2019届高三二轮复习专题复习
专题九 电势能(2课时）
01考纲解读
考点
要求
考点解读及预测
等势面、电势能
Ⅰ
本专题是电场能性质的基础知识及应用，在高考中所占比重很大。高考对这部分知识的考查重点是电场线、等势面和运动轨迹的综合分析；带电粒子在电场、复合场中的运动、受力、做功和能量变化等综合问题分析。常结合动力学和能量观点综合考查。以选择题、计算题、综合题形式出现。
电势差、电势
Ⅱ
匀强电场中电势差和电场强度的关系
Ⅱ
02知识梳理
1．基本概念与规律：
（1）电场力做功的特点：与路径无关
（2）电场力做功与电势能变化的关系：
（3）电势概念：
（4）电势差：
（5）电场强度与电势差的关系：
2．方法
（1）电场力做功的求法：
①
②
③
④利用动能定理间接求解。
（2）解答功能关系问题的一般步骤和关键点
一般步骤：确定研究对象→分析研究对象的运动过程，→分清是什么力做功，并且分析该力做正功还是做负功→根据恰当的功能关系列方程→求解未知量。
关键：分析清楚运动过程和过程中力的做功情况；明确功能之间的对应关系，判定能的转化形式，确定能量之间的转化情况。
03重点拓展
1. 电场能的性质逻辑关系：
电场力做功与路径无关→引入电势能概念→电场力做功与电势能变化的关系→电势能的计算→电势概念→电势差概念→电场强度与电势差关系→电场中的功能关系。
2. 静电场中常用的功能关系
类型
表达式
电场力做的功等于电势能的减少量
W电＝－ΔEp
重力做的功等于重力势能的减少量
WG＝－ΔEp
弹簧做的功等于弹性势能的减少量
W弹＝－ΔEp
合外力做的功等于物体动能的变化量
W合＝ΔEk(动能定理)
除重力和系统内弹簧弹力之外的其他力做的总功等于物体机械能的变化量
W其他＝ΔE(功能原理)
只有电场力做功，电势能和动能之和保持不变
3.带电粒子运动、电场线与等势面综合问题分析：由电场中的“点、线、面、迹”判断相关问题
(1)根据轨迹弯曲方向，确定粒子所受电场力方向；
(2)根据粒子电性判断电场线方向；
(3)根据“沿电场线方向电势降低”判断电势高低；
(4)根据公式Ep＝qφ(代入正负号)判断电势能大小；
(5)根据电场力做功的正负判断电势能的变化或动能的变化；
(6)根据电场线或等差等势面疏密判断加速度大小，从而判断电场力和场强大小
4.φ－x图像的分析方法
由匀强电场场强公式E＝，可以得出E＝，所以电势φ与位置x之间的关系图象的切线的斜率表示电场强度。由电势图象的切线的斜率可以计算或比较对应各点电场强度的大小。
04典例分析
考点一 电场线、等势面和运动轨迹的综合
【典例1】 如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三条电场线，实线为一带负电的粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，由此可知( )
A.带电粒子在R点时的速度大小大于在Q点时的速度大小
B.带电粒子在P点时的电势能比在Q点时的电势能大
C.带电粒子在R点时的动能与电势能之和比在Q点时的小，比在P点时的大
D.带电粒子在R点时的加速度大小小于在Q点时的加速度大小
【解析】 根据牛顿第二定律可得qE＝ma，又根据电场线的疏密程度可以得出Q、R两点处的电场强度的大小关系为ER>EQ，则带电粒子在R、Q两点处的加速度的大小关系为aR>aQ，故D项错误；由于带电粒子在运动过程中只受电场力作用，只有动能与电势能之间的相互转化，则带电粒子的动能与电势能之和不变，故C项错误；根据物体做曲线运动的轨迹与速度、合外力的关系可知，带电粒子在R处所受电场力的方向为沿电场线向右.假设粒子从Q向P运动，则电场力做正功，所以电势能减小，动能增大，速度增大，假设粒子从P向Q运动，则电场力做负功，所以电势能增大，动能减小，速度减小，所以A项正确，B项错误.
【答案】A
【规律方法】
1.速度方向沿运动轨迹的切线方向，所受电场力的方向沿电场线的切线方向或反方向，所受合外力的方向指向曲线凹侧.
2.电势能大小的判断方法
(1)电场力做功：电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增加.
(2)利用公式法：由Ep＝qφ知正电荷在电势高处电势能大，负电荷在电势低处电势能大.
【典例2】如图所示，虚线是等势面，相邻的两等势面的电势差都相等，有一带正电的小球在电场中运动，实线表示该带正电的小球的运动轨迹，小球在a点的动能为20 eV，运动到b点的动能为2 eV.若取c点为零电势点，则当这个小球的电势能为－6 eV时，它的动能为(不计重力和空气阻力)( )
A.16 eV B.14 eV
C.6 eV D.4 eV
【解析】 设相邻两等势面间的电势差为U，小球的电荷量为q，小球从a到b和从b到c分别根据动能定理得：－q·3U＝Ekb－Eka，qU＝Ekc－Ekb，解得：Ekc＝(Eka＋2Ekb)＝(20＋2×2) eV＝8 eV.因为c点电势为0，所以小球在c点时的电势能为0，小球在电场中运动只有电场力做功，所以小球的动能和电势能的总和保持不变，恒为8 eV，所以当小球的电势能为－6 eV时，它的动能为14 eV.
【答案】B
考点二 电势、电势能、电场力做功的综合分析
【典例3】 如图所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以正电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点，质量为m、带电荷量为－q的有孔小球从杆上A点无初速度下滑，已知q?Q，AB＝h，小球滑到B点时的速度大小为.求小球由A到C的过程中静电力做的功及A、C两点间的电势差.
【解析】 因为Q是正点电荷，所以以Q为圆心的圆面是一个等势面，这是一个重要的隐含条件，由A到B过程中静电力是变力，所以不能直接用W＝Fx来解，只能考虑应用功能关系求解.
因为杆是光滑的，所以小球从A到B过程中只有两个力做功：静电力做功W和重力做功mgh，由动能定理得：
W＋mgh＝mv
代入已知条件vB＝得静电力做功
W＝m·3gh－mgh＝mgh
由B到C电场力做功为0，所以由A到C电场力做功WAC＝W＋0＝mgh.因为U＝＝
由于φA＜φC，所以UAC＝－.
【答案】 mgh －
【规律方法】
计算电场力做功的方法，常见的有以下几种：
?1?利用电场力做功与电势能的关系求解：WAB＝EpA－EpB.
?2?利用W＝Fd求解，此公式只适用于匀强电场.
?3?利用公式WAB＝qUAB求解.
?4?利用动能定理求解.
考点三 φ－x图象的分析
【典例4】(多选)某静电场沿x方向的电势分布如图所示，则( )
A.在O～x1之间不存在沿x方向的电场
B.在O～x1之间存在着沿x方向的匀强电场
C.在x1～x2之间存在着沿x方向的匀强电场
D.在x1～x2之间存在着沿x方向的非匀强电场
【解析】 由电场的性质可知：E＝＝，所以在φ－x图象中，斜率k表示在x方向上的场强Ex.所以O～x1沿x方向场强为0，A对，B错；x1～x2之间电势均匀减小，斜率不变，即Ex不变，x1～x2之间存在沿x方向的匀强电场，C对，D错.
【答案】 AC
【规律方法】
φ－x图象反映电势φ随x的变化规律，其斜率大小表示场强大小，斜率正负表示场强方向，斜率为正，表示场强沿x轴负方向，斜率为负，表示场强沿x轴正方向.
考点四 用等分法确定等势线和电场线
【典例5】如图所示，A、B、C、D是匀强电场中的四个点，D是BC的中点，A、B、C构成一个直角三角形，AB长为1 m，电场线与三角形所在的平面平行，已知φA＝5 V、φB＝－5 V、φC＝15 V，由此可以判断( )
A.场强的方向由C指向B
B.场强的方向垂直AD连线斜向上
C.场强的大小为10 V/m
D.场强的大小为 V/m
【解析】 由于φB＝－5 V，φC＝15 V，则BC中点D的电势为φD＝5 V，即A点和D点电势相等，则电场方向垂直AD连线斜向下，A、B选项均不正确；场强大小为E＝＝ V/m＝ V/m，故D选项正确.
【答案】 D
【规律方法】
1.在匀强电场中电势差与电场强度的关系式为U＝Ed，其中d为两点沿电场线方向的距离.由公式U＝Ed可以得到下面两个结论：
结论1：
匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图甲所示.
结论2：
匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示.
2.确定电场方向的方法
先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面.
05强化训练
（一）选择题
1．空间存在竖直向上的匀强电场，质量为m的带正电的微粒水平射入电场中，微粒的运动轨迹如图所示，在相等的时间间隔内( )
A.重力做的功相等
B.电场力做的功相等
C.电场力做的功大于重力做的功
D.电场力做的功小于重力做的功
2．如图，真空中的正点电荷放在O点，图中画出它产生的电场的六条对称分布的电场线。以水平电场线上的O′点为圆心画一个圆，与电场线分别相交于a、b、c、d、e，下列说法正确的是( )
A.b、e两点的电场强度相同
B.a点电势高于e点电势
C.b、c两点间电势差等于e、d两点间电势差
D.电子沿圆周由d运动到c，电场力做正功
3.一带电粒子仅在电场力作用下，从电场中的a点以初速度v0进入电场并沿虚线所示的轨迹运动到b点，如图所示，可以判断该粒子( )
A.在a点的加速度比b点大
B.在a点的电势能比b点小
C.在a点的电势比b点小
D.在a点的动能比b点小
4.如图所示，虚线为某点电荷电场的等势面，现有两个重力可忽略不计的带电粒子，其比荷相同，二者以相同的速率从同一等势面的a点进入电场后沿不同的轨迹1和2运动，图中a、b、c、d、e是粒子轨迹与各等势面的交点，则可以判断( )
A.两个粒子的电性相同
B.经过b、d两点时，两粒子的速率相等
C.经过b、d两点时，两粒子的加速度大小相等
D.经过c、e两点时，两粒子的电势能相等
5．某特殊装置形成的静电场，其电势沿x方向的分布如图所示，则( )
A.在0～x1之间一定不存在电场
B.在0～x1之间可能存在匀强电场
C.在x1～x2之间一定不存在匀强电场
D.在x1～x2之间可能存在匀强电场
6．空间存在着平行于x轴方向的静电场，其电势φ随x的分布如图所示，A、M、O、N、B为x轴上的点，|OA|＜|OB|，|OM|＝|ON|。一带电粒子在电场中仅在电场力作用下从M点由静止开始沿x轴向右运动。则下列判断中正确的是( )
A.粒子一定带正电
B.粒子从M向O运动过程中所受电场力均匀增大
C.粒子一定能通过N点
D.粒子从M向N运动过程中电势能先增大后减小
7．如图甲所示，直线AB是某孤立点电荷电场中的一条电场线，一个电子仅在电场力作用下沿该电场线从A点运动到B点，其电势能随位置变化的关系如图乙所示。设A、B两点的电势分别为φA、φB电子在A、B两点的动能分别为EkA、EkB。则关于该孤立点电荷的位置及电势、电子动能大小的说法正确的是( )
A.孤立点电荷带负电，位于B点的右侧，φA＞φB，EkA＞EkB
B.孤立点电荷带正电，位于A点的左侧，φA＞φB，EkA＜EkB
C.孤立点电荷带正电，位于B点的右侧，φA＜φB，EkA＞EkB
D.孤立点电荷带负电，位于A点的左侧，φA＜φB，EkA＜EkB
8．如图所示，平行金属板A、B水平正对放置，分别带等量异号电荷。一带电微粒水平射入板间，在重力和电场力共同作用下运动，轨迹如图中虚线所示，那么( )
A.若微粒带正电荷，则A板一定带正电荷
B.微粒从M点运动到N点电势能一定增加
C.微粒从M点运动到N点动能一定增加
D.微粒从M点运动到N点机械能一定增加
9. 如图所示，在平面直角坐标系中，有一个方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为( )
A.200 V/m B.200 V/m
C.100 V/m D.100 V/m
（二）计算题
10.如图所示，在竖直平面内，光滑绝缘直杆AC与半径为R的圆周交于B、C两点，在圆心处有一固定的正点电荷，B点为AC的中点，C点位于圆周的最低点.现有一质量为m、电荷量为－q套在杆上的带负电小球(可视为质点)从A点由静止开始沿杆下滑.已知重力加速度为g，A点距过C点的水平面的竖直高度为3R，小球滑到B点时的速度大小为2.求：
(1)小球滑到C点时的速度大小；
(2)若以C点作为零电势点，试确定A点的电势.
11．如图所示，质量M＝0.2 kg的长木板静止于水平地面上，与地面间的动摩擦因数μ1＝0.1。一质量m＝0.1 kg、带电荷量q＝＋2×10－3C的滑块(可看作质点)在t＝0时刻以v0＝5 m/s的初速度滑上长木板的同时加上一个水平向右的匀强电场，滑块与长木板间的动摩擦因数μ2＝0.4，所加电场的电场强度E＝100 N/C，取g＝10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，最终滑块没有从长木板上滑下，求；
(1)长木板的最小长度；
(2)滑块从滑上长木板到静止经历的时间；
(3)整个过程中产生的热量。
12．在粗糙绝缘的水平面上固定一个可视为点电荷的带电荷量为Q的正点电荷，已知点电荷周围电场的电势可表示为φ＝k，式中k为静电力常量，Q为场源电荷的带电荷量，r为距场源电荷的距离。现有一质量为m，电荷量为q的带正电的滑块(可视作质点)，其与水平面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。
(1)若滑块与点电荷的距离为x，且滑块处于静止状态，写出滑块的电势能表达式，求出滑块所受的摩擦力的大小和方向；
(2)若将滑块无初速地从距离场源点电荷x1处释放且此后滑块能够在水平面上滑动，推导出滑块最终停止点的位置坐标；
(3)若将滑块无初速地从距离场源点电荷x 1处释放，求出滑块运动到距离场源点电荷x3处时的速度和加速度大小。
参考答案
（一）选择题
1．空间存在竖直向上的匀强电场，质量为m的带正电的微粒水平射入电场中，微粒的运动轨迹如图所示，在相等的时间间隔内( )
A.重力做的功相等
B.电场力做的功相等
C.电场力做的功大于重力做的功
D.电场力做的功小于重力做的功
【解析】 对微粒受力分析，受重力和向上的电场力，并且电场力大于重力。微粒水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，相等的时间间隔内，竖直方向的分位移不等，所以在相等的时间间隔内，重力和电场力做的功不同，A、B均错误；因为电场力大于重力，所以在相等的时间间隔内，电场力做的功大于重力做的功，选项C正确，D错误。
【答案】 C
2．如图，真空中的正点电荷放在O点，图中画出它产生的电场的六条对称分布的电场线。以水平电场线上的O′点为圆心画一个圆，与电场线分别相交于a、b、c、d、e，下列说法正确的是( )
A.b、e两点的电场强度相同
B.a点电势高于e点电势
C.b、c两点间电势差等于e、d两点间电势差
D.电子沿圆周由d运动到c，电场力做正功
【解析】 b、e两点电场强度的大小相同，方向不同，A错误；在正电荷产生的电场中，离电荷越近，电势越高，e点离电荷近，故电势高，B错误；b、e两点和c、d两点分别到电荷的距离相同，故电势相同，因此b、c两点间的电势差等于e、d两点间的电势差，C正确；电场力做功与初、末位置的电势差有关，c、d两点的电势差为零，故电场力做功为零，D错误。
【答案】C
3.一带电粒子仅在电场力作用下，从电场中的a点以初速度v0进入电场并沿虚线所示的轨迹运动到b点，如图所示，可以判断该粒子( )
A.在a点的加速度比b点大
B.在a点的电势能比b点小
C.在a点的电势比b点小
D.在a点的动能比b点小
【解析】 a点的电场线比b点电场线稀疏，故a点场强比b点场强小，粒子在a点的加速度比在b点时小，选项A错误；做曲线运动的物体受到的合力指向曲线的内侧，从a点到b点，电场力做正功，电势能减小，故粒子在a点的电势能比在b点时大，选项B错误；沿电场线方向电势降低，故a点电势高于b点电势，选项C错误；电场力做正功，根据动能定理可知，粒子在a点的动能比在b点时小，选项D正确。
【答案】 D
4.如图所示，虚线为某点电荷电场的等势面，现有两个重力可忽略不计的带电粒子，其比荷相同，二者以相同的速率从同一等势面的a点进入电场后沿不同的轨迹1和2运动，图中a、b、c、d、e是粒子轨迹与各等势面的交点，则可以判断( )
A.两个粒子的电性相同
B.经过b、d两点时，两粒子的速率相等
C.经过b、d两点时，两粒子的加速度大小相等
D.经过c、e两点时，两粒子的电势能相等
【解析】 由图可知电荷1受到中心电荷的斥力，而电荷2受到中心电荷的引力，故两粒子的电性一定不同，故A错误.电荷1受到中心电荷的斥力，a到b的过程电场力做负功；而电荷2受到中心电荷的引力，a到d的过程电场力做正功，所以两粒子在b、d两点的速率不相同，故B错误.两粒子经过b、d两点时，受到库仑力作用，由牛顿第二定律可知，两粒子的加速度大小相同，故C正确.两个粒子的初速度仅仅是方向不同，但速率相等，而粒子1从a到c、粒子2从a到e电场力做功均为零，则经过c、e两点两粒子的速率相等.但电量大小不一定相等，故两粒子的电势能无法判断，故D错误.
【答案】 C
5．某特殊装置形成的静电场，其电势沿x方向的分布如图所示，则( )
A.在0～x1之间一定不存在电场
B.在0～x1之间可能存在匀强电场
C.在x1～x2之间一定不存在匀强电场
D.在x1～x2之间可能存在匀强电场
【解析】 由图可知，0～x1之间电势恒为φ0，则0～x1之间电势差为零，可能无电场，也可能存在与x轴垂直的匀强电场，选项A错误，选项B正确；x1～x2之间电势非均匀减小，则该区间必有非匀强电场，选项C正确，选项D错误。
【答案】 BC
6．空间存在着平行于x轴方向的静电场，其电势φ随x的分布如图所示，A、M、O、N、B为x轴上的点，|OA|＜|OB|，|OM|＝|ON|。一带电粒子在电场中仅在电场力作用下从M点由静止开始沿x轴向右运动。则下列判断中正确的是( )
A.粒子一定带正电
B.粒子从M向O运动过程中所受电场力均匀增大
C.粒子一定能通过N点
D.粒子从M向N运动过程中电势能先增大后减小
【解析】 沿场强方向电势降落，可知带电粒子所受电场力方向与场强方向相反，粒子带负电，选项A错误；由于MO间的场强是均匀的，粒子从M向O运动过程中所受电场力保持不变，选项B错误；由于MO间的电势差大于NO间的电势差，所以粒子一定能通过N点选项C正确；粒子从M向N运动过程中，电场力先做正功后做负功，电势能先减小后增大，选项D错误。
【答案】 C
7．如图甲所示，直线AB是某孤立点电荷电场中的一条电场线，一个电子仅在电场力作用下沿该电场线从A点运动到B点，其电势能随位置变化的关系如图乙所示。设A、B两点的电势分别为φA、φB电子在A、B两点的动能分别为EkA、EkB。则关于该孤立点电荷的位置及电势、电子动能大小的说法正确的是( )
A.孤立点电荷带负电，位于B点的右侧，φA＞φB，EkA＞EkB
B.孤立点电荷带正电，位于A点的左侧，φA＞φB，EkA＜EkB
C.孤立点电荷带正电，位于B点的右侧，φA＜φB，EkA＞EkB
D.孤立点电荷带负电，位于A点的左侧，φA＜φB，EkA＜EkB
【解析】电势能Ep＝qφ，由于电子为负电荷，q＜0，根据EpA＜EpB可判断φA＞φB，电场线从高电势指向低电势，所以电场线从A到B，电子从A到B沿电场线移动，电场力做负功，动能减小，所以EkA＞EkB。由于电荷量不变，所以电势φ随x变化的趋势与Ep随x变化趋势相同，而φ－x的斜率即＝＝E，由图象可判断斜率逐渐增大，即从A到B电场线逐渐变密集，孤立点电荷在B点右侧且为负电荷，选项A对。
【答案】A
8．如图所示，平行金属板A、B水平正对放置，分别带等量异号电荷。一带电微粒水平射入板间，在重力和电场力共同作用下运动，轨迹如图中虚线所示，那么( )
A.若微粒带正电荷，则A板一定带正电荷
B.微粒从M点运动到N点电势能一定增加
C.微粒从M点运动到N点动能一定增加
D.微粒从M点运动到N点机械能一定增加
【解析】 由于两极板的带电正负不知，粒子的电性不确定，则粒子所受电场力方向不确定，所受电场力做功正负不确定，但根据粒子运动轨迹，粒子所受合力一定向下，则合力一定做正功，所以电势能变化情况、机械能变化情况不确定，但粒子动能一定增加，所以只有C正确。
【答案】C
9. 如图所示，在平面直角坐标系中，有一个方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为( )
A.200 V/m B.200 V/m
C.100 V/m D.100 V/m
【解析】 在匀强电场中，沿某一方向电势降落，则在这一方向上电势均匀降落，故OA的中点C的电势φC＝3 V(如图所示)，因此B、C在同一等势面上.O点到BC的距离d＝sin α，而sin α＝＝，所以d＝＝1.5×10－2 m.根据E＝得，匀强电场的电场强度E＝＝ V/m＝200 V/m，故选项A正确.
【答案】 A
（二）计算题
10.如图所示，在竖直平面内，光滑绝缘直杆AC与半径为R的圆周交于B、C两点，在圆心处有一固定的正点电荷，B点为AC的中点，C点位于圆周的最低点.现有一质量为m、电荷量为－q套在杆上的带负电小球(可视为质点)从A点由静止开始沿杆下滑.已知重力加速度为g，A点距过C点的水平面的竖直高度为3R，小球滑到B点时的速度大小为2.求：
(1)小球滑到C点时的速度大小；
(2)若以C点作为零电势点，试确定A点的电势.
【解析】 (1)因为B、C两点电势相等，故小球从B到C运动的过程中电场力做的总功为零.
由几何关系可得BC的竖直高度hBC＝
根据动能定理有mg·＝－
解得vC＝.
(2)小球从A到C，重力和电场力均做正功，所以由动能定理有mg·3R＋W电＝，又根据电场力做功与电势能的关系：W电＝EpA－EpC＝－qφA－(－qφC).
又因为φC＝0，
可得φA＝.
【答案】 (1) (2)
11．如图所示，质量M＝0.2 kg的长木板静止于水平地面上，与地面间的动摩擦因数μ1＝0.1。一质量m＝0.1 kg、带电荷量q＝＋2×10－3C的滑块(可看作质点)在t＝0时刻以v0＝5 m/s的初速度滑上长木板的同时加上一个水平向右的匀强电场，滑块与长木板间的动摩擦因数μ2＝0.4，所加电场的电场强度E＝100 N/C，取g＝10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，最终滑块没有从长木板上滑下，求；
(1)长木板的最小长度；
(2)滑块从滑上长木板到静止经历的时间；
(3)整个过程中产生的热量。
【解析】 (1)加上电场时，由牛顿第二定律知
对滑块：qE－μ2mg＝ma1，代入数值得a1＝－2 m/s2，即滑块做匀减速直线运动
对长木板：μ2mg－μ1(M＋m)g＝Ma2
代入数值得a2＝0.5 m/s2
设经时间t1滑块与长木板共速，速度为v，则有
v＝v0＋a1t1＝a2t1，代入数值得t1＝2 s，v＝1 m/s
此段时间内滑块的位移为x1＝t1＝6 m
长木板的位移为x2＝t1＝1 m
此后两者一起向右做匀减速直线运动直到静止，所以长木板的最小长度L＝x1－x2＝5 m。
(2)设两者一起向右运动的加速度大小为a，则a＝，即a＝－ m/s2
两者一直做匀减速直线运动的时间为t2＝－＝3 s
所以滑块从滑上长木板到静止经历的时间为t＝t1＋t2＝5 s。
(3)两者相对静止后一起向右滑动的位移为x3＝t2＝1.5 m
由能量守恒知整个过程中产生的热量为Q＝mv＋qE(x1＋x3)＝2.75 J
【答案】 (1)5 m (2)5 s (3)2.75 J
12．在粗糙绝缘的水平面上固定一个可视为点电荷的带电荷量为Q的正点电荷，已知点电荷周围电场的电势可表示为φ＝k，式中k为静电力常量，Q为场源电荷的带电荷量，r为距场源电荷的距离。现有一质量为m，电荷量为q的带正电的滑块(可视作质点)，其与水平面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。
(1)若滑块与点电荷的距离为x，且滑块处于静止状态，写出滑块的电势能表达式，求出滑块所受的摩擦力的大小和方向；
(2)若将滑块无初速地从距离场源点电荷x1处释放且此后滑块能够在水平面上滑动，推导出滑块最终停止点的位置坐标；
(3)若将滑块无初速地从距离场源点电荷x 1处释放，求出滑块运动到距离场源点电荷x3处时的速度和加速度大小。
【解析】 (1)滑块与带电荷量为Q的正点电荷距离为x处的电势φ＝k，滑块的电势能表达式Ep＝qφ＝kq
由库仑定律，滑块所受库仑力F＝k
由于滑块处于静止状态，由平衡条件可知滑块所受的摩擦力的大小f＝k，方向沿x轴负方向。
(2)设滑块停止的位置为x2，由动能定理得q(φ1－φ2)－μmg(x2－x1)＝0
即q(k－k)－μmg(x2－x1)＝0
可解得x2＝
(3)将滑块无初速地从距离场源点电荷x1处释放，设滑块运动到距离场源点电荷x3处时的速度为v，由动能定理得q(φ1－φ3)－μmg(x3－x1)＝mv2
即q(k－k)－μmg(x3－x1)＝mv2
解得v＝
设滑块运动到距离场源点电荷x3处的加速度大小为a，由牛顿第二定律得，F－μmg＝ma，F＝k
联立解得加速度a＝k－μg
【答案】 (1) 方向沿x轴负向 (2)x2＝ (3)－μg
