《解直角三角形》基础训练
知识点1已知两边解直角三角形
1.在Rt△ABC中，AB=4，AC=2，∠C=90°，则∠A的度数为( )
A.30° B.40° C.45° D.60°
2.在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠C=90°，a=5，c=5，则∠B=____，b=____.
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且b=4，a=4，求这个三角形的其他元素.
知识点2已知一边及一锐角解直角三角形
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是( )
A. B.4 C.8 D.4
5.[2018河南信阳羊山中学期中]如图，三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )
A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.6.5
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边.求下列直角三角形中的未知量.
(1)∠B=60°，c=25；
(2)∠A=30°，b=.
知识点3解直角三角形的综合运用
7.[2018黑龙江哈尔滨香坊区期末]在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且sinA=，cosB=，AC=40，则△ABC的面积是( )
A.800 B.800 C.400 D.400
8.如图，已知在△ABC中，AD是边BC上的高，BC=14，AD=12，sinB=，则线段DC的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
9.如图，平面直角坐标系中有正方形ABCD，B(0，)，∠BA0=60°，那么点C的坐标为____.
10.在△ABC中，AC=6，BC=5，sinA=，∠A，∠B为锐角，求tanB的值.
11.如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E
(1)若∠A=60°，求BC的长；
若sinA=，求AD的长.
(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)
参考答案
1.C【解析】在Rt△ABC中，∵AB=4，AC=2，∠C=90°，∴cosA===，∴∠A=45°.故选C.
2.45° 5【解析】因为sinA===，所以∠A=45°，所以∠B=90°－∠A=45°，所以∠B=∠A，所以b=a=5.
归纳总结：(1)解直角三角形要注意每个三角形都有6个元素，即3个角和3条边.(2)解直角三角形时要注意发现已知和未知之间的联系，充分利用三角函数的定义来列式求值，正弦、余弦、正切三种函数都涉及两边一角，要正确选择，不能将它们弄混.(3)直角三角形中两锐角互余，三边之间满足勾股定理.
3.【解析】在Rt△ABC中，∵∠C=90°，b=4，a=4，∴tanA===，∴∠A=60°，∴∠B=90°－∠A=30°，∴c=2b=8.
故c=8，∠A=60°，∠B=30°.
4.D【解析】在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠B=30°，AB=8，∴BC=ABcosB=8×=4.故选D.
5.D【解析】根据垂线段最短，可知AP的长不可能小于3.在三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，∴AB=6，∴AP的长不可能大于6.故选D.
6.【解析】(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，∴∠A=30°，∴sinA==， ∵c=25，∴a=.
∵cosA==，c=25，∴b=.
综上a=， b=，∠A=30°.
(2)∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠B=60°.
在Rt△ABC中，cosA==，∵b=，∴c=2，∴a=c=1.
综上，a=l，c=2，∠B=60°.
名师点睛：解直角三角形的过程，就是把所有未知元素求出来的过程，不是只求单独的一条未知边或一个未知角.
7.D【解析】∴sinA=，cosB=，∴∠A=∠B=30°，∴BC=AC.
如图，过点C作CD⊥AB于点D，则CD=AC=20，AD=20，∴AB=2AD=40，∴S△ABC=AB·CD=400.
故选D.
8.C【解析】∵AD是边BC上的高，∴AD⊥BC.在Rt△BDA中，∠BDA=90°，AD=12，sinB==，∴AB=15，∴BD===9，DC=BC－BD=14－9=5.故选C.
9.(－， ＋1)【解析】过点C作CE⊥y轴于点E，则易证Rt△CEB≌Rt△BOA，∴CE=BO=，BE=AO==l，所以OE=OB＋BE=＋1因此点C的坐标为(－，＋1) .
10.【解析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，则sinA==，∴CD=AC=4.
在Rt△BCD，BC=5，CD=4，∴BD=3，∴tanB==.
11.【解析】(1)∵∠A=60o，∠ABE=90°，∴∠E=30°.
在Rt△ABE中，∵AB=6，tanA=，∴BE=AB·tanA=6×tan60°=6.
∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∴CE===8，BC=BE－CE=6－8.
(2)∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，∴设BE=4x，AE=5x，则AB=3x，∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10，∴tanE====，解得DE=，∴AD=AE－DE=lO－=.
归纳总结：本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答.
《解直角三角形》提升训练
1.[2018陕西延安市实验中学课时作业]如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，sinB=，则菱形ABCD的周长是( )
A.10 B.20 C.40 D.28
2.[2018河南省第二实验中学课时作业]如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为( )
A.4 B.8 C.2 D.4
3.[2017贵州安顺中考]如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙0于点B，OC平行于弦AD，0C=5，则AD的长为( )
A. B. C. D.
4.[2017贵州铜仁中考]如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E.设∠A=a，且tana=，则tan2a=____.
5.[2018河北邯郸二十三中课时作]如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长是____.
6.[2017上海中考]如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米.其中D是BC的中点，且AD⊥BC.
(1)求sinB的值；
(2)现需要加装支架DE，EF，点E在AB上，BE=2AE.且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长.
7.[2018吉林九中课时作业]如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点0，∠BCD是钝角，AB=AD，BD平分∠ABC，若CD=3，BD=2，sin∠DBC=，求对角线AC的长.
8.[2018广东深圳中学课时作业]如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2，求CD的长和四边形ABCD的面积.
参考答案
1.C【解析】由sinB=，易知cosB=.∵在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，cosB===，∴BC=10，则菱形ABCD的周长为4BC=40.故选C.
2.D【解析】∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠ABC=∠ADE=30°，∵AF⊥BC，∴∠AFB=90°.
在Rt△AFB中，∵DF是斜边AB上的中线，∴AB=2DF=8，∵∠ABC=30°，∴BF=Abcos∠ABC=8×=4.故选D.
3.B【解析】如图，连接BD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.∵OC∥AD，∴∠A=∠BOC，∴cos∠A=cos∠BOC.
∵BC切⊙0于点B，∴OB⊥BC，∴cos∠BOC==，∴cos∠A= cos∠BOC=.
又cos∠A=，AB=4，∴AD=.故选B.
4.【解析】如图，连接BE，∵点D是AB的中点，ED⊥AB，∴ED是AB的垂直平分线，∴EB=EA，∴∠EBA=∠A=a，∴∠BEC=2a.∴tana==，∴设DE=a，AD=3a，则AE=a，AB=6a.设BC=x，CE=y，则，∴BC=x=，CE=y=，∴tan2a==.
5.2【解析】过点D作DE⊥AB于点E，∵tan∠DBA==，∴BE=5DE.∵△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，∴∠A=45°，∴AE=DE，∴BE=5AE.∵AC=6，∴AB=6.∴AE＋BE=AE＋5AE=6，∴AE=.在等腰直角三角形ADE中，由勾股定理，得AD==2.
6.【解析】(1)∵点D是BC的中点，∴BD=BC=9米.
∵AD⊥BC，∴△ABD是直角三角形，∴AB===3 (米)，∴sinB===.
(2)∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，∴，∴EF=AD=4米，BF=BD=6米，则DF=BD－BF=9－6=3(米).
在Rt△DEF中，DE===5(米).
7.【解析】如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，则∠E=90°，∵sin∠DBC==，BD=2，∴DE=2.
在Rt△CDE中，∵CD=3，DE=2，∴CE=CD2－DE2=1，
在Rt△BDE中，∵BD=2，DE=2，∴BE==4，∴BC=3，BC=CD，∴∠CBD=∠CDB，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD.
同理AD∥BC，∴四边形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD，A0=CO，BO=D0=，OC===，∴AC=2.
8.【解析】如图，过点D作DH∥⊥AC于点H.
∵∠CED=45°，DE=，∴EH=DEcos45°=×=1，∴DH=1.
又∠DCE=30°，∴HC==，CD==2.
∵∠AEB=∠CED=45°，∠BAC=90°，BE=2，∴AB=AE=2，∴AC=AE＋EH＋HC=2＋1＋=3＋.
∴S四边形ABCD=S△ABC＋S△ADC=×2×(3＋)＋×1×(3＋)=.
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《应用举例（2）》基础训练
知识点1方位角问题
1.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为( )
A.60海里 B.45海里 C.20海里 D.30海里
2.[2017广西百色中考]如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是( )
A.20(＋1)米/秒 B.20(－1)米/秒 C.200米/秒 D.300米/秒
3.[2018安徽淮安中考]如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市的北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长.
知识点2坡度、坡角问题
4.[2018浙江宁波中考]如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至已知B，已知AB=500米，则这名滑雪运动员的高度下降了____米.(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)
5.如图，斜坡AB的坡度为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连.若AB=10米，则旗杆BC的高度为( )
A.5米 B.6米 C.8米 D.(3＋)米
6.[2017湖北仙桃中考]为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固.如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD，已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD=12米，∠B=60°.加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE=，则CE的长为____米.
7.如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角∠FDC为30°，若兰兰的眼睛与地面的距离DG是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i=4：3，坡高8米，求小船C到岸边的距离CA.(参考数据： ≈1.73，结果保留一位小数)
参考答案
1.D【解析】由题意，知∠APB=90°，∠A=60°，PA=30海里，∴PB=PA·tanA=30×tan60°=30(海里).故选D.
2.A【解析】如图，过点B作BD⊥AC于点D.在Rt△ABD中，因为∠ABD=60°，BD=200米，所以AD=BDtan∠ABD=200米，在Rt△CDB中，BD=200米，∠CBD=45°，所以CD=BD=200米，则AC=AD＋CD=(200＋200)米，则平均速度是=(20＋1)米/秒.故选A.
3.【解析】如图，过点M作MN⊥AC于点N，此时MN最短.
由题意知∠EAC=60°，∠EAM=30°，∴∠CAM=30°，易知∠FCM=60°，∴∠MCB=30°，∵∠EAC=60°，∴∠CAD=30°，∴∠BCA=30°，∴∠MCA=∠MCB＋∠BCA=60°，∴∠AMC=90°.在Rt△AMC中，∠AMC=90°，∠MAC=30°，∴MC=AC=1000米.
在Rt△CMN中，∠MCN=60°，∴∠CMN=30°，∴NC=MC=500米.
∴AN=AC－NC=2000－500=1500(米).
因此，AN的长为1500米.
名师点睛：解决实际问题的关键在于明确题意，善于把实际问题转化为数学问题，要抓住问题的实质，不要被表面现象所迷惑.对于本题，正确作出高，证明△AMC是直角三角形是解题的关欲
4.280【解析】在Rt△ABC中，AC=ABsin34°=500×0.56≈280(米)，所以这名滑雪运动员的高度下降了280米.
5.A【解析】因为斜坡AC的坡度为1：2，所以可设CD=x米，AD=2x米，在Rt△ACD中，由勾股定理得x2＋(2x)2=(3)2，所以x=3，所以CD=3米，AD=6米.在Rt△ABD中，由勾股定理得BD= =8米，所以BC=BD－CD=8－3=5(米).故选A.
6.8【解析】如图，分别过点A，D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂足分别为F，G.
在Rt△ABF中，AB=12米，∠B=60°，sinB=，所以AF=米，所以DG=米，在Rt△DGC中，因为CD=12米，DG=米，所以GC= =18米.
在Rt△DEG中，因为tanE=，所以，所以GE =26米，所以CE=GE－CG=26－18=8(米)，即CE的长为8米.
7.【解析】如图，过点B作BE⊥CA交CA的延长线于点E，延长DG交CA的延长线于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG.
∵i==，BE=8米，∴AE=6米.
∵DG=1.5米，BG=l米，∴DH=DG＋GH=1.5＋8=9.5(米)，AH=AE＋EH=6＋l=7(米).
在Rt△CDH中，∵∠C=∠FDC=30°，DH=9.5米，tanC=，∴CH=米.
又CH=CA＋7，即=CA＋7，∴CA≈9.4米.
因此，小船C到岸边的距离CA约是9.4米.
《应用举例（2）》提升训练
1.[2017山东济南中考]如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度)，把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE=0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB=3m，则石坝的坡度为( )
A. B.3 C. D.4
2.[2018河北石家庄二十七中课时作业]某数学兴趣小组同学进行测量大树CD(垂直于水平面AE)高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，再沿水平方向行走6米至大树底端点D处，斜坡AB的坡度(或坡比)i=1：2：4，那么大树CD的高度约为(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)( )
A.8.1米 B.17.2米 C.19.7米 D.25.5米
3.[2018山西运城垣曲期末]小明坐在堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC的长为米，钓竿0A的倾斜角是60°，其长为3米.若0A与钓鱼线0B的夹角为60°，则浮漂B与河堤下端C之间的距离是____米.
4.[2018四川成都石室中学课时作业]如图，在—条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N20km.一轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km.
(1)若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线l?
(2)若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由.(参考数据： ≈1.4，≈1.7)
5.[2017贵州黔东南州中考]如图，某校教学楼后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角a为60°.根据有关部门的规定，∠a≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数)(参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41， ≈1.73，≈2.24)
6.[2018江西南昌铁一中课时作业]一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东60°方向，航行40海里到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东15°方向.
(1)求灯塔P到轮船航线的距离PD；(结果保留根号)
(2)当轮船从B处继续向东航行时，一艘快艇从灯塔P处同时前往D处，尽管快艇速度是轮船速度的2倍，但快艇还是比轮船晚15分钟到达D处，求轮船每小时航行多少海里.(结果精确到1海里，参考数据≈1.7)
参考答案
1.B【解析】如图，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于点M，在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE= ==0.8.易知△ADE∽△ACM，所以，即，解得AM=4，CM=3，所以BM=AM－AB=4－3=1，所以石坝的坡度为=3.故选B.
2.A【解析】如图，过点B作BF⊥AE于点F.设BF=x米，易知四边形BDEF是矩形，则DE=BF=x米，DE=BF=x米.∵斜坡AB的坡度i=l：2.4，∴BF：AF=l：2.4，则AF=2.4x米.
在Rt△ABF中，AB=13米，BF2＋AF2=AB2，∴x2＋(2.4x)2=132，∴x=5，∴DE=BF=5米，AF=12米，∴AE=AF＋EF=18米.
在Rt△ACE中，tan∠CAE=，∴CE=AE·tan∠CAE=18×tan36°≈13.14(米)，∴CD=CE－DE≈8.1米.故选A.
归纳总结：此类题考查解直角三角形的应用，首先要明确仰角及坡度的意义，并能寻找直角三角形或添加辅助线构造直角三角形，把已知条件和待求线段放在直角三角形中，利用直角三角形的边角关系求解，找准对应关系是关键.此外，在求解过程中常通过设未知数，建立方程求解.
3.1.5【解析】如图，延长0A交BC的延长线于点D，则∠CAD=180°－∠ACD=90°.
在Rt△ACD中，AD=AC.tan∠ACD=AC=1.5米，CD=2AD=3米. ∵∠DOB=∠ODB=60°，∴∠B0D是等边三角形，所以BD=OD=0A＋AD=4.5米，所以BC=BD－CD=4.5－3=1.5(米).即浮漂B与河堤下端C之间的距离是1.5米.
4.【解析】(1)如图，延长AB交直线l于点F.
由题意知∠CBE=60°，∠DAC=30°，∴∠BCE=30°，∠DCA=60°，∴∠ACB=90°.
在Rt△ABC中，BC=12km，AB=36×=24(km)，∴∠BAC=30°，AC==12(km).
在Rt△ACD中，AD=AC×cos30°=12×=18(km).
在Rt△ADF中，∵∠DAF=60°，∴∠F=30°，AF=2AD=36km，36÷36=l(h)，
∴轮船在11：00到达海岸线l.
(2)该轮船能停靠在码头.理由如下：
在Rt△ADF中，DF=AF×sin60°=36×=18(km).
在Rt△ADC中，DC=AC=6km，∴CF=12km.
∵CN=20km，CM=2l.5km，12≈20.4，20＜20.4＜21.5.
∴该轮船能停靠在码头.
5.【解析】如图，假设点D移到D'的位置时，恰好∠a=39°，过点D作DE⊥AC于点E，过点D'作D'E'⊥AC于点E'，∵CD=12米，∠DCE=60°，∴DE=CD·sin60°=12×=6(米)，CE=CD·cos60°=12×=6(米).∵DE⊥AC，D'E'⊥AC ，DD'∥CE’，
∴四边形DEE'D'是矩形，D'E'=DE=6米.
∵∠D'CE'=39°，∴CE'=≈≈l3(米)，∴EE'=CE'－CE≈7米.
因此，学校至少要把坡顶D向后水平移动约7米才能保证教学楼的安全.
6【解析】(1)过点B作BC⊥AP于点C.
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴BC=AB=20海里，AC=AB·cos30°=20海里.
∵∠PBD=90°－15°=75°，∠ABC=90°－30°=60°，∴∠CBP=180°－75°－60°=45°，∴PC=BC=20海里，∴AP=PC＋AC=(20＋20)海里.
∵PD⊥AD，∠PAD=30°，∴PD=AP=(10＋10)海里.
因此，灯塔P到轮船航线的距离PD是(10＋10)海里.
(2)设轮船每小时航行x海里，
在Rt△ADP中，AD=AP·cos30°=× (20＋20)=(30＋10)(海里)，∴BD=AD－AB=30＋10—40=(10－10)(海里)，由题意，得＋=，
解得x=60－20，经检验x=60－20是原方程的解，∴x=60－20≈26.
因此，轮船每小时约航行26海里.
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《应用举例（1）》基础训练
知识点1一般的实际问题
1.[2017湖南益阳中考]如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=a，则拉线BC的长度为(A，D，B在同一条直线上)( )
A. B. C. D.h·cosa
2.如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶即可到达B地.已知AC=120km，∠A=30°，∠B=135°，求隧道开通后汽车从A地到B地需行驶多少千米.
知识点2与圆相关的问题
3.山东聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标.如图，点O是摩天轮的圆心，长为110m的AB是其垂直地面的直径，小莹在地面C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33°，测得圆心0的仰角为21°，则小莹所在点C到直径AB所在直线的距离约为(tan33°≈0.65，tan21°≈0.38)( )
A.169m B.204m C.240m D.407m
4.某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳0B的长为3m，静止时，踏板到地面距离BD的长为0.6m(踏板厚度忽略不计).为安全起见，乐园管理处规定:儿童的“安全高度”为hm，成人的“安全高度”为2m.(计算结果精确到0.1m)
(1)当摆绳OA与0B成45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则h=____；
(2)某成人在玩秋千时，摆绳0C与OB的最大夹角为55°，问此人是否安全？
(参考数据: ≈1.41，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)
知识点3仰角、俯角问题
5.[2018海南定安期末]如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端25米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为a，则树0A的高度为( )
A. 米 B.25sina米 C.25tana米 D.25cosa米
6.[浙江宁波中考]如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为_____米(结果保留根号)
7.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点B，C，E在同一水平直线上)，已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离.(结果精确到0.1m，参考数据≈1.414，≈1.732)
参考答案
1.B【解析】根据同角的余角相等，得∠CAD=∠BCD，由cos∠BCD=，知BC== .故选B.
2.【解析】过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，在Rt△ACD中，∵AC=120km，∠A=30°，∴CD=ACsin30°=60km，AD=ACcos30°=60km，∵∠ABC=135°，∴∠CBD=45°，∴BD=CD=60km，AB=AD－BD=(60－60)km.
故隧道开通后汽车从A地到B地需行驶(60－60)千米.
3.B【解析】如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，在Rt△ACD中，AD=CD·tan∠ACD=CD·tan33°，在Rt△DCO中，OD=CD·tan∠DCO=CD·tan21°，∵AB=110m，∴AO=55m，∴AO=AD－OD=CD·tan33°－CD·tan21°=55，∴CD=≈≈204(m).故小莹所在点C到直径从所在直线的距离约为204m.故选B.
归纳总结：在解决实际问题时，关键是要将实际问题转化为数学问题，要将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，这样就能很好地运用解直角三角形的方法求解.
4.【解析】(1)1.5
如图，在Rt△OAE中，OA=OB=3m，∠AOE=A5°，OE=OA×cos45°=3×=(m)，∴BE=0B－OE=3－=(m)，∴DE=BE＋BD=＋0.6≈1.5(m)，即h=1.5.
(2)如图，过点C作CF⊥OB于点F，在Rt△COF中，0C=OB=3m，∠COF=55°，
∴OF=OC×cos55°≈3×0.57=1.71(m)，BF=OB－OF=3－1.71=1.29(m)，
DF=BF＋BD=1.29＋0.6≈1.9(m)，∵1.9m＜2m，∴此人安全.
5.C【解析】在Rt△ABO中，∵BO=25米，∠ABO=a，AO=BOtana=25tana米.故选C.
6.(1200－1200)【解析】在Rt△ACH中，CH=l200米，∠CAH=∠ACD=45°，∴AH=CH=1200米.
在Rt△BCH中，CH=1200米，∠CBH=∠BCD=30°，∴BH=== 1200(米)，∴AB=BH－AH=(1200－1200)米.
7.【解析】如图，过点D作DF⊥AB于点F，则四边形FBED是矩形.
∴FD=BE，BF=DE=10m，FD∥BE.∵∠FDC=30°，FD∥BE，∴∠DCE=∠FDC=30°.
在Rt△DEC中，∠DEC=90°，DE=10m，∠DCE=30°，∴CE===10(m).
在Rt△AFD中，∠AFD=90°，∠ADF=∠FAD=45°，∴FD=AF.
∵AB=80m，BF=10m，∴FD=AF=AB－BF=80－10=70(m).
∴BC=BE－CE=FD－CE=70－10≈5207(m).
因此，障碍物两点间的距离约为52.7m.
《应用举例（1）》提升训练
1.[2018江西临川一中课时作业]如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角为60°，又从A点测得D点的俯角为30°，若旗杆底端G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为( )
A.20米 B.10米 C.15米 D.5米
2.[2017辽宁抚顺中考]如图，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影点A’的俯角∠A’NB为45°，则电视塔AB的高度为____米.(结果保留根号)
3.[2018山东济南育英中学课时作业]在一个阳光明媚的周末，小明和小强一起到郊外放风筝.他们把风筝放飞后，把两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处(如图).现已知风筝A的引线(线段AC)长20m，风筝B的引线(线段BC)长24m，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°.
(1)试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地面更高；
(2)求风筝A与风筝B的水平距离.(结果精确到0.01m， ≈1.414，≈1.732)
4.[2018江苏盐城市一中课时作业]一批武警官兵奉命营救小山两侧A，B两地的被困人员，为了圆满完成空降任务，需知道小山高度及两地的距离.已知当飞机飞至高空C处时，发现飞机与山顶P及村庄B在同一条直线上，且点A，B，C，P在同一平面内，并测得A，B两地的俯角分别为75°和30°，飞机离A地的距离AC=1400米，又知在A处测得山顶P的仰角为45°，求A，B两地的距离及小山的高.(结果保留根号)
参考答案
1.A【解析】由题意知GE∥AB∥CD，BC=2GC，GE=15米，∴AB=2GE=30米，∴AF=BC=AB·tan∠BAC=30×tan30°=10(米).
在Rt△AFD中，DF=AF·tan30°=10×=10(米)，∴CD=CF－DF=AB－DF=30－10=20(米).故选A.
2.100【解析】连接AN，易证△ABN≌△A’BN，∴A’N=AN，∠ANB=∠A’NB=45°.
∵∠AMB=22.5°，∴∠MAN=22.5°，∴AN=MN=200米，∴AB=AN·sin∠ANB=200×sin45°=200×=100(米).
3.【解析】(1)如图，分别过点A，B作地面的垂线，垂足分别为D，E.
在Rt△ADC中，∵AC=20m，∠ACD=60°，∴AD=20×sin60°=10≈17.32(m).在Rt△BEC中，∵BC=24m，∠BCE=45°，∴BE=24×sin45°=12≈16.97(m).
∵17.32＞16.97，∴风筝A离地面更高.
(2)在Rt△ADC中，∵AC=20m，∠ACD=60°，∴DC=20×cos60°=10(m).
在Rt△BEC中，∵BC=24m，∠BCE=45°，∴EC=BE≈16.97m，∴ED=EC－DC≈6.97m，
即风筝A与风筝B的水平距离约为6.97m.
4.【分析】首先过点A作AE⊥BC于点E，过点P作PH⊥AB于点H，根据题意得，∠DCA=75°，∠DCB=30°，DC∥AB，然后由三角函数的知识，求得AE与EC的值，进而求得AB的值与小山的高.
【解析】如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点P作PH⊥AB于点H，根据题意得，∠DCA=75°，∠DCB=30°，DC∥AB，∴∠B=∠DCB=30°，∠BCA=∠DCA－∠DCB=45°，∴AE=EC=AC·sin∠ECA=1400×=700(米)，∴AB===1400(米).
∴BE=AB·cosB=1400×=700(米),∴BC=BE＋EC=(700＋700) (米)，∵∠B=∠B，∠BAP=∠BCA=45°，∴△ABP∽△CBA，
∴，∴=，∴PH=(700－700)米.
∴A，B两地的距离为1400米，小山的高为(700－700)米.
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