【备考2019中考数学学案】第三单元 函数 第3课时 反比例函数

第三单元 函数
第3课时 反比例函数
考点知识清单
考点一 反比例函数的概念
概念
若两个变量x，y之间的关系式可以表示成①__________（k为常数，k≠0）的形式，则y是x的反比例函数
形式
y＝②________或y＝③________或xy＝k（k≠0）.
【温馨提示】
对于反比例函数y＝而言，有三个不等于0，即系数k≠0，自变量x≠0，函数值y≠0。
考点二 反比例函数的图象与性质
1.反比例函数y＝（k≠0，k为常数）的图象
图象
反比例函数的图象是④_____________________。
对称性
关于⑤______________成中心对称。
2.反比例函数y＝（k≠0，k为常数）的性质
k的符号
图象
所在象限
性质
k＞0
第一、三象限（x，y同号）
在每个象限y随x的增大而⑥________
k＜0
第二、四象限（x，y异号）
在每个象限y随x的增大而⑦_________
【温馨提示】反比例函数的增减性，只能在每个象限内讨论，如笼统地说“当k＞0时，y的值随x值的增大而减小”，是错误的。
3.反比例函数y＝（k≠0）中系数k的几何意义
k的几何
意义
过反比例函数图象上的任意一点P作x轴、y轴的垂线.两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积等于⑧_____________
推导
如图，过双曲线上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得矩形PMON的面积S＝PM·PN＝｜y｜·｜x｜＝lxy｜＝⑨___________
【温馨提示】若连接OP，则S△OPM＝S△OPN＝｜k｜，这些结论在解决相关问题中有着较广泛的应用。
考点三 反比例函数解析式的确定与应用
1.用⑩___________法确定反比例函数解析式的步骤是:设函数解析式为y＝（k≠0）→列方程→解方程确定k的值→写出解析式.
2.用反比例函数解决实际问题的一般方法是:（1）根据实际问题建立反比例函数模型；（2）利用待定系数法或其他公式与数量关系确定函数解析式；（3）根据反比例函数的图象与性质解决实际问题.
题型归类探究
类型一反比例函数的图象与性质（易错点）
【典例1】（2017·呼和浩特）已知反比例函数（k为常数）。
（1）若点P1（，y1）和点P2（，y2）是该反比例函数上的两点，试利用反比例函数的性质比较y1和y2的大小；
（2）设点P（m，n）（m＞0）是其图象上的一点，过点P作PM⊥x轴于点M，若tan∠POM＝2，PO＝（O是坐标原点），求k的值，并直接写出不等式kx＋＞0的解集。
【思路导引】（1）由反比例函数的系数-k2-1＜0，得函数图象位于第二、四象限，y随x的增大而增大，通过比较点P1与点P2的横坐标大小，即可知纵坐标y1和y2的大小；
（2）根据题意求得-n＝2m，OM＝m（m＞0），PM＝ - n.在Rt△POM中利用勾股定理可求出P点坐标，即可求k值.不等式kx＋＞0，即kx＞。由于k值已求，故可画出正比例函数
y＝kx与反比例函数y＝kx＋的图象，然后确定kx＞时的自变量x的取值范围，即为该不等式的解集。
【自主解答】
【规律总结】（1）反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在的位置或函数的增减性，也可以判断出k的符号；（2）在利用反比例函数的增减性比较大小时，一定要看清是否是同一分支上的点，否则应通过分类讨论全面获解；（3）反比例函数的图象既是中心对称图形（对称中心为原点），也是轴对称图形，有两条对称轴，为直线y＝x和直线y＝-x。
【变式训练】
1.（1）（2018·衡阳）对于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（ ）
A.图象分布在第二、四象限 B.当x＞0时，y随x的增大而增大
C.图象经过点（1，-2） D.若点A(x1，y1),B(x2，y2)都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2
（2）（2018·湖州）如图，已知直线y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图像交于M，N两点，若点M的坐标是（1，2），则点N的坐标是（ ）
A.（-1，-2） B.（-1，2） C.（1，-2） D.（-2，-1）
类型二 反比例函数中k的几何意义（高频点）
【典例2】（2018·徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝的图象交于A、B两点过A作y轴的垂线，交函数y＝的图象于点C。连接BC，则△ABC的面积为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
【思路导引】连接OC，由双曲线的中心对称性，可得OA＝OB，即△AOC与△BOC的面积相等；由反比例函数k的几何意义，可求△AOC的面积，进而得△ABC的面积。
【自主解答】
【方法技巧】（1）当图形中的面积不规则时，习惯上通过分割等方式，将其转化为易求面积的图形；（2）应用k的几何意义求k值时，一定要注意k的符号；（3）如图所示，若设过点A，B的反比例函数图象的解析式为y＝，A为CM的中点，则△OAC，△OAM，△OBD，△OBM的面积都等于，△ABM的面积等于，△OAB的面积等于，四边形OAMB的面积等于k，利用这些结论可快速解决相关问题。同时，遇到类似抛物线过中点的问题，构建出矩形是常见的解题思路。
【变式训练】
2.（1）（2018·遵义）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB＝30°，若点A在反比例函数y＝（x＞0）图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（ ）
A. B. C. D.
（2）（2018·盐城）如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数y＝
（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E.若△BDE的面积为1，则k＝____________。
类型三 反比例函数的实际应用（重难点）
【典例3】（2016·盐城）我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为
15～20℃的新品种。如图是某天恒温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y＝的一部分。请根据图中信息解答下列问题:
（1）求k的值；
（2）恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有多少小时？
【思路导引】（1）要求k的值，用待定系数法将点B的坐标代入即可；（2）由图象可知，温度在15℃以上的时间段，起点在一次函数的图象上，终点在反比例函数的图象上，只需先求出一次函数的关系式，再分别求出当y＝15时相应的x值，其差即为所求时间.
【自主解答】
【变式训练】
3.（2018·杭州）已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货，设平均卸货速度为v（单位:吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位:小时）.
（1）求v关于t的函数表达式；
（2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？
中考真题回放
考点一 反比例函数的图象和性质
1.（2018·济南）在反比例函数y＝图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则下列结论正确的是（ ）
A.y3＜y2＜y1 B.y1＜y3＜y2 C.y2＜y3＜y1 D.y3＜y1＜y2
2.（2018·临沂）如图，正比例函数y1＝k1x与反比例函数y2＝的图象相交A，B两点，其中点A的横坐际为1，当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）
A.x＜-1或x＞1 B.-1＜x＜0或x＞1
C.-1＜x＜0或0＜x＜1 D.x＜-1或0＜x＜1
3.（2018·莱芜）在平面直角坐标系中，已知△ABC为等腰直角三角形，CB＝CA＝5，点C（0，3），点B在x轴正半轴上，点A在第三象限，且在反比例函数y＝的图象上，则k＝（ ）
A.3 B.4 C.6 D.12
4.（2017·菏泽）直线y＝kx（k＞0）与双曲线y＝交于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，则
3x1y2－9x2y1的值为__________。
5.（2018·潍坊）如图，直线y＝3x－5与反比例函数y＝的图象相交于A（2，m），B（n，－6）两点，连接OA，OB.
（1）求k和n的值；
（2）求△AOB的面积。
6.（2018·菏泽）如图，已知点D在反比例函数y＝的图象上，过点D作DB⊥y轴，垂足为B（0,3），直线y＝kx＋b经过点A（5，0），与y轴交于点C，且BD＝OC，OC:OA＝2:5.
（1）求反比例函数y＝和一次函数y＝kx＋b的表达式；
（2）直接写出关于x的不等式＞kx＋b的解集。
考点二 反比例函数中k的几何意义
7.（2018·宁波）如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0），y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点.若△ABC的面积为4，则k1－k2的值为（ ）
A.8 B.－8 C.4 D.－4
8.（2018·东营）如图，B（3，-3），C（5，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，则经过点A的反比例函数解析式为________________________。
9.（2018·威海）如图，直线AB与双曲线y＝（k＜0）交于点A，B，点P是直线AB上一动点，且点P在第二象限，连接PO并延长交双曲线于点C，过点P作PD⊥y轴，垂足为点D.过点C作
CE⊥x轴，垂足为E.若点A的坐标为（-2，3），点B的坐标为（-6，1），设△POD的面积为S1，
△COE的面积为S2.当S1＞S2时，点P的横坐标x的取值范围是_______________。
10.（2018·烟台）如图，反比例函数y＝的图象经过 ABCD对角线的交点P，已知点A、C、D在坐标轴上，BD⊥DC， ABCD的面积为6，则 k＝_____________。
考点三 反比例函数的实际应用
11.（2018·聊城）春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒.在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过5 min的集中药物喷洒，再封闭宿舍10 min，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（min）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示.下面四个选项中错误的是（ ）
A.经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10mg/m3
B.室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11min
C.当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒
此次消毒完全有效
D.当室内空气中的含药量低于2mg/m3时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到2mg/m3开始，需经过59min后，学生才能进入室内
参考答案及解析
【题型归类探究】
【典例1】
【自主解答】解:（1）∵-k2-1＜0，∴反比例函数y＝在每一象限内y随x的增大而增大。
∵，∴y1＞y2
（2）∵点P（m，n）是其图象上的一点，且m＞0，n＜0。∴OM＝m，PM＝-n
∵tan∠POM＝2，∴n＝-2m又PO＝，∴m2＋n2＝5，
即m2+（-2m）2＝5，解得m＝1，∴n＝-2. ∴点P的坐标为（1，-2）
∴-k2-1＝-2，解得k＝±1
①当k＝-1时，不等式的解集为x＜-或0＜x＜
②当k＝1时，不等式的解集为x＞0.
【变式训练】1.（1）D解析:没有说明点A点B所在的象限，若点A在第二象限，点B在第四象限，即x1＜0＜x2时，则y1＞y2，故D错误.
（2）A 解析:由题意可知点M、N关于原点对称，∴点N的坐标为（-1，-2）
【典例2】
【自主解答】C 解析:连接OC，由双曲线的中心对称性，可得OA＝OB，则S△AOC＝S△BOC由反比
例函数k的几何意义，得S△AOC=×＋×＝2＋1＝3∴S△ABC＝2△AOC ＝6。
【变式训练】2.（1）C 解析:设经过点B的反比例函数解析式为y＝，过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，则有△BCO∽△ODA，
∴＝tan30o＝，∴，∴2，又:k＜0，∴k＝-2.
（2）4 解析:设B（m，n），（m＞0且n＞0），由点D为AB边的中点可得D（m，n），结合△BDE的面积为1得:BE＝，所以CE（m，n-），由反比例函数y=（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E可得：k＝mn＝m(n-)，所以mn＝8，所以k＝mn＝4。
【典例3】
【自主解答】解:（1）由图可知点B的坐标为（12，20），代人y＝ ，可得k＝12×20＝240。
（2）由（1），得双曲线y＝.＝15.解得x＝16.
记点D（0，10），设直线AD的解析式为y＝mx＋n，根据题意得，解得
∴直线AD的函数表达式为y＝5x＋10.当y＝15时，5x＋10＝15.解得x＝1. 16-1＝15（h），
∴恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有15h.
【变式训练】3.解:（1）根据题意，得vt＝100（t＞0），所以v＝（t＞0）.
（2）由题意知，v＝（0＜t≤5），而100＞0，所以t＞0时，随着t的增大而减小，
当0＜t≤5时，V≥＝20，所以平均每小时至少要卸货20吨.
【中考真题回放】
1.C 2.D 3.A
4. 36 解析:由图象中心对称性，可得∴x1＝-x2，y1＝-y2，又x1y1＝6，所以3x1y2-9x2y1＝-3x1y1＋9x1y1＝-18＋54＝36.
5.（1）∵点B（n,-6）在直线y=3x-5上，∴-6=3n-5,解得n=,∴B(,-6)。
∵反比例函数y＝的图象也经过点B（，-6），∴k-1=-6×()=2，
解得k＝3.
（2）设直线y＝3x-5分别与x轴，y轴相交于点C，点D.
当y＝0时，即3x-5=0，x=,∴OC=；当x=0时，y=3×0-5=-5，∴OD=5.
∵点A（2，m）在直线y=3x-5上，∴m＝3×2-5＝1.即A（2，1），
∴S△AOB=S△AOC+S△COD+S△BOD＝.
6.解:（1）∵OA＝5，OC:OA=2:5,∴OC=5×=2,∴点C的坐标为（0，-2）。
∵B点坐标为（0，3），BD＝OC，D点坐标为（-2，3）。将D点坐标（-2，3）代人y=，得a=-6。
∴反比例函数的表达式为:。将A（5，0），C（，-2）代入y＝kx＋b得：
，解得。∴一次函数y＝kx＋b的表达式为解析:。
（2）x<0
解析： 当时，即x2-5x+15=0,△＝25-60<0，故此方程无解，即两函数图象无交点，结合图象可知，当x＜0时，反比例函数值大于一次函数值，即＞kx＋b.
7.A 解析:由反比例函数的性质及整体代入思想可得，△ABC的面积＝4.所以k1-k2＝8.
8. y＝
9. -6＜x＜-2 解析:设直线AB的方程为y＝k1x＋b，则，解得，所以y=x+4
设P（x,x＋4），S△COE＝＝3.由得x2＋8x＋12<0，(x＋2)(x＋6)<0，
故-6＜x＜-2，即点P横坐标的取值范围为-6＜x＜-2.
10.-3 解析:连接OP.在 ABCD中，BP＝DP，AB∥CD，又BD⊥DC，∴BD⊥AB.
∴四边形ABDO为矩形.∴AB＝DO.∴S△OPD＝S△ABP= S ABCD＝.又双曲线经过第二象限，
∴k＝－×2＝－3.
11.C 解析:如图，A（5，10）是函数图象最高点，选项A正确；用待定系数法可求，线段OA的函数解析式为y＝2x（0≤x＜5），线段AB的函数解析式为y＝（5≤x＜15），曲线BC的函数解析式为y＝（x≥15），把y＝8代人y＝2x，解的x=4,15-4＝11，室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11 min，选项B正确；把y＝5代人y＝2x，解得x＝2.5，
把y＝5代入y＝，解得x＝24，24-2.5＝21.5＜35，所以此次消毒完全有效是错误的，选项C错误把y＝2代入y＝2x，解得x＝1，把y＝2代人y＝，解得x＝60，60-1＝59，需经过59min后，学生才能进入室内，选项D正确.