【备考2019中考数学学案】第三单元 函数 第2课时 一次函数

第三单元 函数
第2课时 一次函数
考点知识清单
考点一 一次函数的概念
一次函数
若两个变量x，y之间的关系式可以表示成①____________
（k≠0，k，b为常数）的形式，则y是x的一次函数。
正比例函数
当b＝0时，一次函数y＝kx＋b变为②_________________（k≠0，k为常数），这时，y是x的正比例函数.
【温馨提示】正比例函数是特殊的一次函数，而一次函数不一定是正比例函数。
考点二 一次函数的图象与性质
函数
定点
图象
增减性
正比例函数
y＝kx
（k≠0）
过③_________
_____________
k＞0
过第一、三象限
y随x的增大而⑤________
k＜0
过第⑥______象限
y随x的增大而⑦________
一次函数
y＝kx＋b
（k≠0）
过（0，b）
（④_____，0）
k＞0
b＞0，过第一、二、三象限
y随x的增大而增大
b＜0，过第一、三、四象限
k＜0
b＞0，过第一、二、四象限
y随x的增大而减小
b＜0，过第二、三、四象限
【温馨提示】1.一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是不平行于x轴的一条直线，可以通过平移直线
y＝kx（k≠0）得到。
2.一次函数y＝kx＋b（k≠0）中，k的符号决定着函数的增减性，b的符号决定着直线与y轴的交点位置。
考点三 确定一次函数的解析式
常用方法
待定系数法
步骤
（1）设函数解析式；（2）列方程（组）；（3）解方程（组），确定待定系数；（4）写出函数解析式。
常见类型
（1）已知两点坐标；（2）已知两对函数对应值；（3）利用平移规律；（4）利用实际问题的数量关系.
考点四一 次函数的实际应用
1.在实际问题中，可以根据自变量的取值求函数值，或者由函数值求自变量的值.由于自变量的取值范围一般受实际问题的限制，所以可以根据一次函数的性质求出函数在某个范围的最值.
2.用一次函数解决实际问题的一般步骤:（1）设定实际问题中的变量；（2）建立一次函数关系式；
（3）确定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）作答.
题型归类探究
类型一 一次函数的图象与性质（重难点）
【典例1】（2018·荆州）已知:将直线y＝x-1向上平移2个单位长度后得到直线y＝kx＋b，则下列关于直线y＝kx＋b的说法正确的是（ ）
A.经过第一、二、四象限 B.与x轴交于（1，0）
C.与y轴交于（0，1） D.y随x的增大而减小
【思路导引】先根据平移确定直线y＝kx＋b的解析式，再根据k与b的正负，利用一次函数的性质逐一进行判断各选项正确与否即可。
【自主解答】
【温馨提示】（1）一次函数y＝kx＋b（k≠0）的k值函数的增减性；
（2）一次函数y＝kx＋b（k≠0）的k和b的值图象所经过的象限；
（3）一次函数的图象函数的增减性
【变式训练】
1.（2017·成都）如图，正比例函数y1＝k1x和一次函数y2＝k2x＋b的图象相交于点A（2，1），当x＜2时，y1_______y2.（填“＞”或“＜”）
类型二 一次函数解析式的确定（重难点）
【典例2】（2018·淮安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象经过点A（-2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1.
（1）求k，b的值；
（2）若点D在y轴负半轴上，且满足S△COD＝S△BOC，求点D的坐标。
【思路导引】（1）先利用正比例函数解析式求得C点坐标，再根据A，C点的坐标，利用待定系数法求k，b的值；
（2）利用一次函数解析式求点B的坐标，这样可求△BOC的面积，进而知△COD的面积，以及OD的长，即可确定D点的坐标。
【自主解答】
【变式训练】
2.（2017·台州）如图，直线l1:y＝2x＋1与直线l2:y＝mx＋4相交于点交图的P（1，b）。
（1）求b，m的值；
（2）垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C，D，若线段CD长为2，求a的值。
类型三 一次函数的应用（高频点）
【典例3】（2017·衢州）“五、”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游。
根据以上信息，解答下列问题:
（1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需要费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数表达式；
（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方式合算。
【思路导引】（1）由图象可知，甲为一次函数，且过点（0，80）与（1，95），乙为正比例函数，且过点（1，30），故用待定系数法可求它们的解析式；
（2）租车费用跟租车时间有关，结合图象可知两直线的交点的纵坐标相等，即所需费用相等，联立得方程组可求交点的横坐标，即租车时间；然后列不等式或结合图象选择租车方式。
【自主解答】
【变式训练】
3.（2018·怀化）某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购进A，B两种树苗，共21棵，已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元。设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元。
（1）求y与x的函数关系式，其中0≤x≤21；
（2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用。
中考真题回放
考点一 一次函数的图象与性质
1.（2017·陕西）若一个正比例函数的图象经过A（3，-6），B（m，-4）两点，则m的值为（ ）A. 2 B. 8 C. - 2 D. - 8
2.（2017·德州）下列函数中，对于任意实数x1，x2，当x1＞x2时，满足y1＜y2的是（ ）
A.y＝ - 3x＋2 B.y＝2x＋1 C.y＝2x2＋1 D.y＝
3.（2017·泰安）已知一次函数y＝kx－M－2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（ ）
A.k＜2，M＞0 B.k＜2，M＜0 C.k＞2，M＞0 D.k＜0，M＜0
4.（2018·济宁）在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝－2x＋1的图象经过P1(x1,y1)、P2(x2,y2)两点，若x1＜x2，则y1_____y2。（填“＞”“＜”或“＝”）
考点二 一次函数解析式的确定
5.（2018·枣庄）如图，直线l是一次函数y＝kx＋b的图象，如果点A（3，m）在直线l上，则m的值为（ ）
A.－5 B. C. D.7
6.（2018·陕西）如图，在矩形AOBC中，A（-2，0）、B（0，1）.若正比例函数y＝kx的图象经过点C，则k的值为（ ）
A.－ B. C. －2 D.2
7.（2017·荆州）将直线y＝x＋b沿y轴向下平移3个单位长度，点A（-1，2）关于y轴的对称点落在平移后的直线上，则b的值为_______________。
8.（2018·郴州）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点处，且∠AOC＝60°，A点的坐标是（0，4），则直线AC的表达式是_______________。
9.（2018·河北）如图，直角坐标系xOy中，一次函数y＝－x＋5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）。
（1）求m的值及l2的解析式；
（2）求S△AOC－S△BOC的值；
（3）一次函数y＝kx＋1的图象为l3，且l1，l2，l3不能围成三角形，直接出k的值.
考点三 一次函数的应用
10.（2018·临沂）甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，匀速相向而行.甲的速度大于乙的速度，甲到达B地后，乙继续前行.设出发x h后，两人相距y km，图中折线表示从两人出发至乙到达A地的过程中y与x之间的函数关系。
根据图中信息，求:
（1）点Q的坐标，并说明它的实际意义；
（2）甲、乙两人的速度。
11.（2018·日照）“低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游.周末，小红相约到郊外游玩，她从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按照原速前往乙地，刚到达乙地，接到妈妈电话，快速返回家中。小红从家出发到返回家中，行进路程y（km）随时间x（h）变化的函数图象大致如图所示。
（1）小红从甲地到乙地骑车的速度为___________km/h；
（2）当1.5≤x≤2.5时，求出路程y（km）关于时间x（h）的函数解析式，并求出乙地离小红家多少千米？
12.（2018·泰安）文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售。甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本。
（1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？
（2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完）
参考答案及解析
【题型归类探究】
【典例1】
【自主解答】C 解析:将直线y＝x-1向上平移2个单位长度后得到直线为y＝x-1＋2即y＝x＋1，∴k＝1＞0，b＝1＞0，∴直线y＝kx＋b经过第一、二、三象限，故A错；令y＝x＋1中y=0得
x＋1＝0∴x＝-1即与y轴交于（－1，0），故B错；令y=x＋1中x＝0得y＝1，∴与y 轴交于（0,1）,故C对；直线y=x+1中k＝1＞0，∴y随x的增大而增大，故D错。
【变式训练】 1.＜
【典例2】
【自主解答】 解：（1）由C点的横坐标为1，且在y＝3x的图象上故为（1，3）；
将A、C点的坐标代入y＝kx＋b，得 ，解得k＝－1，b=4。
（2）直线AB的解析式为y＝－x＋4，可求得B点坐标为（4，O）即OB＝4，
S△BOC=×4×3＝6。
所以S△COD＝×6＝2.由△OCD的高为C点的横坐标1，即 OD＝2S△OCD÷1＝4，故D（0,－4）。
【变式训练】2.解:把点P（1,b）代人y＝2x＋1，得b＝2＋1＝3此时P（1，3）；
再把P（1，3）代入y＝mx＋4，得m＋4＝3，m＝-1
（2）直线x＝a与直线l1的交点C为（a，2a＋1），与直线l2的交点D为（a,－a＋4）
∵CD＝2，∴＝2，即＝2，
∴3a-3＝2或3a-3＝-2，∴a＝或。
【典例3】
【自主解答】解:（1）由题意可设y1＝k1x＋80（x≥0），图象过点（1，95）
则有95＝k1＋80，∴k1＝15，∴y1＝15x＋80（x≥0）
由题意设y2＝k2x（x≥0），把（1，30）代入，得k2＝30. ∴y2＝30x（x≥0）.
（2）当y1＝y2时，有15x＋80＝30r，解得x＝
结合图象可知，当x＜时，y1＞y2:当，x＞时,y1＜y2 ∴当租车时间为小时，选择甲、乙公司一样合算:当租车时间小手小时，选择乙公司合算，当车时间大于小时，选择甲公司合算。
【变式训练】3.解:（1）由题知y＝90x＋70（21-x），整理得y与x的函数关系式为
y＝20x＋1470（0≤x≤21，日x为整数）
（2）由（1）知y＝20x＋1470，∴y随x的增大而增大，∵21－x＜x,∴x＞10.5，∴x的最小整数值为11，∴当x＝11时，y最小=20×11+1470=1690，此时21-x=10。
综上，费用最省的方案是:购买A种树苗11棵，购买B种树苗10棵，该方案所需费用为1690元.
【考点题组训练】
1.A 2.A 3.A 4.＞ 5.C 6.A 7.4
8.y＝x＋4 解析:由A点坐标知菱形的边长为4，由∠AOC＝60知△OAC是等边三角形，故AC＝OA＝4。 作CM⊥x轴，则∠COM=30o，CM=OC=2，OM=。
设yAC=kx+b,,∴k=,b=4.∴yAC=x+4.
9.解:（1）把C（m,4）代入一次函数y=－x+5,可得4=－m+5,解得m=2,∴C(2,4)。
设l2的解析式为y＝ax，则4＝2a，解得a＝2,∴l2的解析式为y＝2x.
（2）如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD＝4，CE＝2,
当x＝0时,y=－x+5＝5；当y=0时，－x+5＝0，解得x=10,
∴A（10，0），B（0，5），
∴AO＝10，BO＝5，
∴S△AOC－S△BOC＝×10×4－×5×2＝20－5＝15.
（3）一次函数y＝kx＋1的图象为l3，且l1，l2，l3不能围成三角形，
∴当l3经过点C（2，4）时，k=,
当l2，l3平行时，k＝2；
当l1，l3平行时，k＝－;
故k的值为或2或－.
10.解:（1）设直线PQ的解析式为y＝k＋b，代入点（0，10）和（，）的坐标，
得，解得:，故直线PQ的解析式为y＝-10x＋10.
当y＝0时，x＝1，故点Q的坐标为（1，0），该点表示甲乙两人经过1小时相遇
（2）由点M的坐标可知甲经过h达到B地，故甲的速度为:10÷＝6（km/h）；
设乙的速度为x km/h，由两经过1小时相遇，得:1·（x＋6）＝10，解得:x＝4，故乙的速度为4km/h。
11.解:（1）10÷0.5＝20（km/h）
所以小红从甲地到乙地骑车的速度为20km/h。
（2）方法1:20×（2.5-1.5）＝20，20＋10＝30，
∴点C的坐标为（2.5，30）
当1.5≤x≤2.5时，设路程y（km）关于时间x（h）的函数解析式为y＝kx＋b，
把点B（1.5，10），点C（2.5，30）代入y＝kx＋b，得，解得
∴当1.5≤x≤2.5时，路程y（km）关于时间x（h）的函数解析式为y＝20x-20，乙地离小红家30千米。
方法2:当1.5≤x≤2.5时，设路程y（km）关于时间x（h）的函数解析式为y＝20x＋b
把点B（1.5，10）代入y＝20x＋b，得10＝20×1.5＋b，解得b＝-20.
所以当1.5≤x≤2.5时，路程y（km）关于时间x（h）的函数解析式为y＝20x-20.
当x＝2.5时，y＝20×2.5-20＝30
所以乙地离小红家30千米
12.解:（1）设乙种图书售价每本x元，则甲种图书售价为每本1.4x元
由题意，得。解得x＝20
经检验，x＝20是原方程的解。
所以，甲种图书售价为每本1.4×20＝28元
答:甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元。
（2）设甲种图书进货a本，总利润w元,则w＝(28-20-3)a＋(20-14-2)(1200-a)＝a＋4800.
又∵20a＋14×（1200-a）≤20000，解得a≤.
∵w随a的增大而增大，∴当a最大时w最大.
∴当a＝533本时w最大.
此时，乙种图书进货本数为1200-533＝667（本）.
答:甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大.