第十六章 二次根式单元测试好题精选
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文档简介
绝密★启用前
人教版八下第十六章二次根式好题精选
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得 分
一．选择题（共15小题）
1．下列运算：①﹣3＝0：②2×3＝6：③÷＝2；④（+2）2＝7，其中错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（ ）
A．4x+2 B．﹣4x﹣2 C．﹣2 D．2
3．若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞且x≠3 B．x≥ C．x≥且x≠3 D．x≤且x≠﹣3
4．若实数m满足|m﹣4|＝|m﹣3|+1，那么下列四个式子中与（m﹣4）相等的是（ ）
A． B． C． D．
5．如果一个三角形的三边长分别为、k、，则化简﹣|2k﹣5|的结果是（ ）
A．﹣k﹣1 B．k+1 C．3k﹣11 D．11﹣3k
6．已知a+b＝﹣7，ab＝4，则+＝（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
7．把根号外的因式移入根号内得（ ）
A． B． C． D．
8．设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
9．已知a为实数，则代数式的最小值为（ ）
A．0 B．3 C． D．9
10．甲，乙两同学对代数式（m＞0，n＞0）分别作了如下变形：
甲：＝＝；
乙：＝＝．
关于这两种变形过程的说法正确的是（ ）
A．甲，乙都正确 B．甲，乙都不正确
C．只有甲正确 D．只有乙正确
11．++…+的整数部分是（ ）
A．3 B．5 C．9 D．6
12．设
则与s最接近的整数是（ ）
A．2009 B．2006 C．2007 D．2008
13．若0＜a＜1，则化简的结果是（ ）
A．﹣2a B．2a C．﹣ D．
14．若x2+y2＝1，则++的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
15．的值是（ ）
A． B． C．1 D．
第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人
得 分
二．填空题（共10小题）
16．计算：6×＝ ，÷（2﹣）＝ ．
17．若m＝，则m3﹣m2﹣2017m+2015＝ ．
18．若a＝1，b＝1﹣，则代数式的值为
19．阅读下列材料，我们知道（+3）（﹣3）＝4，因此将的分子分母同时乘以“+3”，分母就变成了4，即＝＝，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若m＝，则代数式m5+2m4﹣2017m3+2160的值是 ．
20．已知a≥0时，＝a．请你根据这个结论直接填空：
（1）＝ ；
（2）若x+1＝20182+20192，则＝ ．
21．若a＞a+1，化简|a+|﹣＝ ．
22．若＝2.5，则的值为 ．
23．已知3＝16，m＝4，则m的取值范围是 ．
24．已知：m+n＝10，mn＝9，则＝ ．
25．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S＝．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为 ．
评卷人
得 分
三．解答题（共15小题）
26．计算：
（1）﹣+
（2）（﹣）（+）+（﹣1）2
27．已知a＝，求的值．
28．设a，b，c为△ABC的三边，化简：
++﹣．
29．求值：
（1）已知a＝3+2，b＝3﹣2，求a2+ab+b2的值；
（2）已知：y＞++2，求+5﹣3x的值．
30．化简求值：已知：x＝，y＝，求（x+3）（y+3）的值．
31．已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．
32．先化简，再求值：a+，其中a＝1007．
如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
（3）先化简，再求值：a+2，其中a＝﹣2007．
33．已知：2a+b+5＝4（+），先化简再求值﹣
34．在学习了二次根式的相关运算后，我们发现一些含有根号的式子可以表示成另一个式子的平方，如：
3+2＝2+2+1＝（）2+2+1＝（+1）2；
5+2＝2+2+3＝（）2+2××+（）2＝（+）2
（1）请仿照上面式子的变化过程，把下列各式化成另一个式子的平方的形式：
①4+2；②6+4
（2）若a+4＝（m+n）2，且a，m，n都是正整数，试求a的值．
35．观察下列各式：
＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；
＝1+﹣＝1，…
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
①猜想：＝ ＝ ；
②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式： ；
③应用：计算．
36．若要化简我们可以如下做：
∵3+2
∴＝+1
仿照上例化简下列各式：
（1）＝
（2）＝
37．像（+2）（﹣2）＝1、?＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
（1）化简：；
（2）计算：+；
（3）比较﹣与﹣的大小，并说明理由．
38．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn＝，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．
例如：化简
解：∵3+2＝1+2+2＝12+（）2+2×1×＝（1+）2
∴＝＝1+；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．
39．一个三角形的三边长分别为5，，．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给出一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
40．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）利用探索的结论，找一组正整数a、b、m、n （a、b都不超过20）
填空： + ＝（ + ）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．下列运算：①﹣3＝0：②2×3＝6：③÷＝2；④（+2）2＝7，其中错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次根式的混合运算法则，化简计算即可判断；
【解答】解：①﹣3＝0，正确；
②2×3＝12，错误；
③÷＝2；正确；
④（+2）2＝7+4，错误；
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
2．若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（ ）
A．4x+2 B．﹣4x﹣2 C．﹣2 D．2
【分析】根据x的取值﹣4≤x≤3以及二次根式的性质，化简绝对值即可得到结果．
【解答】解：∵|x﹣3|+＝7，
∴|x﹣3|+|x+4|＝7，
∴﹣4≤x≤3，
∴2|x+4|﹣
＝2（x+4）﹣|2x﹣6|
＝2（x+4）﹣（6﹣2x）
＝4x+2，
故选：A．
【点评】此题考查二次根式和绝对值问题，此题难点是由绝对值和二次根式的化简求得x的取值范围，要求对绝对值的代数定义和二次根式的性质灵活掌握．
3．若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞且x≠3 B．x≥ C．x≥且x≠3 D．x≤且x≠﹣3
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴3x﹣2≥0，|x|﹣3≠0，
解得：x≥且x≠3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
4．若实数m满足|m﹣4|＝|m﹣3|+1，那么下列四个式子中与（m﹣4）相等的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据等式可确定m的取值：m≤3，则m﹣4＜0，m﹣3≤0，可知m﹣4是负数，化简时，负号留下，所以结果为负数．
【解答】解：由|m﹣4|＝|m﹣3|+1得，m≤3，
∴m﹣4＜0，m﹣3≤0，
∴（m﹣4）＝﹣＝﹣．
故选：D．
【点评】考查了二次根式的性质与化简，关键是由等式可确定m的取值m≤3．
5．如果一个三角形的三边长分别为、k、，则化简﹣|2k﹣5|的结果是（ ）
A．﹣k﹣1 B．k+1 C．3k﹣11 D．11﹣3k
【分析】求出k的范围，化简二次根式得出|k﹣6|﹣|2k﹣5|，根据绝对值性质得出6﹣k﹣（2k﹣5），求出即可．
【解答】解：∵一个三角形的三边长分别为、k、，
∴﹣＜k＜+，
∴3＜k＜4，
﹣|2k﹣5|，
＝﹣|2k﹣5|，
＝6﹣k﹣（2k﹣5），
＝﹣3k+11，
＝11﹣3k，
故选：D．
【点评】本题考查了绝对值，二次根式的性质，三角形的三边关系定理的应用，解此题的关键是去绝对值符号，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
6．已知a+b＝﹣7，ab＝4，则+＝（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】先化简原式，再整体代入即可．
【解答】解：∵a+b＝＜0，ab＞0，
∴a＜0，b＜0
原式＝（﹣）+（﹣）
＝﹣，
∵a+b＝﹣7，ab＝4，
∴原式＝﹣
＝，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化是解题的关键．
7．把根号外的因式移入根号内得（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质及二次根式成立的条件解答．
【解答】解：∵成立，
∴﹣＞0，即m＜0，
原式＝﹣＝﹣．
故选：D．
【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．
二次根式成立的条件：被开方数大于等于0，含分母的分母不为0．
8．设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a（x﹣a）≥0，a（y﹣a）≥0，x﹣a≥0，a﹣y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a＝0，代入即可求出y＝﹣x，把y＝﹣x代入原式即可求出答案．
【解答】解：由于根号下的数要是非负数，
∴a（x﹣a）≥0，a（y﹣a）≥0，x﹣a≥0，a﹣y≥0，
a（x﹣a）≥0和x﹣a≥0可以得到a≥0，
a（y﹣a）≥0和a﹣y≥0可以得到a≤0，
所以a只能等于0，代入等式得
﹣＝0，
所以有x＝﹣y，
即：y＝﹣x，
由于x，y，a是两两不同的实数，
∴x＞0，y＜0．
将x＝﹣y代入原式得：
原式＝＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a、x、y的值和代入求分式的值是解此题的关键．
9．已知a为实数，则代数式的最小值为（ ）
A．0 B．3 C． D．9
【分析】把被开方数用配方法整理，根据非负数的意义求二次根式的最小值．
【解答】解：∵原式＝
＝
＝
∴当（a﹣3）2＝0，即a＝3时
代数式的值最小，为即3
故选：B．
【点评】用配方法对多项式变形，根据非负数的意义解题，是常用的方法，需要灵活掌握．
10．甲，乙两同学对代数式（m＞0，n＞0）分别作了如下变形：
甲：＝＝；
乙：＝＝．
关于这两种变形过程的说法正确的是（ ）
A．甲，乙都正确 B．甲，乙都不正确
C．只有甲正确 D．只有乙正确
【分析】甲的做法是先把分母有理化，再约分；乙的做法是先把分子分解因式，再约分．计算过程中，要考虑m＝n这种情况．
【解答】解：甲的做法是先把分母有理化，再约分，如果m＝n则化简不成立；
乙的做法是先把分子分解因式，再约分，正确．故本题选D．
【点评】本题考查的是分母有理化的计算方法，通常采用甲的做法化简．
11．++…+的整数部分是（ ）
A．3 B．5 C．9 D．6
【分析】这是一比较繁琐的有关于二次根式的加减法，针对这样的题型，可以先分母有理化，再寻找抵消规律．
【解答】解：原式＝+…+
＝++…+
＝++…+
＝++…+
＝﹣1
＝﹣1+10
＝9．故选C．
【点评】关于分母中有二次根式的加减法，在解答时，要先分母有理化后，再找抵消规律，这样可以降低难度．
12．设
则与s最接近的整数是（ ）
A．2009 B．2006 C．2007 D．2008
【分析】通过上式找出规律，得出通项公式再进行化简，得结果为1+，将自然数n代入求出结果，再判断与a最接近的整数．
【解答】解：∵n为任意的正整数，
∴＝
＝＝＝1+，
∴s＝（1+）+（1+）+（1+）+…+（1+）
＝2008+（+++…+
＝2008+（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（）
＝2009﹣．
因此与s最接近的整数是2009．
故选：A．
【点评】用裂项法将分数化成﹣，寻找抵消规律求和．
13．若0＜a＜1，则化简的结果是（ ）
A．﹣2a B．2a C．﹣ D．
【分析】首先将两个根式的被开方数化为完全平方式，再根据a的取值范围，判断出底数的符号，然后根据二次根式的意义化简．
【解答】解：∵（a﹣）2+4＝a2+2+＝（a+）2，（a+）2﹣4＝a2﹣2+＝（a﹣）2，
∴原式＝+；
∵0＜a＜1，
∴a+＞0，a﹣＝＜0；
∴原式＝+＝a+﹣（a﹣）＝，故选D．
【点评】能够熟练运用完全平方公式对被开方数进行变形，是解答此题的关键．
14．若x2+y2＝1，则++的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】先根据x2+y2＝1，可得﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，再根据二次根式有意义的条件得到x＝﹣1，进一步求出y＝0，再代入计算即可求解．
【解答】解：∵x2+y2＝1，
∴﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，
∵＝＝，
x+1≥0，y﹣2＜0，（x+1）（y﹣2）≥0，
∴x+1＝0，
∴x＝﹣1，
∴y＝0，
∴++
＝2+1+0
＝3．
故选：D．
【点评】考查了二次根式的化简求值，关键去求出x、y的取值范围，根据二次根式有意义的条件得到x＝﹣1．
15．的值是（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】认真观察式子的特点，总结规律，可发现，，，据此作答．
【解答】解：由题意可知第k项是
∴原式＝（++＝1﹣＝1﹣＝．
故选：B．
【点评】此题考查二次根式的化简求值，关键是审清题意，找准规律答题．
二．填空题（共10小题）
16．计算：6×＝ 4 ，÷（2﹣）＝ +1 ．
【分析】根据二次根式的乘除运算法则及分母有理化方法计算可得．
【解答】解：6×＝2＝4，
÷（2﹣）
＝
＝
＝
＝+1，
故答案为：4，+1．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序与运算法则．
17．若m＝，则m3﹣m2﹣2017m+2015＝ 4030 ．
【分析】由于2015＝2016﹣1，可利用平方差公式把m化简，然后代入多项式求值．
【解答】解：∵m＝＝
＝
＝，
∴原式＝m2（m﹣1）﹣2017m+2015
＝（+1）2×﹣2017（+1）+2015
＝（2017+2）﹣2017﹣2017+2015
＝2017+2×2016﹣2017﹣2017+2015
＝4032﹣2
＝4030
【点评】本题考查了平方差公式、二次根式的化简求值．解决本题的关键是利用平方差公式化简m．
18．若a＝1，b＝1﹣，则代数式的值为 3
【分析】根据a＝1，b＝1﹣，可以求得ab和a+b的值，从而可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵a＝1，b＝1﹣，
∴a﹣b＝2，ab＝﹣1，
∴
＝
＝
＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
19．阅读下列材料，我们知道（+3）（﹣3）＝4，因此将的分子分母同时乘以“+3”，分母就变成了4，即＝＝，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若m＝，则代数式m5+2m4﹣2017m3+2160的值是 2160 ．
【分析】分母有理化可得m2+2m﹣2017＝0，整体代入化简即可解决问题；
【解答】解：∵m＝＝﹣1，
∴m+1＝，
∴m2+2m+1＝2018，
∴m2+2m﹣2017＝0，
∴m5+2m4﹣2017m3+2160＝m3（m2+2m﹣2017）+2160＝2160，
故答案为2160．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是学会用整体代入的思想解决问题，属于中考常考题型．
20．已知a≥0时，＝a．请你根据这个结论直接填空：
（1）＝ 3 ；
（2）若x+1＝20182+20192，则＝ 4037 ．
【分析】（1）由＝根据二次根式性质可得；
（2）由x+1＝20182+20192＝2×20182+2×2018+1得x＝2×20182+2×2018，代入得＝＝，从而得出答案．
【解答】解：（1）＝＝3，
故答案为：3；
（2）∵x+1＝20182+20192
＝20182+（2018+1）2
＝20182+20182+2×2018+1
＝2×20182+2×2018+1，
∴x＝2×20182+2×2018，
则＝＝＝2×2018+1＝4037，
故答案为：4037．
【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质和完全平方公式的应用．
21．若a＞a+1，化简|a+|﹣＝ 1 ．
【分析】先根据a＞a+1判断出a＜﹣1﹣，据此可得a+＜﹣1，a++1＜0，再依据绝对值性质和二次根式的性质化简可得．
【解答】解：∵a＞a+1，
∴（1﹣）a＞1，
则a＜，即a＜﹣1﹣，
∴a+＜﹣1，a++1＜0，
原式＝﹣a﹣+a++1＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是掌握二次根式的性质、绝对值的性质和解一元一次不等式的步骤．
22．若＝2.5，则的值为 ．
【分析】设＝a，将原等式变形后可求得a的值，代入所求式子可得结论．
【解答】解：设＝a，则24﹣t2＝a2，8﹣t2＝a2﹣16，
∵＝2.5，
a﹣＝，
，
两边同时平方得：，
解得：a＝，
则，
＝+，
＝，
＝+，
＝+，
＝，
故答案为：．
【点评】本题是二次根式的化简求值问题，利用换元法，将原方程转化为关于a的方程，解方程可解决问题，计算量大，要细心．
23．已知3＝16，m＝4，则m的取值范围是 ﹣12≤m≤ ．
【分析】根据非负数的性质，可得的取值范围，根据被减数一定时，减数越大差越小，减数越小差越大，可得答案．
【解答】解：由3＝16，得＝，
16﹣4≥0，
解得≤4，又≥0，
∴0≤4．
m＝4＝4×﹣3＝，
即m＝，
当＝0时，m最大＝，
当＝4时，m最小＝﹣12，
m的取值范围是﹣12≤m≤，
故答案为：﹣12≤m≤．
【点评】本题考查了二次根式的加减，利用被减数一定时，减数越大差越小，减数越小差越大是解题关键，又利用了二次根时的性质：被开方数是非负数．
24．已知：m+n＝10，mn＝9，则＝ ± ．
【分析】先求所求的代数式的完全平方形式，然后直接开平方即可求得的值．
【解答】解：∵m+n＝10，mn＝9，
∴（）2
＝
＝
＝
＝，
∴＝±．
故答案是：．
【点评】考查了二次根式的化简求值，需要掌握完全平方公式，属于基础计算题．
25．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S＝．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为 1 ．
【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC的三边长分别为1，2，的面积，从而可以解答本题．
【解答】解：∵S＝，
∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为：
S＝＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．
三．解答题（共15小题）
26．计算：
（1）﹣+
（2）（﹣）（+）+（﹣1）2
【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减可得．
【解答】解：（1）原式＝4﹣3+＝；
（2）原式＝5﹣2+4﹣2＝7﹣2．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
27．已知a＝，求的值．
【分析】先将a的值分母有理化，从而判断出a﹣2＜0，再根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，继而将a的值代入计算可得．
【解答】解：∵a＝＝＝2﹣，
∴a﹣2＝2﹣﹣2＝﹣＜0，
则原式＝﹣
＝a+3+
＝2﹣+3+2+
＝7．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
28．设a，b，c为△ABC的三边，化简：
++﹣．
【分析】根据三角形的三边关系判定出a+b﹣c，a+c﹣b，b+c﹣a的符号，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：根据a，b，c为△ABC的三边，得到a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，
则原式＝|a+b+c|+|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣b﹣a|＝a+b+c+b+c﹣a+a+c﹣b+a+b﹣c＝4c．
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，以及三角形的三边关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
29．求值：
（1）已知a＝3+2，b＝3﹣2，求a2+ab+b2的值；
（2）已知：y＞++2，求+5﹣3x的值．
【分析】（1）根据a＝3+2，b＝3﹣2，代入（a+b）2﹣ab进行计算即可；
（2）依据被开方数为非负数，即可得到x＝，进而得出y＞2，据此可得+5﹣3x的值．
【解答】解：（1）∵a＝3+2，b＝3﹣2，
∴a2+ab+b2＝a2+2ab+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣ab
＝36﹣1
＝35；
（2）∵，
∴，
∴x＝，
∴y＞2，
∴+5﹣3x
＝+5﹣3x
＝+5﹣3x
＝﹣1+5﹣3x
＝4﹣3x
＝4﹣3×
＝2．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
30．化简求值：已知：x＝，y＝，求（x+3）（y+3）的值．
【分析】将x和y的值分母有理化，再代入到原式xy+3x+3y+9＝xy+3（x+y）+9计算可得．
【解答】解：当x＝＝＝，
y＝＝＝时，
原式＝xy+3x+3y+9
＝xy+3（x+y）+9
＝×+3×（+）+9
＝+3×+9
＝+3+9
＝+3．
【点评】此题考查了二次根式的化简求值与分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式及二次根式的混合运算顺序与运算法则是解答问题的关键．
31．已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．
【分析】先将x和y的值分母有理化后，计算xy和x+y的值，再分别代入（1）和（2）问代入计算即可．
【解答】解：∵x＝＝＝3+2，y＝＝＝3﹣2，
∴xy＝＝1，x+y＝3+2+3﹣2＝6，
∴（1）x2y﹣xy2，
＝xy（x﹣y），
＝1×，
＝4；
（2）x2﹣xy+y2，
＝（x+y）2﹣3xy，
＝62﹣3×1，
＝36﹣3，
＝33．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，在解答时应先化简x和y的值，并利用提公因式法和完全平方公式将所求式子进行变形是关键．
32．先化简，再求值：a+，其中a＝1007．
如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 小亮 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ＝﹣a（a＜0） ；
（3）先化简，再求值：a+2，其中a＝﹣2007．
【分析】（1）由a＝1007知1﹣a＝﹣1006＜0，从而由＝|1﹣a|＝a﹣1可得答案；
（2）根据二次根式的性质＝|a|可得答案；
（3）先根据二次根式的性质化简原式，再代入计算可得．
【解答】解：（1）小亮的解法是错误的，
故答案为：小亮；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质＝﹣a（a＜0），
故答案为：＝﹣a（a＜0）；
（3）∵a＝﹣2007，
∴a﹣3＝﹣2010＜0，
则原式＝a+2
＝a+2|a﹣3|
＝a﹣2（a﹣3）
＝a﹣2a+6
＝﹣a+6
＝2007+6
＝2013．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质＝|a|．
33．已知：2a+b+5＝4（+），先化简再求值﹣
【分析】由已知等式得出（﹣2）2+（﹣2）2＝0，由非负数的性质得出a，b的值，再代入计算可得．
【解答】解：2a+b+5＝4（+），
2a﹣2﹣4+4+b﹣1﹣4+4＝0，
则（﹣2）2+（﹣2）2＝0，
∴＝2，＝2，
解得：a＝3，b＝5，
原式＝﹣
＝+
＝+
＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及非负数的性质．
34．在学习了二次根式的相关运算后，我们发现一些含有根号的式子可以表示成另一个式子的平方，如：
3+2＝2+2+1＝（）2+2+1＝（+1）2；
5+2＝2+2+3＝（）2+2××+（）2＝（+）2
（1）请仿照上面式子的变化过程，把下列各式化成另一个式子的平方的形式：
①4+2；②6+4
（2）若a+4＝（m+n）2，且a，m，n都是正整数，试求a的值．
【分析】（1）根据完全平方公式求出即可；
（2）先根据完全平方公式展开，再求出m、n的值，再求出a即可．
【解答】解：（1）4+2＝3+2+1
＝（）2+2×+12
＝（+1）2；
6+4
＝4+4+2
＝22+2×2×+（）2
＝（2+）2；
（2）∵a+4＝（m+n）2，
∴a+4＝m2+2mn+3n2，
∴a＝m2+3n2，2mn＝4，
∴mn＝2，
∵m，n都是正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2；
当m＝2，n＝1时，a＝22+3×12＝7；
当m＝1，n＝2时，a＝12+3×22＝13；
即a的值是7或13．
【点评】本题考查了完全平方公式和求代数式的值、二次根式的混合运算，能熟记完全平方公式是解此题的关键，还培养了学生的阅读能力和计算能力．
35．观察下列各式：
＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；
＝1+﹣＝1，…
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
①猜想：＝ 1+﹣ ＝ 1 ；
②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式： ＝1+﹣＝ ；
③应用：计算．
【分析】①直接利用利用已知条件才想得出答案；
②直接利用已知条件规律用n（n为正整数）表示的等式即可；
③利用发现的规律将原式变形得出答案．
【解答】解：①猜想：＝1+﹣＝1；
故答案为：1+﹣，1；
②归纳：根据你的观察，猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：
＝1+﹣＝；
③应用：
＝
＝
＝1+﹣
＝1．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确发现数字变化规律是解题关键．
36．若要化简我们可以如下做：
∵3+2
∴＝+1
仿照上例化简下列各式：
（1）＝ +1
（2）＝ ﹣
【分析】（1）直接利用二次根式的性质结合完全平方公式进而开平方得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质结合完全平方公式进而开平方得出答案．
【解答】解：（1）∵4+2＝3+1+2＝（）2+2××1+12＝（+1）2，
∴＝＝+1；
故答案为：+1；
（2）∵13﹣2＝7+6﹣2＝（）2﹣2××+（）2
＝（﹣）2，
∴＝＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．
37．像（+2）（﹣2）＝1、?＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
（1）化简：；
（2）计算：+；
（3）比较﹣与﹣的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据题意可以解答本题；
（2）根据题意可以解答本题；
（3）根据题意可以将题目中的式子变形再比较大小，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）＝＝；
（2）+
＝2++
＝2+2+；
（3）﹣＜﹣，
理由：∵﹣＝，
﹣＝，
，
∴＜，
∴﹣＜﹣．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．
38．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn＝，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．
例如：化简
解：∵3+2＝1+2+2＝12+（）2+2×1×＝（1+）2
∴＝＝1+；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．
【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
【解答】解：（1）∵5+2＝3+2+2
＝（）2+（）2+2××
＝（+）2，
∴＝＝+；
（2）∵7﹣4＝4+3﹣4＝22+（）2﹣2×2×
＝（2﹣）2，
∴＝＝2﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．
39．一个三角形的三边长分别为5，，．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给出一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
【分析】（1）根据题目中的数据可以求得该三角形的周长；
（2）根据（1）中的结果，选择一个符合题意的x的值即可解答本题．
【解答】解：（1）∵个三角形的三边长分别为5，，，
∴这个三角形的周长是：
5++
＝
＝；
（2）当x＝20时，这个三角形的周长是：．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解答本题的关键是明确二次根式的意义．
40．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ m2+5n2 ，b＝ 2mn ；
（2）利用探索的结论，找一组正整数a、b、m、n （a、b都不超过20）
填空： 8 + 2 ＝（ 1 + 1 ）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
【分析】（1）模仿例题，构建方程组即可解决问题；
（2）利用特殊值法即可解决问题；
（3）构建方程组，求整数解即可解决问题；
【解答】解：（1）∵a+b＝（m+n）2，
∴a+b＝m2+5n2+2mn，
∴a＝m2+5n2，b＝2mn，
故答案为m2+5n2，2mn；
（2）8+2＝（1+）2，
故答案为8，2，1，1；
（3）∵a+6＝（m+n）2＝m2+3n2+2mn，
∴a＝m2+3n2，2mn＝6，
∴mn＝3，
∵a、m、n均为正整数，
∴m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，
∴a＝28或12．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、完全平方公式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
人教版八下第十六章二次根式好题精选
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得 分
一．选择题（共15小题）
1．下列运算：①﹣3＝0：②2×3＝6：③÷＝2；④（+2）2＝7，其中错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（ ）
A．4x+2 B．﹣4x﹣2 C．﹣2 D．2
3．若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞且x≠3 B．x≥ C．x≥且x≠3 D．x≤且x≠﹣3
4．若实数m满足|m﹣4|＝|m﹣3|+1，那么下列四个式子中与（m﹣4）相等的是（ ）
A． B． C． D．
5．如果一个三角形的三边长分别为、k、，则化简﹣|2k﹣5|的结果是（ ）
A．﹣k﹣1 B．k+1 C．3k﹣11 D．11﹣3k
6．已知a+b＝﹣7，ab＝4，则+＝（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
7．把根号外的因式移入根号内得（ ）
A． B． C． D．
8．设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
9．已知a为实数，则代数式的最小值为（ ）
A．0 B．3 C． D．9
10．甲，乙两同学对代数式（m＞0，n＞0）分别作了如下变形：
甲：＝＝；
乙：＝＝．
关于这两种变形过程的说法正确的是（ ）
A．甲，乙都正确 B．甲，乙都不正确
C．只有甲正确 D．只有乙正确
11．++…+的整数部分是（ ）
A．3 B．5 C．9 D．6
12．设
则与s最接近的整数是（ ）
A．2009 B．2006 C．2007 D．2008
13．若0＜a＜1，则化简的结果是（ ）
A．﹣2a B．2a C．﹣ D．
14．若x2+y2＝1，则++的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
15．的值是（ ）
A． B． C．1 D．
第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人
得 分
二．填空题（共10小题）
16．计算：6×＝ ，÷（2﹣）＝ ．
17．若m＝，则m3﹣m2﹣2017m+2015＝ ．
18．若a＝1，b＝1﹣，则代数式的值为
19．阅读下列材料，我们知道（+3）（﹣3）＝4，因此将的分子分母同时乘以“+3”，分母就变成了4，即＝＝，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若m＝，则代数式m5+2m4﹣2017m3+2160的值是 ．
20．已知a≥0时，＝a．请你根据这个结论直接填空：
（1）＝ ；
（2）若x+1＝20182+20192，则＝ ．
21．若a＞a+1，化简|a+|﹣＝ ．
22．若＝2.5，则的值为 ．
23．已知3＝16，m＝4，则m的取值范围是 ．
24．已知：m+n＝10，mn＝9，则＝ ．
25．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S＝．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为 ．
评卷人
得 分
三．解答题（共15小题）
26．计算：
（1）﹣+
（2）（﹣）（+）+（﹣1）2
27．已知a＝，求的值．
28．设a，b，c为△ABC的三边，化简：
++﹣．
29．求值：
（1）已知a＝3+2，b＝3﹣2，求a2+ab+b2的值；
（2）已知：y＞++2，求+5﹣3x的值．
30．化简求值：已知：x＝，y＝，求（x+3）（y+3）的值．
31．已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．
32．先化简，再求值：a+，其中a＝1007．
如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
（3）先化简，再求值：a+2，其中a＝﹣2007．
33．已知：2a+b+5＝4（+），先化简再求值﹣
34．在学习了二次根式的相关运算后，我们发现一些含有根号的式子可以表示成另一个式子的平方，如：
3+2＝2+2+1＝（）2+2+1＝（+1）2；
5+2＝2+2+3＝（）2+2××+（）2＝（+）2
（1）请仿照上面式子的变化过程，把下列各式化成另一个式子的平方的形式：
①4+2；②6+4
（2）若a+4＝（m+n）2，且a，m，n都是正整数，试求a的值．
35．观察下列各式：
＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；
＝1+﹣＝1，…
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
①猜想：＝ ＝ ；
②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式： ；
③应用：计算．
36．若要化简我们可以如下做：
∵3+2
∴＝+1
仿照上例化简下列各式：
（1）＝
（2）＝
37．像（+2）（﹣2）＝1、?＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
（1）化简：；
（2）计算：+；
（3）比较﹣与﹣的大小，并说明理由．
38．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn＝，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．
例如：化简
解：∵3+2＝1+2+2＝12+（）2+2×1×＝（1+）2
∴＝＝1+；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．
39．一个三角形的三边长分别为5，，．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给出一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
40．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）利用探索的结论，找一组正整数a、b、m、n （a、b都不超过20）
填空： + ＝（ + ）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．下列运算：①﹣3＝0：②2×3＝6：③÷＝2；④（+2）2＝7，其中错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次根式的混合运算法则，化简计算即可判断；
【解答】解：①﹣3＝0，正确；
②2×3＝12，错误；
③÷＝2；正确；
④（+2）2＝7+4，错误；
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
2．若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（ ）
A．4x+2 B．﹣4x﹣2 C．﹣2 D．2
【分析】根据x的取值﹣4≤x≤3以及二次根式的性质，化简绝对值即可得到结果．
【解答】解：∵|x﹣3|+＝7，
∴|x﹣3|+|x+4|＝7，
∴﹣4≤x≤3，
∴2|x+4|﹣
＝2（x+4）﹣|2x﹣6|
＝2（x+4）﹣（6﹣2x）
＝4x+2，
故选：A．
【点评】此题考查二次根式和绝对值问题，此题难点是由绝对值和二次根式的化简求得x的取值范围，要求对绝对值的代数定义和二次根式的性质灵活掌握．
3．若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞且x≠3 B．x≥ C．x≥且x≠3 D．x≤且x≠﹣3
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴3x﹣2≥0，|x|﹣3≠0，
解得：x≥且x≠3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
4．若实数m满足|m﹣4|＝|m﹣3|+1，那么下列四个式子中与（m﹣4）相等的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据等式可确定m的取值：m≤3，则m﹣4＜0，m﹣3≤0，可知m﹣4是负数，化简时，负号留下，所以结果为负数．
【解答】解：由|m﹣4|＝|m﹣3|+1得，m≤3，
∴m﹣4＜0，m﹣3≤0，
∴（m﹣4）＝﹣＝﹣．
故选：D．
【点评】考查了二次根式的性质与化简，关键是由等式可确定m的取值m≤3．
5．如果一个三角形的三边长分别为、k、，则化简﹣|2k﹣5|的结果是（ ）
A．﹣k﹣1 B．k+1 C．3k﹣11 D．11﹣3k
【分析】求出k的范围，化简二次根式得出|k﹣6|﹣|2k﹣5|，根据绝对值性质得出6﹣k﹣（2k﹣5），求出即可．
【解答】解：∵一个三角形的三边长分别为、k、，
∴﹣＜k＜+，
∴3＜k＜4，
﹣|2k﹣5|，
＝﹣|2k﹣5|，
＝6﹣k﹣（2k﹣5），
＝﹣3k+11，
＝11﹣3k，
故选：D．
【点评】本题考查了绝对值，二次根式的性质，三角形的三边关系定理的应用，解此题的关键是去绝对值符号，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
6．已知a+b＝﹣7，ab＝4，则+＝（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】先化简原式，再整体代入即可．
【解答】解：∵a+b＝＜0，ab＞0，
∴a＜0，b＜0
原式＝（﹣）+（﹣）
＝﹣，
∵a+b＝﹣7，ab＝4，
∴原式＝﹣
＝，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化是解题的关键．
7．把根号外的因式移入根号内得（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质及二次根式成立的条件解答．
【解答】解：∵成立，
∴﹣＞0，即m＜0，
原式＝﹣＝﹣．
故选：D．
【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．
二次根式成立的条件：被开方数大于等于0，含分母的分母不为0．
8．设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a（x﹣a）≥0，a（y﹣a）≥0，x﹣a≥0，a﹣y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a＝0，代入即可求出y＝﹣x，把y＝﹣x代入原式即可求出答案．
【解答】解：由于根号下的数要是非负数，
∴a（x﹣a）≥0，a（y﹣a）≥0，x﹣a≥0，a﹣y≥0，
a（x﹣a）≥0和x﹣a≥0可以得到a≥0，
a（y﹣a）≥0和a﹣y≥0可以得到a≤0，
所以a只能等于0，代入等式得
﹣＝0，
所以有x＝﹣y，
即：y＝﹣x，
由于x，y，a是两两不同的实数，
∴x＞0，y＜0．
将x＝﹣y代入原式得：
原式＝＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a、x、y的值和代入求分式的值是解此题的关键．
9．已知a为实数，则代数式的最小值为（ ）
A．0 B．3 C． D．9
【分析】把被开方数用配方法整理，根据非负数的意义求二次根式的最小值．
【解答】解：∵原式＝
＝
＝
∴当（a﹣3）2＝0，即a＝3时
代数式的值最小，为即3
故选：B．
【点评】用配方法对多项式变形，根据非负数的意义解题，是常用的方法，需要灵活掌握．
10．甲，乙两同学对代数式（m＞0，n＞0）分别作了如下变形：
甲：＝＝；
乙：＝＝．
关于这两种变形过程的说法正确的是（ ）
A．甲，乙都正确 B．甲，乙都不正确
C．只有甲正确 D．只有乙正确
【分析】甲的做法是先把分母有理化，再约分；乙的做法是先把分子分解因式，再约分．计算过程中，要考虑m＝n这种情况．
【解答】解：甲的做法是先把分母有理化，再约分，如果m＝n则化简不成立；
乙的做法是先把分子分解因式，再约分，正确．故本题选D．
【点评】本题考查的是分母有理化的计算方法，通常采用甲的做法化简．
11．++…+的整数部分是（ ）
A．3 B．5 C．9 D．6
【分析】这是一比较繁琐的有关于二次根式的加减法，针对这样的题型，可以先分母有理化，再寻找抵消规律．
【解答】解：原式＝+…+
＝++…+
＝++…+
＝++…+
＝﹣1
＝﹣1+10
＝9．故选C．
【点评】关于分母中有二次根式的加减法，在解答时，要先分母有理化后，再找抵消规律，这样可以降低难度．
12．设
则与s最接近的整数是（ ）
A．2009 B．2006 C．2007 D．2008
【分析】通过上式找出规律，得出通项公式再进行化简，得结果为1+，将自然数n代入求出结果，再判断与a最接近的整数．
【解答】解：∵n为任意的正整数，
∴＝
＝＝＝1+，
∴s＝（1+）+（1+）+（1+）+…+（1+）
＝2008+（+++…+
＝2008+（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（）
＝2009﹣．
因此与s最接近的整数是2009．
故选：A．
【点评】用裂项法将分数化成﹣，寻找抵消规律求和．
13．若0＜a＜1，则化简的结果是（ ）
A．﹣2a B．2a C．﹣ D．
【分析】首先将两个根式的被开方数化为完全平方式，再根据a的取值范围，判断出底数的符号，然后根据二次根式的意义化简．
【解答】解：∵（a﹣）2+4＝a2+2+＝（a+）2，（a+）2﹣4＝a2﹣2+＝（a﹣）2，
∴原式＝+；
∵0＜a＜1，
∴a+＞0，a﹣＝＜0；
∴原式＝+＝a+﹣（a﹣）＝，故选D．
【点评】能够熟练运用完全平方公式对被开方数进行变形，是解答此题的关键．
14．若x2+y2＝1，则++的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】先根据x2+y2＝1，可得﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，再根据二次根式有意义的条件得到x＝﹣1，进一步求出y＝0，再代入计算即可求解．
【解答】解：∵x2+y2＝1，
∴﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，
∵＝＝，
x+1≥0，y﹣2＜0，（x+1）（y﹣2）≥0，
∴x+1＝0，
∴x＝﹣1，
∴y＝0，
∴++
＝2+1+0
＝3．
故选：D．
【点评】考查了二次根式的化简求值，关键去求出x、y的取值范围，根据二次根式有意义的条件得到x＝﹣1．
15．的值是（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】认真观察式子的特点，总结规律，可发现，，，据此作答．
【解答】解：由题意可知第k项是
∴原式＝（++＝1﹣＝1﹣＝．
故选：B．
【点评】此题考查二次根式的化简求值，关键是审清题意，找准规律答题．
二．填空题（共10小题）
16．计算：6×＝ 4 ，÷（2﹣）＝ +1 ．
【分析】根据二次根式的乘除运算法则及分母有理化方法计算可得．
【解答】解：6×＝2＝4，
÷（2﹣）
＝
＝
＝
＝+1，
故答案为：4，+1．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序与运算法则．
17．若m＝，则m3﹣m2﹣2017m+2015＝ 4030 ．
【分析】由于2015＝2016﹣1，可利用平方差公式把m化简，然后代入多项式求值．
【解答】解：∵m＝＝
＝
＝，
∴原式＝m2（m﹣1）﹣2017m+2015
＝（+1）2×﹣2017（+1）+2015
＝（2017+2）﹣2017﹣2017+2015
＝2017+2×2016﹣2017﹣2017+2015
＝4032﹣2
＝4030
【点评】本题考查了平方差公式、二次根式的化简求值．解决本题的关键是利用平方差公式化简m．
18．若a＝1，b＝1﹣，则代数式的值为 3
【分析】根据a＝1，b＝1﹣，可以求得ab和a+b的值，从而可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵a＝1，b＝1﹣，
∴a﹣b＝2，ab＝﹣1，
∴
＝
＝
＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
19．阅读下列材料，我们知道（+3）（﹣3）＝4，因此将的分子分母同时乘以“+3”，分母就变成了4，即＝＝，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若m＝，则代数式m5+2m4﹣2017m3+2160的值是 2160 ．
【分析】分母有理化可得m2+2m﹣2017＝0，整体代入化简即可解决问题；
【解答】解：∵m＝＝﹣1，
∴m+1＝，
∴m2+2m+1＝2018，
∴m2+2m﹣2017＝0，
∴m5+2m4﹣2017m3+2160＝m3（m2+2m﹣2017）+2160＝2160，
故答案为2160．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是学会用整体代入的思想解决问题，属于中考常考题型．
20．已知a≥0时，＝a．请你根据这个结论直接填空：
（1）＝ 3 ；
（2）若x+1＝20182+20192，则＝ 4037 ．
【分析】（1）由＝根据二次根式性质可得；
（2）由x+1＝20182+20192＝2×20182+2×2018+1得x＝2×20182+2×2018，代入得＝＝，从而得出答案．
【解答】解：（1）＝＝3，
故答案为：3；
（2）∵x+1＝20182+20192
＝20182+（2018+1）2
＝20182+20182+2×2018+1
＝2×20182+2×2018+1，
∴x＝2×20182+2×2018，
则＝＝＝2×2018+1＝4037，
故答案为：4037．
【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质和完全平方公式的应用．
21．若a＞a+1，化简|a+|﹣＝ 1 ．
【分析】先根据a＞a+1判断出a＜﹣1﹣，据此可得a+＜﹣1，a++1＜0，再依据绝对值性质和二次根式的性质化简可得．
【解答】解：∵a＞a+1，
∴（1﹣）a＞1，
则a＜，即a＜﹣1﹣，
∴a+＜﹣1，a++1＜0，
原式＝﹣a﹣+a++1＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是掌握二次根式的性质、绝对值的性质和解一元一次不等式的步骤．
22．若＝2.5，则的值为 ．
【分析】设＝a，将原等式变形后可求得a的值，代入所求式子可得结论．
【解答】解：设＝a，则24﹣t2＝a2，8﹣t2＝a2﹣16，
∵＝2.5，
a﹣＝，
，
两边同时平方得：，
解得：a＝，
则，
＝+，
＝，
＝+，
＝+，
＝，
故答案为：．
【点评】本题是二次根式的化简求值问题，利用换元法，将原方程转化为关于a的方程，解方程可解决问题，计算量大，要细心．
23．已知3＝16，m＝4，则m的取值范围是 ﹣12≤m≤ ．
【分析】根据非负数的性质，可得的取值范围，根据被减数一定时，减数越大差越小，减数越小差越大，可得答案．
【解答】解：由3＝16，得＝，
16﹣4≥0，
解得≤4，又≥0，
∴0≤4．
m＝4＝4×﹣3＝，
即m＝，
当＝0时，m最大＝，
当＝4时，m最小＝﹣12，
m的取值范围是﹣12≤m≤，
故答案为：﹣12≤m≤．
【点评】本题考查了二次根式的加减，利用被减数一定时，减数越大差越小，减数越小差越大是解题关键，又利用了二次根时的性质：被开方数是非负数．
24．已知：m+n＝10，mn＝9，则＝ ± ．
【分析】先求所求的代数式的完全平方形式，然后直接开平方即可求得的值．
【解答】解：∵m+n＝10，mn＝9，
∴（）2
＝
＝
＝
＝，
∴＝±．
故答案是：．
【点评】考查了二次根式的化简求值，需要掌握完全平方公式，属于基础计算题．
25．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S＝．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为 1 ．
【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC的三边长分别为1，2，的面积，从而可以解答本题．
【解答】解：∵S＝，
∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为：
S＝＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．
三．解答题（共15小题）
26．计算：
（1）﹣+
（2）（﹣）（+）+（﹣1）2
【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减可得．
【解答】解：（1）原式＝4﹣3+＝；
（2）原式＝5﹣2+4﹣2＝7﹣2．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
27．已知a＝，求的值．
【分析】先将a的值分母有理化，从而判断出a﹣2＜0，再根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，继而将a的值代入计算可得．
【解答】解：∵a＝＝＝2﹣，
∴a﹣2＝2﹣﹣2＝﹣＜0，
则原式＝﹣
＝a+3+
＝2﹣+3+2+
＝7．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
28．设a，b，c为△ABC的三边，化简：
++﹣．
【分析】根据三角形的三边关系判定出a+b﹣c，a+c﹣b，b+c﹣a的符号，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：根据a，b，c为△ABC的三边，得到a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，
则原式＝|a+b+c|+|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣b﹣a|＝a+b+c+b+c﹣a+a+c﹣b+a+b﹣c＝4c．
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，以及三角形的三边关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
29．求值：
（1）已知a＝3+2，b＝3﹣2，求a2+ab+b2的值；
（2）已知：y＞++2，求+5﹣3x的值．
【分析】（1）根据a＝3+2，b＝3﹣2，代入（a+b）2﹣ab进行计算即可；
（2）依据被开方数为非负数，即可得到x＝，进而得出y＞2，据此可得+5﹣3x的值．
【解答】解：（1）∵a＝3+2，b＝3﹣2，
∴a2+ab+b2＝a2+2ab+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣ab
＝36﹣1
＝35；
（2）∵，
∴，
∴x＝，
∴y＞2，
∴+5﹣3x
＝+5﹣3x
＝+5﹣3x
＝﹣1+5﹣3x
＝4﹣3x
＝4﹣3×
＝2．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
30．化简求值：已知：x＝，y＝，求（x+3）（y+3）的值．
【分析】将x和y的值分母有理化，再代入到原式xy+3x+3y+9＝xy+3（x+y）+9计算可得．
【解答】解：当x＝＝＝，
y＝＝＝时，
原式＝xy+3x+3y+9
＝xy+3（x+y）+9
＝×+3×（+）+9
＝+3×+9
＝+3+9
＝+3．
【点评】此题考查了二次根式的化简求值与分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式及二次根式的混合运算顺序与运算法则是解答问题的关键．
31．已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．
【分析】先将x和y的值分母有理化后，计算xy和x+y的值，再分别代入（1）和（2）问代入计算即可．
【解答】解：∵x＝＝＝3+2，y＝＝＝3﹣2，
∴xy＝＝1，x+y＝3+2+3﹣2＝6，
∴（1）x2y﹣xy2，
＝xy（x﹣y），
＝1×，
＝4；
（2）x2﹣xy+y2，
＝（x+y）2﹣3xy，
＝62﹣3×1，
＝36﹣3，
＝33．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，在解答时应先化简x和y的值，并利用提公因式法和完全平方公式将所求式子进行变形是关键．
32．先化简，再求值：a+，其中a＝1007．
如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 小亮 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ＝﹣a（a＜0） ；
（3）先化简，再求值：a+2，其中a＝﹣2007．
【分析】（1）由a＝1007知1﹣a＝﹣1006＜0，从而由＝|1﹣a|＝a﹣1可得答案；
（2）根据二次根式的性质＝|a|可得答案；
（3）先根据二次根式的性质化简原式，再代入计算可得．
【解答】解：（1）小亮的解法是错误的，
故答案为：小亮；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质＝﹣a（a＜0），
故答案为：＝﹣a（a＜0）；
（3）∵a＝﹣2007，
∴a﹣3＝﹣2010＜0，
则原式＝a+2
＝a+2|a﹣3|
＝a﹣2（a﹣3）
＝a﹣2a+6
＝﹣a+6
＝2007+6
＝2013．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质＝|a|．
33．已知：2a+b+5＝4（+），先化简再求值﹣
【分析】由已知等式得出（﹣2）2+（﹣2）2＝0，由非负数的性质得出a，b的值，再代入计算可得．
【解答】解：2a+b+5＝4（+），
2a﹣2﹣4+4+b﹣1﹣4+4＝0，
则（﹣2）2+（﹣2）2＝0，
∴＝2，＝2，
解得：a＝3，b＝5，
原式＝﹣
＝+
＝+
＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及非负数的性质．
34．在学习了二次根式的相关运算后，我们发现一些含有根号的式子可以表示成另一个式子的平方，如：
3+2＝2+2+1＝（）2+2+1＝（+1）2；
5+2＝2+2+3＝（）2+2××+（）2＝（+）2
（1）请仿照上面式子的变化过程，把下列各式化成另一个式子的平方的形式：
①4+2；②6+4
（2）若a+4＝（m+n）2，且a，m，n都是正整数，试求a的值．
【分析】（1）根据完全平方公式求出即可；
（2）先根据完全平方公式展开，再求出m、n的值，再求出a即可．
【解答】解：（1）4+2＝3+2+1
＝（）2+2×+12
＝（+1）2；
6+4
＝4+4+2
＝22+2×2×+（）2
＝（2+）2；
（2）∵a+4＝（m+n）2，
∴a+4＝m2+2mn+3n2，
∴a＝m2+3n2，2mn＝4，
∴mn＝2，
∵m，n都是正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2；
当m＝2，n＝1时，a＝22+3×12＝7；
当m＝1，n＝2时，a＝12+3×22＝13；
即a的值是7或13．
【点评】本题考查了完全平方公式和求代数式的值、二次根式的混合运算，能熟记完全平方公式是解此题的关键，还培养了学生的阅读能力和计算能力．
35．观察下列各式：
＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；
＝1+﹣＝1，…
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
①猜想：＝ 1+﹣ ＝ 1 ；
②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式： ＝1+﹣＝ ；
③应用：计算．
【分析】①直接利用利用已知条件才想得出答案；
②直接利用已知条件规律用n（n为正整数）表示的等式即可；
③利用发现的规律将原式变形得出答案．
【解答】解：①猜想：＝1+﹣＝1；
故答案为：1+﹣，1；
②归纳：根据你的观察，猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：
＝1+﹣＝；
③应用：
＝
＝
＝1+﹣
＝1．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确发现数字变化规律是解题关键．
36．若要化简我们可以如下做：
∵3+2
∴＝+1
仿照上例化简下列各式：
（1）＝ +1
（2）＝ ﹣
【分析】（1）直接利用二次根式的性质结合完全平方公式进而开平方得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质结合完全平方公式进而开平方得出答案．
【解答】解：（1）∵4+2＝3+1+2＝（）2+2××1+12＝（+1）2，
∴＝＝+1；
故答案为：+1；
（2）∵13﹣2＝7+6﹣2＝（）2﹣2××+（）2
＝（﹣）2，
∴＝＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．
37．像（+2）（﹣2）＝1、?＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
（1）化简：；
（2）计算：+；
（3）比较﹣与﹣的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据题意可以解答本题；
（2）根据题意可以解答本题；
（3）根据题意可以将题目中的式子变形再比较大小，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）＝＝；
（2）+
＝2++
＝2+2+；
（3）﹣＜﹣，
理由：∵﹣＝，
﹣＝，
，
∴＜，
∴﹣＜﹣．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．
38．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn＝，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．
例如：化简
解：∵3+2＝1+2+2＝12+（）2+2×1×＝（1+）2
∴＝＝1+；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．
【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
【解答】解：（1）∵5+2＝3+2+2
＝（）2+（）2+2××
＝（+）2，
∴＝＝+；
（2）∵7﹣4＝4+3﹣4＝22+（）2﹣2×2×
＝（2﹣）2，
∴＝＝2﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．
39．一个三角形的三边长分别为5，，．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给出一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
【分析】（1）根据题目中的数据可以求得该三角形的周长；
（2）根据（1）中的结果，选择一个符合题意的x的值即可解答本题．
【解答】解：（1）∵个三角形的三边长分别为5，，，
∴这个三角形的周长是：
5++
＝
＝；
（2）当x＝20时，这个三角形的周长是：．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解答本题的关键是明确二次根式的意义．
40．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ m2+5n2 ，b＝ 2mn ；
（2）利用探索的结论，找一组正整数a、b、m、n （a、b都不超过20）
填空： 8 + 2 ＝（ 1 + 1 ）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
【分析】（1）模仿例题，构建方程组即可解决问题；
（2）利用特殊值法即可解决问题；
（3）构建方程组，求整数解即可解决问题；
【解答】解：（1）∵a+b＝（m+n）2，
∴a+b＝m2+5n2+2mn，
∴a＝m2+5n2，b＝2mn，
故答案为m2+5n2，2mn；
（2）8+2＝（1+）2，
故答案为8，2，1，1；
（3）∵a+6＝（m+n）2＝m2+3n2+2mn，
∴a＝m2+3n2，2mn＝6，
∴mn＝3，
∵a、m、n均为正整数，
∴m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，
∴a＝28或12．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、完全平方公式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．