北师大版数学七年级下册1.6.1完全平方公式的认识教学设计
课题
1.6.1完全平方公式的认识
单元
第一单元
学科
数学
年级
七
学习
目标
知识与技能：理解完全平方公式的本质，并会运用公式进行简单的计算；了解完全平方公式的几何背景.
过程与方法：经历探索完全平方公式的过程，并从推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力，培养学生的数形结合意识.
情感与态度： 体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立学习的自信心.
重点
完全平方公式的应用.
难点
完全平方公式的结构特征及几何解释.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师:同学们，想一想多项式与多项式相乘的法则是什么？
师：什么叫做平方差公式？
教师补充(a+b)(a-b)=a2-b2.
生：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
生：两数和与这两数差的积,等于它们的平方差。
设计这一环节的目的，是在复习上节课知识的基础上，为本节课的学习做好知识准备
讲授新课
师：【算一算】观察下列算式及其运算结果，你有什么发现？
（1）(m+3)2 （2）（2+3x）2
教师出示结果过程及答案。
(m+3)2 （2+3x）2
=(m+3)(m+3) =(2+3x)(2+3x)
=m2+3m+3m+9 =4+2×3x+2×3x+9x2
=m2+2×3m+9 =4+2×2×3x+9x2
=m2+6m+9 =4+12x+9x2
师：观察算式左边，你发现了什么规律？
观察算式右边，你又发现了什么规律？
师：非常好，再举两个例子。
教师根据学生举的例子出示两个例子。
(p+1)2 (a+b)2
= (p+1) (p+1) = (a+b)(a+b)
=p2+p+p+1 =a2+ab+ab+b2
=p2+2p+1 =a2+2ab+b2
师：让我们归纳
(a+b)2 = a2+2ab+b2.
师：试着用自己的语言叙述这一公式！
师：【思考】你能根据下图解释这个公式吗?
大正方形的面积是：
大正方形的面积又可以由4小块组成，它们的面积分别为：___、___、___、___
所以（a+b)2=a2+b2+ab+ab=a2+2ab+b2
师：让我们再讨论讨论(a－b) 2=？ 你是怎样做的？
教师出示正确答案。
【归纳】
(a-b)2 = a2-2ab+b2.
试着用自己的语言叙述这一公式！
【思考】你能设计一个图形解释这个公式吗?
(a-b)2 = a2-2ab+b2.
阴影部分的面积是：
阴影部分的面积也可以由大正方形减去______和_________
所以（a-b)2=a2-ab-b(a-b)=a2-2ab+b2
【总结归纳】
(a+b) 2=a2+2ab+b2
(a -b) 2=a2－2ab+b2
上面两个公式称为完全平方公式。
语言描述：
两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的两倍.
【例】计算：
(2x－3)2 (2) (4x+5y)2； (3) (mn－a)2
【解】(1) (2x－3)2 (2) (4x+5y)2
= (2x)2－2·2x·3+32 = (4x)2 +2·4x·5y+ (5y)2
= 4x2－12x + 9； = 16x2 +40xy+ 25y2 ；
(3) (mn－a)2
= (mn)2－2·mn·a+a2
= m2n2－2amn+a2.
【总结归纳】
完全平方公式的特征：
1.乘积为二次三项式；
2.积中的两项为两数的平方；
3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同；
4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
学生计算得住答案。
m2+6m+9
4+12x+9x2
生：算式左边是一个二项式（两数和）的平方；
右边是两数的平方和加上这两数乘积的两倍.
生：两数和的平方等于这两数的平方和加上这两数积的两倍。
生：（a+b)2
a2 b2 ab ab
学生做题。讨论怎样得出答案。
生：两数差的平方等于这两数的平方和减去这两数积的两倍。
生：（a-b)2
ab b(a-b)
学生在教师的引导下总结归纳。
学生计算得出答案。
学生在教师的引导下总结归纳。
在上一环节的基础上，引入形式特殊的多项式乘以多项式，使学生在计算过程中发现规律，体会规律的一般性，提出自己的猜想，并尝试用数学语言进行描述.
学生积极参与学习活动，为学生动脑思考提供机会，发挥学生的想象力和创造性。
让学生进行验证.学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉完全平方公式的本质特征，掌握运用完全平方公式必须具备的条件.这样就让学生经历从特殊到一般的探究结论的过程，从而验证猜想，得到规律.
教师给出准确概念，同时给学生消化、吸收时间，当堂掌握。
在深刻理解公式的基础上，借助例题训练学生正确应用公式计算，体会公式在简化运算中的作用，并通过巩固练习，进一步强化技能.
课堂练习
1.下列各式中，是完全平方公式的是（ C ）.
A. x2-x+1 B. 4x2+1
C. x2+2x+1 D. x2+2x-1
2.已知4x2+4mx+36是完全平方式，则m的值为（ D ）.
A.2 B.±2
C.-6 D. ±6
3.计算
(1) (6a+5b)2； =36a2+60ab+25b2；
(2) (4x－3y)2 ； =16x2－24xy+9y2；
(3) (2m－1)2 ； =4m2－4m+1；
(4)(－2m－1)2 . =4m2+4m+1.
4.如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．
∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，
∴m＋1＝±60，
∴m＝59或－61.
学生认真做课堂练习。通过课堂习题练习，进一步理解并掌握新知。
提高练习是为了巩固学生所学的新知，并让学生学会对新知识的正用、逆用、变形用的能力，加强学生的计算能力和解决问题能力的培养，同时实现了优等生有事做，学困生跟着做的隐性分层教学。
课堂小结
这节课你学到了什么？
完全平方公式
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的两倍.
在解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2。
学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳。
在教师的引导下，学生自主对本节课的所学内容进行归纳小结，使所学的知识及时的纳入学生的认知结构。
板书
完全平方公式
1．探究公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2；
2．完全平方公式的几何意义；
3．利用完全平方公式计算。
课件22张PPT。1.6.1完全平方公式的认识北师大版 七年级下新知导入2.什么叫平方差公式？两数和与这两数差的积,等于它们的平方差，
即(a+b)(a-b)=a2-b2.1.多项式与多项式相乘的法则是什么？多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式
的每一项，再把所得的积相加. 【思考】新知讲解【算一算】观察下列算式及其运算结果，你有什么发现？ (m+3)2
=(m+3)(m+3)
=m2+3m+3m+9
=m2+2×3m+9
=m2+6m+9 （2+3x）2
=(2+3x)(2+3x)
=4+2×3x+2×3x+9x2
=4+2×2×3x+9x2
=4+12x+9x2（1）(m+3)2（2）（2+3x）2新知讲解(m+3)2=m2+6m+9（2+3x）2=4+12x+9x2
【思考】观察算式左边，你发现了什么规律？
观察算式右边，你又发现了什么规律？新知讲解算式左边是一个二项式（两数和）的平方；
右边是两数的平方和加上这两数乘积的两倍.再举两例验证你的发现.(p+1)2
= (p+1) (p+1)
=p2+p+p+1
=p2+2p+1(a+b)2
= (a+b)(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2.【总结】新知讲解【归纳】(a+b)2 = a2+2ab+b2.两数和的平方等于这两数的平方和加上这两数积的两倍。试着用自己的语言叙述这一公式！新知讲解【思考】你能根据下图解释这个公式吗?a2ababb2（a+b)2所以（a+b)2=a2+b2+ab+ab=a2+2ab+b2(a+b)2 = a2+2ab+b2.大正方形的面积是：大正方形的面积又可以由4小块组成，它们的面积分别为：___、___、___、___a2b2abab新知讲解 (a?b)2
=[a+(?b)]2
=a2+2a(-b)+(-b)2
=a2-2ab+b2【议一议】 (a－b) 2=？ 你是怎样做的？ (a－b) 2
=（a-b）（a-b）
=a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2新知讲解【归纳】(a-b)2 = a2-2ab+b2.两数差的平方等于这两数的平方和减去这两数积的两倍。试着用自己的语言叙述这一公式！新知讲解【思考】你能设计一个图形解释这个公式吗?(a-b)2 = a2-2ab+b2.（a-b)2阴影部分的面积是：阴影部分的面积也可以由大正方形减去______和_________abb(a-b)abb(a-b)所以（a-b)2=a2-ab-b(a-b)
=a2-2ab+b2新知讲解语言描述：
两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的两倍.【总结归纳】(a+b) 2=a2+2ab+b2
(a -b) 2=a2－2ab+b2上面两个公式称为完全平方公式。新知讲解【例】计算：
(1) (2x－3)2 ； (2) (4x+5y)2； (3) (mn－a)2
(1) (2x－3)2
= (2x)2－2·2x·3+32
= 4x2－12x + 9；(2) (4x+5y)2
= (4x)2 +2·4x·5y+ (5y)2
= 16x2 +40xy+ 25y2 ；【解】新知讲解【例】计算：
(1) (2x－3)2 ； (2) (4x+5y)2； (3) (mn－a)2(3) (mn－a)2
= (mn)2－2·mn·a+a2
= m2n2－2amn+a2.新知讲解4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.完全平方公式的特征：1.乘积为二次三项式；2.积中的两项为两数的平方；3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同；【总结归纳】课堂练习 2.已知4x2+4mx+36是完全平方式，则m的值为（ ）.
A.2 B.±2
C.-6 D. ±61.下列各式中，是完全平方公式的是（ ）.
A. x2-x+1 B. 4x2+1
C. x2+2x+1 D. x2+2x-1DC课堂练习 (1) (6a+5b)2； (2) (4x－3y)2 ；3.计算=36a2+60ab+25b2；=16x2－24xy+9y2； (3) (2m－1)2 ；(4)(－2m－1)2 . =4m2－4m+1；=4m2+4m+1. 拓展提高4.如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．课堂总结完全平方公式公式注意(a±b)2= a2 ±2ab+b2在解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2。语言描述两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的两倍.板书设计完全平方公式
1．探究公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2；
2．完全平方公式的几何意义；
3．利用完全平方公式计算．作业布置课本 P24 练习题
P25 习题1.11谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！
详情请看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
