课时作业
[19.1 1.矩形的性质]
一、选择题
1．如图K－30－1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是( )
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD
C．OA＝OB D．OA＝AD
图K－30－1
图K－30－2
2．2017·兰州 如图K－30－2，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC的长为( )
A．5 B．4 C．3.5 D．3
3．如图K－30－3，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长分别为( )
A．2和3 B．3和2
C．4和1 D．1和4
图K－30－3
图K－30－4
4．2018·内江 如图K－30－4，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F.已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为( )
A．31° B．28° C．62° D．56°
图K－30－5
5．2017·淮安 如图K－30－5，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处．若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是( )
A．3 B．6 C．4 D．5
二、填空题
6．如图K－30－6，将矩形纸片ABCD折叠，使边AB，CB均落在对角线BD上，折痕为BE，BF，则∠EBF的度数为________．
图K－30－6
图K－30－7
7．折叠矩形纸片ABCD，使它的顶点D落在BC边上的F处，如图K－30－7所示．如果AB＝6，AD＝10，那么CE的长为________．
8．如图K－30－8，已知O为矩形ABCD对角线的交点，DF平分∠ADC交AC于点E，交BC于点F，∠BDF＝15°，则∠COF＝________°.
图K－30－8
图K－30－9
9．如图K－30－9，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且AQ＝AD，连结DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP＝________．
三、解答题
10．如图K－30－10所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝1 cm，求矩形对角线的长和矩形的面积．
图K－30－10
11.2018·连云港 如图K－30－11，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连结AC，DF.
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD之间的数量关系，并说明理由．
图K－30－11
12．如图K－30－12，在矩形ABCD中，将△ADE沿AE折叠，点D刚好落在对角线AC上的点F处．
(1)若AB＝8，BC＝6，求DE的长；
(2)若AE＝EC，求证：AC＝2BC.
图K－30－12
13．2017·百色 如图K－30－13，矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，CE，AF分别交DB于点G，H.
求证：(1)四边形AFCE是平行四边形；
(2)EG＝FH.
图K－30－13
猜想探究 (1)如图K－30－14①，经历矩形性质的探索过程，你可以发现：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，则CD＝AB，你能用矩形的性质说明这个结论吗？
(2)利用上述结论解答下列问题：如图②所示，四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠DCB＝90°，E，F分别是BD，AC的中点，请你说明EF与AC的位置关系．(提示：连结AE，CE)
图K－30－14
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] D 根据矩形的性质，可得∠ABC＝90°，AC＝BD.又因为矩形是特殊的平行四边形，对角线互相平分，所以OA＝OB；而根据矩形的性质不能得到OA＝AD.故选D.
2．[答案] B
3．[答案] B
4．[解析] D ∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝90°.∵∠BDC＝62°，∴∠ADB＝90°－62°＝28°.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.根据折叠的性质可知∠EBD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠EBD＝28°，∴∠DFE＝∠ADB＋∠EBD＝56°.故选D.
5．[解析] B 因为四边形ABCD是矩形，所以∠B＝90°，AD∥BC，于是∠DAC＝∠ECA.又∵∠EAC＝∠ECA，∴AE＝EC.由折叠的性质得∠AFE＝∠B＝90°，AF＝AB＝3，∴AC＝2AF＝2×3＝6.
6．[答案] 45°
[解析] 由翻折的性质知，∠CBF＝∠FBD，∠ABE＝∠EBD，所以∠EBF＝∠ABC＝×90°＝45°.
7．[答案]
[解析] 由翻折的性质知，AD＝AF＝10，DE＝EF.在Rt△ABF中运用勾股定理，得BF＝＝＝8，所以FC＝2.设CE＝x，则EF＝6－x.在Rt△CEF中，由勾股定理，得(6－x)2＝x2＋22，解得x＝.
8[答案] 75
[解析] 由∠ADC＝90°，DF平分∠ADC，得∠CDF＝45°，则∠ODC＝60°，△DCO为等边三角形．又∵△DCF为等腰直角三角形，∴CO＝CD＝CF，∴△OCF为等腰三角形，∠OCF＝30°，故∠COF＝75°.
9．[答案]
[解析] ∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，∠ADC＝90°，AD∥BC.
在Rt△ACD中，AC＝＝＝5.
∵AQ＝AD，AD＝3，∴CQ＝AC－AQ＝2.
∵AD∥BC，∴∠ADQ＝∠QPC.
∵AQ＝AD，∴∠ADQ＝∠AQD.
∵∠PQC＝∠AQD，∴∠PQC＝∠QPC，
∴PC＝CQ＝2，∴BP＝BC－PC＝3－2＝1.
在Rt△ABP中，
AP＝＝＝.
10．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝BO.
∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO＝AB＝1 cm，∴AC＝2AO＝2 cm，
即AC＝BD＝2 cm.
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1 cm，AC＝2 cm，
由勾股定理得BC＝ cm，
∴矩形ABCD的面积＝AB·BC＝1×＝(cm2)．
11．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE.
∵E是AD的中点，∴AE＝DE.
又∵∠FEA＝∠CED，∴△FAE≌△CDE，∴FA＝CD.
又∵CD∥FA，∴四边形ACDF是平行四边形．
(2)BC＝2CD.
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝∠CDE＝90°.
∵CF平分∠BCD，∴∠DCE＝45°.
又∵∠CDE＝90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD＝DE.
∵E是AD的中点，
∴AD＝2DE＝2CD.
∵AD＝BC，∴BC＝2CD.
12．解：(1)∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8.
在Rt△ABC中，∵AB＝8，BC＝6，
∴AC＝＝10.
由题意知AF＝AD＝6，DE＝EF，
∠AFE＝∠ADC＝90°.
设DE＝x，则EF＝x，CE＝8－x，CF＝10－6＝4，
∴(8－x)2＝42＋x2，解得x＝3，
即DE的长为3.
(2)证明：∵AE＝EC，∠AFE＝90°，
∴AF＝FC，即AC＝2AF.
∵AF＝AD，AD＝BC，∴AF＝BC，
∴AC＝2BC.
13．证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵E，F分别是AD，BC的中点，∴AE＝CF.
又∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形．
(2)∵四边形AFCE是平行四边形，
∴EC∥AF，∴∠FHB＝∠CGH.
又∵∠CGH＝∠EGD，∴∠EGD＝∠FHB.
∵AD∥BC，∴∠EDG＝∠FBH.
∵E，F分别是AD，BC的中点，AD＝BC，
∴DE＝BF，
∴△DEG≌△BFH，∴EG＝FH.
[素养提升]
[解析] (1)分别过点B，A作BE∥AC，AE∥BC，BE，AE相交于点E，构造成矩形，根据矩形的对角线互相平分且相等证明即可；(2)连结AE，CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE＝CE＝BD，再根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证明．
解：(1)如图①，分别过点B，A作BE∥AC，AE∥BC，BE，AE相交于点E，
则四边形AEBC是矩形．
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴延长CD必过点E.
∵AB＝CE，
∴CD＝DE＝AD＝BD，
∴CD＝AB.
(2)EF⊥AC.
理由如下：如图②，连结AE，CE.
∵∠DAB＝90°，∠DCB＝90°，E是BD的中点，
∴AE＝CE＝BD.
又∵F是AC的中点，
∴EF⊥AC(等腰三角形“三线合一”)．
课时作业
[19.1 2. 第1课时 矩形的判定]
一、选择题
1．如图K－31－1，要使平行四边形ABCD是矩形，可添加的条件是( )
图K－31－1
A．OA＝OC，OB＝OD B．AC＝BD
C．AB＝BC D．AC⊥BD
2．下列说法：①两条对角线相等的四边形是矩形；②有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；③有一个角为直角，两条对角线相等的四边形是矩形；④四个角都相等的四边形是矩形；⑤相邻两边都互相垂直的四边形是矩形．其中正确的说法有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
3．如图K－31－2，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC，BD的平行线，若所围成的四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD必须满足的条件是( )
A．AD⊥CD B．AD＝CD
C．AC⊥BD D．AC＝BD
图K－31－2
图K－31－3
4．如图K－31－3，在锐角三角形ABC中，O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB处的外角平分线于点F，下列结论中正确的是( )
①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．
A．①② B．①④
C．①③④ D．②③④
二、填空题
5．如图K－31－4，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连结EB，EC，DB.请你添加一个条件：__________，使四边形DBCE是矩形．
图K－31－4
图K－31－5
6．如图K－31－5所示是由四根木棍钉成的平行四边形框架，AB＝8 cm，AD＝6 cm，现固定AB，转动AD，当∠DAB＝________时，?ABCD的面积最大，此时四边形ABCD是________，面积是__________.
图K－31－6
7．如图K－31－6，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6 cm，E是斜边AB上任意一点，则点E到两直角边的距离之和为________cm.
三、解答题
8．如图K－31－7，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．求证：四边形EFGH是矩形．
图K－31－7
9.如图K－31－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O是斜边AB上的点，∠A＝∠ABF，EF∥BC.
求证：四边形BCEF是矩形.
图K－31－8
10．如图K－31－9，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠B和∠BCD互补，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4 cm，四边形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．
图K－31－9
11．2017·徐州 如图K－31－10，在平行四边形ABCD中，O是边BC的中点，连结DO并延长，交AB的延长线于点E，连结BD，EC.
(1)求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝________°时，四边形BECD是矩形.
图K－31－10
12．2018·青岛 如图K－31－11，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，G为AD的中点，连结CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连结FD.
(1)求证：AB＝AF；
(2)若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
图K－31－11
动点探究 如图K－31－12所示，在矩形ABCD中，AB＝20 cm，点P从点A开始沿折线ABCD以4 cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CD边以1 cm/s的速度移动．如果点P和Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，当t为何值时，四边形APQD为矩形？
图K－31－12
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[答案] B
2．[答案] B
3．[答案] C 4.[答案] B
5．[答案] EB＝DC(答案不唯一)
6．[答案] 90° 矩形 48 cm2
7．[答案] 6
8．证明：∵E是OA的中点，G为OC的中点，
∴OE＝OA，OG＝OC.
∵在矩形ABCD中，OA＝OC，∴OE＝OG.
同理OF＝OH，
∴四边形EFGH是平行四边形．
∵OE＝OA，OG＝OC，
∴EG＝OE＋OG＝AC.
同理FH＝BD.
又在矩形ABCD中，AC＝BD，∴EG＝FH，
∴四边形EFGH是矩形．
9．证明：∵EF∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴∠CEF＝90°.
∵∠A＝∠ABF，∴BF∥AC，
∴∠CBF＝180°－∠C＝90°，
∴四边形BCEF是矩形．
10．解：∵AD∥BC，∠D＝90°，∴∠BCD＝90°.
∵∠B和∠BCD互补，∴∠B＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°.
∵EF⊥CE，∴∠FEC＝90°，
∴∠AEF＋∠DEC＝90°.
而∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEF＝∠DCE.
又∵∠A＝∠D＝90°，EF＝CE，
∴△AEF≌△DCE，∴AE＝CD.
∵四边形ABCD的周长为32 cm，AD＝AE＋DE，
∴2(AE＋AE＋4)＝32，解得AE＝6(cm)．
11．[解析] (1)先根据A.A.S.证明△EBO≌△DCO，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定；
(2)若四边形BECD为矩形，则BC＝DE，BD⊥AE，又AD＝BC，∴AD＝DE.根据等腰三角形的性质，可知∠ADB＝∠EDB＝40°，故∠BOD＝180°－∠ADE＝100°.
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥DC，
∴∠EBO＝∠DCO，∠BEO＝∠CDO.
∵O是边BC的中点，∴BO＝CO，
∴△EBO≌△DCO，∴EO＝DO.
又∵BO＝CO，
∴四边形BECD是平行四边形．
(2)100
12．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠FAD＝∠CDG.
∵G为AD的中点，∴AG＝DG.
又∵∠AGF＝∠DGC，
∴△AGF≌△DGC，
∴AF＝CD.
又∵AB＝CD，∴AB＝AF.
(2)四边形ACDF为矩形．
证明：∵∠BCD＝120°，
∴∠BAD＝120°，∴∠FAG＝60°.
又∵AG＝AB，AB＝AF，
∴AG＝AF，
∴△AGF为等边三角形，∴AG＝FG.
∵AF∥CD，AF＝CD，
∴四边形ACDF为平行四边形，
∴AD＝2AG，CF＝2FG，
∴AD＝CF，
∴四边形ACDF为矩形．
[素养提升]
[解析] 若四边形APQD为矩形，已有∠A＝90°，需满足四边形APQD为平行四边形，只需AP＝DQ.
解：根据题意，当AP＝DQ时，
由AB∥CD，可得四边形APQD为平行四边形．
又∵∠A＝90°，∴四边形APQD为矩形．
∵CQ＝t，∴DQ＝20－t.
又∵AP＝4t，∴4t＝20－t，解得t＝4，
∴当t为4 s时，四边形APQD为矩形．
课时作业
[19.1 2. 第2课时 矩形的判定与性质的应用]
一、选择题
1．下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图K－32－1所示，四边形ABCD的对角线为AC，BD，且AC＝BD，则下列条件能判定四边形ABCD是矩形的是( )
A．BA＝BC B．AC，BD互相平分
C．AC⊥BD D．AB∥CD
图K－32－1
图K－32－2
3．如图K－32－2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值是( )
A．5 B．4.8 C．4.6 D．4.4
二、填空题
4．如图K－32－3，?ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：____________(只填一个即可)，使?ABCD是矩形．
图K－32－3
图K－32－4
5．如图K－32－4，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连结CE，则CE的长为________．
6．如图K－32－5，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s，则最快________s后，四边形ABPQ为矩形．
图K－32－5
三、解答题
7．如图K－32－6所示，在△ABC中，AB＝AC，AD，AE分别是∠CAB及与∠CAB相邻的外角的平分线，BE⊥AE于点E.求证：AB＝DE.
图K－32－6
8．如图K－32－7，已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．
(1)求证：四边形ADBE是矩形；
(2)求矩形ADBE的面积．
图K－32－7
9．如图K－32－8，在?ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连结AF，BF.
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.
图K－32－8
10．如图K－32－9，在平行四边形ABCD中，AC＝6 cm，BD＝8 cm，点P从点A出发以每秒1 cm的速度沿射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1 cm的速度沿射线CA移动．经过几秒，以P，Q，B，D为顶点的四边形为矩形？
图K－32－9
11．如图K－32－10，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H.
(1)求证：△PHC≌△CFP；
(2)试证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．
图K－32－10
拓展应用 如图K－32－11，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在AB上(不与点A，B重合)，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E，F，连结EF，M为EF的中点．
(1)请判断四边形PECF的形状，并说明理由．
(2)随着点P在边AB上位置的改变，CM的长度是否也会改变？若不变，请你求出CM的长度；若有变化，请你求出CM长的变化范围．
图K－32－11
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[答案] A
2．[答案] B
3．[解析] B 连结CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
4．[答案] 答案不唯一，如∠ABC＝90°，∠BCD＝90°，AC＝BD等
5．[答案] 2.5
[解析] ∵EO是AC的垂直平分线，∴AE＝CE.设CE＝x，则ED＝AD－AE＝4－x.在Rt△CDE中，CE2＝CD2＋ED2，即x2＝22＋(4－x)2，解得x＝2.5，即CE＝2.5.
6．[答案] 4
7．证明：∵AB＝AC，
AD，AE分别是∠CAB及与∠CAB相邻的外角的平分线，
∴AD⊥BD，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∴∠ADB＝90°.
∵∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝180°，
∴∠2＋∠4＝90°，即∠DAE＝90°.
∵BE⊥AE，∴∠BEA＝90°，
∴四边形BDAE为矩形，∴AB＝DE.
8．解：(1)证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.
∵四边形ADBE是平行四边形，
∴平行四边形ADBE是矩形．
(2)∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC＝6×＝3.
在Rt△ACD中，AD＝＝＝4，
∴S矩形ADBE＝BD·AD＝3×4＝12.
9．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，即DF∥BE.
又∵DF＝BE，∴四边形BFDE为平行四边形．
∵DE⊥AB，即∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE为矩形．
(2)∵四边形BFDE为矩形，∴∠BFC＝90°.
∵CF＝3，BF＝4，∴BC＝＝5.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝5.
又∵DF＝5，
∴AD＝DF，∴∠DAF＝∠DFA.
又∵DC∥AB，∴∠DFA＝∠FAB，
∴∠DAF＝∠FAB，即AF平分∠DAB.
10．解：经过7秒，以P，Q，B，D为顶点的四边形为矩形．
理由如下：如图，经过7秒时，PA＝QC＝7 cm.
∵AC＝6 cm，
∴CP＝AQ＝1 cm，
∴PQ＝BD＝8 cm.
∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝6 cm，BD＝8 cm，
∴AO＝CO＝3 cm，BO＝DO＝4 cm，
∴OQ＝OP＝4 cm，
∴四边形BPDQ为平行四边形．
又∵PQ＝BD，∴四边形BPDQ为矩形．
11．解：(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC.
∵PF∥AB，∴PF∥CD，
∴∠CPF＝∠PCH.
∵PH∥AD，∴PH∥BC，
∴∠PCF＝∠CPH.
在△PHC和△CFP中，
∵∠PCH＝∠CPF，PC＝CP，∠CPH＝∠PCF，
∴△PHC≌△CFP.
(2)证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D＝∠B＝90°.
又∵EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC，
∴四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形．
∵EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC，四边形ABCD为矩形，
∴四边形AEPG和四边形PHCF也是矩形，
∴S△ACD＝S△ABC，S△PHC＝S△PCF，S△AEP＝S△APG，
∴S△ACD－S△PHC－S△AEP＝S△ABC－S△PCF－S△APG，
即S矩形PEDH＝S矩形PFBG.
[素养提升]
解：(1)四边形PECF是矩形．理由如下：
在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∵AC2＋BC2＝32＋42＝52＝AB2，
∴∠ACB＝90°.
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠ACB＝∠CFP＝90°，
∴四边形PECF是矩形．
(2)CM的长度会改变．
如图，连结PC，则PC必过点M，由(1)证得四边形PECF是矩形，
∴EF＝PC.
过点C作CD⊥AB于点D，当PC＝CD时，PC最小，
此时PC＝＝＝2.4.
∵点P在斜边AB上(不与点A，B重合)，
∴PC∴PC长的变化范围是2.4≤PC<4，
即EF长的变化范围是2.4≤EF<4.
∵M为EF的中点，∠ACB＝90°，
∴CM＝EF，
∴CM长的变化范围是1.2≤CM<2.
课时作业
[19.2 1. 第1课时 菱形的性质]
一、选择题
1．2017·益阳 下列性质中菱形不一定具有的是( )
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．既是轴对称图形又是中心对称图形
2．2017·衡阳 菱形的两条对角线长分别是12和16，则此菱形的边长是( )
A．10 B．8 C．6 D．5
3．若菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别是6 cm，8 cm，则菱形ABCD的面积是( )
A．20 cm2 B．24 cm2
C．36 cm2 D．48 cm2
4．2017·宁江区期末 如图K－33－1，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，∠ADC＝120°，BD＝2，则AC的长为( )
A．1 B. C．2 D．2
图K－33－1
5．2018·吉安县模拟 菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图K－33－2所示，点C的坐标是(6，0)，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是( )
图K－33－2
A．(3，1) B．(3，－1)
C．(1，－3) D．(1，3)
图K－33－3
6．如图K－33－3，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点B在函数y＝(x＞0)的图象上．若点C的坐标为(4，3)，则k的值为( )
A．12 B．20 C．24 D．32
二、填空题
7．如图K－33－4，AC，BD是菱形ABCD的对角线．若∠BAC＝55°，则∠ADB等于________．
图K－33－4
图K－33－5
8．如图K－33－5所示，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16 cm，若墙上钉子A，B与钉子B，C间的距离都是16 cm，则∠1＝________°.
9．2018·广州 如图K－33－6，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是________．
图K－33－6
图K－33－7
10．如图K－33－7，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，AC＝10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为________．
图K－33－8
11．如图K－33－8所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由点A开始按A→B→C→D→E→F→C→G→A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2018厘米后停下，则这只蚂蚁停在点________处．
三、解答题
12．2017·自贡如图K－33－9，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE＝AF.
求证：∠ABF＝∠CBE.
图K－33－9
13．如图K－33－10，在菱形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥AC交CB的延长线于点F.
求证：AB与EF互相平分.
图K－33－10
14．如图K－33－11，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α(0°＜α＜90°)后得直线l，直线l与AD，BC两边分别相交于点E和点F.
(1)求证：△AOE≌△COF；
(2)当α＝30°时，求线段EF的长．
图K－33－11
图K－33－12
1．探究应用 如图K－33－12，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
2．探究应用 如图K－33－13，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4 cm，E为AB边的中点．试在对角线BD上找出一点P，使AP＋EP的和最小，并求出这个最小值．
图K－33－13
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] C 根据菱形的性质：对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，菱形的对角线不一定相等判断．故选C.
2．[解析] A 菱形的对角线互相垂直平分，所以两条对角线的一半与边构成直角三角形，斜边为菱形的边，所以菱形的边长为＝10.故选A.
3．[答案] B
4．[解析] D 因为∠ADC＝120°，所以∠ADB＝60°，所以△ABD是等边三角形，所以BD＝AD＝2.因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，OD＝OB＝1.在Rt△AOD中，由勾股定理，得AO＝＝，所以AC＝2 .
5．[答案] B
6．[解析] D 延长BC交x轴于点D，则BD⊥OD，根据菱形的性质以及勾股定理得出BC＝OC＝OA＝5，即可得出点B的坐标，进而求出k的值即可．
7．[答案] 35°
[解析] ∵四边形ABCD是菱形，∠BAC＝55°，∴AB＝AD，∠BAD＝2×55°＝110°，∴∠ADB＝×(180°－110°)＝35°.
8．[答案] 120
[解析] 根据已知条件易知∠A＝60°，所以∠1＝120°.
9．[答案] (－5，4)
[解析] 由A(3，0)，B(－2，0)，得AO＝3，AB＝5，∴在菱形ABCD中，CD＝AD＝AB＝5.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD＝＝4，∴点C的坐标为(－5，4)．
10．[答案] 60
11．[答案] C
[解析] 从点A出发需要运动8厘米又回到点A处，2018÷8＝252……2，所以蚂蚁停在点C处．
12．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C，AB＝CB.
在△AFB和△CEB中，
∵AF＝CE，∠A＝∠C，AB＝CB，
∴△AFB≌△CEB，
∴∠ABF＝∠CBE.
13．证明：连结BD，AF，BE.
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC.
∵EF⊥AC，
∴EF∥BD.
又∵DE∥BF，
∴四边形EFBD是平行四边形，
∴DE＝BF.
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，∴AE＝BF.
又∵AE∥BF，
∴四边形FBEA是平行四边形，
∴AB与EF互相平分．
14．解：(1)证明：在菱形ABCD中，OA＝OC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO.
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(A.S.A.)．
(2)由(1)知△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，即EF＝2OE.
在菱形ABCD中，AB＝BC.
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝2，∴AO＝1.
同理△ACD也是等边三角形．
又∵AO⊥OD，
∴根据勾股定理有OD＝＝.
当α＝30°时，即∠AOE＝30°.
∵∠DAC＝60°，
∴∠AEO＝90°，即OE⊥AD.
∵AO·OD＝AD·OE，
∴OE＝＝，
∴EF＝2OE＝.
[素养提升]
1．[解析] C 作点E关于直线AC的对称点M，连结MF，MF与AC的交点正好是对角线的交点(设为点O)，此点到点E，F的距离之和最小．由AC＝6，BD＝8可得菱形的边长为5，MF＝AB＝5，所以PE＋PF的最小值为5.
2．[解析] 本题是利用菱形是轴对称图形的性质来解．
解： 作点E关于直线BD的对称点M，连结AM，交BD于点P，则M恰好为BC的中点，此时，AP＋EP的和最小，为AM的长度．
连结AC，在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∵M是BC的中点，
∴AM⊥BC，BM＝BC＝2 cm.
在Rt△ABM中，由勾股定理，可得
AM＝＝＝2 (cm)．
∴AP＋EP的和的最小值是2 cm.
课时作业
[19.2 1. 第2课时 菱形性质的应用]
一、选择题
图K－34－1
1．如图K－34－1，已知某菱形花坛ABCD的周长是24 m，∠BAD＝120°，则花坛的对角线AC的长是( )
A．6 m B．6 m C．3 m D．3 m
2．已知一个菱形的周长是20 cm，两条对角线的长度之比是4∶3，则这个菱形的面积是( )
A．12 cm2 B．24 cm2 C．48 cm2 D．96 cm2
3．如图K－34－2所示，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP(P为AB的中点)所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC的度数为( )
A．78° B．75° C．60° D．45°
图K－34－2
图K－34－3
4．如图K－34－3，菱形ABCD的周长为8 cm，BC边上的高AE为 cm，则对角线AC和BD的长度之比为( )
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶ D．1∶
图K－34－4
5．如图K－34－4，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连结DF，则∠CDF等于( )
A．50° B．60°
C．70° D．80°
6．如图K－34－5，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长为( )
A．1 B. C．2－ D．2－
图K－34－5
图K－34－6
7．如图K－34－6，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，点D在CE上，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是( )
A. B．2 C．3 D.
二、填空题
图K－34－7
8. 如图K－34－7，菱形ABCD的边长是2 cm，E是AB的中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为________cm2.
9．如图K－34－8，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝________．
图K－34－8
图K－34－9
10．如图K－34－9，菱形ABCD的周长为8 ，对角线AC和BD相交于点O，AC∶BD＝1∶2，则AO∶BO＝________，菱形ABCD的面积S＝________．
11．在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为________．
三、解答题
12．如图K－34－10，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F.求证：DF＝BE.
图K－34－10
13．如图K－34－11，在?ABCD中，BC＝2AB＝4，E，F分别是BC，AD的中点．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．
图K－34－11
14．如图K－34－12所示，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点(不与点A，B重合)，连结DP，交对角线AC于点E，连结BE.
(1)试说明：∠APD＝∠CBE；
(2)若∠DAB＝60°，则点P运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的？为什么？
图K－34－12
15．在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
(1)如图K－34－13①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
(2)如图K－34－13②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
图K－34－13
规律探究 如图K－34－14所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°；连结AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1＝60°……按此规律所作的第n个菱形的边长为________．
图K－34－14
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] B 易知△ABC为等边三角形，所以AC＝AB＝6 m.
2．[答案] B
3．[解析] B 连结BD.∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°.∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°.在△DEC中，∠DEC＝180°－(∠CDE＋∠C)＝75°.
4．[解析] D 由菱形ABCD的周长为8 cm得边长AB＝2 cm.又因为高AE为 cm，所以∠ABC＝60°，△ABC，△ACD均为等边三角形，AC＝2 cm，BD＝2AE＝2 cm.故对角线AC和BD的长度之比为1∶.
5．[解析] B 连结BF，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，∴∠FAB＝∠DCF＝40°.∵EF垂直平分AB，∴AF＝BF，则∠FAB＝∠FBA＝40°，∴∠CFB＝∠FAB＋∠FBA＝80°，∴∠DFC＝80°.在△CDF中，∠CDF＝180°－80°－40°＝60°.
6．[解析] C ∵在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，∴AE＝，由折叠易得△ABB′为等腰直角三角形，∴CB′＝BB′－BC＝2 －2.∵AB∥CD，∴∠FCB′＝∠B＝45°.又由折叠的性质知，∠B′＝∠B＝45°，∴CF＝FB′＝2－.故选C.
7．[答案] A
8．[答案] 2
[解析] 由勾股定理，得DE＝＝(cm)，所以菱形ABCD的面积为AB·DE＝2 cm2.
9．[答案]
[解析] 因为AC＝8，BD＝6，所以AO＝4，BO＝3.根据勾股定理，得AB＝＝5.在Rt△ABO中，根据三角形的面积关系，得5OH＝3×4，所以OH＝.
10．[答案] 1∶2 16
[解析] ∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝AC，BO＝BD，AC⊥BD，∴AO∶BO＝AC∶BD＝1∶2.∵菱形ABCD的周长为8 ，∴AB＝2 .设AO＝k，BO＝2k，则AB＝＝k＝2 ，∴k＝2，∴AO＝2，BO＝4，∴菱形ABCD的面积S＝×4＝16.
11．[答案] 105°或45°
[解析] 如图．
当点E与点C在BD两侧时，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠A＝∠C＝30°，∠ABC＝∠ADC＝150°，
∴∠DBA＝∠DBC＝75°.
∵ED＝EB，∠DEB＝120°，
∴∠EBD＝∠EDB＝30°，
∴∠EBC＝∠EBD＋∠DBC＝105°.
当点E′与点C在BD同侧时，
∵∠DBE′＝30°，
∴∠E′BC＝∠DBC－∠DBE′＝45°，
∴∠EBC＝105°或45°.
12．证明：如图，连结AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠DAB，CD＝CB.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CF＝CE，∠CFD＝∠CEB＝90°.
在Rt△CDF与Rt△CBE中，
∴Rt△CDF≌Rt△CBE，∴DF＝BE.
13．解：(1)证明：在?ABCD中，AB＝CD，
BC＝AD，∠ABC＝∠CDA.
又∵BE＝EC＝BC，AF＝DF＝AD，
∴BE＝DF，∴△ABE≌△CDF.
(2)∵四边形AECF为菱形，∴AE＝EC.
又∵E是边BC的中点，
∴BE＝EC，∴BE＝AE.
又∵BC＝2AB＝4，∴AB＝BC＝BE＝2，
∴AB＝BE＝AE＝2，即△ABE为等边三角形，
则?ABCD的BC边上的高为，
∴菱形AECF的面积为2 .
14．解：(1)∵菱形ABCD是以对角线AC所在直线为对称轴的轴对称图形，
且点C与点C对应，点D与点B对应，点E与点E对应，
∴△CDE与△CBE关于直线AC对称，
∴∠CBE＝∠CDE.
又∵AB∥DC，∴∠APD＝∠CDE，
∴∠APD＝∠CBE.
(2)当点P运动到AB边的中点时，S△ADP＝S菱形ABCD.
理由：如图，连结DB.
∵∠DAB＝60°，AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形．
而P是AB边的中点，
∴DP⊥AB，
∴S△ADP＝AP·DP，S菱形ABCD＝AB·DP.
∵AP＝AB，
∴S△ADP＝×AB·DP＝S菱形ABCD，
即△ADP的面积等于菱形ABCD面积的.
15．证明：(1)连结AC.
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.
又∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．
∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.
∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－60°＝30°.
∵∠C＝180°－∠B＝120°，∴∠EFC＝30°，
∴∠FEC＝∠EFC，∴CE＝CF.
∵BC＝CD，
∴BC－CE＝CD－CF，即BE＝DF.
(2)连结AC，由(1)得△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°.
∵∠BAE＋∠EAC＝60°，∠EAF＝∠CAF＋∠EAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴∠ACF＝∠BCD＝∠B＝60°，
∴△ABE≌△ACF，∴AE＝AF.
又∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
[素养提升]
[答案] ()n－1
[解析] 如图，连结DB，交AC于点O，则可得△ABD为等边三角形，所以DO＝BD＝AD＝×1＝.在Rt△ADO中，AO＝＝＝，所以AC＝，即第二个菱形的
边长为.同理可得第三个菱形的边长为3＝()2，第四个菱形的边长为×()2＝()3，…，第n个菱形的边长为()n－1.
课时作业
[19.2 2. 第1课时 菱形的判定]
一、选择题
1．如图K－35－1所示，方格纸中有一个四边形ABCD(A，B，C，D均为格点)．若方格纸中每个小正方形的边长都为1，则四边形ABCD是( )
A．矩形 B．菱形
C．梯形 D．以上都不是
图K－35－1
图K－35－2
2．2018·日照 如图K－35－2，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，添加下列条件后，不能判定四边形ABCD是菱形的是( )
A．AB＝AD B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．∠ABO＝∠CBO
图K－35－3
3．如图K－35－3，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连结AD.下列条件能判定四边形ACED为菱形的是( )
A．AB＝BC B．AC＝BC
C．∠B＝60° D．∠ACB＝60°
二、填空题
4．如图K－35－4，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件：________________，使四边形ABCD是菱形．(只需添加一个即可)
图K－35－4
图K－35－5
5．如图K－35－5，在?ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝3，则?ABCD的周长为________．
6．如图K－35－6，在?ABCD中，AC，BD相交于点O，过点C作CE∥BD，交AB的延长线于点E.如果AC⊥BD，那么∠ACB＝________°时，四边形BECD是菱形．
图K－35－6
图K－35－7
7．如图K－35－7所示，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB.分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C.连结AC，BC，AB，OC.若AB＝2 cm，四边形OACB的面积为4 cm2，则OC的长为________ cm.
8．在平面直角坐标系中，已知A，B，C三点的坐标分别是A(0，4)，B(－3，0)，C(m，0)(m≠－3)．如果存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，那么m的值等于____________．
三、解答题
9．2018·遂宁 如图K－35－8，在?ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF.求证：四边形AECF是菱形．
图K－35－8
10．2017·盐城 如图K－35－9，矩形ABCD中，∠ABD，∠CDB的平分线BE，DF分别交边AD，BC于点E，F.
(1)求证：四边形BEDF为平行四边形；
(2)当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由.
图K－35－9
11．将平行四边形纸片ABCD按图K－35－10所示的方式折叠，使点C与点A重合，点D落到点D′处，折痕为EF.
(1)求证：△ABE≌△AD′F；
(2)连结CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形，并证明你的结论．
图K－35－10
12．如图K－35－11，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连结EF，∠AEF，∠CFE的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE的平分线交于点H.
(1)求证：四边形EGFH是矩形．
(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索，过点G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过点H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形．他的猜想正确吗？若正确，请给出证明过程；若不正确，请说明理由．
图K－35－11
数学应用 两块完全相同的三角尺Ⅰ(△ABC)和三角尺Ⅱ(△A′B′C′)按图K－35－12①所示放置在同一平面上(∠C＝∠C′＝90°，∠ABC＝∠A′B′C′＝60°)，斜边重合．若三角尺Ⅱ不动，三角尺Ⅰ在三角尺Ⅱ所在的平面上向右滑动，图K－35－12②是滑动过程中的一种情况．
(1)连结BC′，B′C，如图K－35－12②所示，求证：△A′BC′≌△AB′C；
(2)三角尺Ⅰ滑动到什么位置(点B′落在AB边的什么位置)时，四边形BCB′C′是菱形？并说明理由．
图K－35－12
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] B 在方格图中运用勾股定理，得AB＝＝，同样可算出AD＝CD＝BC＝，所以AB＝BC＝CD＝AD，所以四边形ABCD是菱形．
2．[解析] B ∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形．
当AB＝AD时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，能判定四边形ABCD是菱形；
当AC＝BD时，根据对角线相等的平行四边形是矩形，能判定四边形ABCD是矩形，不能判定四边形ABCD是菱形；
当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，能判定四边形ABCD是菱形；
当∠ABO＝∠CBO时，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.
∵∠ABO＝∠CBO，∴∠ABO＝∠ADO，
∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．
3．[解析] B ∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AC∥ED，AC＝ED，∴四边形ACED为平行四边形，当AC＝BC时，则DE＝EC，∴?ACED是菱形．故选B.
4．[答案] 答案不唯一，如OA＝OC或AC＝2OA或AB∥CD等
5．[答案] 12
[解析] 在?ABCD中，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB.∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠ACB＝∠BAC，∴AB＝BC，∴?ABCD是菱形，故它的周长为3×4＝12.
6．[答案] 30
7．[答案] 4
8．[答案] 2或－8或3或
[解析] 要想得到菱形，以A，B，C为顶点的三角形必须是等腰三角形．因为AB＝＝5，BC＝|m＋3|，AC＝.若AB＝BC，则|m＋3|＝5，解得m＝2或－8；若AB＝AC，则＝5，解得m＝3；若BC＝AC，则|m＋3|＝，即m2＋6m＋9＝m2＋16，解得m＝.
9．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵DE＝BF，∴AE＝CF.
∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．
又∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．
10．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，BC∥AD，∴∠ABD＝∠CDB.
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，
∴∠EBD＝∠ABD，∠FDB＝∠CDB.
∴∠EBD＝∠FDB，
∴BE∥DF.
又∵BC∥AD，
∴四边形BEDF是平行四边形．
(2)当∠ABE＝30°时，四边形BEDF是菱形．
理由如下：∵BE平分∠ABD，∠ABE＝30°，
∴∠ABD＝60°，∠DBE＝30°.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，
∴∠ADB＝90°－∠ABD＝90°－60°＝30°，
∴∠DBE＝∠ADB，∴DE＝BE.
∵四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形．
11．[解析] (1)易知AB＝CD＝AD′，∠B＝∠D＝∠D′.又因为∠BAD＝∠BCD＝∠D′AE，所以∠D′AF＝∠BAE，根据A.S.A.即可证明△ABE≌△AD′F；(2)由(1)得AF＝AE.又由折叠知AE＝EC，所以AF∥EC，从而可得四边形AECF为菱形．
解：(1)证明：由折叠的性质可知∠D＝∠D′，CD＝AD′，∠BCD＝∠D′AE，AE＝EC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD，∠BCD＝∠BAD，
∴∠B＝∠D′，AB＝AD′，∠BAD＝∠D′AE，
即∠2＋∠3＝∠1＋∠2，
∴∠3＝∠1，
∴△ABE≌△AD′F.
(2)四边形AECF是菱形．
证明：由(1)知△ABE≌△AD′F，且AE＝EC，
∴AF＝AE＝EC.
又∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵AF＝AE，
∴四边形AECF是菱形．
12．解：(1)证明：∵EH平分∠BEF，
∴∠FEH＝∠BEF.
∵FH平分∠DFE，∴∠EFH＝∠DFE.
∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°，
∴∠FEH＋∠EFH＝(∠BEF＋∠DFE)＝×180°＝90°.
∵∠FEH＋∠EFH＋∠EHF＝180°，
∴∠EHF＝180°－(∠FEH＋∠EFH)＝180°－90°＝90°.
同理可得：∠EGF＝90°.
∵EG平分∠AEF，∴∠FEG＝∠AEF.
∵点A，E，B在同一条直线上，∴∠AEB＝180°，即∠AEF＋∠BEF＝180°，
∴∠FEG＋∠FEH＝(∠AEF＋∠BEF)＝×180°＝90°，即∠GEH＝90°，
∴四边形EGFH是矩形．
(2)他的猜想是正确的．
证明：∵MN∥EF，PQ∥EF，
∴MN∥PQ.
又∵AB∥CD，
∴四边形MNQP是平行四边形，
∴∠GME＝∠FQH.
∵MN∥EF，FG平分∠NFE，
∴∠NGF＝∠GFE，∠NFG＝∠GFE，
∴∠NGF＝∠NFG，∴NG＝NF.
由(1)知四边形EGFH是矩形，
∴GE＝FH，GE∥FH.
∵MN∥EF，GE∥FH，FH平分∠EFQ，
∴∠MGE＝∠GEF，∠GEF＝∠EFH，∠EFH＝∠QFH，
∴∠MGE＝∠QFH.
又∵∠GME＝∠FQH，
∴△MGE≌△QFH，∴GM＝FQ，
∴NG＋GM＝NF＋FQ，即NM＝NQ，
∴四边形MNQP是菱形．
[素养提升]
解：(1)证明：∵A′B＝A′B′－BB′，AB′＝AB－BB′，A′B′＝AB，∴A′B＝AB′.
在△A′BC′和△AB′C中，
∵A′C′＝AC，∠A′＝∠A，A′B＝AB′，
∴△A′BC′≌△AB′C.
(2)当点B′落在AB边的中点时，四边形BCB′C′是菱形．理由：
过点A′作A′D∥B′C′，过点B′作B′D∥A′C′，A′D与B′D相交于点D，则四边形A′DB′C′为矩形．
由B′为AB的中点，可知B为A′B′的中点，则延长C′B必过点D，
∴A′B′＝C′D，
∴C′B＝C′D＝A′B′，即C′B＝BB′.
又∵∠A′B′C′＝60°，
∴△BB′C′是等边三角形，
∴B′C′＝C′B.同理BC＝B′C.
又∵B′C′＝BC，
∴BC＝B′C＝B′C′＝C′B，
∴四边形BCB′C′是菱形．
[点评] 本题是一道图形运动的问题，是中考试题的一大热点题型．在近几年各地的中考试卷中，以动点、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼等问题为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，考查同学们对图形的观察能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力．解决动态几何题的策略：把握运动规律，寻求运动中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律．通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质．
课时作业
[19.2 2. 第2课时 菱形的判定与性质的综合]
一、选择题
1．2017·聊城 如图K－36－1，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是( )
A．AB＝AC B．AD＝BD
C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC
图K－36－1
图K－36－2
2．如图K－36－2，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF＝12，AB＝10，则AE的长为( )
A．16 B．15 C．14 D．13
3．如图K－36－3所示，在?ABCD中，AE平分∠DAB交CD于点E，EF∥AD交AB于点F.若AB＝9，CE＝4，AE＝8，则DF等于( )
A．4 B．8 C．6 D．9
图K－36－3
图K－36－4
4．如图K－36－4，分别以直角三角形ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°.给出如下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④FH＝BD.
其中正确的结论是( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
二、填空题
5．如图K－36－5，把一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为________．
图K－36－5
图K－36－6
6．如图K－36－6，在菱形ABCD中，过对角线BD上任意一点P作EF∥BC，GH∥AB，下列结论正确的是________．(填序号)
①图中共有3个菱形；
②△BEP≌△BGP；
③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半；
④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长．
7.
图K－36－7
如图K－36－7，在正五边形ABCDE中，连结AC，AD，CE，CE交AD于点F，连结BF，则线段AC，BF，CD之间的关系式是________________________________________________________________________．
三、解答题
8．如图K－36－8，在△ABC中，PQ是CA的垂直平分线，交AB于点E，CF∥AB交PQ于点F，连结AF，CE.
求证：(1)△AED≌△CFD；
(2)四边形AECF是菱形．
图K－36－8
9．如图K－36－9，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.
(1)求证：△AEF≌△DEB；
(2)若四边形ADCF是菱形，且AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
图K－36－9
10．如图K－36－10①，在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠DCE＝90°，AB与CE交于点F，ED与AB，BC分别交于点M，H.
(1)求证：CF＝CH；
(2)如图②，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE＝45°时，试判断四边形ACDM是什么形状的特殊四边形，并证明你的结论．
图K－36－10
操作探究 小明用两条宽度均为d cm的长方形纸条交错地叠在一起，相交成∠α(如图K－36－11)，设重叠部分是四边形ABCD.
(1)他发现：不管∠α是锐角、直角还是钝角，四边形ABCD的形状好像总不变，请你判断它的形状，并说出理由；
(2)分别求出当d＝1，∠α＝45°和d＝，∠α＝60°时重叠部分的面积．
图K－36－11
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] D 菱形是特殊的平行四边形，因而在判定一个四边形是菱形时，可先判定这个四边形是平行四边形，然后在平行四边形的基础上增加条件(边或角)判定其是菱形．
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，要使四边形DBFE是菱形，
则添加邻边相等即可，由BE平分∠ABC得，∠DBE＝∠EBF.
又∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBF，
∴∠DBE＝∠DEB，∴DE＝DB，
∴四边形DBFE是菱形．
2．[答案] A
3．[解析] C ∵AB∥CD，
∴∠EAF＝∠AED.
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAF，
∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝ED.
∵AB∥CD，EF∥AD∥BC，
∴四边形ADEF和四边形BCEF是平行四边形．
而AD＝ED，
∴四边形ADEF是菱形，
∴EC＝BF＝4，AF＝AB－BF＝9－4＝5，
AE⊥DF，AO＝AE＝4，
∴在Rt△AOF中，OF＝＝3，
∴DF＝2OF＝6.
4．[解析] C 根据已知先判定△ABC≌△EFA，则∠AEF＝∠BAC，得出EF⊥AC，由等边三角形的性质得出∠BDF＝30°，从而证得△DBF≌△EFA，则AE＝DF，再由FE＝AB，得出四边形ADFE为平行四边形而不是菱形，根据平行四边形的性质得出AD＝4AG，从而得到答案．
5．[答案] 30°或60°
[解析] 如图．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠ABC，∠BAC＝∠BAD，AD∥BC.
∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝180°－∠ABC＝180°－60°＝120°，
∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°.
∴剪口与折痕所成的角α的度数应为30°或60°.
6．[答案] ①②④
7．[答案] AC2＋BF2＝4CD2
8．证明：(1)∵PQ为线段AC的垂直平分线，
∴AD＝CD.
∵CF∥AB，
∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED.
在△AED与△CFD中，
∵∠EAC＝∠FCA，AD＝CD，∠AED＝∠CFD，
∴△AED≌△CFD.
(2)∵△AED≌△CFD，
∴AE＝CF.
∵EF为线段AC的垂直平分线，
∴EC＝AE，CF＝AF，
∴EC＝AE＝CF＝AF，
∴四边形AECF为菱形．
9．解：(1)证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE.
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE.
又∵∠AEF＝∠DEB，
∴△AEF≌△DEB.
(2)∵菱形ADCF是中心对称图形，
∴S菱形ADCF＝2S△ADC.
∵D是BC的中点，
∴CD＝BC，∴S△ADC＝S△ABC，
即 S△ABC＝2S△ADC，
∴S菱形ADCF＝S△ABC＝AB·AC＝×5×4＝10.
10．解：(1)证明：∵AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠A＝∠B＝∠D＝∠E＝45°.
在△BCF和△ECH中，
∵∠B＝∠E，CB＝CE，∠BCF＝∠ECH，
∴△BCF≌△ECH(A.S.A.)，
∴CF＝CH.
(2)四边形ACDM是菱形．
证明：由(1)知∠A＝∠B＝∠D＝∠E＝45°.
∵∠ACB＝90°，∠BCE＝45°，
∴∠ACE＝45°，
∴∠ACD＝∠DCE＋∠ACE＝135°.
∵∠ACD＋∠D＝180°，∠ACD＋∠A＝180°，
∴AC∥DM，CD∥AM，
∴四边形ACDM是平行四边形．
又∵AC＝CD，
∴四边形ACDM是菱形．
[素养提升]
解：(1)重叠部分的四边形是菱形．
理由如下：∵两纸条对边平行，
∴AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D.
如图，过点A作AE⊥BC于点E，作AF⊥CD于点F，则AE＝AF.
在△ABE和△ADF中，
∵∠B＝∠D，∠AEB＝∠AFD＝90°，AE＝AF，
∴△ABE≌△ADF(A.A.S.)，
∴AB＝AD，
∴?ABCD是菱形，
即重叠部分的四边形是菱形．
(2)①当d＝1，∠α＝45°时，∠ADF＝45°，AF＝1 cm，而AF⊥CD，
∴△ADF是等腰直角三角形且AF＝DF.
又∵AD2＝AF2＋DF2，
∴AD＝ cm，
∴DC＝AD＝ cm，
∴重叠部分的面积＝DC·AF＝×1＝(cm2)．
②当d＝，∠α＝60°时，∠ADF＝60°，AF＝ cm，
连结AC，易证△ADC为等边三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质和勾股定理可得AD＝DC＝2 cm，
∴重叠部分的面积＝DC·AF＝2×＝2 (cm2)．
课时作业
[19.3 第1课时 正方形的性质]
一、选择题
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A．对角线平分一组对角
B．对角线互相垂直平分
C．对角线相等
D．四条边相等
2．2017·昆山、太仓期中 如图K－37－1，E是正方形ABCD的边AB延长线上的一点，且BD＝BE，则∠BED的大小为( )
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
图K－37－1
图K－37－2
3．如图K－37－2，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF的周长为( )
A．14 B．15 C．16 D．17
4．如图K－37－3，已知四边形ABCD是正方形，则正方形ABCD的面积是( )
A．25 B．15 C．12.5 D．5
图K－37－3
图K－37－4
5．如图K－37－4，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC的度数为( )
A．75° B．60° C．55° D．45°
图K－37－5
6．如图K－37－5，将边长为2的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为( )
A．(－2，1) B．(－1，2)
C．(，－1) D．(－，1)
7．如图K－37－6，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O.下列结论：(1)AE＝BF；(2)AE⊥BF；(3)AO＝OE；(4)S△AOB＝S四边形DEOF.其中正确的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
图K－37－6
图K－37－7
8．如图K－37－7，已知边长为4的正方形ABCD，P是BC边上一动点(与点B，C不重合)，连结AP，作PE⊥AP交∠BCD处的外角平分线于点E.设BP＝x，△PCE的面积为y，则y与x之间的函数关系式是( )
A．y＝2x＋1 B．y＝x－2x2
C．y＝2x－x2 D．y＝2x
二、填空题
9．如图K－37－8，正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，且AE＝BC，则∠BED的度数是________．
图K－37－8
图K－37－9
10．如图K－37－9，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝________．
图K－37－10
11．2018·深圳 如图K－37－10，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角，且E，A，B三点共线，AB＝4，则阴影部分的面积是________．
12．如图K－37－11，在平面直角坐标系中，直线y＝－2x＋4与x轴、y轴分别相交于点A，B，四边形ABCD是正方形，曲线y＝在第一象限经过点D，将正方形ABCD沿y轴向左平移________个单位时，点C的对应点恰好落在曲线y＝上．
图K－37－11
图K－37－12
13．正方形OA1B1C1，正方形A1A2B2C2，正方形A2A3B3C3按图K－37－12所示的方式放置，其中点A1，A2，A3在x轴的正半轴上，点B1，B2，B3在直线y＝－x＋2上，则点A3的坐标为________．
三、解答题
14．2018·聊城 如图K－37－13，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连结AE，过点B作BH⊥AE，垂足为H，延长BH交CD于点F，连结AF.
(1)求证：AE＝BF；
(2)若正方形的边长是5，BE＝2，求AF的长．
图K－37－13
15．如图K－37－14，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P.
(1)求证：AP＝BQ；
(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．
图K－37－14
拓展探究 如图K－37－15(a)，P是正方形ABCD的边CD上的一点(点P与点C，D不重合)，点E在BC的延长线上，且CE＝CP，连结BP，DE.
(1)求证：△BCP≌△DCE.
(2)如图(b)，直线EP交AD于点F，连结BF，FC，G是FC与BP的交点．
①当CD＝2PC时，求证：BP⊥CF；
②当CD＝n·PC(n是大于1的实数)时，记△BPF的面积为S1，△DPE的面积为S2，求证：S1＝(n＋1)S2.
图K－37－15
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] C 正方形的性质：正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等．故选C.
2．[解析] B 因为四边形ABCD是正方形，所以∠ABD＝45°.因为BD＝BE，所以∠E＝∠BDE.由三角形外角的性质可得∠BED＝∠ABD＝×45°＝22.5°.
3．[解析] C 因为四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形，所以AC＝AB＝4，则正方形ACEF的周长为16.
4．[解析] C 连结AC，BD.∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB＝∠DCE＝90°，AC＝BD，AC⊥BD，AD∥BC，AD＝DC＝BC.∵∠E＝45°，∴∠E＝∠CDE＝45°，∴CD＝CE，∴AD＝CE.又∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴AC＝DE＝5，∴BD＝5，∴正方形ABCD的面积＝AC·BD＝12.5.故选C.
5．[答案] B
6．[解析] D 如图，过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E.
易证△AOE≌△OCD，
∴CD＝OE＝1，
OD＝AE＝＝＝，
∴点C的坐标为(－，1)．
7．[解析] B ∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝DC，∠D＝∠BAD＝90°.∵CE＝DF，∴DE＝AF，∴△DEA≌△AFB，∴AE＝BF，∠DEA＝∠AFB.又∵∠DEA＋∠DAE＝90°，∴∠AFB＋∠DAE＝90°，∴∠AOF＝90°，即AE⊥BF.由△DEA≌△AFB，得S△DEA＝S△AFB，∴S△DEA－S△AOF＝S△AFB－S△AOF，即S△AOB＝S四边形DEOF，∴正确的是(1)(2)(4)，共3个．
8．[解析] C 由已知得PC＝4－x.在AB上取一点F，使BF＝BP，连结FP.易证△AFP≌△PCE，从而PA＝PE.作EH⊥BC交BC的延长线于点H，则易得△ABP≌△PHE，所以EH＝BP＝x，所以y＝(4－x)x＝2x－x2.
9．[答案] 135°
[解析] ∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴AB＝BC，∠BAE＝45°.∵AE＝BC，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝×(180°－45°)＝67.5°，同理可求得∠AED＝67.5°，∴∠BED＝2×67.5°＝135°.
10．[答案] －1
[解析] ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD＝∠CBD＝45°.又∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝22.5°，则∠BCE＝67.5°.在△BCE中，根据三角形内角和及∠BCE＝67.5°，得∠BCE＝∠BEC＝67.5°，∴BC＝BE.∵正方形ABCD的边长为1，∴由勾股定理得BD＝＝＝，∴DE＝－1.
11．[答案] 8
[解析] ∵四边形ACDF是正方形，∴AC＝FA，∠CAF＝90°.又∵∠CEA是直角，∴∠CAE＋∠BAF＝90°，∠CAE＋∠ECA＝90°，∴∠ECA＝∠BAF.在△ACE和△FAB中，∵∠AEC＝∠FBA＝90°，∠ECA＝∠BAF，AC＝FA，∴△ACE≌△FAB，∴AB＝CE＝4，∴阴影部分的面积为AB·CE＝×4×4＝8.
12．[答案] 2
[解析] 如图，过点C作CF⊥y轴于点F，交双曲线于点E.
当x＝0时，y＝4，则OB＝4；当y＝0时，x＝2，则OA＝2.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC，∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴∠ABO＋∠CBF＝90°.
又∵∠CBF＋∠BCF＝90°，
∴∠ABO＝∠BCF.
又∵∠AOB＝∠BFC＝90°，
∴△AOB≌△BFC，
∴CF＝OB＝4，BF＝OA＝2，∴C(4，6)．
同理可得D(6，2)．
∵曲线y＝经过点D，
∴y与x之间的函数表达式是y＝.
当y＝6时，x＝2，∴CE＝CF－EF＝4－2＝2，
∴沿x轴向左平移2个单位时，点C的对应点恰好落在曲线y＝上．
13．[答案] (，0)
[解析] 设正方形OA1B1C1的边长为t，则B1(t，t)，所以t＝－t＋2，解得t＝1，得到B1(1，1)；
设正方形A1A2B2C2的边长为a，则B2(1＋a，a)，a＝－(1＋a)＋2，解得a＝，得到B2(，)；
设正方形A2A3B3C3的边长为b，则B3(＋b，b)，b＝－(＋b)＋2，解得b＝，得到B3(，)，所以A3(，0)．故答案为(，0)．
14．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°.
∵BH⊥AE，垂足为H，
∴∠BAE＋∠ABH＝90°.
又∵∠ABH＋∠CBF＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF.
在△ABE和△BCF中，∵∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC，∠BAE＝∠CBF，
∴△ABE≌△BCF(A.S.A.)，∴AE＝BF.
(2)∵△ABE≌△BCF，∴CF＝BE＝2.
∵正方形的边长为5，∴AD＝CD＝5，
∴DF＝CD－CF＝5－2＝3.
在Rt△ADF中，AF＝＝＝.
15．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BA，∠BAD＝90°，
即∠BAQ＋∠DAP＝90°.
∵DP⊥AQ，∴∠ADP＋∠DAP＝90°，
∴∠BAQ＝∠ADP.
∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P，
∴∠AQB＝∠DPA＝90°，
∴△AQB≌△DPA(A.A.S.)，∴AP＝BQ.
(2)①AQ－AP＝PQ；②AQ－BQ＝PQ；
③DP－AP＝PQ；④DP－BQ＝PQ.
[素养提升]
证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCE＝90°.
又∵CP＝CE，∴△BCP≌△DCE(S.A.S.)．
(2)①当CD＝2PC时，DP＝PC.
∵在正方形ABCD中，∠FDP＝90°，
∴∠FDP＝∠ECP.
又∵∠DPF＝∠CPE，
∴△DPF≌△CPE(A.S.A.)，
∴PF＝PE，
∴四边形CEDF是平行四边形，
从而FC∥DE，∴∠1＝∠2.
由(1)知△BCP≌△DCE，
∴∠3＝∠1，∴∠2＝∠3.
∵∠3＋∠BPC＝90°，∴∠BPC＋∠2＝90°，
∴∠PGC＝90°，即BP⊥CF.
②∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，CD＝BC.
设PC＝x，则CE＝PC＝x.
又∵CD＝n·PC，∴CD＝BC＝nx，
∴BE＝(n＋1)x，∴PD＝(n－1)x.
如图，过点F作FH⊥BC于点H，则FH＝CD＝nx，则S1＝S△BFE－S△BPE＝(n＋1)x·nx－(n＋1)x·x＝(n＋1)(n－1)x2，
S2＝(n－1)x·x＝(n－1)x2，
∴＝＝n＋1，
∴S1＝(n＋1)S2.
课时作业
[19.3 第2课时 正方形的判定]
一、选择题
1．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )
A．∠D＝90° B．AB＝CD
C．AD＝BC D．BC＝CD
2．四边形的两条对角线相等且互相垂直平分，则这个四边形一定是( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
图K－38－1
3．如图K－38－1，在?ABCD中，AC⊥BD于点O，若增加一个条件，使得四边形ABCD是正方形，则下列条件中，不正确的是( )
A．AC＝BD B．AB＝BC
C．∠ABC＝90° D．AO＝BO
4．在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，能判定这个四边形是正方形的是( )
A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
B．AB∥CD，AC＝BD
C．AO＝BO，∠A＝∠C
D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
5．2017·舟山 一张矩形纸片ABCD，已知AB＝3，AD＝2，小明按图K－38－2中步骤折叠纸片，则线段DG的长为( )
图K－38－2
A. B．2 C．1 D．2
图K－38－3
6．如图K－38－3，正方形ABCD的边长为8，在各边上依次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是( )
A．30 B．34
C．36 D．40
二、填空题
图K－38－4
7．如图K－38－4所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是____________．
8．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件：____________________，使其成为正方形．(只填其中一个即可)
9．如图K－38－5，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E，F分别在AC，BC边上运动(点E不与点A，C重合)，且保持AE＝CF，连结DE，DF，EF.在此运动变化的过程中，有下列结论：
图K－38－5
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CEDF可能为正方形；
③四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化．
其中正确的结论是________(填写序号)．
三、解答题
10．如图K－38－6，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：四边形CFDE是正方形．
图K－38－6
11.如图K－38－7，四边形ABCD为矩形，E是BC延长线上一点，AE交CD于点G，F是AE上一点，并且AC＝CF＝EF，∠AEB＝15°.
(1)求∠ACF的度数；
(2)求证：矩形ABCD为正方形．
图K－38－7
12．如图K－38－8，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
图K－38－8
13．如图K－38－9，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，O为AB的中点，连结DO并延长到点E，使OE＝OD，连结AE，BE.
(1)求证：四边形AEBD是矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？请说明理由．
图K－38－9
问题背景：
如图K－38－10①，在正方形ABCD的内部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．
类比探究：
如图K－38－10②，在正三角形ABC的内部，作∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点(D，E，F三点不重合)．
(1)△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果全等，请选择其中一对进行证明；
(2)△DEF是不是正三角形？请说明理由；
(3)进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系．设BD＝a，AD＝b，AB＝c，请探索a，b，c满足的等量关系.
图K－38－10
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] D 由∠A＝∠B＝∠C＝90°知，四边形ABCD是矩形，只需要邻边相等就可以推出该四边形是正方形．
2．[答案] D
3．[解析] B A项，∵在?ABCD中，AC⊥BD于点O，∴四边形ABCD是菱形，当AC＝BD时，菱形ABCD就是正方形，故此选项不符合题意；B项，∵在?ABCD中，AC⊥BD于点O，∴四边形ABCD是菱形，当AB＝BC时，无法得出菱形ABCD是正方形，故此选项符合题意；C项，∵在?ABCD中，AC⊥BD于点O，∴四边形ABCD是菱形，当∠ABC＝90°时，菱形ABCD就是正方形，故此选项不符合题意；D项，∵在?ABCD中，AC⊥BD于点O，∴四边形ABCD是菱形，当AO＝BO时，则AO＝BO＝CO＝DO，故菱形ABCD就是正方形，故此选项不符合题意．故选B.
4．[解析] A A项，能，因为对角线相等且互相垂直平分；
B项，不能，只能判定为等腰梯形；
C项，不能，不能判定为特殊的四边形；
D项，不能，只能判定为菱形．故选A.
5．[答案] A
6．[解析] B ∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
AB＝BC＝CD＝DA.
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AH＝BE＝CF＝DG.
在△AEH，△BFE，△CGF和△DHG中，
∵AE＝BF＝CG＝DH，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，AH＝BE＝CF＝DG，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，
∴EH＝FE＝GF＝HG，∠AEH＝∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形．
∵∠BEF＋∠BFE＝90°，
∴∠BEF＋∠AEH＝90°，
∴∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH是正方形．
∵AB＝BC＝CD＝DA＝8，AE＝BF＝CG＝DH＝5，
∴EH＝FE＝GF＝HG＝＝，
∴四边形EFGH的面积是()2＝34.故选B.
7．[答案] 答案不唯一，如AC＝BD或∠ABC＝90°等
[解析] 由题意可得四边形ABCD是菱形，因此只需增加一个条件使菱形ABCD成为正方形即可，所以可使其对角线相等，即增加条件AC＝BD，或增加一个角为直角，即增加条件∠ABC＝90°等．
[点评] 本题是一道条件开放题，在添加条件时，要结合图形挖掘隐含的条件．
8．[答案] 答案不唯一，如AC⊥BD或AB＝BC或BC＝CD或CD＝AD或AD＝AB
[解析] 根据对角线互相垂直的矩形是正方形或一组邻边相等的矩形是正方形来添加条件．所以可以添加的条件是AC⊥BD或AB＝BC或BC＝CD或CD＝AD或AD＝AB.
9．[答案] ①②③
[解析] 连结CD.因为D是等腰直角三角形ABC底边的中点，所以∠DCF＝45°＝∠A，CD＝AD.又因为CF＝AE，所以△CDF≌△ADE，所以DF＝DE，∠CDF＝∠ADE.因为∠ADE＋∠CDE＝90°，所以∠CDF＋∠CDE＝90°，即∠EDF＝90°，①正确；当E，F分别为AC，BC的中点时，四边形CEDF为正方形，②正确；因为△CDF≌△ADE，所以四边形CEDF的面积等于△ACD的面积＝△ABC面积的一半，③正确．
10．证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴四边形CFDE是矩形．
又∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
∴四边形CFDE是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)．
11．解：(1)∵CF＝EF，∴∠FCE＝∠AEB＝15°，
∴∠AFC＝∠FCE＋∠AEB＝30°.
∵AC＝CF，∴∠FAC＝∠AFC＝30°，
∴∠ACF＝180°－∠FAC－∠AFC＝120°.
(2)证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠D＝90°，
∴∠DAG＝∠AEB＝15°.
由(1)知∠FAC＝30°，
∴∠DAC＝∠DAG＋∠FAC＝45°.
∵∠D＝90°，∴∠ACD＝∠DAC＝45°，
∴AD＝CD，∴矩形ABCD为正方形．
12．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO.
又∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC，即DB⊥AC，
∴ 平行四边形ABCD是菱形．
(2)∵△ACE是等边三角形，
∴∠AEC＝60°.
∵EO⊥AC，
∴∠AEO＝∠AEC＝30°.
∵∠AED＝2∠EAD，
∴∠EAD＝15°，
∴∠ADO＝∠EAD ＋∠AED＝45°.
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADC＝2∠ADO＝90°，
∴ 四边形ABCD是正方形．
13．解：(1)证明：由已知得OA＝OB，OE＝OD，
∴四边形AEBD是平行四边形．
∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴?AEBD是矩形．
(2)当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形．
理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD＝BD＝CD.
由(1)知四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
[素养提升]
[解析] (1)已知有一组对应边相等，由旋转可得一组对应角相等，证明另一组对应角相等即可．
(2)由(1)中全等可得△DEF三个外角对应相等，从而可得三个内角对应相等．
(3)由(2)知∠ADB＝120°，根据特殊角构造直角三角形，作AG⊥BD，利用勾股定理即可求解．
解：(1)△ABD≌△BCE≌△CAF.
选择证明△ABD≌△BCE如下：
∵△ABC是正三角形，
∴∠CAB＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC.
∵∠ABD＝∠ABC－∠CBE，∠BCE＝∠ACB－∠ACF，而∠CBE＝∠ACF，
∴∠ABD＝∠BCE.
又∵∠BAD＝∠CBE，
∴△ABD≌△BCE.
(2)△DEF是正三角形．
理由：∵△ABD≌△BCE≌△CAF，
∴∠ADB＝∠BEC＝∠CFA，
∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD，
∴△DEF是正三角形．
(3)过点A作AG⊥BD，交BD的延长线于点G.
由△DEF是正三角形得到∠ADG＝60°，
∴在Rt△ABG中，c2＝(a＋b)2＋(b)2，
∴c2＝a2＋ab＋b2.
