江苏省18市县2019届高三上学期期中期末考试数学试题分类汇编：应用题

江苏省18市县2019届高三上学期期中期末考试数学试题分类汇编
应用题
1、（常州市2019届高三上学期期末）某公园要设计如图所示的景观窗格（其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，如图二中所示多边形），整体设计方案要求:内部井字形的两根水平横轴米，两根竖轴米，记景观窗格的外框（如图二实线部分，轴和边框的粗细忽略不计）总长度为米.
(1) 若，且两根横轴之间的距离为米，求景观窗格的外框总长度；
(2) 由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过米，当景观窗格的面积（多边形的面积）最大时，给出此景观窗格的设计方案中的大小与的长度.


2、（海安市2019届高三上学期期末）一张边长为2m的正方形薄铝板ABCD（图甲），点E，F分别在AB，BC上，且AE＝CF＝x（单位：m）．现将该薄铝板沿EF裁开，再将△DAE沿DE折叠，△DCF沿DF折叠，使DA，DC重合，且A，C重合于点M，制作成一个无盖的三棱锥形容器D－MEF（图乙），记该容器的容积为V（单位：m3）．（注：薄铝板的厚度忽略不计）
⑴若裁开的三角形薄铝板EFB恰好是该容器的盖，求x，V的值；
⑵试确定x的值，使得无盖三棱锥容器D－MEF的容积V最大．



3、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，对环境进行了大力整治，目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客．某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了盐城市黄海国家森林公园，数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数f(x)＝mlnx－x＋－6(4≤x≤22，m∈R)，其中x为每天的时刻，若在凌晨6点时，测得空气质量指数为29.6．
（1）求实数m的值；
（2）求近期每天在[4，22]时段空气质量指数最高的时刻．(参考数值：ln6＝1.8)

4、（南京市、镇江市2019届高三上学期期中）如图，郊外有一边长为200m的菱形池塘ABCD，，塘边AB与AD的夹角为60°，拟架设三条网隔把池塘分成几个不同区域，其中网隔相互垂直，两点分别在塘边上，区域为荷花种植区域，记荷花种植区域面积为.
（1）求的函数关系式；
（2）求的最小值.


5、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末）如图，某公园内有一块矩形绿地区域ABCD，已知AB＝100 米，BC＝80 米，以AD，BC 为直径的两个半圆内种植花草，其它区域种植苗木．现决定在绿地区域内修建由直路BN，MN 和弧形路MD 三部分组成的观赏道路，其中直路MN 与绿地区域边界AB 平行，直路为水泥路面，其工程造价为每米2a 元，弧形路为鹅卵石路面，其工程


6、（如皋市2019届高三上学期期末）一件铁艺品由边长为1（米）的正方形及两段圆弧组成，如图所示，弧BD，弧AC分别是以A，B为圆心半径为1（米）的四分之一圆弧．若要在铁艺中焊装一个矩形PQRS，使S，R分别在圆弧AC，BD上，P，Q在边AB上，设矩形PQRS的面积为y．
（1）设AP＝t，∠PAR＝θ，将y表示成t的函数或将y表示成θ的函数（只需选择一个变量求解），并写出函数的定义域；
（2）求面积y取最大值时对应自变量的值（若选θ作为自变量，求cosθ的值）．


7、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）如图，某公园内有两条道路，，现计划在上选择一点，新建道路，并把所在的区域改造成绿化区域．已知，．
（1）若绿化区域的面积为1，求道路的长度；
（2）若绿化区域改造成本为10万元/，新建道路成本为10万元/．
设（），当为何值时，该计划所需总费用最小？


8、（苏州市2019届高三上学期期末）如图，长途车站P与地铁站O的距离为千米，从地铁站O出发有两条道路l1，l2，经测量，l1，l2的夹角为45°，OP与l1的夹角满足tan＝（其中0＜θ＜)，现要经过P修条直路分别与道路l1，l2交汇于A，B两点，并在A，B处设立公共自行车停放点．
（1）已知修建道路PA，PB的单位造价分别为2m元/千米和m元/千米，若两段道路的总造价相等，求此时点A，B之间的距离；
（2）考虑环境因素，需要对OA，OB段道路进行翻修，OA，OB段的翻修单价分别为n元/千米和n元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定A，B点的位置．


9、（苏州市2019届高三上学期期中）某湿地公园围了一个半圆形荷花塘如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线OC上设计一个观景台D（点D与点O，C不重合），其中AD，BD，CD段建设架空木栈道，已知km，设建设的架空木栈道的总长为ykm．
（1）设，将表示成的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短．


10、（泰州市2019届高三上学期期末）如图，三个校区分别位于扇形OAB的三个顶点上，点Q是弧AB的中点，现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P（不与点O，Q重合），为小区铺设三条地下电缆管线PO，PA，PB，已知OA＝2千米，∠AOB＝，记∠APQ＝θrad，地下电缆管线的总长度为y千米。
（1）将y表示成θ的函数，并写出θ的范围；
（2）请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小。


11、（无锡市2019届高三上学期期末）十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至 2020 年底全面脱贫. 现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作. 经摸底排查，该村现有贫困农户 100 家，他们均从事水果种植， 2017 年底该村平均每户年纯收人为 1 万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数. 从 2018 年初开始，若该村抽出 5x 户（ x ∈Z，1 ≤x ≤ 9) 从事水果包装、销售.经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收人每户平均比上一年提高，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为 (3－x) 万元（参考数据： 1.13 = 1.331，1.153 ≈ 1.521，1.23 = 1.728).
(1) 至 2020 年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（每户年均纯收人不低于 1 万 6 千元），至少抽出多少户从事包装、销售工作？
(2) 至 2018 年底，该村每户年均纯收人能否达到 1.35 万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由。

12、（无锡市2019届高三上学期期中）如图，有一块圆心角为120°，半径为R的扇形钢板OAPB(P为的中点)，现要将其裁剪成一个五边形磨具CDEOF，其下部为等腰三角形OEF，上部为矩形CDEF(E，F在弦AB上，C，D在上).设∠POC＝α，五边形CDEOF的面积为S.
(1) 写出S关于α的函数表达式，并写出α的取值范围；
(2) 当S取得最大值时，求cos α的值.


13、（宿迁市2019届高三上学期期末）如图所示，桌面上方有一盏电灯，到桌面的距离可以变化，桌面上有一点到点的距离为（为常数），设，灯对点的照度与成正比、与长的平方成反比，且比例系数为正常数.
（1）求灯对点的照度关于的函数关系式；
（2）问电灯与点多远时，可使得灯对点的照度最大？


14、（徐州市2019届高三上学期期中）某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域I）设计成半径为1km的扇形，中心角（）.为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域II）和休闲区（区域III），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形，其中点，分别在边和上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元.
（1）要使观赏区的年收入不低于5万元，求的最大值；
（2）试问：当为多少时，年总收入最大？


15、（盐城市2019届高三上学期期中）如图，PQ为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切，记其圆心为O，切点为G．为参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、E两点，同时与PQ分别交于A、B两点，其中C、O、G三点共线且满足CA＝CB，记道路CA、CB长之和为．
（1）①设∠ACO＝，求出关于的函数关系式；②设AB＝2x米，求出关于x的函数关系式．
（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．


16、（扬州市2019届高三上学期期末）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝，(，)．
（1）当cos＝时，求小路AC的长度；
（2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度．


17、（扬州市2019届高三上学期期中）江苏省园博会有一中心广场，南京园，常州园都在中心广场的南偏西45°方向上，到中心广场的距离分别为km，km；扬州园在中心广场的正东方向，到中心广场的距离为km．规划建设一条笔直的柏油路穿过中心广场，且将南京园，常州园，扬州园到柏油路的最短路径铺设成鹅卵石路（如图(1)、(2)）．已知铺设每段鹅卵石路的费用（万元）与其长度的平方成正比，比例系数为2．设柏油路与正东方向的夹角，即图(2)中∠COF为（(0，)），铺设三段鹅卵石路的总费用为y（万元）．
（1）求南京园到柏油路的最短距离关于的表达式；
（2）求y的最小值及此时tan的值．

（1） （2）

18、（镇江市2019届高三上学期期末） 某房地产商建有三栋楼宇A，B，C，三楼宇间的距离都为2千米，拟准备在此三楼宇围成的区域ABC外建第四栋楼宇D，规划要求楼宇D对楼宇B，C的视角为120°，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计．
(1) 求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值；
(2) 当楼宇D与楼宇B，C间距离相等时，拟在楼宇A，B间建休息亭E，在休息亭E和楼宇A，D间分别铺设鹅卵石路EA和防腐木路ED，如图．已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a，2a(单位：元/千米，a为常数)．记∠BDE＝θ，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值．

19、（海安市2019届高三上学期期中）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或骑单车方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而骑单车群体的人均通勤时间为（单位：分钟）．试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）试确定x的取值范围，使得自驾群体的人均通勤时间少于骑单车群体的人均通勤时间；
（2）求该地上班族S的人均通勤时间的表达式，讨论的单调性，并说明其实际意义．


参考答案
1、

2、

3、解：（1）由f(6)＝29.6，代入f(x)＝mlnx－x＋－6(4≤x≤22，m∈R)，
解得m＝12． …………………5分
（2）由已知函数求导，得f'(x)＝＋600＝(12－x)[＋]．
令f'(x)＝0，得x＝12． ……………………9分
列表得
x (4，12) 12 (12，22)
f'(x) ＋ 0 －
f(x) 增 极大值 减
所以函数在x＝12时取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为12时． ……………………12分
答：（1）实数m的值为12；（2）空气质量指数最高的时刻为12时． ……………14分

4、

5、



6、【解】选AP＝t．
（1）依题意，BQ＝t，PQ＝1－2t．
在Rt△AQR中，∠RQA＝90°，AQ＝1－t，AR＝1，
故RQ＝＝．
所以 y＝PQ·RQ＝． …… 5分
显然解得．
所以y＝，定义域为． …… 7分
（2）由（1）知，y＝，即y＝，．
令，．
则
．
令，得或（舍）或（舍）． …… 10分
列表：
t
＋ 0 －
单调增 极大值 单调减
所以当时，取最大值，y取最大值．
答：面积y取最大值时，AP的长为米． …… 14分
选
（1）在Rt△AQR中，∠RQA＝90°，AR＝1，∠RAQ＝θ，
所以RQ＝sinθ，AQ＝cosθ．
故BQ＝AB－AQ＝1－cosθ，且AP＝1－cosθ．
所以PQ＝AQ－AP＝cosθ－(1－cosθ)＝2cosθ－1．
所以y＝PQ·RQ＝(2cosθ－1)sinθ． …… 5分
依题意，，解得锐角．
所以y＝(2cosθ－1)sinθ，定义域为． …… 7分
（2）由（1）知，，，
故
，
令，解得（负舍），设锐角，且．
…… 10分
列表：

＋ 0 －
y 单调增 极大值 单调减
故当时，y取最大值．
答：面积y取最大值时，的值为． …… 14分
7、（1）因为在中，已知，，
所以由的面积，
解得． …………………………………………………………………………2分
在中，由余弦定理得：
，……………………………………………4分
所以．…………………………………………………5分
（2）由，则，．
在中，，，由正弦定理得，
所以，．………………………………………7分
记该计划所需费用为，
则．
………………………………………………………………………………………10分
令，则， ………………11分
由，得．所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增． ………………………………12分
所以时，该计划所需费用最小． ……………………………………14分
8、


9、解：（1）由，，，
则，，所以， ………………4分
所以,. ………………7分
（注：表达式2分，的的取值范围1分）
(2) ， ………………9分
令,得，又，所以， ………………10分
当时，，是的减函数；当时，，是的增函数.
………………12分
所以，当时， ，此时. ………………13分
答：当D位于线段AB的中垂线上且距离AB边处时,能使三段木栈道总长度最短.
………………14分
10、（1）因为Q为弧AB的中点，由对称性，知PA＝PB，∠AOP＝∠BOP＝，
又∠APO＝，∠OAP＝，
由正弦定理，得：，又OA＝2，
所以，PA＝，OP＝，
所以，y＝PA+PB+OP＝2PA+OP＝＝，
∠APQ＞∠AOP，所以，，∠OAQ＝∠OQA＝，
所以，；
（2）令，
，得：，
在上递减，在上递增
所以，当，即OP＝时，有唯一的极小值，即是最小值：＝2，
答：当工作坑P与O的距离为时，地下电缆管线的总长度最小。
11、

12、解：(1) 设PO与CD交于点Q，与AB交于点M，在△OCQ中，
OQ＝Rcos α，CQ＝Rsin α.
在△BOM中，OM＝R，(2分)
S矩形CDEF＝2Rsin α(Rcos α－R)，(4分)
S△OEF＝Rsin α·R.(6分)
所以S＝2Rsin α(Rcos α－R)＋Rsin α·R
＝R2(2sin αcos α－sin α)，其中α∈(0°，60°).(8分)
(2) 因为S′＝R2(2cos2α－2sin2α－cos α)＝R2(4cos2α－cos α－2).
令S′＝0，得8cos2α－cos α－4＝0，(10分)
解得cos α＝＝.(12分)
因为α∈(0°，60°)，所以cos α0＝，(14分)
且当0°<α<α0时，S′>0，当α0<α<60°时，S′<0，
所以此时S取得最大值.
即当S取得最大值时，cos α＝.(16分)
13、解：（1）因为，………………3分
又，
所以，…………6分
（2）令，
，
由得，………………………10分
,则单调递增；
,则单调递减，…………………12分
取得最大值，此时，
时，取得最大值，
答：当电灯与点的距离为时，可使得灯对点的照度最大. ……14分
14、

15、解：（1）①在中，，所以，所以……2分
在中，所以

其中 …………5分
②设，则在中，由与相似得，,
即，即，即，即即，化简得，其中 …………10分
（2）选择（1）中的第一个函数关系式研究.
令，得. …………14分
令,当时，，所以递减；
当时，，所以递增，所以当时，取得最小值，新建道路何时造价也最少 …………16分
（说明：本题也可以选择（1）中的第二个函数关系式求解，仿此给分）
(阅卷规范说明：第一问中有两个定义域，少交代或交代错误一个各扣1分；第二问中求最小值要交代单调性，否则扣2分，最后要交代结论，否则扣1分.)
16、解：（1）在中，由，
得，又，∴． ………………2分
∵ ∴
由得：，解得：，
∵是以为直角顶点的等腰直角三角形 ∴且
∴ ………………5分
在中，，
解得： ………………7分
（2）由（1）得：，

，此时，且…………10分
当时，四边形的面积最大，即，此时
∴，即 …………13分
答：当时，小路的长度为百米；草坪的面积最大时，小路的长度为百米．
…………14分
17、解：（1）∵，南京园在中心广场的南偏西45°方向上，且到中心广场的距离为
∴ ∴ ………4分
（2）分别设点到直线的距离为．由（1）知：
∴
， ………9分
∵ ∴ ∴当时，（万元） …12分
此时 ∴，解得： ………14分
答：铺设三条鹅卵石路的总费用为()万元，此时的值为．………15分
18、 (1) 因为三楼宇间的距离都为2千米，
所以AB＝AC＝BC＝2，(1分)
因为楼宇D对楼宇B，C的视角为120°，
所以∠BDC＝120°，(2分)
在△BDC中，因为BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC，(3分)
所以22＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos 120o＝BD2＋CD2＋BD·CD≥2BD·CD＋BD·CD＝3BD·CD，
则BD·CD≤，(4分)
当且仅当BD＝CD时等号成立，
此时∠DBC＝∠DCB＝30°，BD＝CD＝＝.
区域最大面积S＝S△ABC＋S△BCD＝×2×2×sin 60°＋BD·CD·sin 120°＝(平方千米)．(7分)
(或者：因为直角三角形△ABD，△ACD全等，区域最大面积S＝S△ABD＋S△ACD＝2S△ABD＝2×AB·BD＝(平方千米)．(7分))
(2)设铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用为y元，
在Rt△BDE中，由(1)知，∠BDE＝θ∈，(8分)
则DE＝，BE＝tan θ，AE＝AB－BE＝2－tan θ，(9分)
所以y＝2a·ED＋a·AE＝2a＋a·＝＋2a，θ∈.(10分)
记f(θ)＝，令f′(θ)＝＝0，
解得θ＝∈.(11分)
当θ∈时，f′(θ)<0，函数f(θ)为减函数；
当θ∈时，f′(θ)>0，函数f(θ)为增函数．
所以当θ＝时，f(θ)取最小值，
此时ymin＝4a(元)．(12分)
答：(1)四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值为平方千米；
(2)铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值为4a元．(14分)
19、