北师大版数学七年级下册 1.6.2完全平方公式的应用 教学设计
课题
1.6.2完全平方公式的应用
单元
第一单元
学科
数学
年级
七
学习
目标
知识与技能：熟记完全平方公式，并能说出公式的结构特征，能够运用完全平方公式进行一些数的简便运算，会在多项式、单项式的混合运算中，正确运用完全平方公式进行计算。
过程与方法：能够运用完全平方公式解决简单的实际问题，并在活动当中培养学生数学建模的意识及应用数学解决实际问题的能力。
3.情感与态度：在学习中使学生体会学习数学的乐趣，培养学习数学的信心，感爱数学的内在美。
重点
能够运用完全平方公式进行一些数的简便运算。
难点
能够运用完全平方公式解决简单的实际问题。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师：叙述一下完全平方公式。
师：完全平方公式数学表达式：
(a+b) 2=a2+2ab+b2
(a -b) 2=a2－2ab+b2
师：想一想上节课学的103×97怎样用简便方法计算？
教师出示正确答案。
103×97
=(100+3) (100－3)
=1002－32
=9 991 ；
生：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
生：可以利用平方差公式进行简便运算。
本堂课的学习方向首先仍是对于完全平方公式的进一步巩固应用 ，因而复习是很有必要的，这为后面的学习奠定了一定的基础，同时经过本环节 中的第三个问题的思考，也使学生明确了本节课学习的初步目标，起到了承上启 下的作用.
讲授新课
师：思考一下怎样计算1022， 1972更简单呢？
能不能用完全平方公式进行简便计算？
把 1022 改写成 (a+b)2 还是(a?b)2 的形式?
教师出示正确答案。
解】1022
=(100+2)2
=1002+2×100×2+22
=10000+400+4
=10404
师：把 1972 改写成 (a+b)2 还是(a?b)2 的形式?
教师出示正确答案。
1972
=(200-3)2
=2002-2×200×3+32
=40000-1200+9
=38809
【归纳提升】
【例】计算 (1)2012 (2) 992
教师出示正确答案
【解】2012 992
=(200+1)2 =(100-1)2
=2002+2×200×1+1 =1002-2×100×1+12
=40000+400+1 =10000-200+1
=40401 =9801
【例】 计算：
(1) (x+3)2－x2 ； (2) (a+b+3)(a+b－3)；
(3) (x+5)2－(x－2) (x－3) .
(1) (x+3)2－x2
= x2+6x+9－x2
=6x+9
(2) (a+b+3)(a+b－3)
= [(a+b) +3] [(a+b)－3]
= (a+b)2－32
=a2+2ab+b2－9；
(3) (x+5)2－(x－2) (x－3)
= x2+10x+25－(x2－5x+6)
= x2+10x+25－x2+5x－6
= 15x+19 .
师：让我们归纳一下。
对于平方式中若底数是三项式，通过添括号将其中任意两项视为一个整体，就符合完全平方公式特点；对于两个三项式或四项式相乘的式子，可将相同的项及互为相反数的项分别添括号视为一个整体，转化成平方差公式的形式，通过平方差公式展开再利用完全平方公式展开，最后合并可得结果．
师：让我们做一个应用题。
一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们。如果来一个孩子，老人就给这个孩子1块糖果，如果来2个孩子，老人就给每个孩子2块糖果，如果来3个孩子，老人就给每个孩子3块糖果……
假如第一天有a个孩子一起去看老人，第二天有b个孩子一起去看老人，第三天有（a+b）个孩子一起去看老人，那么第三天老人给出去的糖果和前两天给出去的糖果总数一样多吗？
请你用所学的公式解释自己的结论。
(1) 第一天有a个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
(2) 第二天有b个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
(3)第三天有（a+b）个孩子一起去看老人，，老人一共给了这些孩子多少块糖？
(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？
师：完全平方公式常见的变形公式有：
(1) (a+b)2-(a2+b2)=2ab
(2) a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab
(3) (a＋b)2－(a－b)2＝4ab
生思考。
生：改写成(a+b)2的形式
生：改写成(a-b)2的形式
学生计算得出答案。
40401 9801
学生根据所学知识做例题。
学生在教师的引导下总结归纳。
学生读题，思考教师提出的问题。
生：a2
b2
(a+b)2
第三天多，多2ab
因为(a+b)2-(a2+b2)=a2+2ab+b2-a2-b2=2ab
能够运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算，进一步体会
完全平方公式在实际当中的应用，并通过练习加以巩固．
此环节的设计符合学生的认知水平和认知过程．虽然问题本身难度不大，学生容易解决，但是通过在解题之前的观察与忠考，使学生养成认真审题的好习惯，同时对于知识的掌握更有深度，也为后面乘法公式的综合应用奠定了良好的活动基础．
数学源自于生活，通过生活当中的一个有趣的分糖场景，使学生 进一步巩固了(a+b)2=a 2+2ab+b 2，同时帮助学生进一步理解了(a+b)2 与 a 2+b 2 的关 系.同时通过问题串的形式，层层递进，适合学生的思维梯度，学生通过自主探 究和交流学到了新的知识，巩固了旧的知识，学生的学习积极性和主动性得到大 大的激发.
课堂练习
1.我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此恒等式是( C ).
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
2.若a＋b＝3，a2＋b2＝7，则ab等于( B ).
A．2
B．1
C．－2
D．－1
3.若a+b=5,ab=－6, 求a2+b2,a2－ab+b2.
【解】a2+b2
=（a+b)2－2ab
=52-2×(－6)
=37；
a2－ab+b2
=a2+b2－ab
=37－(－6)
=43.
运用乘法公式计算:(x+2y-3)(x-2y+3) ;
【解】(x+2y-3)(x-2y+3)
=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
= x2-(2y-3)2
= x2-(4y2-12y+9)
= x2-4y2+12y-9.
5.下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如(a＋b)n(n为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(a＋b)6展开式中所缺的系数．
(a＋b)1＝a＋b，
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，
则(a＋b)6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋________a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6.
解析：由(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，可得(a＋b)n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于(a＋b)n－1的相邻两个系数的和，
由此可得(a＋b)4的各项系数依次为1、4、6、4、1；
(a＋b)5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1；
因此(a＋b)6的各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1.故填20.
学生认真做课堂练习。通过课堂习题练习，进一步理解并掌握新知。
提高练习是为了巩固学生所学的新知，并让学生学会对新知识的正用、逆用、变形用的能力，加强学生的计算能力和解决问题能力的培养，同时实现了优等生有事做，学困生跟着做的隐性分层教学。
课堂小结
这节课你学到了什么？
运用完全平方公式进行简便运算时，关键是找到与原数接近的整数，再将原数与整数进行比较，变形成(a+b)2 还是(a?b)2 的形式，使之符合公式的特点，再用完全平方公式进行求解．
常用变形
(1) (a+b)2-(a2+b2)=2ab
(2) a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab
(3) (a＋b)2－(a－b)2＝4ab
学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳。
在教师的引导下，学生自主对本节课的所学内容进行归纳小结，使所学的知识及时的纳入学生的认知结构。
板书
1．完全平方公式：
两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；
(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
2．完全平方公式的应用
课件26张PPT。1.6.2完全平方公式的应用北师大版 七年级下新知导入【想一想】1.叙述完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。2.完全平方公式数学表达式：(a+b) 2=a2+2ab+b2
(a -b) 2=a2－2ab+b2新知讲解【想一想】103×97怎样用简便方法计算？ 103×97
=(100+3) (100－3)
=1002－32
=9 991 ；新知导入怎样计算1022， 1972更简单呢？【思考】能不能用完全平方公式进行简便计算？把 1022 改写成 (a+b)2 还是(a?b)2 的形式? 新知讲解【解】1022
=(100+2)2
=1002+2×100×2+22
=10000+400+4
=10404新知讲解把 1972 改写成 (a+b)2 还是(a?b)2 的形式? 【思考】【解】1972
=(200-3)2
=2002-2×200×3+32
=40000-1200+9
=38809新知讲解【归纳提升】完全平方公式在用于简便运算的应用时，关键是找到与原数接近的整数，再将原数与整数进行比较，变形成(a+b)2 还是(a?b)2 的形式，使之符合公式的特点，再用完全平方公式进行求解．新知讲解【例】计算 (1)2012 (2) 992【解】2012
=(200+1)2
=2002+2×200×1+12
=40000+400+1
=40401 992
=(100-1)2
=1002-2×100×1+12
=10000-200+1
=9801新知讲解【例】 计算：
(1) (x+3)2－x2 ； (2) (a+b+3)(a+b－3)；
(3) (x+5)2－(x－2) (x－3) .(2) (a+b+3)(a+b－3)
= [(a+b) +3] [(a+b)－3]
= (a+b)2－32
=a2+2ab+b2－9；新知讲解【例】 计算：
(1) (x+3)2－x2 ； (2) (a+b+3)(a+b－3)；
(3) (x+5)2－(x－2) (x－3) .(3) (x+5)2－(x－2) (x－3)
= x2+10x+25－(x2－5x+6)
= x2+10x+25－x2+5x－6
= 15x+19 .新知讲解对于平方式中若底数是三项式，通过添括号将其中任意两项视为一个整体，就符合完全平方公式特点；对于两个三项式或四项式相乘的式子，可将相同的项及互为相反数的项分别添括号视为一个整体，转化成平方差公式的形式，通过平方差公式展开再利用完全平方公式展开，最后合并可得结果【归纳提升】新知讲解一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们。如果来一个孩子，老人就给这个孩子1块糖果，如果来2个孩子，老人就给每个孩子2块糖果，如果来3个孩子，老人就给每个孩子3块糖果……
假如第一天有a个孩子一起去看老人，第二天有b个孩子一起去看老人，第三天有（a+b）个孩子一起去看老人，那么第三天老人给出去的糖果和前两天给出去的糖果总数一样多吗？
请你用所学的公式解释自己的结论。【做一做】新知讲解a2b2(a+b)2【思考】(1) 第一天有a个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？(2) 第二天有b个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？(3)第三天有（a+b）个孩子一起去看老人，，老人一共给了这些孩子
多少块糖？新知讲解(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？因为(a+b)2-(a2+b2)=a2+2ab+b2-a2-b2=2ab【思考】第三天多，多2ab新知讲解完全平方公式常见的变形公式有：
(1) (a+b)2-(a2+b2)=2ab
(2) a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab
(3) (a＋b)2－(a－b)2＝4ab 【归纳提升】课堂练习1.我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此恒等式是( ).A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2C课堂练习2.若a＋b＝3，a2＋b2＝7，则ab等于( ).
A．2
B．1
C．－2
D．－1B课堂练习3.若a+b=5,ab=－6, 求a2+b2,a2－ab+b2.【解】a2+b2
=（a+b)2－2ab
=52-2×(－6)
=37；a2－ab+b2
=a2+b2－ab
=37－(－6)
=43.课堂练习4.运用乘法公式计算:(x+2y-3)(x-2y+3) ; 【解】(x+2y-3)(x-2y+3)
=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
= x2-(2y-3)2
= x2-(4y2-12y+9)
= x2-4y2+12y-9.拓展提高5.下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如(a＋b)n(n为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(a＋b)6展开式中所缺的系数．(a＋b)1＝a＋b，
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，
则(a＋b)6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋________a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6.拓展提高解析：由(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，可得(a＋b)n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于(a＋b)n－1的相邻两个系数的和，
由此可得(a＋b)4的各项系数依次为1、4、6、4、1；
(a＋b)5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1；
因此(a＋b)6的各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1.故填20.课堂总结完全平方公式法则(a±b)2= a2 ±2ab+b2特征左边是二项式的平方，右边是二次三项式，其中两项分别是公式左边两项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，
可简记为“前平方、后平方，积的2倍在央”．常用
变形(1) (a+b)2-(a2+b2)=2ab
(2) a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab
(3) (a＋b)2－(a－b)2＝4ab 板书设计1．完全平方公式：
两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；
(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
2．完全平方公式的应用作业布置课本 P27 练习题
P27 习题1.12谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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