学业分层测评(二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
1．(多选)如图1-2-7所示，甲木块的质量为m1，以v的速度沿光滑水平地面向前运动，
图1-2-7
正前方有一静止的、质量为m2的乙木块，乙上连有一轻质弹簧．甲木块与弹簧接触后( )
A．甲木块的动量守恒
B．乙木块的动量守恒
C．甲、乙两木块所组成系统的动量守恒
D．甲、乙两木块所组成系统的动能不守恒
【解析】根据动量守恒定律的条件，以甲、乙为一系统，系统的动量守恒，A、B错误，C正确；甲、乙的一部分动能转化为弹簧的弹性势能，甲、乙系统的动能不守恒，D正确．
【答案】CD
2．一弹簧枪可射出速度为10 m/s的铅弹，现对准以6 m/s的速度沿光滑桌面迎面滑来的木块发射一颗铅弹，铅弹射入木块后未穿出，木块继续向前运动，速度变为5 m/s.如果想让木块停止运动，并假定铅弹射入木块后都不会穿出，则应再向木块中射入的铅弹数为( )
A．5颗 B．6颗
C．7颗 D．8颗
【解析】设木块质量为m1，一颗铅弹质量为m2，则第一颗铅弹射入，有m1v0－m2v＝(m1＋m2)v1，代入数据可得＝15，设再射入n颗铅弹木块停止，有(m1＋m2)v1－nm2v＝0，解得n＝8.
【答案】D
3．(多选)如图1-2-8所示，A、B两木块紧靠在一起且静止于光滑水平面上，木块C以一定的初速度v0从A的左端开始向右滑行，最后停在B木块的右端，对此过程，下列叙述正确的是 ( )
图1-2-8
A．当C在A上滑行时，A、C组成的系统动量守恒
B．当C在B上滑行时，B、C组成的系统动量守恒
C．无论C是在A上滑行还是在B上滑行，A、B、C三物块组成的系统动量都守恒
D．当C在B上滑行时，A、B、C组成的系统动量不守恒
【解析】当C在A上滑行时，对A、C组成的系统，B对A的作用力为外力，不等于0，故系统动量不守恒，选项A错误；当C在B上滑行时，A、B已分离，对B、C组成的系统，沿水平方向不受外力作用，故系统动量守恒，选项B正确；若将A、B、C三木块视为一系统，则沿水平方向无外力作用，系统动量守恒，选项C正确，选项D错误．
【答案】BC
4．如图1-2-9所示，光滑圆槽的质量为M，静止在光滑的水平面上，其内表面有一小球被细线吊着恰位于槽的边缘处，如果将线烧断，则小球滑到另一边的最高点时，圆槽的速度是________．(填“向左”“向右”或“0”)
图1-2-9
【解析】小球和圆槽组成的系统在水平方向不受外力，故系统在水平方向上的动量守恒(Δpx＝0)．细线被烧断瞬间，系统在水平方向的总动量为零．又知小球到达最高点时，球与槽水平方向上有共同速度，设为v′，由动量守恒定律有：0＝(M＋m)v′，所以v′＝0.
【答案】0
5．如图1-2-10所示，质量为M的盒子放在光滑的水平面上，盒子内表面不光滑，盒内放有一块质量为m的物体．从某一时刻起给m一个水平向右的初速度v0，那么在物块与盒子前后壁多次往复碰撞后物体的最终速度为________，方向向________．
图1-2-10
【解析】因水平面光滑，物块与盒子组成的系统水平方向动量守恒，又因盒子内表面不光滑，物块与盒子最终一定速度相等，由动量守恒定律可得：mv0＝(M＋m)v，故v＝，方向水平向右．
【答案】右
6．如图1-2-11甲所示，在水平光滑轨道上停着甲、乙两辆实验小车，甲车上系有一穿过打点计时器的纸带，当甲车获得水平向右的速度时，随即启动打点计时器．甲车运动一段距离后，与静止的乙车发生正碰并粘在一起运动，纸带记录下碰撞前甲车和碰撞后两车的运动情况，如图乙所示，电源频率为50 Hz，则碰撞前甲车速度大小为________m/s，碰撞后两车的共同速度大小为________m/s.
甲
乙
图1-2-11
【解析】碰撞前Δx＝1.2 cm，碰撞后Δx′＝0.8 cm，T＝0.02 s，由v＝计算．
【答案】0.60.4
7．某同学设计了一个用打点计时器“探究碰撞中的不变量”的实验：在小车A的前端粘有橡皮泥，在小车A后连着纸带，推动小车A使之做匀速运动，然后与原来静止在前方的小车B相碰并粘合成一体，继续做匀速运动，他设计的具体装置如图1-2-12甲所示．
甲
乙
图1-2-12
(1)长木板右端下面垫放一小木片的目的是
________________________________________________________________
_______________________________________________________________.
(2)若已获得的打点纸带如图乙所示，A为运动的起点，各计数点间距分别记为AB、BC、CD和DE，用天平测得A、B两车的质量分别为mA、mB，则需验证的表达式为______________________________________________________．
【解析】(1)长木板右端下面垫放一小木片，目的是平衡摩擦力，使小车拖着纸带在木板上能做匀速运动．
(2)从题图中可以看出，B到C的时间等于D到E的时间，所以可以用BC代表小车碰前的速度，用DE代表碰后的速度，应有mA·BC＝(mA＋mB)·DE.
【答案】(1)平衡摩擦力
(2)mA·BC＝(mA＋mB)·DE
8．一个质量为2 kg的装砂小车，沿光滑水平轨道运动，速度为3 m/s，一个质量为1 kg的球从0.2 m高处自由落下，恰落入小车的砂中，此后小车的速度是多少？
【解析】小车、砂、球三者组成的系统在水平方向上动量守恒，故Mv＝(M＋m)v′，
解得：v′＝ v＝×3 m/s＝2 m/s.
【答案】2 m/s
[能力提升]
9．如图1-2-13所示，在光滑水平面的左侧固定一竖直挡板，A球在水平面上静止放置，B球向左运动与A球发生正碰，B球碰撞前、后的速率之比为3∶1，A球垂直撞向挡板，碰后原速率返回．两球刚好不发生第二次碰撞，A、B两球的质量之比为________，A、B两球碰撞前、后的总动能之比为_______．
图1-2-13
【解析】设碰前B球的速度为v0，A碰墙后以原速率返回恰好不发生第二次碰撞，说明A、B两球碰撞后速度大小相等、方向相反，即分别为v0和－v0
根据动量守恒定律，得mBv0＝mB＋mA·v0，解得mA∶mB＝4∶1；
A、B两球碰撞前、后的总动能之比为
＝.
【答案】4∶19∶5
10．如图1-2-14所示，质量为0.5 kg的小球在距离车底面高20 m处以一定的初速度向左平抛，落在以7.5 m/s速度沿光滑水平面向右匀速行驶的敞篷小车中，车底涂有一层油泥，车与油泥的总质量为4 kg，设小球落在车底前瞬间速度大小是25m/s，则当小球与小车相对静止时，小车的速度大小为_______m/s，
方向向________．(g取10 m/s2)
图1-2-14
【解析】由平抛运动的知识可知：小球下落的时间t＝＝ s＝2 s，在竖直方向的速度vy＝gt＝20 m/s，由运动的合成可得在水平方向的速度vx＝ m/s＝15 m/s，由于小球和小车组成的系统在水平方向上满足动量守恒，所以4×7.5－0.5×15＝(4＋0.5)v，解得v＝5 m/s，方向向右．
【答案】5右
11．如图1-2-15所示，一玩具小车携带若干质量为m的弹丸，车和弹丸的总质量为M，在半径为R的水平光滑轨道上以速度v0做匀速圆周运动，若小车每转一周便沿运动方向相对地面以恒定速度v发射一颗弹丸，求小车发射第几颗弹丸时静止.
图1-2-15
【解析】由题意知，小车每转一周，质量就减少m，设发射第一颗弹丸后小车的速度为v1(依次类推)，由沿切线方向动量守恒，可得：发射一颗弹丸时
Mv0＝(M－m)v1＋mv
发射两颗弹丸时(M－m)v1＝(M－2m)v2＋mv
解得v1＝，v2＝
递推可知，发射n颗弹丸时的速度vn＝，令vn＝0可得n＝，将已知条件＝和＝代入上式可得n＝＝4.
【答案】4
12．如图1-2-16所示，在光滑水平面上有两个木块A、B，木块B左端放置小物块C并保持静止，已知mA＝mB＝0.2 kg，mC＝0.1 kg，现木块A以初速度v＝2 m/s沿水平方向向右滑动，木块A与B相碰后具有共同速度(但不粘连)，C与A、B间均有摩擦．求：
图1-2-16
(1)木块A与B相碰瞬间A木块及小物块C的速度大小；
(2)设木块A足够长，求小物块C的最终速度．
【解析】(1)木块A与B相碰瞬间C的速度为0，A、B木块的速度相同，由动量守恒定律得
mAv＝(mA＋mB)vA，vA＝＝1 m/s.
(2)C滑上A后，摩擦力使C加速，使A减速，直至A、C具有共同速度，以A、C整体为系统，由动量守恒定律得mAvA＝(mA＋mC)vC，vC＝ m/s，方向水平向右．
【答案】(1)1 m/s0(2) m/s方向水平向右
13．如图1-2-17所示，光滑水平面上A、B两小车质量都是M，A车头站立一质量为m的人，两车在同一直线上相向运动．为避免两车相撞，人从A车跳跃到B车上，最终A车停止运动，B车获得反向速度v0，试求：
(1)两小车和人组成的系统的初动量大小；
(2)为避免两车相撞，且要求人跳跃速度尽量小，则人跳上B车后，A车的速度多大？
图1-2-17
【解析】(1)由动量守恒定律可知，系统的初动量大小p＝(M＋m)v0.
(2)为避免两车相撞，最终两车和人具有相同的速度，设为v，则由动量守恒定律得(M＋m)v0＝(2M＋m)v，解得v＝.
【答案】(1)(M＋m)v0(2)
1.2 探究动量守恒定律
课时1 探究物体碰撞时动量的变化规律
[学习目标]1.探究物体碰撞时动量的变化规律.2.掌握在同一条直线上运动的两个物体碰撞前、后速度的测量方法．
一、实验原理
为了使问题简化，这里先研究两个物体碰撞时动量变化的规律，碰撞前两物体沿同一直线运动，碰撞后仍沿这一直线运动．
设两个物体的质量分别为m1、m2，碰撞前的速度分别为v1、v2，碰撞后的速度分别为v1′、v2′，如果速度方向与我们规定的正方向一致，取正值，相反取负值．
根据实验求出两物体碰撞前的总动量
p＝m1v1＋m2v2
碰撞后总动量p′＝m1v1′＋m2v2′
看一看p与p′有什么关系？
二、实验设计
1．实验设计要考虑的问题
(1)如何保证碰撞前、后两物体速度在一条直线上？
(2)如何测定碰撞前、后两物体的速度？
2．实验案例：气垫导轨上的实验
气垫导轨、气泵、光电计时器、天平等．
气垫导轨装置如图1所示，由导轨、滑块、挡光条、光电门等组成，在空腔导轨的两个工作面上均匀分布着一定数量的小孔，向导轨空腔内不断通入压缩空气，压缩空气会从小孔中喷出，使滑块稳定地漂浮在导轨上(如图2所示，图中气垫层的厚度放大了很多倍)，这样大大减小了由摩擦产生的影响．
图1
图2
(1)质量的测量：用天平测量．
(2)速度的测量：v＝，式中的Δx为滑块上挡光板的宽度，Δt为数字计时显示器显示的滑块上的挡光板经过光电门的时间．
三、实验步骤和数据处理
1．调节气垫导轨，使其水平．是否水平可按如下方法检查：打开气泵后，导轨上的滑块应该能保持静止．
2．按说明书连接好光电计时器与光电门．
3．如图3所示，在滑块上安装好弹性架．将两滑块从左、右以适当的速度经过光电门后在两光电门中间发生碰撞，碰撞后分别沿与各自碰撞前相反的方向运动再次经过光电门，光电计时器分别测出两滑块碰撞前后的速度．测出它们的质量后，将实验结果记入相应表格中．
图3
4．如图4所示，在滑块上安装好撞针及橡皮泥，将两滑块从左、右以适当的速度经过光电门后发生碰撞，相碰后粘在一起，测出它们的质量和速度，将实验结果记入相应的表格．
图4
5．在滑块上安装好撞针及橡皮泥后，将装有橡皮泥的滑块停在两光电门之间，装有撞针的滑块从一侧经过光电门后两滑块碰撞，然后一起运动经过另一光电门，测出两滑块的质量和速度，将实验结果记入相应表格中．
6．根据上述各次碰撞的实验数据寻找物体碰撞时动量变化的规律．
气垫导轨实验数据记录表
碰撞前
碰撞后
质量m(kg)
m1
m2
m1
m2
速度v(m·s－1)
v1
v2
v1′
v2′
mv(kg·m·s－1)
m1v1＋m2v2
m1v1′＋m2v2′
结论
实验结论：碰撞前后两滑块的动量之和保持不变．
四、注意事项
1．保证两个滑块碰撞前沿同一直线，碰撞后仍沿同一直线运动．
2．调整气垫导轨时，注意利用水平仪确保导轨水平．
一、用气垫导轨结合光电门的实验探究
例1 某同学利用气垫导轨做“探究物体碰撞时动量变化的规律”的实验．气垫导轨装置如图5所示，所用的气垫导轨装置由导轨、滑块、弹射架、光电门等组成．
图5
(1)下面是实验的主要步骤：
①安装好气垫导轨，调节气垫导轨的调节旋钮，使导轨水平；
②向气垫导轨通入压缩空气；
③接通光电计时器；
④把滑块2静止放在气垫导轨的中间；
⑤滑块1挤压导轨左端弹射架上的橡皮绳；
⑥释放滑块1，滑块1通过光电门1后与左侧固定弹簧的滑块2相碰撞，碰撞后滑块2和滑块1依次通过光电门2，两滑块通过光电门2后依次被制动；
⑦读出滑块通过两个光电门的挡光时间：滑块1通过光电门1的挡光时间为Δt1＝10.01ms，通过光电门2的挡光时间为Δt2＝49.99ms，滑块2通过光电门2的挡光时间为Δt3＝8.35ms；
⑧测出挡光片的宽度d＝5mm，测得滑块1的质量为m1＝300g，滑块2(包括弹簧)的质量为m2＝200g；
(2)数据处理与实验结论：
①实验中气垫导轨的作用是：
A．________________________________________________________________________；
B．________________________________________________________________________.
②碰撞前滑块1的速度v1为__________m/s；碰撞后滑块1的速度v2为__________ m/s；滑块2的速度v3为__________m/s；(结果均保留两位有效数字)
③在误差允许的范围内，通过本实验，同学们可以探究出哪些物理量是不变的？通过对实验数据的分析说明理由．(至少回答2个不变量)
a．________________________________________________________________________；
b．________________________________________________________________________.
答案 见解析
解析 (2)①A.大大减小了因滑块和导轨之间的摩擦而引起的误差．
B．保证两个滑块的碰撞是一维的．
②滑块1碰撞之前的速度v1＝＝m/s≈0.50 m/s；
滑块1碰撞之后的速度
v2＝＝m/s≈0.10 m/s；
滑块2碰撞之后的速度v3＝＝m/s≈0.60 m/s；
③a.系统总动量不变．
原因：系统碰撞之前m1v1＝0.15kg·m/s，系统碰撞之后m1v2＋m2v3＝0.15 kg·m/s.
b．系统碰撞前后总动能不变．
原因：系统碰撞之前的总动能Ek1＝m1v12＝0.0375J
系统碰撞之后的总动能
Ek2＝m1v22＋m2v32＝0.0375J
所以系统碰撞前后总动能相等．
c．系统碰撞前后总质量不变．
二、利用“光滑”水平面结合打点计时器的实验探究
例2 某同学设计了一个用打点计时器探究物体碰撞时动量变化规律的实验．在小车甲的前端黏有橡皮泥，推动小车甲使之做匀速直线运动，然后与原来静止在前方的小车乙相碰并黏合成一体，而后两车继续做匀速直线运动，他设计的具体装置如图6所示．在小车甲后连着纸带，打点计时器打点频率为50Hz，长木板下垫着小木片用以平衡摩擦力．
图6
(1)若已得到打点纸带如图7所示，并将测得的各计数点间距离标在图上，A点是运动起始的第一点，则应选____段来计算甲的碰前速度，应选______段来计算甲和乙碰后的共同速度(以上两格选填“AB”“BC”“CD”或“DE”)．
图7
(2)已测得小车甲的质量m甲＝0.40kg，小车乙的质量m乙＝0.20kg，由以上测量结果可得：碰前m甲v甲＋m乙v乙＝__________________kg·m/s；碰后m甲v甲′＋m乙v乙′＝________ kg·m/s(结果保留3位有效数字)．
(3)由(2)可得出的结论是__________．
答案 (1)BC DE (2)0.420 0.417
(3)在误差允许范围内，碰撞前后两个小车的mv之和是相等的．
解析 (1)观察打点计时器打出的纸带，点迹均匀的阶段BC应为小车甲与乙碰前的阶段，CD段点迹不均匀，故CD应为碰撞阶段，甲、乙碰撞后一起做匀速直线运动，打出间距均匀的点，故应选DE段计算碰后共同的速度．
(2)碰前v甲＝＝1.05m/s，v乙＝0；m甲v甲＋m乙v乙＝0.420 kg·m/s.碰后两者速度相同，v甲′＝v乙′＝＝0.695m/s；m甲v甲′＋m乙v乙′＝0.417 kg·m/s.
(3)在误差允许范围内，碰撞前后两个小车的mv之和是相等的．
三、利用气垫导轨结合频闪照相的实验探究
例3 为了探究物体碰撞时动量变化的规律，实验最好在气垫导轨上进行，这样就可以大大减小阻力，使滑块在碰撞前后的运动可以看成是匀速运动，使实验的可靠性及准确度得以提高．在某次实验中，A、B两铝制滑块在一水平长气垫导轨上相碰，用频闪摄像的方法每隔0.4秒的时间拍摄一次照片，每次拍摄时闪光的持续时间很短，可以忽略，如图8所示，已知A、B之间的质量关系是mB＝1.5mA，拍摄共进行了4次，第一次是在两滑块相撞之前，以后的三次是在碰撞之后，A原来处于静止状态，设A、B滑块在拍摄闪光照片的这段时间内是在10cm至105cm这段范围内运动(以滑块上的箭头位置为准)，试根据闪光照片求出：
图8
(1)A、B两滑块碰撞前后的速度各为多少？
(2)根据闪光照片分析说明两滑块碰撞前后，两个滑块的总动量是否不变．
答案 见解析
解析 (1)分析题图可知碰撞后两滑块的速度分别为：
vB′＝＝m/s＝0.5 m/s；
vA′＝＝m/s＝0.75 m/s.
从发生碰撞到第二次拍摄照片时，A运动的时间是
t1＝＝s＝0.2s
由此可知，从第一张拍摄照片到发生碰撞的时间为
t2＝(0.4－0.2) s＝0.2s
则碰撞前B的速度为vB＝＝m/s＝1.0 m/s
由题意得vA＝0.
(2)碰撞前：mAvA＋mBvB＝1.5mA
碰撞后：mAvA′＋mBvB′＝0.75mA＋0.75mA＝1.5mA，所以mAvA＋mBvB＝mAvA′＋mBvB′，即碰撞前后两个滑块总动量不变．
1．(实验误差的考查)(多选)在利用气垫导轨探究物体碰撞时动量变化的规律实验中，哪些因素可导致实验误差增大( )
A．导轨安放不水平 B．滑块上挡光片倾斜
C．两滑块质量不相等 D．两滑块碰后粘合在一起
答案 AB
2．(注意事项的考查)(多选)若用打点计时器做探究碰撞中的不变量的实验，下列说法或操作正确的是( )
A．相互作用的两车上，一个装上撞针，一个装上橡皮泥，是为了改变两车的质量
B．相互作用的两车上，一个装上撞针，一个装上橡皮泥，是为了碰撞后粘在一起
C．先接通打点计时器的电源，再释放拖动纸带的小车
D．先释放拖动纸带的小车，再接通打点计时器的电源
答案 BC
解析 相互作用的两车上，一个装上撞针，一个装上橡皮泥，是为了碰撞后两车能粘在一起共同运动，这种情况能得到能量损失很大的碰撞；应当先接通打点计时器的电源，再释放拖动纸带的小车，否则因运动距离较短，小车释放以后再打开电源不容易得到实验数据．故A、D错误，B、C正确．
3．(实验数据的处理)在用气垫导轨做“探究碰撞中的不变量”实验时，左侧滑块质量m1＝200g，右侧滑块质量m2＝160g，挡光片宽度为3.00cm，两滑块之间有一压缩的弹簧片，用细线将两滑块连在一起，如图9所示．开始时两滑块静止，烧断细线后，两滑块分别向左、右方向运动．挡光片通过光电门的时间分别为Δt1＝0.30s，Δt2＝0.24s．以向右为正方向，则烧断细线后两滑块的速度分别为v1′＝________m/s，v2′＝________ m/s.烧断细线前m1v1＋m2v2＝________，烧断细线后m1v1′＋m2v2′＝________.可得到的结论是________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
图9
答案 (1)－0.1 0.125 0 0 两个物体各自的质量与自己的速度的乘积之和是“不变量”
解析 由平均速度公式可得：v1′＝m/s＝－0.1 m/s；v2′＝m/s＝0.125 m/s；因烧断细线之前，两滑块均静止，故烧断细线前的m1v1＋m2v2为零；烧断细线后的m1v1′＋m2v2′＝0.2×(－0.1) kg·m/s＋0.16×0.125 kg·m/s＝0；即烧断细线前后mv之和相等，即两个物体各自的质量与自己速度的乘积之和是“不变量”．
4．(实验数据的处理)某同学把两个大小不同的物体用细线连接，中间夹一被压缩的弹簧，如图10所示，将这一系统置于光滑的水平桌面上，烧断细线，观察两物体的运动情况，进行必要的测量，探究物体间相互作用时动量变化的规律．
图10
(1)该同学还必须有的器材是______________________________________________________；
(2)需要直接测量的数据是________________________________________________________；
(3)本实验中表示碰撞前后动量守恒的表达式应为_____________(用测得的物理量符号表示)．
答案 (1)刻度尺、天平
(2)两物体的质量m1、m2和两物体落地点分别到桌面两侧边缘的水平距离s1、s2 (3)m1s1＝m2s2
解析 物体离开桌面后做平抛运动，取左边物体的初速度方向为正方向，设两物体质量和平抛初速度分别为：m1、m2，v1、v2，平抛运动的水平位移分别为s1、s2，平抛运动的时间为t，需要验证的方程：0＝m1v1－m2v2，其中：v1＝，v2＝，代入得到m1s1＝m2s2，故需要测量两物体的质量m1、m2和两物体落地点分别到桌面两侧边缘的水平距离s1、s2，需要的器材为刻度尺、天平．
课时2 动量守恒定律
[学习目标]1.理解系统、内力、外力的概念.2.知道动量守恒定律的内容及表达式，理解守恒的条件.3.了解动量守恒定律的普遍意义，会初步利用动量守恒定律解决实际问题．
一、系统、内力、外力
[导学探究]
如图1所示，公路上有三辆汽车发生了追尾事故．如果将甲、乙两辆汽车看做一个系统，丙车对乙车的作用力是内力，还是外力？如果将三辆车看成一个系统，丙车对乙车的力是内力还是外力？
图1
答案 内力是系统内物体之间的作用力，外力是系统外的物体对系统内物体的作用力．如果将甲车和乙车看成一个系统，丙车对乙车的力是外力，如果将三辆车看成一个系统，丙车对乙车的力是内力．
[知识梳理]
1．系统：几个有相互作用的物体．
2．内力：系统内物体间的相互作用力．
3．外力：系统外的物体对系统内物体的作用力．
二、动量守恒定律
[导学探究] 如图2所示，光滑水平桌面上有两个质量分别为m1和m2的小球，
图2
正沿着同一直线向相同的方向做匀速运动，速度分别是v1和v2，v2>v1.当第二个小球追上第一个小球时两球发生碰撞，碰撞后两球的速度分别为v1′和v2′.试用动量定理和牛顿第三定律推导两球碰前总动量m1v1＋m2v2与碰后总动量m1v1′＋m2v2′的关系．
答案 设碰撞过程中两球间的作用力分别为F1、F2，相互作用时间为t
根据动量定理：F1t＝m1(v1′－v1)，F2t＝m2(v2′－v2)．
因为F1与F2是两球间的相互作用力，根据牛顿第三定律知，F1＝－F2，
则有：m1v1′－m1v1＝m2v2－m2v2′
即m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
此式表明两球在相互作用前的总动量等于相互作用后的总动量，这就是动量守恒定律的表达式．
[知识梳理]
1．内容：如果一个系统不受外力，或者所受合外力为零，那么这个系统的总动量保持不变．
2．表达式：
m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′(作用前后动量相等)．
3．适用条件：系统不受外力或者所受合外力为零．
4．动量守恒定律的普适性
动量守恒定律的适用范围很广，它不仅适用于宏观、低速领域，而且适用于微观、高速领域．动量守恒定律适用于目前为止的一切领域．
5．对系统“总动量保持不变”的理解
(1)系统在整个过程中任意两个时刻的总动量都相等，不能误认为只是初、末两个状态的总动量相等．
(2)系统的总动量保持不变，但系统内每个物体的动量可能都在不断变化．
(3)系统的总动量指系统内各物体动量的矢量和，总动量不变指的是系统的总动量的大小和方向都不变．
[即学即用]
1．判断下列说法的正误．
(1)一个系统初、末态动量大小相等，即动量守恒．( × )
(2)两个做匀速直线运动的物体发生碰撞，两个物体组成的系统动量守恒．( √ )
(3)只要系统所受到的合力的冲量为零，动量就守恒．( √ )
(4)系统动量守恒也就是系统的动量变化量为零．( √ )
(5)只要系统内存在摩擦力，动量不可能守恒．( × )
2．如图3，质量为m的小球A静止在光滑水平面上，质量为2m的小球B以速度v0与A碰撞后粘在一起，则粘在一起后AB的共同速度v＝________.
图3
答案 v0
一、动量守恒条件的理解
1．系统不受外力作用：这是一种理想化的情形．如宇宙中两星球的碰撞、微观粒子间的碰撞都可视为这种情形．
2．系统受外力作用，但所受合外力为零．如光滑水平面上两物体的碰撞就是这种情形．
3．系统受外力作用，但当系统所受的外力远小于系统内各物体间的内力时，系统的总动量近似守恒．
4．系统受外力作用，所受的合外力不为零，但在某一方向上合外力为零，则系统在该方向上动量守恒．
例1 (多选)如图4所示，A、B两物体质量之比mA∶mB＝3∶2，原来静止在平板小车C上，A、B间有一根被压缩的弹簧，地面光滑，当突然释放弹簧后，则下列说法正确的是( )
图4
A．若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B组成的系统动量守恒
B．若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B、C组成的系统动量守恒
C．若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B组成的系统动量守恒
D．若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B、C组成的系统动量守恒
答案 BCD
解析 如果A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，释放弹簧后，A、B分别相对于小车向左、向右滑动，它们所受的滑动摩擦力FfA向右，FfB向左．由于mA∶mB＝3∶2，所以FfA∶FfB＝3∶2，则A、B组成的系统所受的外力之和不为零，故其动量不守恒，A选项错误；对A、B、C组成的系统，A、B与C间的摩擦力为内力，该系统所受的外力为竖直方向上的重力和支持力，它们的合力为零，故该系统的动量守恒，B、D选项正确；若A、B所受摩擦力大小相等，则A、B组成的系统所受的外力之和为零，故其动量守恒，C选项正确．
1．动量守恒定律的研究对象是相互作用的物体组成的系统．判断系统的动量是否守恒，与选择哪几个物体作为系统和分析哪一段运动过程有直接关系．
2．判断系统的动量是否守恒，要注意守恒的条件是不受外力或所受合外力为零，因此要分清哪些力是内力，哪些力是外力．
3．系统的动量守恒，并不是系统内各物体的动量都不变．一般来说，系统的动量守恒时，系统内各物体的动量是变化的，但系统内各物体的动量的矢量和是不变的．
针对训练 下列情形中，满足动量守恒条件的是( )
A．用铁锤打击放在铁砧上的铁块，打击过程中，铁锤和铁块的总动量
B．子弹水平穿过放在光滑水平桌面上的木块的过程中，子弹和木块的总动量
C．子弹水平穿过墙壁的过程中，子弹和墙壁的总动量
D．棒击垒球的过程中，棒和垒球的总动量
答案 B
二、动量守恒定律的简单应用
1．动量守恒定律不同表现形式的表达式的含义：
(1)p＝p′：系统相互作用前的总动量p等于相互作用后的总动量p′.
(2)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′：相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量和等于作用后的动量和．
(3)Δp1＝－Δp2：相互作用的两个物体组成的系统，一个物体的动量变化量与另一个物体的动量变化量大小相等、方向相反．
(4)Δp＝0：系统总动量增量为零．
2．应用动量守恒定律的解题步骤：
例2 如图5所示，一枚火箭搭载着卫星以速率v0进入太空预定位置，由控制系统使箭体与卫星分离．已知前部分的卫星质量为m1，后部分的箭体质量为m2，分离后箭体以速率v2沿火箭原方向飞行，若忽略空气阻力及分离前后系统质量的变化，则分离后卫星的速率v1为( )
图5
A．v0－v2 B．v0＋v2
C．v0－v2 D．v0＋(v0－v2)
答案 D
解析 根据动量守恒定律有(m1＋m2)v0＝m1v1＋m2v2，可得v1＝v0＋(v0－v2)，故选D.
例3 质量m1＝10g的小球在光滑的水平桌面上以30cm/s的速率向右运动，恰遇上质量为m2＝50 g的小球以10 cm/s的速率向左运动，碰撞后，小球m2恰好停止，则碰后小球m1的速度大小和方向如何？
答案 20cm/s 方向向左
解析 碰撞过程中，两小球组成的系统所受合外力为零，动量守恒．设向右为正方向，则v1＝30cm/s，v2＝－10 cm/s；v2′＝0.
由动量守恒定律列方程m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′，
代入数据解得v1′＝－20cm/s.
故碰后小球m1的速度大小为20cm/s，方向向左．
特别提醒 利用动量守恒定律解题时首先选定正方向，然后确定初、末状态速度的正负．
应用动量守恒定律解题，在规定正方向的前提下，要注意各已知速度的正负号，求解出未知速度的正负号，一定要指明速度方向．
1．(对动量守恒条件的理解)如图6所示，小车与木箱紧挨着静放在光滑的水平冰面上，现有一男孩站在小车上用力向右迅速推出木箱，关于上述过程，下列说法正确的是( )
图6
A．男孩和木箱组成的系统动量守恒
B．小车与木箱组成的系统动量守恒
C．男孩、小车与木箱三者组成的系统动量守恒
D．木箱的动量增量与男孩、小车的总动量增量相同
答案 C
解析 由动量守恒定律成立的条件可知男孩、小车与木箱三者组成的系统动量守恒，A、B错误，C正确；木箱的动量增量与男孩、小车的总动量增量大小相等，方向相反，D错误．
2．(对动量守恒条件的理解)(多选)如图7所示，在光滑水平地面上有A、B两个木块，A、B之间用一轻弹簧连接．A靠在墙壁上，用力F向左推B使两木块之间的弹簧压缩并处于静止状态．若突然撤去力F，则下列说法中正确的是( )
图7
A．木块A离开墙壁前，A、B和弹簧组成的系统动量守恒，机械能也守恒
B．木块A离开墙壁前，A、B和弹簧组成的系统动量不守恒，但机械能守恒
C．木块A离开墙壁后，A、B和弹簧组成的系统动量守恒，机械能也守恒
D．木块A离开墙壁后，A、B和弹簧组成的系统动量不守恒，但机械能守恒
答案 BC
解析 若突然撤去力F，木块A离开墙壁前，墙壁对木块A有作用力，所以A、B和弹簧组成的系统动量不守恒，但由于A没有离开墙壁，墙壁对木块A不做功，所以A、B和弹簧组成的系统机械能守恒，选项A错误，选项B正确；木块A离开墙壁后，A、B和弹簧组成的系统所受合外力为零，所以系统动量守恒且机械能守恒，选项C正确，选项D错误．
3．(动量守恒定律的简单应用)解放军鱼雷快艇在南海海域附近执行任务，假设鱼雷快艇的总质量为M，以速度v前进，现沿快艇前进方向发射一颗质量为m的鱼雷后，快艇速度减为原来的，不计水的阻力，则鱼雷的发射速度为( )
A.v B.v
C.v D.v
答案 A
解析 设快艇的速度方向为正方向，根据动量守恒定律有：Mv＝(M－m)v＋mv′，解得v′＝v.
4．(动量守恒定律的简单应用)如图8所示，传送带以v0＝2m/s的水平速度把质量m＝20 kg的行李包运送到原来静止在光滑轨道上的质量M＝30 kg的小车上，若行李包与车上表面间的动摩擦因数μ＝0.4，g＝10 m/s2，求：(小车足够长)
图8
(1)小车的最大速度的大小；
(2)行李包从滑上小车至在小车上滑到最远处所经历的时间．
答案 (1)0.8m/s (2)0.3s
解析 (1)以行李包与小车组成的系统为研究对象，行李包与小车最后速度相同，此时小车速度最大，设为v.
由动量守恒定律得mv0＝(M＋m)v
解得v＝0.8m/s.
(2)对行李包，由动量定理得－μmgt＝mv－mv0
解得t＝0.3s.
一、选择题
考点一 对动量守恒条件的理解
1．下列情况中系统动量守恒的是( )
①小车停在光滑水平面上，人在车上走动时，对人与车组成的系统
②子弹水平射入放在光滑水平面上的木块中，对子弹与木块组成的系统
③子弹射入紧靠墙角的木块中，对子弹与木块组成的系统
④气球下用轻绳吊一重物一起加速上升时，绳子突然断开后的一小段时间内，对气球与重物组成的系统
A．只有① B．①和②
C．①和③ D．①和③④
答案 B
解析 ①小车停在光滑水平面上，人在车上走动时，对人与车组成的系统，系统受到的合外力为零，系统动量守恒；②子弹水平射入放在光滑水平面上的木块中，对子弹与木块组成的系统，系统所受到的合外力为零，系统动量守恒；③子弹射入紧靠墙角的木块中，子弹与木块组成的系统受墙的作用力，系统所受到的合外力不为零，系统动量不守恒；④气球下用轻绳吊一重物一起加速上升时，绳子突然断开后的一小段时间内，对气球与重物组成的系统，所受到的合外力不为零，系统动量不守恒．综上可知，B正确，A、C、D错误．
2．(多选)在光滑水平面上A、B两小车中间有一弹簧，如图1所示，用手抓住小车并将弹簧压缩后使小车处于静止状态．将两小车及弹簧看做一个系统，下面说法正确的是( )
图1
A．两手同时放开后，系统总动量始终为零
B．先放开左手，再放开右手后，动量不守恒
C．先放开左手，后放开右手，总动量一定向右
D．无论何时放手，两手放开后，在弹簧恢复原长的过程中，系统总动量都保持不变，但系统的总动量不一定为零
答案 AD
3．(多选)如图2所示，小车放在光滑的水平面上，将系着绳的小球拉开一定的角度，然后同时放开小球和小车，那么在以后的过程中( )
图2
A．小球向左摆动时，小车也向左运动，且系统动量守恒
B．小球向左摆动时，小车向右运动，且系统在水平方向上动量守恒
C．小球向左摆到最高点，小球的速度为零而小车的速度不为零
D．在任意时刻，小球和小车在水平方向上的动量一定大小相等、方向相反(或者都为零)
答案 BD
解析 以小球和小车组成的系统为研究对象，在水平方向上不受外力的作用，所以系统在水平方向上动量守恒．由于初始状态小车与小球均静止，所以小球与小车在水平方向上的动量要么都为零，要么大小相等、方向相反，所以A、C错，B、D对．
考点二 动量守恒定律的计算
4．A球的质量为m，B球的质量为2m，它们在光滑的水平面上以相同的动量运动．B在前，A在后，发生正碰后，A球仍朝原方向运动，但其速率是原来的一半，碰撞后两球的速率之比vA′∶vB′( )
A.B.C．2 D.
答案 D
解析 设碰前A球的速率为v，根据题意，pA＝pB，即mv＝2mvB，得碰撞前vB＝，碰撞后vA′＝，由动量守恒定律得，mv＋2m×＝m×＋2mvB′
解得vB′＝v，所以＝＝
5．质量为M的木块在光滑水平面上以速度v1水平向右运动，质量为m的子弹以速度v2水平向左射入木块，要使木块停下来，必须使发射子弹的数目为(子弹留在木块中不穿出)( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设发射子弹的数目为n，选择n颗子弹和木块M组成的系统为研究对象．系统在水平方向所受的合外力为零，满足动量守恒的条件．选子弹运动的方向为正方向，由动量守恒定律有：
nmv2－Mv1＝0，得n＝
所以选项C正确．
6．一颗手榴弹被投出后到达最高点时的速度为v0＝10m/s，设它炸成两块后，质量为0.4 kg的大块速度大小为250 m/s，方向与原来方向相反，若取v0方向为正方向，则质量为0.2kg的小块速度为( )
A．－470m/s B．530 m/sC．470m/s D．800 m/s
答案 B
解析 手榴弹爆炸过程系统动量守恒，以手榴弹的初速度方向为正方向，根据动量守恒定律得：
Mv0＝m1v1＋m2v2.即：0.6×10 kg·m/s＝0.4×(－250) kg·m/s＋0.2 kg×v2，解得：v2＝530 m/s.故选B.
7．如图3所示，质量为M的小船在静止水面上以速率v0向右匀速行驶，一质量为m的救生员站在船尾，相对小船静止．若救生员以相对水面速率v水平向左跃入水中，则救生员跃出后小船的速率为(不计水及空气阻力)( )
图3
A．v0＋v B．v0－v
C．v0＋(v0＋v) D．v0＋(v0－v)
答案 C
解析 小船和救生员组成的系统满足动量守恒：
(M＋m)v0＝m·(－v)＋Mv′
解得v′＝v0＋(v0＋v)，
故C项正确，A、B、D项错误．
8．质量为M＝100kg的小船静止在水面上，船首站着质量为m甲＝40kg的游泳者甲，船尾站着质量为m乙＝60kg的游泳者乙，船首指向左方，若甲、乙两游泳者在同一水平线上，甲朝左、乙朝右以3m/s的速率跃入水中，则(不计阻力)( )
A．小船向左运动，速率为1m/s
B．小船向左运动，速率为0.6m/s
C．小船向右运动，速率大于1m/s
D．小船仍静止
答案 B
解析 设水平向右为正方向，两游泳者同时跳离小船后小船的速度为v，根据甲、乙两游泳者和小船组成的系统动量守恒有－m甲v甲＋m乙v乙＋Mv＝0，代入数据，可得v＝－0.6m/s，其中负号表示小船向左运动，所以选项B正确．
9．(多选)两个小木块A和B(均可视为质点)中间夹着一轻质弹簧，用细线(未画出)捆在一起，放在光滑的水平桌面上，烧断细线后，木块A、B分别向左、右方向运动(不计空气阻力)，离开桌面后做平抛运动，落地点与桌面边缘的水平距离分别为lA＝1m，lB＝2m，如图4所示，则下列说法正确的是( )
图4
A．木块A、B离开弹簧时的速度大小之比vA∶vB＝1∶2
B．木块A、B的质量之比mA∶mB＝2∶1
C．木块A、B离开弹簧时的动能之比EkA∶EkB＝1∶2
D．弹簧对木块A、B的作用力大小之比FA∶FB＝1∶2
答案 ABC
解析 A、B两木块脱离弹簧后做平抛运动，由平抛运动规律得：木块A、B离开弹簧时的速度之比为＝＝，A正确；根据动量守恒定律得：mAvA－mBvB＝0，因此＝＝，B正确；木块A、B离开弹簧时的动能之比为：＝＝×＝，C正确；弹簧对木块A、B的作用力大小之比：＝，D错误．
10．(多选)如图5所示，光滑水平面上，质量为m1的足够长的木板向左匀速运动．t＝0时刻，质量为m2的木块从木板的左端向右以与木板相同大小的速度滑上木板．t1时刻，木块和木板相对静止，共同向左匀速运动，以v1和a1表示木板的速度和加速度，以v2和a2表示木块的速度和加速度，以向左为正方向．则下列图中正确的是( )
图5
答案 BD
解析 木块和木板组成的系统动量守恒，因为最终共同的速度方向向左，根据m1v－m2v＝(m1＋m2)v′，知m1>m2；木块的加速度a2＝，方向向左，木板的加速度a1＝，方向向右，因为m1>m2，则a1
二、非选择题
11．(动量守恒定律的计算)一辆质量m1＝3.0×103kg的小货车因故障停在车道上，后面一辆质量m2＝1.5×103kg的轿车来不及刹车，直接撞入货车尾部失去动力，相撞后两车一起沿轿车运动方向滑行了s＝6.75m停下．已知车轮与路面间的动摩擦因数μ＝0.6，求碰撞前轿车的速度大小．(重力加速度取g＝10m/s2)
答案 27m/s
解析 由牛顿第二定律得a＝＝μg＝6m/s2
由运动学公式得v＝＝9m/s
碰撞过程中，货车和轿车组成的系统动量守恒．由动量守恒定律得m2v0＝(m1＋m2)v
v0＝v＝27m/s.
12．(动量守恒定律的计算)a、b两个小球在一直线上发生碰撞，它们在碰撞前后的s－t图像如图6所示．若a球的质量为ma＝1kg，则b球的质量mb等于多少？
图6
答案 2.5kg
解析 由题图知va＝4m/s，va′＝－1 m/s，vb＝0，vb′＝2m/s，根据动量守恒定律有mava＝mava′＋mbvb′，代入数据解得mb＝2.5kg.
13．(动量守恒与能量问题的初步结合)如图7所示，竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相切，小滑块A和B分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点．现将A无初速度释放，A与B碰撞后结合为一个整体，并沿桌面滑动．已知圆弧轨道光滑，半径R＝0.2m，A和B的质量相等，A和B整体与桌面之间的动摩擦因数μ＝0.2.取重力加速度g＝10m/s2.求：
图7
(1)碰撞后瞬间A和B整体的速率v′；
(2)A和B整体在桌面上滑动的距离L.
答案 (1)1m/s (2)0.25m
解析 (1)滑块A从圆弧轨道最高点到最低点机械能守恒，由mAvA 2＝mAgR，可得vA＝2m/s.在底部和B相撞，满足动量守恒，由mAvA＝(mA＋mB)v′可得，v′＝1 m/s.
(2)根据动能定理，对A、B一起滑动过程由－μ(mA＋mB)gL＝0－(mA＋mB)v′2，可得L＝0.25m.
