学业分层测评(四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
1．(多选)在光滑水平面上，动能为Ek0、动量大小为p0的小钢球1与静止小钢球2发生碰撞，碰撞前后球1的运动方向相反，将碰撞后球1的动能和动量的大小分别记为Ek1、p1，球2的动能和动量的大小分别记为Ek2、p2，则必有 ( )
A．Ek1
C．Ek2>Ek0 D．p2>p0
【解析】两个钢球在相碰过程中同时遵守能量守恒和动量守恒，由于外界没有能量输入，而碰撞中可能产生热量，所以碰后的总动能不会超过碰前的总动能，即Ek1＋Ek2≤Ek0，A正确，C错误；另外，A选项也可写成＜，B正确；根据动量守恒，设球1原来的运动方向为正方向，有p2－p1＝p0，D正确．
【答案】ABD
2．如图1-4-10所示，质量为M的小车原来静止在光滑水平面上，小车A端固定一根轻弹簧，弹簧的另一端放置一质量为m的物体C，小车底部光滑，开始时弹簧处于压缩状态，当弹簧释放后，物体C被弹出向B端运动，最后与B端粘在一起，下列说法中正确的是 ( )
图1-4-10
A．物体离开弹簧时，小车向右运动
B．物体与B端粘在一起之前，小车的运动速率与物体C的运动速率之比为
C．物体与B端粘在一起后，小车向右运动
D．整个作用过程中，A、B、C及弹簧组成的系统的机械能守恒
【解析】系统动量守恒，物体C离开弹簧时向右运动，动量向右，系统的总动量为零，所以小车的动量方向向左，由动量守恒定律有mv1－Mv2＝0，所以小车的运动速率v2与物体C的运动速率v1之比.当物体C与B粘在一起后，由动量守恒定律知，系统的总动量为零，即小车静止．弹性势能转化为内能．
【答案】B
3.如图1-4-11所示，质量相等的三个小球a、b、c在光滑的水平面上以相同的速率运动，它们分别与原来静止的A、B、C三球发生碰撞，碰撞后a继续沿原方向运动，b静止，c沿反方向弹回，则碰撞后A、B、C三球中动量数值最大的是( )
图1-4-11
A．A球 B．B球
C．C球 D．三球一样大
【解析】在三小球发生碰撞的过程中，动量都是守恒的，根据动量守恒关系式：mv0＝mv＋Mv′，整理可得：Mv′＝mv0－mv，取初速度方向为正方向，不难得出C球的动量数值是最大的．故只有选项C正确．
【答案】C
4．在光滑的水平面上，有两个静止的小车，车上各站着一个运动员，两车(包含负载)的总质量均为M.设甲车上的人接到一个质量为m，沿水平方向飞来的速率为v的篮球；乙车上的人把原来在车上的同样的篮球沿水平方向以速率v掷出去．则这两种情况下，甲、乙两车所获得的速度大小的关系是(以上速率都是相对地面而言) ( )
A．v甲>v乙
B．v甲C．v甲＝v乙
D．视M、m和v的大小而定
【解析】甲车和球组成的系统水平方向动量守恒，有mv＝(M＋m)v甲，得v甲＝；乙车和球组成的系统，水平方向动量守恒，有(M－m)v乙－mv＝0，得v乙＝，故v甲＜v乙，B正确．
【答案】B
5．(多选)用不可伸长的细线悬挂一质量为M的小木块，木块静止，如图1-4-12所示．现有一质量为m的子弹自左方水平射向木块，并停留在木块中，子弹初速度为v0，则下列判断正确的是 ( )
图1-4-12
A．从子弹射向木块到一起上升到最高点的过程中系统的机械能守恒
B．子弹射入木块瞬间动量守恒，故子弹射入木块瞬间子弹和木块的共同速度为
C．忽略空气阻力，子弹和木块一起上升过程中系统机械能守恒，其机械能等于子弹射入木块前的动能
D．子弹和木块一起上升的最大高度为
【解析】从子弹射向木块到一起运动到最高点的过程可以分为两个阶段：子弹射入木块的瞬间系统动量守恒，但机械能不守恒，有部分机械能转化为系统内能，之后子弹在木块中与木块一起上升，该过程只有重力做功，机械能守恒但总能量小于子弹射入木块前的动能，因此A、C错误；由子弹射入木块瞬间动量守恒可得子弹射入木块后的共同速度为，B正确；之后子弹和木块一起上升，该阶段机械能守恒，可得上升的最大高度为，D正确．
【答案】BD
6．一列火车共有n节车厢，各节车厢质量相等，相邻车厢间留有空隙，首端第一节车厢以速度v向第二节撞去，并连接在一起，然后再向第三节撞去，并又连接在一起，这样依次撞下去，使n节车厢全部运动起来，那么最后火车的速度是________(铁轨对车厢的摩擦不计)．
【解析】n节车厢的碰撞满足动量守恒，即mv＝nmv′，
得最后火车的速度v′＝.
【答案】
7．在光滑水平面上有两个相同的弹性小球A、B，质量都为m，B球静止，A球向B球运动，发生正碰．已知碰撞过程中机械能守恒，两球压缩最紧时弹性势能为Ep，则碰前A球的速度为________．
【解析】设碰前A球速度为v0，根据动量守恒定律有mv0＝2mv，则压缩最紧(A、B有相同速度)时的速度v＝，由系统机械能守恒有mv＝×2m×()2＋Ep，解得v0＝2.
【答案】2
8．一个物体静止于光滑水平面上，外面扣一质量为M的盒子，如图1-4-13甲所示，现给盒子一初速度v0，此后，盒子运动的v-t图象呈周期性变化，如图1-4-13乙所示，请据此求盒内物体的质量．
图1-4-13
【解析】设物体的质量为m，t0时刻受盒子碰撞获得速度v，根据动量守恒定律Mv0＝mv
3t0时刻物体与盒子右壁碰撞使盒子速度又变为v0，说明碰撞是弹性碰撞
则Mv＝mv2，解得m＝M.
【答案】M
[能力提升]
9．如图1-4-14所示，光滑水平地面上有一足够长的木板，左端放置可视为质点的物体，其质量为m1＝1 kg，木板与物体间动摩擦因数μ＝0.1.二者以相同的初速度v0＝0.8 m/s一起向右运动，木板与竖直墙碰撞时间极短，且没有机械能损失．g取10 m/s2.
(1)如果木板质量m2＝3 kg，求物体相对木板滑动的最大距离；
(2)如果木板质量m2＝0.6 kg，求物体相对木板滑动的最大距离．
图1-4-14
【解析】(1)木板与竖直墙碰撞后，以原速率反弹，设向左为正方向，由动量守恒定律
m2v0－m1v0＝(m1＋m2)v
v＝0.4 m/s，方向向左，不会与竖直墙再次碰撞．
由能量守恒定律
(m1＋m2)v＝(m1＋m2)v2＋μm1gs1
解得s1＝0.96 m.
(2)木板与竖直墙碰撞后，以原速率反弹，由动量守恒定律
m2v0－m1v0＝(m1＋m2)v′
v′＝－0.2 m/s，方向向右，将与竖直墙再次碰撞，最后木板停在竖直墙处
由能量守恒定律
(m1＋m2)v＝μm1gs2
解得s2＝0.512 m.
【答案】(1)0.96 m(2)0.512 m
10．如图1-4-15所示，一轻质弹簧两端连着物体A和B，放在光滑的水平面上，物体A被水平速度为v0的子弹击中，子弹嵌在其中，已知A的质量是B的质量的，子弹的质量是B的质量的.求：
图1-4-15
(1)A物体获得的最大速度；
(2)弹簧压缩量最大时B物体的速度；
(3)B物体的最大速度．
【解析】(1)子弹射入A的过程中设子弹质量为m，动量守恒，共同运动的速度设为v1，则mv0＝(m＋mA)v1
解得，v1＝v0＝.
(2)以子弹及A和B组成的系统为研究对象，整个过程总动量守恒，压缩量最大时，速度相等，设为v2.
mv0＝(m＋mA＋mB)v2
解得v2＝v0
＝v0.
(3)物体A(包括子弹)和B作用时，当弹簧恢复原长时，B的速度最大，设为v3.
由动量守恒定律得：
(mA＋m)v1＝(mA＋m)v1′＋mBv3
由能量守恒定律得
(mA＋m)v＝(mA＋m)v1′2＋mBv.
解得v3＝v1＝v0.
【答案】(1)v0(2)v0(3)v0
11．两滑块a、b沿水平面上同一条直线运动，并发生碰撞；碰撞后两者粘在一起运动；经过一段时间后，从光滑路段进入粗糙路段．两者的位置x随时间t变化的图像如图1-4-16所示．求：
图1-4-16
(1)滑块a、b的质量之比；
(2)整个运动过程中，两滑块克服摩擦力做的功与因碰撞而损失的机械能之比．
【解析】(1)设a、b的质量分别为m1、m2，a、b碰撞前的速度为v1、v2.由题给图像得
v1＝－2 m/s ①
v2＝1 m/s ②
a、b发生完全非弹性碰撞，碰撞后两滑块的共同速度为v.
由题给图像得
v＝ m/s ③
由动量守恒定律得
m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v ④
联立①②③④式得
m1∶m2＝1∶8. ⑤
(2)由能量守恒得，两滑块因碰撞而损失的机械能为
ΔE＝m1v＋m2v－(m1＋m2)v2 ⑥
由图像可知，两滑块最后停止运动．由动能定理得，两滑块克服摩擦力所做的功为
W＝(m1＋m2)v2 ⑦
联立⑥⑦式，并代入题给数据得
W∶ΔE＝1∶2. ⑧
【答案】(1)1∶8(2)1∶2
1．4美妙的守恒定律
学 习 目 标
知 识 脉 络
1.知道什么是弹性碰撞、非弹性碰撞和完全非弹性碰撞．(重点)
2．会用动量、能量的观点综合分析、解决一维碰撞问题．(难点)
3．知道正碰与斜碰.
碰 撞 的 分 类
1．从能量角度分类
(1)弹性碰撞
动量和动能都守恒的碰撞，叫做弹性碰撞．
(2)非弹性碰撞
碰撞过程中，动量守恒，动能不守恒的碰撞，叫做非弹性碰撞．
(3)完全非弹性碰撞
两物体碰撞后“合”为一体，以同一速度运动；这种碰撞叫做完全非弹性碰撞．
2．从碰撞前后物体运动的方向是否在同一条直线上分类
(1)正碰：(对心碰撞)两个球发生碰撞，如果碰撞之前球的速度方向与两球心的连线在同一条直线上，碰撞之后两个球的速度方向仍会沿着这条直线的方向而运动．
(2)斜碰：(非对心碰撞)两个球发生碰撞，如果碰撞之前球的运动速度方向与两球心的连线不在同一条直线上，碰撞之后两球的速度方向都会偏离原来两球心的连线而运动．
1．发生碰撞的两个物体，动量是守恒的．(√)
2．发生碰撞的两个物体，机械能是守恒的．(×)
3．碰撞后，两个物体粘在一起，动量是守恒的，但机械能损失是最大的．(√)
两小球发生对心碰撞，碰撞过程中，两球的机械能守恒吗？
【提示】两球发生对心碰撞，动量是守恒的，但机械能不一定守恒，只有发生弹性碰撞时，机械能才守恒．
1．碰撞的特点
(1)时间特点：碰撞现象中，相互作用的时间极短，相对物体运动的全过程可忽略不计．
(2)相互作用力特点：在碰撞过程中，系统的内力远大于外力．
(3)位移特点：在碰撞过程中，由于在极短的时间内物体的速度发生突变，物体发生的位移极小，可认为碰撞前后物体处于同一位置．
2．处理碰撞问题的三个原则
(1)动量守恒
(2)动能不增加
(3)速度要合理
1．(多选)下面关于碰撞的理解正确的是( )
A．碰撞是指相对运动的物体相遇时，在极短时间内它们的运动状态发生了显著变化的过程
B．在碰撞现象中，一般内力都远远大于外力，所以可以认为碰撞时系统的总动量守恒
C．如果碰撞过程中机械能也守恒，这样的碰撞叫做非弹性碰撞
D．微观粒子的碰撞由于不发生直接接触，所以不满足动量守恒的条件，不能应用动量守恒定律求解
【解析】碰撞过程中机械能守恒的碰撞为弹性碰撞，A、B正确，C错；动量守恒定律是自然界普遍适用的规律之一．不仅低速、宏观物体的运动遵守这一规律，而且高速、微观物体的运动也遵守这一规律，D错．
【答案】AB
2.如图1-4-1，两滑块A、B在光滑水平面上沿同一直线相向运动，滑块A的质量为m，速度大小为2v0，方向向右，滑块B的质量为2m，速度大小为v0，方向向左，两滑块发生弹性碰撞后的运动状态是A向_____________运动，B______________运动．
图1-4-1
【解析】选向右为正方向，则A的动量pA＝m·2v0＝2mv0.B的动量pB＝－2mv0.碰前A、B的动量之和为零，根据动量守恒，碰后A、B的动量之和也应为零．
【答案】左右
3．如图1-4-2，三个质量相同的滑块A、B、C，间隔相等地静置于同一水平直轨道上．现给滑块A向右的初速度v0，一段时间后A与B发生碰撞，碰后A、B分别以v0、v0的速度向右运动，B再与C发生碰撞，碰后B、C粘在一起向右运动．滑块A、B与轨道间的动摩擦因数为同一恒定值．两次碰撞时间均极短．求B、C碰后瞬间共同速度的大小.
图1-4-2
【解析】设滑块质量为m，A与B碰撞前A的速度为vA，由题意知，碰撞后A的速度v′A＝v0，B的速度vB＝v0，由动量守恒定律得
mvA＝mv′A＋mvB ①
设碰撞前A克服轨道阻力所做的功为WA，由功能关系得WA＝mv－mv
②
设B与C碰撞前B的速度为v′B，B克服轨道阻力所做的功为WB，由功能关系得WB＝mv－mv′ ③
据题意可知WA＝WB ④
设B、C碰撞后瞬间共同速度的大小为v，由动量守恒定律得
mv′B＝2mv ⑤
联立①②③④⑤式，
代入数据得
v＝v0. ⑥
【答案】v0
处理碰撞问题的两点提醒
(1)选取动量守恒的系统：若有三个或更多个物体参与碰撞时，要合理选取所研究的系统．
(2)弄清碰撞的类型：弹性碰撞、完全非弹性碰撞还是其他非弹性碰撞．
两小球弹性碰撞的研究
如图1-4-3在光滑水平面上质量为m1的小球A以速度v1与质量为m2的静止小球B发生弹性正碰．根据动量守恒和机械能守恒：
图1-4-3
m1v1＝m1v1′＋m2v2′.
m1v＝m1v1′2＋m2v2′2.
碰后两个物体的速度分别为：
v1′＝v1
v2′＝v1
(1)若m1＝m2的两球发生弹性正碰，v1≠0，v2＝0，则v′1＝0，v′2＝v1，即两者碰后交换速度．
(2)若m1?m2，v1≠0，v2＝0，则二者弹性正碰后，v1′＝－v1，v2′＝0.表明m1被反向以原速率弹回，而m2仍静止．
(3)若m1?m2，v1≠0，v2＝0，则二者弹性正碰后，v′1＝v1，v′2＝2v1.表明m1的速度不变，m2以2v1的速度被撞出去．
1．与静止的小球发生弹性碰撞时，入射小球碰后的速度不可能大于其入射速度．(√)
2．两球发生弹性正碰时，两者碰后交换速度．(×)
3．微观粒子发生散射时，并不是微观粒子直接接触碰撞．(√)
1．如图1-4-4所示，光滑水平面上并排静止着小球2、3、4，小球1以速度v0射来，已知四个小球完全相同，小球间发生弹性碰撞，则碰撞后各小球的运动情况如何？
图1-4-4
【提示】小球1与小球2碰撞后交换速度，小球2与小球3碰撞后交换速度，小球3与小球4碰撞后交换速度，最终小球1、2、3静止，小球4以速度v0运动．
2．微观粒子能否碰撞？动量守恒定律适用于微观粒子吗？
【提示】宏观物体碰撞时一般相互接触，微观粒子碰撞时不一定接触，但只要符合碰撞的特点，就可认为是发生了碰撞，可以用动量守恒的规律分析求解．
三类“碰撞”模型
相互作用的两个物体在很多情况下皆可当做碰撞处理，那么对相互作用中两物体相距恰“最近”、相距恰“最远”或恰上升到“最高点”等一类临界问题，求解的关键都是“速度相等”．常见的三类模型如下：
1．子弹打击木块模型
如图1-4-5所示，质量为m的子弹以速度v0射中放在光滑水平面上的木块B，当子弹相对于木块静止不动时，子弹射入木块的深度最大，二者速度相等，此过程系统动量守恒，动能减少，减少的动能转化为内能．
图1-4-5
2．连接体模型
如图1-4-6所示，光滑水平面上的A物体以速度v0去撞击静止的B物体，A、B两物体相距最近时，两物体速度相等，此时弹簧最短，其压缩量最大．此过程系统的动量守恒，动能减少，减少的动能转化为弹簧的弹性势能．
图1-4-6
3．板块模型
如图1-4-7所示，物块A以速度v0在光滑的水平面上的木板B上滑行，当A在B上滑行的距离最远时，A、B相对静止，A、B的速度相等．此过程中，系统的动量守恒，动能减少，减少的动能转化为内能．
图1-4-7
4．如图1-4-8所示，A、B两个木块用轻弹簧相连接，它们静止在光滑水平面上，A和B的质量分别是99m和100m，一颗质量为m的子弹以速度v0水平射入木块A内没有穿出，则在以后的过程中弹簧弹性势能的最大值为________．
图1-4-8
【解析】子弹射入木块A，根据动量守恒有mv0＝100mv1＝200mv2，弹性势能的最大值Ep＝×100mv－×200mv＝.
【答案】
5．如图1-4-9所示，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间．A的质量为m，B、C的质量都为M，三者均处于静止状态．现使A以某一速度向右运动，求m和M之间应满足什么条件，才能使A只与B、C各发生一次碰撞．设物体间的碰撞都是弹性的.
图1-4-9
【解析】A向右运动与C发生第一次碰撞，碰撞过程中，系统的动量守恒、机械能守恒．设速度方向向右为正，开始时A的速度为v0，第一次碰撞后C的速度为vC1，A的速度为vA1.由动量守恒定律和机械能守恒定律得
mv0＝mvA1＋MvC1 ①
mv＝mv＋Mv ②
联立①②式得
vA1＝ v0 ③
vC1＝ v0 ④
如果m>M，第一次碰撞后，A与C速度同向，且A的速度小于C的速度，不可能与B发生碰撞；如果m＝M，第一次碰撞后，A停止，C以A碰前的速度向右运动，A不可能与B发生碰撞；所以只需考虑m第一次碰撞后，A反向运动与B发生碰撞．设与B发生碰撞后，A的速度为vA2，B的速度为vB1，同样有
vA2＝vA1＝2v0 ⑤
根据题意，要求A只与B、C各发生一次碰撞，应有
vA2≤vC1 ⑥
联立④⑤⑥式得
m2＋4mM－M2≥0 ⑦
解得
m≥(－2)M ⑧
另一解m≤－(＋2)M舍去
所以，m和M应满足的条件为
(－2)M≤m【答案】(－2)M≤m处理碰撞问题的两点提醒
(1)在碰撞过程中，系统动量守恒，机械能不一定守恒，在物体与弹簧相互作用过程中物体与弹簧组成的系统动量、机械能均守恒．
(2)宏观物体碰撞时一般相互接触，微观粒子的碰撞不一定接触，但只要符合碰撞的特点，就可以认为是发生了碰撞．
