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x.
(1)
讨论f(x)的单调性；
(2)
若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．
请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22.
(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)
若a＝－1，求曲线C与直线l的交点坐标；
(2)
若曲线C上的点到直线l的距离的最大值为，求a的值．
23.
(本小题满分10分)选修45：不等式选讲
已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1，1]，求实数a的取值范围．
2017年普通高等学校招生全国统一考试
数学理科(新课标Ⅰ卷)
1.
A　【解析】由题意知，B＝{x|x<0}，所以A∩B＝B.故选A.
2.
B　【解析】设正方形边长为1，则黑色部分面积等于正方形的内切圆的面积的一半，即.由几何概型易知，所求概率为.故选B.
3.
B　【解析】对于p2，取z＝i，则z2＝－1∈R，但不属于R，故命题p2错；对于p3，取z1＝1＋i，z2＝2－2i，则z1z2＝4∈R，但z1≠z2，所以命题p3错．故选B.
4.
C　【解析】设{an}的公差为d，由等差数列的性质，知S6＝3(a3＋a4)＝48，所以a3＋a4＝16，又因为a4＋a5＝24，所以2d＝a5－a3＝(a4＋a5)－(a3＋a4)＝8，即d＝4.故选C.
5.
D　【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝1，又因为f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，所以f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，即－1≤x－2≤1，解得1≤x≤3.故选D.
6.
C　【解析】由二项式定理知，(1＋x)6的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·xr，所以(1＋x)6中含有x2的项为C·x2＋C··x4＝30x2，故x2的系数为30.故选C.
7.
B　【解析】由三视图知，该几何体的直观图如图所示，则该几何体的后侧面与右侧面均为上底为2，下底为4，高为2的直角梯形，所以这两个直角梯形的面积和为(2＋4)×2××2＝12.故选B.
(第7题)
8.
D　【解析】由题知，n为偶数，则执行框中应为n＝n＋2，又因为3n－2n>1
000时结束循环，因此，判断框中应为“A≤1
000？”．故选D.
9.
D　【解析】因为函数y＝cosx的最小正周期T＝2π，函数y＝sin的最小正周期T＝＝π，所以应将C1上各点的横坐标缩短为原来的倍．又y＝cos2x＝sin(2x＋)＝sin，所以应将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位长度．故选D.
10.
A　【解析】由题知F(1，0)，准线为x＝－1，设直线l1的解析式为y＝k(x－1)，因为l1，l2互相垂直，所以直线l2的斜率为－，联立抛物线与l1得方程k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则x1＋x2＝.整理可得x3＋x4＝2＋4k2，由抛物线的性质知，AB＝x1＋1＋x2＋1，CD＝x3＋1＋x4＋1，所以AB＋CD＝(x1＋x2)＋(x3＋x4)＋4＝8＋＋4k2≥8＋2＝16.故选A.
11.
D　【解析】由题意得2x＝3y＝5z，所以log22x＝log23y，即x＝ylog23，2x＝ylog232＝ylog29，因为log28＝3，所以2x＝ylog29>ylog28＝3y，同理，2x＝zlog25212.
A　【解析】设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三顶为第3组，依此类推．设第n组的项数为n，则n组的项数和为.因为N>100，则>100，解得n≥14且n∈N
，即N出现在第13组之后，第n组的和为＝2n－1，n组总共的和为－n＝2n＋1－2－n，则要使前N项和为2的整数幂，则N－项的和2k－1应与－2－n互为相反数，即2k－1＝2＋n(n∈N
，n≥14)，k＝log2(n＋3)，n＝29，k＝5，所以N＝＋5＝440.故选A.
13.
2　【解析】由题知|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12，所以|a＋2b|＝2.
14.
－5　【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，易得A(－1，1)．平移目标函数线3x－2y＝z，易知，当直线3x－2y＝z经过点A(－1，1)时，z取最小值，为3×(－1)－2×1＝－5.
(第14题)
15.
　【解析】根据题意，可令M，N两点所在渐近线为ay－bx＝0，则圆心A(a，0)到渐近线的距离d＝＝.又因为AM＝AN＝b，∠MAN＝60°，所以△MAN为正三角形，所以d＝b，即＝b，所以e＝＝＝.
16.
4
cm3　【解析】如图(1)，连接OF交AB于点P，设OP＝x，则OA＝2x，AB＝2x，S△ABC＝AB2sin60°＝3x2.又OF＝R＝5，所以FP＝5－x.如图(2)，三棱锥的高OF＝＝，所以三棱锥的体积V＝×S△ABC×OF＝×3x2×＝，令f(x)＝5x4－2x5，x∈，则f′(x)＝20x3－10x4，令f′(x)＝0，解得x＝2或0(舍去)，易知当x＝2时三棱锥的体积最大，最大值为V＝×22×＝4(cm3)．
(第16题(1))
　　
(第16题(2))
17.
(1)
由题设得acsinB＝，即csinB＝，
由正弦定理得sinCsinB＝，
所以sinBsinC＝.
(2)
由已知及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－，即cos(B＋C)＝－，所以B＋C＝，则A＝.
又因为bcsinA＝，所以bc＝8.
由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝.
所以△ABC的周长为3＋.
18.
(1)
由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.
又AB∥CD，所以AB⊥PD，又AP∩PD＝P，所以AB⊥平面PAD.
又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)
在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为F，由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，又AB∩AD＝A，可得PF⊥平面ABCD.以F为坐标原点，的方向为x轴正方向．||为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.
(第18题)
则A，P，B，C.
所以＝，＝(，0，0)，＝，＝(0，1，0)．
设n＝(x，y，z)是平面PCB的法向量，
可取n＝(0，－1，－)．
设m＝(x1，y1，z1)是平面PAB的法向量，可取m＝(1，0，1)．
所以cos〈n，m〉＝＝＝－.
所以二面角APBC的余弦值为－.
19.
(1)
抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997
4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002
6，故X～B(16，0.002
6)，因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997
416≈0.040
8.X的数学期望为E(X)＝16×0.002
6＝0.041
6.
(2)
①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002
6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040
8，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．
②由x＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值为μ∧＝9.97，σ的估计值为σ∧＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ∧－3σ∧，μ∧＋3σ∧)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．
剔除(μ∧－3σ∧，μ∧＋3σ∧)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为(16×9.97－9.22)＝10.02，因此μ的估计值为10.02，
除去之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为σ2＝
(1
591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，
因此，σ的估计值为≈0.09.
20.
(1)
由于P3，P4两点关于y轴对称，所以由题知C经过P3，P4两点．
又由＋>＋知，C不经过点P1，所以点P2在C上．
可解得a=2,b=1
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)
设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.
如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐标分别为，.
则k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不合题意．
从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)，将y＝kx＋m代入＋y2＝1，消去y，得
(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
而k1＋k2＝＋＝＋
＝.
由题设知k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.
即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0，解得k＝－.
当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l：y＝－x＋m，即y＋1＝－(x－2)，所以直线l过定点(2，－1)．
21.
(1)
f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)．
①若a≤0，则f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减．
②若a>0，则由f′(x)＝0，得x＝－lna.
当x∈(－∞，－lna)时，f′(x)<0；当x∈(－lna，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．
(2)
①若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一个零点．
②若a>0，由(1)知，当x＝－lna时，f(x)取得最小值，最小值为f(－lna)＝1－＋lna.
1°当a＝1时，由于f(－lna)＝0，故f(x)只有一个零点；
2°当a∈(1，＋∞)时，由于1－＋lna>0，即f(－lna)>0，故f(x)没有零点；
3°当a∈(0，1)时，1－＋lna<0，即f(－lna)<0，
又f(－2)＝ae－4＋(a－2)e－2＋2>－2e－2＋2>0，
所以f(x)在(－∞，－lna)上有一个零点；
设正整数n0满足n0>ln，则f(n0)＝en0(aen0＋a－2)－n0>en0－n0>2n0－n0>0，
由于ln>－lna，因此f(x)在(－lna，＋∞)上有一个零点．
综上，a的取值范围为(0，1)．
22.
(1)
由题知曲线C的普通方程为＋y2＝1.
当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.
联立曲线C与直线l的方程
解得x=3或，从而曲线C与直线l的交点坐标为(3，0)，.
(2)
直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故曲线C上的点(3cosθ，sinθ)到直线l的距离为d＝.
当a≥－4时，d的最大值为，由题设得＝，所以a＝8；
当a<－4时，d的最大值为.由题设得＝，所以a＝－16.
综上，a＝8或a＝－16.
23.
(1)
当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①
当x<－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；
当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；
当x>1时，①式化为x2＋x－4≤0，从而1所以f(x)≥g(x)的解集为.
(2)
当x∈[－1，1]时，g(x)＝2，所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1，1]等价于当x∈[－1，1]时f(x)≥2.
又f(x)在[－1，1]上的最小值必为f(－1)与f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，
解得－1≤a≤1.
所以实数a的取值范围为[－1，1].
2018年普通高等学校招生全国统一考试
数学理科(新课标Ⅰ卷)
一、
选择题：本大题共12小题，每小题5分．
1.
设z＝＋2i，则|z|等于(　　)
A.
0
B.
C.
1
D.
2.
已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则?RA等于(　　)
A.
{x|－1B.
{x|－1≤x≤2}
C.
{x|x<－1}∪{x|x>2}
D.
{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
3.
某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
　　　
(第3题)
则下面结论中不正确的是(　　)
A.
新农村建设后，种植收入减少
B.
新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C.
新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D.
新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4.
记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于(　　)
A.
－12
B.
－10
C.
10
D.
12
5.
设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为(　　)
A.
y＝－2x
B.
y＝－x
C.
y＝2x
D.
y＝x
6.
在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于(　　)
A.
－
B.
－
C.
＋
D.
＋
7.
某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(　　)
A.
2
B.
2
C.
3
D.
2
(第7题)
8.
设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·等于(　　)
A.
5
B.
6
C.
7
D.
8
9.
已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A.
[－1，0)
B.
[0，＋∞)
C.
[－1，＋∞)
D.
[1，＋∞)
10.
如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则(　　)
A.
p1＝p2
B.
p1＝p3
C.
p2＝p3
D.
p1＝p2＋p3
(第10题)
11.
已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则MN等于(　　)
A.
B.
3
C.
2
D.
4
12.
已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　)
A.
B.
C.
D.
二、
填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.
若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．
14.
记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________．
15.
从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)
16.
已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是________．
三、
解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17.
(本小题满分12分)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)
求cos∠ADB；
(2)
若DC＝2，求BC.
18.
(本小题满分12分)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.
(1)
求证：平面PEF⊥平面ABFD；
(2)
求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
(第18题)
19.
(本小题满分12分)设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)．
(1)
当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)
设O为坐标原点，求证：∠OMA＝∠OMB.
20.
(本小题满分12分)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0(1)
记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.
(2)
现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
21.
(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－x＋alnx.
(1)
讨论f(x)的单调性；
(2)
若f(x)存在两个极值点x1，x2，求证：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22.
(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.
(1)
求C2的直角坐标方程；
(2)
若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
23.
(本小题满分10分)选修45：不等式选讲
已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.
(1)
当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)
若x∈(0，1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围.
2018年普通高等学校招生全国统一考试
数学理科(新课标Ⅰ卷)
C　【解析】因为z＝＋2i＝＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1.
B　【解析】?RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}．故选B.
A　【解析】假设新农村建设前农村的经济收入为a，新农村建设后，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番为2a，所以种植收入为37%×2a＝74%a>60%a，故A错．建设后，其他收入为5%×2a＝10%a，＝2.5>2，故B正确．建设后，养殖收入为30%×2a＝60%a，＝2，故C正确．建设后，养殖收入与第三产业收入总和为(30%＋28%)×2a＝58%×2a，经济收入为2a，＝58%>50%.故D正确．综上，故选A.
B　【解析】设等差数列{an}的公差为d，则由题意得3(3a1＋×d)＝2a1＋d＋4a1＋×d，解得d＝－3，所以a5＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.
D　【解析】因为f(x)为奇函数，所以a－1＝0，即a＝1，所以f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，故f(0)＝0，f′(0)＝1，所求切线方程为y－0＝1×(x－0)，即y＝x.故选D.
A　【解析】＝＋＝－＝(＋)－(－)＝－.故选A.
7.
B　【解析】如图，最短路径为圆柱侧面展开图中矩形的对角线，长度为＝2.故选B.
(第7题)
8.
D　【解析】由题意知F(1，0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)·(x2－1)＋y1y2.又直线MN的方程为y＝(x＋2)，联立方程组消去x，得y2－6y＋8＝0，所以y1y2＝8；消去y，得x2－5x＋4＝0，所以x1＋x2＝5，x1x2＝4，由此可得·＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝8.故选D.
9.
C　【解析】g(x)存在两个零点等价于y＝f(x)与y＝－x－a的图象有两个交点，在同一平面直角坐标系中，作出y＝f(x)与y＝－x－a的图象如图所示，由图可知－a≤1，即a≥－1.故选C.
(第9题)
10.
A　【解析】设AB＝a，AC＝b，BC＝c，则c2＝a2＋b2，所以整个图形的面积为S＝＋＝＋，从而p1＝，p2＝＝，p3＝，所以p1＝p2.故选A.
B　【解析】由题知F(2，0)，双曲线的渐近线方程为y＝±x，如图，∠MOF＝∠NOF＝30°，由双曲线的对称性，不妨设∠OMN＝90°，则MN＝OM.又OF＝2，
∠FOM＝30°，所以OM＝OF·cos30°＝，所以MN＝×＝3.故选B.
(第11题)
12.
A　【解析】如图，图(1)中的三角形截面满足题意，把这个平面平移，当这个截面为正六边形时(图(2))面积最大，此时正六边形的边长为，所以面积为6××××＝.故选A.
　　　　　
图(1)
图(2)
(第12题)
13.
6　【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由z＝3x＋2y，得y＝－x＋，平移直线y＝－x＋过点A(2，0)时z取得最大值，此时z＝6.
(第13题)
－63　【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，所以Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即Sn－1＝2(Sn－1－1)．又a1＝S1＝2a1＋1，所以a1＝－1，所以Sn－1＝(－2)·2n－1＝－2n，Sn＝1－2n，故S6＝1－26＝－63.
16　【解析】分两类，有1位女生和有2位女生，所以不同的选法有CC＋CC＝16种．
－　【解析】由题意可得T＝2π是f(x)＝2sinx＋sin2x的一个周期，故只需考虑f(x)＝2sinx＋sin2x在[0，2π)上的值域，先来求该函数在[0，2π)上的极值点，求导数可得f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝2cosx＋2(2cos2x－1)＝2(2cosx－1)(cosx＋1)．令f′(x)＝0，解得cosx＝或cosx＝－1，解得x＝，π或.因为f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且f＝－，f(0)＝0，所以函数f(x)的最小值为f＝－.
17.
(1)
在△ABD中，由正弦定理得＝.
由题设知，＝，所以sin∠ADB＝.
由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB＝＝.
(2)
由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.
在△BCD中，由余弦定理得
BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25，
所以BC＝5.
18.
(1)
由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.
又BF平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)
作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.
由(1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，所以PE＝，又PF＝1，EF＝2，故PE⊥PF，可得PH＝，EH＝.
则H(0，0，0)，P，D，＝，＝为平面ABFD的法向量．
设DP与平面ABFD所成角为θ，则sinθ＝＝＝.
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.
(第18题)
19.
(1)
由已知得F(1，0)，l的方程为x＝1.
由已知可得，点A的坐标为或.
所以AM的方程为y＝－x＋或y＝x－.
(2)
当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，
所以∠OMA＝∠OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1<，x2<，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝＋.
由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k，得kMA＋kMB＝.
将y＝k(x－1)代入＋y2＝1，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0.
从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补．
所以∠OMA＝∠OMB.
综上，∠OMA＝∠OMB.
20.
(1)
20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝Cp2(1－p)18.
因此f′(p)＝C[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2Cp(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1，
当p∈(0，0.1)时，f′(p)>0；当p∈(0.1，1)时，f′(p)<0.
所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.
(2)
由(1)知，p＝0.1.
①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，
依题意知Y～B(180，0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.
所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490.
②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．
由于E(X)>400，故应该对余下的产品作检验．
21.
(1)
f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－－1＋＝－.
①若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时f′(x)＝0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②若a>2，令f′(x)＝0，得x＝或x＝.
当x∈∪时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0.
所以f(x)在，上单调递减，在(，)上单调递增．
(2)
由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.
由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1，不妨设x11，由于＝－－1＋a＝－2＋a＝－2＋a，所以设函数g(x)＝－x＋2lnx，由(1)知，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
又g(1)＝0，从而当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0.
所以－x2＋2lnx2<0，即22.
(1)
由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.
(2)
由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．
当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝
－或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．
当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点．
综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.
23.
(1)
当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，
即f(x)＝
故不等式f(x)>1的解集为.
(2)
当x∈(0，1)时|x＋1|－|ax－1|>x成立等价于当x∈(0，1)时|ax－1|<1成立．
若a≤0，则当x∈(0，1)时|ax－1|≥1；
若a>0，|ax－1|<1的解为0综上，a的取值范围为(0，2].