《研究平抛运动的规律》习题课教案
教学目标：1、平抛运动知识简析，是学生全面掌握平抛的知识。
2、处理平抛物体的运动时应注意：
3、平抛运动的速度变化和重要推论
4、平抛运动的拓展
重 点：平抛运动知识简析
难 点：平抛运动的拓展
知识简析 一、平抛物体的运动
1、平抛运动：将物体沿水平方向抛出，其运动为平抛运动．
（1）运动特点：a、只受重力；b、初速度与重力垂直．尽管其速度大小和方向时刻在改变，但其运动的加速度却恒为重力加速度g，因而平抛运动是一个匀变速曲线运动
（2）平抛运动的处理方法：平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性，又具有等时性．
（3）平抛运动的规律：以物体的出发点为原点，沿水平和竖直方向建成立坐标。
ax=0……① ay=0……④
水平方向 vx=v0 ……② 竖直方向 vy=gt……⑤
x=v0t……③ y=?gt2……⑥
①平抛物体在时间t内的位移S可由③⑤两式推得s==，
②位移的方向与水平方向的夹角α由下式决定tgα=y/x=?gt2/v0t=gt/2v0
③平抛物体经时间t时的瞬时速度vt可由②⑤两式推得vt=，
④速度vt的方向与水平方向的夹角β可由下式决定tgβ=vy/vx=gt/v0
⑤平抛物体的轨迹方程可由③⑥两式通过消去时间t而推得：y=·x2， 可见，平抛物体运动的轨迹是一条抛物线．
⑥运动时间由高度决定，与v0无关，所以t=，水平距离x＝v0t＝v0
⑦Δt时间内速度改变量相等，即△v＝gΔt，ΔV方向是竖直向下的．说明平抛运动是匀变速曲线运动．
2、处理平抛物体的运动时应注意：
水平方向和竖直方向的两个分运动是相互独立的，其中每个分运动都不会因另一个分运动的存在而受到影响——即垂直不相干关系；
水平方向和竖直方向的两个分运动具有等时性，运动时间由高度决定，与v0无关；
末速度和水平方向的夹角不等于位移和水平方向的夹角，由上证明可知tgβ=2tgα
【例1】 物块从光滑曲面上的P点自由滑下，通过粗糙的静止水平传送带以后落到地面上的Q点，若传送带的皮带轮沿逆时针方向转动起来，使传送带随之运动，如图1－16所示，再把物块放到P点自由滑下则
A.物块将仍落在Q点
B.物块将会落在Q点的左边
C.物块将会落在Q点的右边
D.物块有可能落不到地面上
解答:物块从斜面滑下来，当传送带静止时，在水平方向受到与运动方向相反的摩擦力，物块将做匀减速运动。离开传送带时做平抛运动。当传送带逆时针转动时物体相对传送带都是向前运动，受到滑动摩擦力方向与运动方向相反。 物体做匀减速运动，离开传送带时，也做平抛运动，且与传送带不动时的抛出速度相同，故落在Q点，所以A选项正确。
【小结】若此题中传送带顺时针转动，物块相对传送带的运动情况就应讨论了。
（1）当v0=vB物块滑到底的速度等于传送带速度，没有摩擦力作用，物块做匀速运动，离开传送带做平抛的初速度比传送带不动时的大，水平位移也大，所以落在Q点的右边。
（2）当v0＞vB物块滑到底速度小于传送带的速度，有两种情况，一是物块始终做匀加速运动，二是物块先做加速运动，当物块速度等于传送带的速度时，物体做匀速运动。这两种情况落点都在Q点右边。
（3）v0＜vB当物块滑上传送带的速度大于传送带的速度，有两种情况，一是物块一直减速，二是先减速后匀速。第一种落在Q点，第二种落在Q点的右边。
规律方法 1、平抛运动的分析方法
用运动合成和分解方法研究平抛运动，要根据运动的独立性理解平抛运动的两分运动，即水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．其运动规律有两部分：一部分是速度规律，一部分是位移规律．对具体的平抛运动，关键是分析出问题中是与位移规律有关还是与速度规律有关
【例2】如图在倾角为θ的斜面顶端A处以速度V0水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B处，设空气阻力不计，求
（1）小球从A运动到B处所需的时间；
（2）从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？
解析：（1）小球做平抛运动，同时受到斜面体的限制，设从小球从A运动到B处所需的时间为t,则：水平位移为x=V0t
竖直位移为y=, 由数学关系得到:
（2）从抛出开始计时，经过t1时间小球离斜面的距离达到最大,当小球的速度与斜面平行时，小球离斜面的距离达到最大。因Vy1=gt1=V0tanθ,所以
【例3】 已知方格边长a和闪光照相的频闪间隔T，求：v0、g、vc
解：水平方向： 竖直方向：
先求C点的水平分速度vx和竖直分速度vy，再求合速度vC：
【例4】如图所示，一高度为h=0.2m的水平面在A点处与一倾角为θ=30°的斜面连接，一小球以V0=5m/s的速度在平面上向右运动。求小球从A点运动到地面所需的时间（平面与斜面均光滑，取g=10m/s2）。某同学对此题的解法为：小球沿斜面运动，则由此可求得落地的时间t。问：你同意上述解法吗？若同意，求出所需的时间；若不同意，则说明理由并求出你认为正确的结果。
解析：不同意。小球应在A点离开平面做平抛运动，而不是沿斜面下滑。
正确做法为：落地点与A点的水平距离
斜面底宽
因为,所以小球离开A点后不会落到斜面，因此落地时间即为平抛运动时间。
∴
2、平抛运动的速度变化和重要推论
①水平方向分速度保持vx=v0.竖直方向，加速度恒为g,速度vy =gt,从抛出点起，每隔Δt时间的速度的矢量关系如图所示．这一矢量关系有两个特点：(1)任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0; (2)任意相等时间间隔Δt内的速度改变量均竖直向下，且Δv=Δvy=gΔt.
②平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。
证明：设时间t内物体的水平位移为s，竖直位移为h，则末速度的水平分量vx=v0=s/t，而竖直分量vy=2h/t， ， 所以有
【例5】作平抛运动的物体，在落地前的最后1s内，其速度方向由跟竖直方向成600角变为跟竖直方向成450角，求:物体抛出时的速度和高度分别是多少？
解析一:设平抛运动的初速度为v0，运动时间为t，则经过（t一1）s时vy＝g（t一1）， tan300＝
经过ts时：vy＝gt，tan450＝,∴,
V0=gt/tan450＝23.2 m/s.H＝?gt2＝27. 5 m.
解析二：此题如果用结论解题更简单．
ΔV＝gΔt=9. 8m/s.又有V0cot450一v0cot600=ΔV，解得V0=23. 2 m/s，
H=vy2/2g＝27. 5 m.
说明:此题如果画出最后1s初、末速度的矢量图，做起来更直观．
【例6】 从倾角为θ=30°的斜面顶端以初动能E=6J向下坡方向平抛出一个小球，则小球落到斜面上时的动能E /为______J。
解：以抛出点和落地点连线为对角线画出矩形ABCD，可以证明末速度vt的反向延长线必然交AB于其中点O，由图中可知AD∶AO=2∶，由相似形可知vt∶v0=∶，因此很容易可以得出结论：E /=14J。
3、平抛运动的拓展（类平抛运动）
【例7】如图所示，光滑斜面长为a，宽为b，倾角为θ，一物块沿斜面左上方顶点P水平射入，而从右下方顶点Q离开斜面，求入射初速度．
解析：物块在垂直于斜面方向没有运动，物块沿斜面方向上的曲线运动可分解为水平方向上初速度v0的匀速直线运动和沿斜面向下初速度为零的匀加速运动．
在沿斜面方向上mgsinθ=ma加 a加＝gsinθ………①，水平方向上的位移s=a=v0t……②，沿斜面向下的位移y=b=? a加t2……③，由①②③得v0＝a·
说明：运用运动分解的方法来解决曲线运动问题，就是分析好两个分运动，根据分运动的运动性质，选择合适的运动学公式求解
【例8】从高H处的A点水平抛出一个物体，其水平射程为2s。若在A点正上方高H的B点抛出另一个物体，其水平射程为s。已知两物体的运动轨迹在同一竖直平面内，且都从同一竖屏M的顶端擦过，如图所示，求屏M的高度h？
分析：思路1：平抛运动水平位移与两个因素有关：初速大小和抛出高度，分别写出水平位移公式，相比可得初速之比，设出屏M的顶端到各抛出点的高度，分别写出与之相应的竖直位移公式，将各自时间用水平位移和初速表示，解方程即可。
思路2：两点水平抛出，轨迹均为抛物线，将“都从同一竖屏M的顶端擦过”转化为数学条件：两条抛物线均过同一点。按解析几何方法求解。
解析:画出各自轨迹示意图
法一:由平抛运动规律根据题意得
2s=VAtA……①，s=VBtB……②，H=?gtA2……③, 2H=?gtB2……④
可得:,又设各自经过时间t1、t2从屏M的顶端擦过，则在竖直方向上有H－h=?gt12，2H－h=?gt22，在水平方向上有x=vAt1=vBt2，由以上三式解得h=6H/7。
法二：由平抛运动规律可得抛物线方程，依题意有yA=H－h，yB=2H－h时所对应的x值相同，将（x，yA）（x，yB）分别代入各自的抛物线方程联立求出h=6H/7。
【例9】排球场总长18m，网高2．25 m，如图所示，设对方飞来一球，刚好在3m线正上方被我方运动员后排强攻击回。假设排球被击回的初速度方向是水平的，那么可认为排球被击回时做平抛运动。（g取10m/s2）
（1）若击球的高度h＝2．5m，球击回的水平速度与底线垂直，球既不能触网又不出底线，则球被击回的水平速度在什么范围内？
（2）若运动员仍从3m线处起跳，起跳高度h满足一定条件时，会出现无论球的水平初速多大都是触网或越界，试求h满足的条件。
【解析】（1）球以vl速度被击回，球正好落在底线上，则t1＝，vl=s/t1
将s=12m，h＝2．5m代入得v1=；
球以v2速度被击回，球正好触网，t2＝，v2=s//t2
将h/=（2.5－2.25）m＝0．25m，s/＝3m代入得v2=。故球被击目的速度范围是＜v≤。
（2）若h较小，如果击球速度大，会出界，如果击球速度小则会融网，临界情况是球刚好从球网上过去，落地时又刚好压底线，则=，s、s/的数值同（1）中的值，h/＝ h－2．25（m），由此得 h＝2.4m
故若h＜2.4m，无论击球的速度多大，球总是触网或出界。
课后训练
1．当船速大于水速时，下列关于渡船的说法中正确的是（ ）
A．船头方向斜向上游，渡河时间最短
B．船头方向垂直河岸，渡河时间最短
C．当水速变大时，渡河的最短时间变长
D．当水速变大时，渡河的最短时间变短
2．如果两个不在同一条直线上的分运动都是匀速直线运动，对其合运动的描述中，正确的是（ ）
A．合运动一定是曲线运动
B．合运动一定是直线运动
C．合运动是曲线运动或直线运动
D．当两个分运动的速度数值相等时，合运动才为直线运动
3．炮弹从炮口射出时的速度大小为v，方向与水平方向成α角，如图所示。把这个速度沿水平和竖直方向分解，其水平分速度的大小是（ ）
A．vsin α B．vcos α
C． D．
4．江中某轮渡站两岸的码头A和B正对，如图所示，水流速度恒定且小于船速。若要使渡船沿直线往返于两码头之间，则船在航行时应（ ）
A．往返时均使船垂直河岸航行
B．往返时均使船头适当偏向上游一侧
C．往返时均使船头适当偏向下游一侧
D．从A码头驶往B码头，应使船头适当偏向上游一侧，返回时应使船头适当偏向下游一侧
5．如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度（ ）
A．大小和方向均不变
B．大小不变，方向改变
C．大小改变，方向不变
D．大小和方向均改变
6．红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时，使玻璃管水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的（ ）
A．直线P B．曲线Q
C．曲线R D．无法确定
7．船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，河水的流速与船离河岸的距离的变化关系如图乙所示，则当船沿渡河时间最短的路径渡河时（ ）
A．船渡河的最短时间是60 s
B．要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船在河水中的最大速度是5 m/s
8．雨滴在空中以4 m/s的速度竖直下落，某同学打伞以3 m/s的速度向西急行，如果希望雨滴垂直打向撑开的伞面，则该同学的伞柄应指向哪个方向？
参考答案
1. 答案：B 解析：根据运动的独立性可知：小船渡河的时间只与河宽和垂直于河岸的船的速度有关，与水流的速度无关，所以正确选项为B。
2.答案：B 解析：当合速度与合加速度在一条直线上时，合运动是一条直线，当合速度与合加速度不在一条直线上时，合运动是一条曲线。因为两个分运动都是匀速直线运动，合力为0，所以合运动是一条直线，B正确。
3.答案：B 解析：把炮弹的速度沿水平方向和竖直方向分解，竖直分速度v1＝vsin α，水平分速度v2＝vcos α，B正确。
4.答案：B 解析：由题意知，小船是垂直河岸渡河，合速度应垂直于河岸，故应使船头适当偏向上游，这样航行得到的合速度的方向才能垂直于河岸。
5.答案：A 解析：橡皮在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀速直线运动，故其合运动仍是匀速直线运动，其速度大小和方向均不变。选项A符合题意。
两个分运动，实际运动的轨迹即合运动轨迹。由于它在任一点的合速度方向是向上或斜向右上的，而合加速度就是水平向右的加速度，它与速度方向之间有一定夹角，故轨迹是曲线。又因为物体做曲线运动时曲线总向加速度方向偏折（或加速度方向总是指向曲线的凹侧），故选项B正确。
答案：B 解析：红蜡块参与了竖直方向的匀速直线运动和水平方向的匀加速直线运动
6.答案：BD 解析：根据图像可知，船在静水中的速度v静＝3 m/s，河宽d＝300 m，河水正中间流速最大为v水max＝4 m/s，当船头始终垂直河岸渡河时，渡河时间最短，最短时间为tmin＝＝100 s，选项A错而B对；船在河水中的最大速度是vmax＝＝5 m/s，选项D对；设合速度与河岸夹角为θ，则，因v水随河岸距离不断变化，故θ不断变化，故船在河水中航行的轨迹是一条曲线，选项C错。
7.答案：伞柄应向前倾斜，与竖直方向成37°
解析：雨滴相对于人的速度方向，即为伞柄应该指的方向。雨滴相对人有向东的速度v1＝3 m/s，雨滴竖直向下的速度v2＝4 m/s，则雨滴相对人的合速度为
v＝＝5 m/s，，α＝37°。
课后训练
1．做平抛运动的物体，每秒速度的增量总是（ ）
A．大小相等，方向相同
B．大小不等，方向不同
C．大小相等，方向不同
D．大小不等，方向相同
2．从水平匀速飞行的飞机上向外自由释放一个物体，不计空气阻力，在物体下落过程中，下列说法正确的是（ ）
A．从飞机上看，物体静止
B．从飞机上看，物体始终在飞机的后方
C．从地面上看，物体做平抛运动
D．从地面上看，物体做自由落体运动
3．如图所示，在平坦的垒球运动场上，击球手挥动球棒将垒球水平击出，垒球飞行一段时间后落地。若不计空气阻力，则（ ）
A．垒球落地时瞬时速度的大小仅由初速度决定
B．垒球落地时瞬时速度的方向仅由击球点离地面的高度决定
C．垒球在空中运动的水平位移仅由初速度决定
D．垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定
4．一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为（ ）
A．tan θ B．2tan θ
C． D．
5．甲、乙两物体做平抛运动的初速度之比为2∶1，若它们的水平射程相等，则它们抛出点离地面的高度之比为（ ）
A．1∶2 B．
C．1∶4 D．4∶1
6．在一次“飞车过黄河”的表演中，汽车在空中飞经最高点后在对岸着地。已知汽车从最高点至着地点经历时间约为0.8 s，这两点间的水平距离约为30 m，忽略空气阻力，则汽车在最高点时的速度和最高点与着地点间的高度差分别是（取g＝10 m/s2）（ ）
A．30 m/s 3 m B．37.5 m/s 3.2 m
C．40 m/s 3.5 m D．40 m/s 3.2 m
7．在某次实验记录的小球平抛运动轨迹中的三点，测得AB间的水平距离和BC间的水平距离都是15 cm，AB间的竖直距离是15 cm，BC间的竖直距离是25 cm，若取g=10 m/s2，则小球平抛的初速度v0等于多少？
8．为了清理堵塞河道的冰凌，空军实施投弹爆破，飞机在河道上空高H处以速度v0水平匀速飞行，投掷下炸弹并击中目标，求炸弹脱离飞机到击中目标的水平距离及击中目标时的速度大小。（不计空气阻力）
参考答案
1. 答案：A 解析：做平抛运动的物体的加速度是重力加速度g，所以平抛运动是匀变速曲线运动，每秒速度的增量总是大小相等，方向相同，A正确。
2.答案：C 解析：在匀速飞行的飞机上自由释放一个物体，物体因惯性水平方向保持与飞机相同的速度，故从地面上看，物体做平抛运动；从飞机上看，物体始终在飞机的正下方，只有C正确。
3.答案：D 解析：垒球水平击出后做平抛运动，由公式可知，垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定，D正确。
4.答案：D 解析：如题图所示，平抛运动的末速度方向与竖直方向的夹角等于斜面倾角θ，有：，则下落高度与水平射程之比为，所以D正确。
5.答案：C 解析：由x＝v0t，得，两物体水平位移x相等，则它们抛出点离地面的高度之比，C正确。
6.答案：B 解析：汽车从最高点到着地的过程可看做汽车做平抛运动，在最高点汽车的速度
v0＝＝37.5 m/s，最高点与着地点间的高度差约为
＝×10×0.82 m＝3.2 m。
7.答案：1.5 m/s
解析：由于物体水平方向做匀速直线运动，而且AB、BC两段水平位移相等，由此可知，这两段距离所用的时间相等均为Δt，根据上述结论可得：
在竖直方向上：Δs竖＝gΔt2，解得Δt＝0.1 s。
由水平方向：s水＝v0Δt，可得v0＝1.5 m/s。
8.答案：
解析：炸弹做平抛运动，设炸弹从脱离飞机到击中目标的水平距离为x，则
x＝v0t，。
联立以上各式解得。
设击中目标时的竖直速度大小为vy，击中目标时的速度大小为v，则
，
。
联立以上各式解得。
