[18.1 第1课时 平行四边形边、角的性质]
一、选择题
1．在下列性质中，平行四边形不一定具有的是( )
A．对边相等 B．对边平行
C．对角互补 D．内角和为360°
图K－25－1
2．如图K－25－1，若?ABCD的周长为32，AB＝4，则BC的长为( )
A．4 B．12 C．24 D．28
3．如图K－25－2，?ABCD的对角线的交点是直角坐标系的原点，若顶点C的坐标是(5，3)，则顶点A的坐标是( )
A．(－5，－3) B．(－3，－5)
C．(－5，3) D．(5，－3)
图K－25－2
图K－25－3
4．如图K－25－3，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E.若∠EAD＝53°，则∠BCE的度数为( )
A．37° B．47°
C．53° D．123°
5．如图K－25－4，已知直线a∥b，点A，C分别在直线a，b上，且AB⊥b，CD⊥a，垂足分别为B，D，有下列四种说法，其中正确的有( )
①点A到直线b的距离为线段AB的长；
②a，b两直线之间的距离为线段AB的长；
③a，b两直线之间的距离为线段CD的长；
④AB＝CD.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
图K－25－4
图K－25－5
6．如图K－25－5，E是?ABCD的边AD上任意一点．若△EBC的面积为S1，?ABCD的面积为S，则下列关于S与S1的大小关系中正确的是( )
A．S1＝S
B．S1＜S
C．S1＞S
D．S1与S的大小关系无法确定
二、填空题
7．在?ABCD中，若∠A－∠B＝70°，则∠A的度数为______，∠B的度数为________，∠C的度数为______，∠D的度数为______．
8．2017·连云港 如图K－25－6，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF＝60°，则∠B＝________°.
图K－25－6
9．在?ABCD中，AB和CD间的距离为4，AD和BC间的距离为6.若AB＝12，则BC＝________．
10．如图K－25－7所示，AE∥BD，C为直线BD上的一点，AE＝5，BD＝8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为________.
图K－25－7
图K－25－8
11．如图K－25－8，在?ABCD中，E是AD边的中点，若∠ABE＝∠EBC，AB＝2，则?ABCD的周长是________．
12．如图K－25－9，在?ABCD中，AB＝5 cm，BC＝3 cm，BD＝4 cm，则?ABCD的周长为________cm，?ABCD的面积为________cm2.
图K－25－9
三、解答题
13．2018·无锡 如图K－25－10，平行四边形ABCD中，E，F分别是边BC，AD的中点．求证：∠ABF＝∠CDE.
图K－25－10
14．已知?ABCD的周长为20 cm，AD－AB＝1 cm.求AD和CD的长.
15．如图K－25－11，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E.求证：DA＝DE.
图K－25－11
16．如图K－25－12，E是?ABCD的边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F.
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，求CD的长．
图K－25－12
数学应用 如图K－25－13①，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图②所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路(图①中的折线CDE)还保留着．张大爷想过点E修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案(不计分界小路与直路的占地面积)．
(1)写出设计方案，并在图中画出相应的图形；
(2)说明方案设计的理由．
① ②
图K－25－13
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] C A．平行四边形的对边相等，故A选项正确；B.平行四边形的对边平行，故B选项正确；C.平行四边形的对角相等但不一定互补，故C选项错误；D.平行四边形的内角和为360°，故D选项正确．故选C.
2．[答案] B 3.[答案] A 4.[答案] A
5．[解析] D 抓住“两条平行线之间的距离处处相等”的性质进行变换，四种说法都是正确的．
6．[解析] A S1＝B C·hBC边上的高＝S?ABCD，即S1＝S.
7．[答案] 125° 55° 125° 55°
[解析] 在?ABCD中，∠A＋∠B＝180°，且∠A－∠B＝70°，可知∠A＝∠C＝125°，∠B＝∠D＝55°.
8．[答案] 60
[解析] 根据四边形的内角和，垂直的性质可求得∠C＝360°－90°－90°－60°＝120°，再根据平行四边形的性质可求得∠B＝60°.
9．[答案] 8
[解析] 由平行四边形的面积等于底乘高，得BC×6＝12×4，所以BC＝8.
10．[答案] 10
11．[答案] 12
[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC.又∵∠ABE＝∠EBC，∴∠AEB＝∠ABE，∴AB＝AE＝2.又∵E是AD边的中点， ∴AD＝4, ∴?ABCD的周长为12.
12．[答案] 16 12
[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC＝5 cm，AD＝BC＝3 cm，则?ABCD的周长＝AD＋BC＋DC＋AB＝2×(5＋3)＝16(cm)；∵AB＝5 cm，BD＝4 cm，AD＝3 cm，∴AB2＝AD2＋BD2，∴△ABD是直角三角形，∴S△ABD＝×3×4＝6(cm2)，∴S?ABCD＝2S△ABD＝12 cm2.故答案为16，12.
13．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD＝BC.
∵E，F分别是边BC，AD的中点，∴AF＝CE.
在△ABF和△CDE中，∵AB＝CD，∠A＝∠C，AF＝CE，
∴△ABF≌△CDE，∴∠ABF＝∠CDE.
14．解：∵?ABCD的周长为20 cm，
∴AD＋AB＝10 cm.
又∵AD－AB＝1 cm，
∴AD＝5.5 cm，AB＝4.5 cm.
又∵CD＝AB，∴CD＝4.5 cm.
即AD＝5.5 cm，CD＝4.5 cm.
15．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠E＝∠BAE.
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠E＝∠DAE，∴DA＝DE.
16．[解析] (1)由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，证出∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，即可证明△ADE≌△FCE；
(2)由全等三角形的性质得出AE＝EF＝3，由平行线的性质证出∠AED＝∠BAF＝90°，由勾股定理求出DE的长，即可得出CD的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF.
∵E是?ABCD的边CD的中点，∴DE＝CE.
在△ADE和△FCE中，
∵∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，DE＝CE，
∴△ADE≌△FCE.
(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF＝3.
∵AB∥CD，∴∠AED＝∠BAF＝90°.
在?ABCD中，AD＝BC＝5，∴DE＝＝＝4，∴CD＝2DE＝8.
[素养提升]
解：(1)设计方案图如图中虚线所示．连结EC，过点D作DF∥EC，交CM于点F，连结EF，EF即为所求直路的位置．
(2)由“平行线之间的距离处处相等”可知△ECD和△ECF的同一底边EC上的高相等，则S△ECF＝S△ECD，所以S五边形ABCDE＝S五边形ABCFE，S五边形EDCMN＝S四边形EFMN.由此可知EF即为所求直路的位置．
课时作业
[18.1 第2课时 平行四边形对角线的性质]
一、选择题
1．如图K－26－1，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法一定正确的是( )
A．AO＝OD B．AO⊥OD
C．AO＝OC D．AO⊥AB
图K－26－1
图K－26－2
2．如图K－26－2，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝7，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线长的和是( )
A．32 B．28 C．16 D．46
3．2017·眉山 如图K－26－3，EF过?ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.若?ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( )
A．14 B．13
C．12 D．10
图K－26－3
图K－26－4
4．如图K－26－4，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为( )
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．8 cm
图K－26－5
5．2017·贵阳 如图K－26－5，在?ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连结CE.若△CED的周长为6，则?ABCD的周长为( )
A．6 B．12 C．18 D．24
二、填空题
6．如图K－26－6，已知?ABCD的周长为22 cm，O为对角线AC与BD的交点．若AD＝4 cm，则△AOD的周长比△AOB的周长小________cm.
图K－26－6
图K－26－7
7．如图K－26－7，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.如果AC＝14，BD＝8，AB＝x，那么x的取值范围是________．
图K－26－8
8．2018·临沂 如图K－26－8，在?ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，则BD＝________．
三、解答题
9．如图K－26－9，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，经过点O的直线交AB于点E，交CD于点F.求证：OE＝OF.
图K－26－9
10．如图K－26－10，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD＝2AB，E是OA的中点．
求证：BE⊥AC.
图K－26－10
11．如图K－26－11，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE＝CF.
求证：△BOE≌△DOF.
图K－26－11
12．如图K－26－12，O为?ABCD的对角线AC的中点，过点O作一直线分别交AB，CD于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE＝OF.
(1)写出图中的全等三角形；
(2)求证：∠EAM＝∠FCN.
图K－26－12
图形操作 (1)如图K－26－13①，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，直线EF过点O，分别交边AD，BC于点E，F.求证：AE＝CF；
(2)如图②，将?ABCD(纸片)沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处．设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I.求证：EI＝FG.
图K－26－13
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[答案] C
2．[解析] A ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝7.
∵△OCD的周长为23，∴OD＋OC＝23－7＝16.
∵BD＝2OD，AC＝2OC，∴平行四边形ABCD的两条对角线长的和＝BD＋AC＝2(OD＋OC)＝32.
故选A.
3．[解析] C 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，OA＝OC，所以∠OAE＝∠OCF.又因为∠AOE＝∠COF，所以△AOE≌△COF，所以AE＝CF，OE＝OF，而AB＝CD，AD＝BC，所以四边形EFCD的周长为AD＋CD＋EF＝×18＋2×1.5＝12.
4．[解析] A ∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝10 cm，BD＝6 cm，∴OA＝OC＝AC＝5 cm，OB＝OD＝BD＝3 cm.∵∠ODA＝90°，∴AD＝＝4 cm.故选A.
5．[解析] B 由平行四边形的性质得出DC＝AB，AD＝BC，由线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，∴△CDE的周长＝AD＋DC，即可得出结果．
具体的解题过程如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，AD＝BC.
∵AC的垂直平分线交AD于点E，∴AE＝CE，
∴△CDE的周长＝CE＋DE＋DC＝AE＋DE＋DC＝AD＋DC＝6，
∴?ABCD的周长＝2×6＝12.
故选B.
6．[答案] 3
7．[答案] 3＜x＜11
[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝14，BD＝8，∴OA＝AC＝7，OB＝BD＝4，∴7－4＜x＜7＋4，即3＜x＜11.
8．[答案]
9．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，
∴∠OAE＝∠OCF.
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△OAE≌△OCF(A.S.A.)，
∴OE＝OF.
10．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD.
∵BD＝2AB，∴AB＝OB.
∵E是OA的中点，
∴BE⊥AC.
11．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，AO＝CO.
∵AE＝CF，∴AO－AE＝CO－CF，
即OE＝OF.
在△BOE和△DOF中，
∵OB＝OD，∠BOE＝∠DOF，OE＝OF,
∴△BOE≌△DOF(S.A.S.)．
12．解：(1)图中的全等三角形有△ABC≌△CDA，△AOM≌△CON，△AME≌△CNF，△AOE≌△COF.
(2)证明：在△AOE和△COF中，∵AO＝CO，∠AOE＝∠COF，OE＝OF，
∴△AOE≌△COF(S.A.S.)，
∴∠OAE＝∠OCF.
在?ABCD中，AB∥CD，
∴∠OCD＝∠OAB，
∴∠OAE－∠OAB＝∠OCF－∠OCD，
即∠EAM＝∠FCN.
[素养提升]
证明：(1)如图①，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
在△AOE和△COF中，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，OA＝OC，
∴△AOE≌△COF，
∴AE＝CF.
(2)如图②，由折叠的轴对称性，得AE＝A1E，∠A1＝∠A，∠B1＝∠B.
由(1)得AE＝CF，∴A1E＝CF.
由平行四边形的对角相等，得∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴∠A1＝∠C，∠B1＝∠D.
又∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∴∠5＝∠6.
在△A1IE和△CGF中，
∵∠A1＝∠C，∠5＝∠6，A1E＝CF，
∴△A1IE≌△CGF，
∴EI＝FG.
课时作业
[18.2 第1课时 从边判定平行四边形]
一、选择题
1．若一个四边形四条边的长度之比为2∶3∶2∶3，则此四边形是( )
A．任意四边形 B．任意梯形
C．等腰梯形 D．平行四边形
2．如图K－27－1，在平面直角坐标系中，以A(－1，0)，B(2，0)，C(0，1)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是( )
A．(3，1) B．(－4，1)
C．(1，－1) D．(－3，1)
图K－27－1
图K－27－2
3．如图K－27－2，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，若∠D＝120°，则∠C的度数为( )
A．60° B．70° C．80° D．90°
4．2018·玉林 在四边形ABCD中：①AB∥CD；②AD∥BC；③AB＝CD；④AD＝BC.从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有( )
A．3种 B．4种
C．5种 D．6种
图K－27－3
5．如图K－27－3，已知△ABC，以点B为圆心，AC长为半径画弧，以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，且点A和点D分别在BC的两侧，连结AD，BD，CD，下列结论中，不一定正确的是( )
A．四边形ABDC是平行四边形
B．AB平行且等于CD
C．AD和BC互相平分
D．AD＝BC
图K－27－4
6．如图K－27－4，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连结DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF.添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是( )
A．AD＝BC B．CD＝BF
C．∠A＝∠C D．∠F＝∠CDE
7．四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为一组对边边长，c，d为另一组对边边长，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ab＋2cd，则这个四边形是( )
A．任意四边形 B．平行四边形
C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形
二、填空题
8．如图K－27－5，若∠1＝∠2，AD＝BC，则四边形ABCD的形状是________，判定依据是____________________．
图K－27－5
图K－27－6
9．如图K－27－6所示，E，F分别是?ABCD的边AD与BC上的点，且DE＝BF，则四边形AECF是____________．
10．如图K－27－7，D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连结AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连结CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是____________________________．
图K－27－7
图K－27－8
11．如图K－27－8，在等边三角形ABC中，AB＝6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动．如果点E，F同时出发，那么当四边形AEFC是平行四边形时，运动时间为________．
三、解答题
12．2017·乐山 如图K－27－9，延长?ABCD的边AD到点F，使DF＝DC，延长CB到点E，使BE＝BA，连结AE，CF.求证：AE＝CF.
图K－27－9
13．2017·咸宁 如图K－27－10，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC.
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)连结AF，BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
图K－27－10
14．如图K－27－11，在?ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连结AF，CE.求证：AF＝CE.
图K－27－11
15．2018·温州 如图K－27－12，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED＝∠B.
(1)求证：△AED≌△EBC；
(2)当AB＝6时，求CD的长．
图K－27－12
综合探究 如图K－27－13所示，在△ABC中，E，F两点在AB边上，AE＝BF，EH∥AC∥FG，H，G两点在BC边上，则线段EH，FG，AC之间有什么关系？试证明你的结论．
图K－27－13
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[答案] D
2．[解析] B ①以AC为对角线，可以画出?AFCB，F(－3，1)；②以AB为对角线，可以画出?ACBE，E(1，－1)；③以BC为对角线，可以画出?ACDB，D(3，1)．故选B.
3．[解析] A 因为AB＝CD，BC＝AD，所以四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，所以∠C＋∠D＝180°，所以∠C＝180°－120°＝60°.
4．[解析] B 平行四边形的判定方法一：两组对边分别平行的四边形是平行四边形：①②；平行四边形的判定方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形：③④；平行四边形的判定方法三：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形：①③或②④，共有4种选法．故选B.
5．[解析] D 由画图知，AB＝CD，AC＝BD，则四边形ABDC是平行四边形，选项A，B，C都成立，AD＝BC不一定成立．
6．[答案] D 7.[答案] B
8．[答案] 平行四边形 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
[解析] ∵∠1＝∠2，∴AD∥BC.又∵AD＝BC，∴根据“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可知四边形ABCD是平行四边形．
9．[答案] 平行四边形
[解析] 在?ABCD中，由DE＝BF可得AE∥FC，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形AECF为平行四边形．
10．[答案] 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
11．[答案] 6 s
[解析] 当四边形AEFC是平行四边形时，点F在点C的右侧，设运动的时间为t s.
根据题意得AE＝t cm，BF＝2t cm，
则CF＝BF－BC＝(2t－6)cm.
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t＝2t－6，
解得t＝6.
12．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，DC＝BA，
∴AF∥EC.
∵DF＝DC，BE＝BA，∴BE＝DF，
∴AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF.
13．证明：(1)∵BE＝FC，∴BC＝FE.
在△ABC与△DFE中，∵AB＝DF，AC＝DE，BC＝FE，∴△ABC≌△DFE.
(2)如图，连结AF，BD.
∵△ABC≌△DFE，
∴∠ABC＝∠DFE，
∴AB∥DF.
又∵AB＝DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
14．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF.
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，AE∥CF.
在△ABE和△CDF中，
∵∠ABE＝∠CDF，∠AEB＝∠CFD，AB＝CD，
∴△ABE≌△CDF，∴AE＝CF.
又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE.
15．解：(1)证明：∵AD∥EC，∴∠A＝∠BEC.
∵E是AB的中点，∴AE＝BE.
又∵∠AED＝∠B，∴△AED≌△EBC.
(2)∵△AED≌△EBC，∴AD＝EC.
∵AD∥EC，∴四边形AECD是平行四边形，
∴CD＝AE.
∵AB＝6，∴CD＝AE＝AB＝3.
[素养提升]
[解析] 三条线段之间的关系，在一般情况下两条线段的和等于第三条线段，题中给出HE∥CA∥GF，过点E作BC的平行线DE交AC于点D，这样就把EH平移到AC边上，与CD重合，再证△ADE≌△FGB.
解：AC＝EH＋FG.
证明：过点E作ED∥BC，交AC于点D，
∴∠ADE＝∠C.
又∵EH∥AC∥FG，
∴∠C＝∠FGB，∠GFB＝∠A，
∴∠ADE＝∠FGB.
又∵AE＝FB，
∴△ADE≌△FGB，
∴AD＝FG.
由题意可知，四边形DEHC为平行四边形，
∴DC＝EH.
∵AC＝DC＋AD，
∴AC＝EH＋FG.
课时作业
[18.2 第2课时 从对角线判定平行四边形]
一、选择题
1．四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AB∥CD，AD∥BC
B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD∥BC，AB＝CD
D．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠CDA
图K－28－1
2．如图K－28－1，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形( )
A．OE＝OF B．DE＝BF
C．∠ADE＝∠CBF D．AE＝CF
3．给出如下两个命题：①一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；②四个内角都相等的四边形是平行四边形．下列判断正确的是( )
A．①②都是真命题
B．①②都是假命题
C．①是真命题，②是假命题
D．①是假命题，②是真命题
4．2018·呼和浩特顺次连结平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，从①AB∥CD，②BC＝AD，③∠A＝∠C，④∠B＝∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有( )
A．5种 B．4种 C．3种 D．1种
二、填空题
5．如图K－28－2，在平行四边形ABCD中，对角线交于点O，E，F为直线AC上不同的两个点，当点E，F的位置满足__________的条件时，四边形DEBF是平行四边形．
图K－28－2
图K－28－3
6．如图K－28－3，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，记△OAB，△OBC，△OCD，△ODA的面积依次为S1，S2，S3，S4.给出如下命题：①若S1＝S2＝S3＝S4，则四边形ABCD是平行四边形；②若S1＝S2，S3＝S4，则四边形ABCD是平行四边形；③若S1＝S3，S2＝S4，则四边形ABCD是平行四边形．其中是真命题的是________(填写序号)．
三、解答题
7．如图K－28－4，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，BO＝DO.求证：四边形ABCD是平行四边形.
图K－28－4
8．如图K－28－5，四边形ADBC的对角线AB与CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分别是OC，OD的中点．求证：四边形AEBF是平行四边形．
图K－28－5
9．2017·西宁 如图K－28－6，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC＝8，BD＝6.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若AC⊥BD，求?ABCD的面积．
图K－28－6
10．如图K－28－7，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，点G，H在BD上，且AF＝CE，BH＝DG.求证：FG∥HE.
图K－28－7
11．如图K－28－8，?ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E，F分别为OB，OD的中点，过点O作任一直线分别交AB，CD于点G，H，连结GE，EH，HF，GF.
求证：四边形EHFG是平行四边形．
图K－28－8
12．如图K－28－9所示，?ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F，连结AF，CE.
求证：四边形AECF是平行四边形．
图K－28－9
猜想探究 如图K－28－10所示，已知△ABC中，D是AB的中点，E是AC上的点，且∠ABE＝∠BAC，EF∥AB，DF∥BE.
(1)猜想：DF与AE有怎样的特殊关系？
(2)证明你的猜想．
图K－28－10
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] C A．根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故能判定这个四边形是平行四边形；
B．根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故能判定这个四边形是平行四边形；
C．不能判定这个四边形是平行四边形；
D．根据两组对角分别相等可得两组对边分别平行，再根据平行四边形的定义可以判定这个四边形是平行四边形．故选C.
2．[解析] B 当DE＝BF时不能证明△AED≌△CFB，从而不能证明四边形DEBF是平行四边形．
3．[解析] D 画出图形进行简单推理可得．
4．[答案] C
5．[答案] 答案不唯一，如AE＝CF
6．[答案] ①③
[解析] 若S1＝S2＝S3＝S4，则由S1＝S2，得OA＝OC，由S2＝S3，得OB＝OD，故①是真命题；若S1＝S2，S3＝S4，则只能得OA＝OC，故②是假命题；若S1＝S3，S2＝S4，由于S1∶S2＝S3∶S4，而S1∶S2＝OA∶OC，S3∶S4＝OC∶OA，所以OA∶OC＝OC∶OA，从而OA2＝OC2，OA＝OC；同理，OB＝OD.故③是真命题．
7．证明：∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO.
又∵BO＝DO，∴△AOB≌△COD，
∴AO＝CO，∴四边形ABCD是平行四边形．
8．证明：∵AC∥DB，∴∠ACO＝∠BDO.
在△AOC与△BOD中，
∵∠ACO＝∠BDO，∠AOC＝∠BOD，AO＝BO，
∴△AOC≌△BOD，∴OC＝OD.
∵E，F分别是OC，OD的中点，
∴OE＝OF.
又∵AO＝BO，
∴四边形AEBF是平行四边形．
9．解：(1)证明：∵O是AC的中点，
∴OA＝OC.
∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO.
在△AOD和△COB中，
∵∠ADO＝∠CBO，∠AOD＝∠COB，OA＝OC，
∴△AOD≌△COB，
∴OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴?ABCD的面积＝△CAD的面积＋△ABC的面积＝AC·OD＋AC·OB＝AC·BD＝24.
10．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC.
又∵AF＝CE，
∴AF－OA＝CE－OC，
∴OF＝OE.同理，得OG＝OH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴FG∥HE.
11．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，∠BAO＝∠DCO.
又∵∠AOG＝∠COH，
∴△AOG≌△COH，∴OG＝OH.
∵E，F分别为OB，OD的中点，
∴OE＝OF，
∴四边形EHFG是平行四边形．
12．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，OA＝OC，AB∥CD，
∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO，
∴△FDO≌△EBO，∴OF＝OE，
故四边形AECF是平行四边形．
[素养提升]
解：(1)DF与AE相等且互相平分．
(2)证明：如图，连结AF和DE.
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD.
∵∠ABE＝∠BAC，
∴AE＝BE.
∵EF∥AB，DF∥BE，
∴四边形DBEF为平行四边形，
∴DF＝BE，EF＝BD，
则DF＝AE且EF∥AD，
∴四边形ADEF为平行四边形，
∴AE与DF互相平分，
即DF与AE相等且互相平分．
课时作业(二十九)
[18.2 第3课时 平行四边形判定与性质的应用]
一、选择题
1．如图K－29－1，在平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的点，增加下列条件，不能得出BE∥DF的是( )
A．AE＝CF B．BE＝DF
C．∠EBF＝∠FDE D．∠BED＝∠BFD
图K－29－1
图K－29－2
2．如图K－29－2，在平行四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则图中平行四边形的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图K－29－3，在△ABC中，AB＝AC＝8，D是BC上一动点(点D与点B，C不重合)，且DE∥AB，DF∥AC，则四边形DEAF的周长是( )
A．24 B．18 C．16 D．12
图K－29－3
图K－29－4
4．如图K－29－4所示，在?ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝CG，BF＝DH，则下列说法正确的是( )
A．GE＝HF B．HF⊥GE
C．HF与GE互相平分 D．以上都不对
5．如图K－29－5，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，过点D作DF∥AC交AB于点F，过点C作CE∥AB交FD的延长线于点E.则下列结论正确的是( )
图K－29－5
A．DC＋DF＝AB
B．BD＋DC＝DF
C．CE＋DF＝AB
D．CE＋DC＝BD
二、填空题
6．若四边形任意相邻内角都互补，则这个四边形是____________．
7．如图K－29－6，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，连结DE并延长到点F，使EF＝DE.若AB＝10，BC＝8，则四边形BCFD的周长为________．
图K－29－6
图K－29－7
8．如图K－29－7，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于点A，C，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D，则四边形ABCD的形状是________，其面积为________．
三、解答题
9．如图K－29－8，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，且BE＝CF.
(1)求证：AD是△ABC的中线；
(2)连结BF，CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由.
图K－29－8
10．如图K－29－9，在?ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交CD，AB于点M，N.
(1)求证：四边形CMAN是平行四边形；
(2)若DE＝4，NF＝3，求BN的长．
图K－29－9
11．提出命题：如图K－29－10，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠ABC＝∠ADC，求证：四边形ABCD是平行四边形．
小明提供了如下解答过程：
证明：连结BD.
∵∠1＋∠3＝180°－∠A，∠2＋∠4＝180°－∠C，∠A＝∠C，
图K－29－10
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4.
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)．
反思交流：(1)小明的解法正确吗？如果不正确，请写出正确的证明过程．
(2)用语言叙述上述命题：________________________________________________________________________.
运用探究：下列条件中，能确定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4
B．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶3∶1∶3
C．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶3∶3∶2
D．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶1∶3∶3.
12．如图K－29－11，将?ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连结BE.
(1)求证：四边形BCED′是平行四边形；
(2)若BE平分∠ABC，求证：AB2＝AE2＋BE2.
图K－29－11
探究题 如图K－29－12，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，点P从点B出发沿线段BA运动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线运动，当点P运动到点A时，点P，Q均停止运动．若点P，Q运动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.
(1)如图①，当点P自点B出发在线段BA上运动时，过点P作AC的平行线交BC于点F，连结PC，FQ，判断四边形PFQC的形状，并证明你的结论；
(2)如图②，过点P作PE⊥BC，垂足为E，请说明点P，Q在运动的过程中，DE的长度保持不变．
图K－29－12
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] B 添加AE＝CF，可得ED＝BF，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得四边形EBFD是平行四边形，所以BE∥DF；C，D两选项所给条件也能判定四边形EBFD是平行四边形，从而说明BE∥DF.故选B.
2．[答案] C 3.[答案] C
4．[解析] C 如图，连结EH，EF，HG，FG，由已知可得△AEH≌△CGF，△BEF≌△DGH，∴EH＝GF，EF＝GH，∴四边形EHGF是平行四边形，∴HF与GE互相平分．
5．[解析] C 根据DF∥AC，CE∥AB，得到四边形AFEC为平行四边形，所以AC＝EF.因为AB＝AC，所以EF＝AB，再证明ED＝EC，即可解答．
6．[答案] 平行四边形
7．[答案] 26
[解析] 如图，连结AF，CD.由题意可得AE＝EC，DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，∴AD∥CF.
又∵AD＝BD，
∴BD∥CF，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴四边形BCFD的周长为2(BD＋BC)＝2×(5＋8)＝26.
8．[答案] 平行四边形 2
[解析] 由双曲线的对称性可得，A，C关于原点O对称，所以OA＝OC，AB＝CD，由H.L.可判定Rt△ABO≌Rt△CDO，所以OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形；由反比例函数的比例系数的几何意义，可得S△AOB＝，所以四边形ABCD的面积为4×＝2.
9．解：(1)证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
又∵∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，
∴△BED≌△CFD，
∴BD＝CD，
∴AD是△ABC的中线．
(2)四边形BECF是平行四边形．理由如下：
由(1)得BD＝CD，ED＝FD，
∴四边形BECF是平行四边形．
10．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB.
∵AM⊥BD，CN⊥BD，
∴AM∥CN，
∴四边形AMCN是平行四边形．
(2)∵四边形AMCN是平行四边形，
∴CM＝AN.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∴DM＝BN，∠MDE＝∠NBF.
在△MDE和△NBF中，
∵∠MDE＝∠NBF，∠DEM＝∠BFN＝90°，
DM＝BN，
∴△MDE≌△NBF，
∴ME＝FN＝3，DM＝BN.
在Rt△DME中，∵∠DEM＝90°，DE＝4，ME＝3，
∴DM＝＝＝5，
∴BN＝DM＝5.
11．解：反思交流：
(1)正确．
(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形
运用探究：B
12．证明：(1)在?ABCD中，∠D＝∠ABC.
由翻折的性质知∠D＝∠AD′E，
∴∠AD′E＝∠ABC，∴ED′∥BC.
∵DC∥AB，即EC∥D′B，
∴四边形BCED′是平行四边形．
(2)若BE平分∠ABC，则∠D′BE＝∠CBE.
∵ED′∥BC，
∴∠D′EB＝∠CBE，
∴∠D′EB＝∠D′BE.
由翻折的性质知∠DEA＝∠AED′.
∵CD∥AB，∴∠DEA＝∠EAD′，
∴∠AED′＝∠EAD′.
由三角形的内角和可得
∠D′EB＋∠D′BE＋∠AED′＋∠EAD′＝180°.
故∠AED′＋∠D′EB＝90°，即∠AEB＝90°，
∴△AEB是直角三角形，
∴AB2＝AE2＋BE2.
[素养提升]
解：(1)根据题意画图如图①，四边形PFQC是平行四边形．
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.
∵PF∥AQ，
∴∠PFB＝∠ACB＝∠B，∠DPF＝∠DQC，
∴PB＝PF＝QC.
在△DPF和△DQC中，∵∠DPF＝∠DQC，∠PDF＝∠QDC，PF＝QC，
∴△DPF≌△DQC，∴DP＝DQ，DF＝DC，
∴四边形PFQC是平行四边形．
(2)如图②，过点P作PF∥AC交BC于点F.
由(1)知PB＝PF，DF＝DC.
∵PE⊥BF，∴BE＝EF，
∴ED＝EF＋DF＝BF＋FC＝(BF＋FC)＝BC＝3，
∴DE的长度保持不变．
