【备考2019中考数学学案】第三单元 函数 第4课时 二次函数的图象与性质

第三单元 函数
第4课时 二次函数的图象与性质
考点知识清单
考点一 二次函数的概念及解析式
概念
形如y＝①______________（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数
解析式
一般式
②___________________________
顶点式
y＝a(x-h)2＋k(a≠0)，其顶点坐标为，对称轴方程为直线x＝h.
【温馨提示】1.二次函数的交点式为y＝a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其中x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标，交点式只限于二次函数图象与x轴有交点的情形。
2.待定系数法求解析式的步骤:
①设出合适的二次函数的解析式；
②根据已知条件，得到关于待定系数法的方程组；
③解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式.
考点二 抛物线y＝ax2与y＝a(x-h)2＋k的平移与性质
形状、位置
二者的形状相同，位置不同
平移规律
y＝ax2通过平移得y＝a(x-h)2＋k.h＞0，向④_______平移；h＜0，向⑤__________平移；k＞0，向上平移；k＜0，向下平移.
【温馨提示】抛物线y＝ax2、y＝a(x-h)2、y＝ax2＋k、y＝a(x-h)2＋k之间的平移关系如图:
考点三 抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与性质
a
a＞0
a＜0
图象
顶点
顶点坐标为⑥_____________
对称轴
对称轴方程为直线x＝.
开口
及最值
开口向上，有最小值⑦________
开口向下，有最大值.
增减性
在对称轴的左侧，y随着x的增大而⑧______；在对称轴的右侧，y随着x的增大而⑨______；
在对称轴的左侧，y随着x的增大而⑩______；在对称轴的右侧，y随着x的增大而?________；
b
顶点在y轴的右侧，b与a符号?______，顶点在y轴的左侧，b与a符号?_______.简记为“左同右反”.
C
抛物线与y轴交点的?___________
【温馨提示】1.抛物线的开口大小和方向由a的值决定，与b，c无关；a，b，c的值共同确定了抛物线的位置.b2-4ac的符号决定了抛物线与x轴的交点个数.
2.在解决二次函数图象与字母系数的关系问题时，常用到抛物线上以下几个点的坐标:（±1，a±b＋c）；（±2，4a±2b＋c）.当对称轴为直线x＝-1时，b＝2a；当对称轴为直线x＝1时，2a＋b＝0.
题型归类探究
类型一 二次函数的图象与性质（高频点）
【典例1】（2018·成都）关于二次函数y＝2x2＋4x - 1，下列说法正确的是（ ）
A.图象与y轴的交点坐标为（0，1） B.图象的对称轴在y轴的右侧
C.当x＜0时，y的值随x值的增大而减小 D.y的最小值为-3
【思路导引】把x＝0代入解析式求得抛物线与y轴的交点纵坐标，即可判断选项A是否正确；通过配方或直接套用公式求得顶点坐标，同时根据抛物线的开口方向即可知函数的增减性，可识别选项B，C，D的正误
【自主解答】
【方法技巧】抛物线上点的纵坐标比较大小的基本方法:（1）直接求值或画图象比较；（2）利用抛物线的对称性，把各点转化到对称轴的同侧，再根据二次函数的增减性进行大小比较；（3）利用“开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越小；开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越大”的规律比较大小
【变式训练】
1.（1）（2017·玉林）对于函数y＝-2(x-m)2的图象，下列说法不正确的是（ ）
A.开口向下 B.对称轴是x＝m C.最大值为0 D.与y轴不相交
（2）（2018·杭州）四位同学在研究函数y＝ax2＋bx＋c（b，c是常数）时，甲发现当x＝1时，函数有最小值；乙发现-1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x＝2时，y＝4.已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
类型二 抛物线的平移和解析式的确定（高频点）
【典例2】（1）（2018·乌鲁木齐）把抛物线y＝2x2 - 4x＋3向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为_____________。
（2）（2018·湖州）已知抛物线y＝ax2＋bx-3（a≠0）经过点（-1，0），（3，0），求a，b的值.【思路导引】（1）先把解析式配方成顶点式，再根据平移的规律:左加右减，上加下减，得平移后抛物线的解析式.另外，也可把（x＋1）代替原解析式中的x，并进行化简，即为平移后抛物线的解析式（2）把已知点的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得a，b的值.
【自主解答】
【方法技巧】二次函数表达式的确定方法:
（1）若已知足够的对应值或点的坐标，可选设一般式y＝ax2＋bx＋c；
（2）若已知顶点坐标或对称轴方程或最大（小）值，可考虑选设顶点式y＝a(x-h)2＋k；
（3）若已知抛物线与x轴的交点坐标，可选设交点式y＝a(x-x1)(x-x2)；
（4）根据平移确定二次函数的表达式，抛物线的平移遵循“左加右减，上加下减”的原则.
【变式训练】2.（2018·宁波）已知抛物线y＝＋bx＋c经过点（1，0），（0，）.
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线y＝＋bx＋c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.
类型三 二次函数的图象和字母系数的关系（重难点）
【典例3】（2017·安顺）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论:①4ac-b2＜0；②3b＋2c＜0；③4a＋c＜2b；④m(am＋b)＋b＜a(m≠1).其中结论正确的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【思路导引】①抛物线与x轴有两个交点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，根据判别式可得该结论正确与否；②当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0；再由对称轴方程得b与a的关系，代入上式，即得b与c的数量关系；③x轴上表示数1与-2的点关于对称轴x＝-1对称，则易知x＝-2时，y＝4a-2b＋c＞0，据此可判断4a＋c＜2b是否成立；④由图象可知x＝-1时该二次函数取得最大值，即有a-b＋c＞am2＋bm＋c（m≠-1）.
【自主解答】
【方法技巧】（1）a决定抛物线的开口方向；（2）b与a决定抛物线的对称轴位置，简称“左同右异”；（3）c决定抛物线与y轴交点的位置；（4）直线x＝1（或-1）与抛物线的交点位置可以确定a＋b＋c（或a - b＋c）的符号；（5）若点（x1，y1），（x2，y2）是抛物线上关于对称轴x＝h对称的两点，则有｜x1-h｜＝｜x2-h｜，y1＝y2，对称轴方程为x＝.
【变式训练】3.（2018·安顺）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论:①abc＜0；②b2-4ac＞0；③3a＋c＞0；④(a＋c)2＜b2，其中正确的结论有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
类型四 二次函数的综合应用（重难点）
【典例4】（2018·菏泽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx - 5交y轴于点A，交x轴于点B（-5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D.
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；
（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积.
【思路导引】（1）把点B，点C坐标代入抛物线的表达式，利用待定系数法确定即可；
（2）由轴对称性求出点E的坐标，可得△EAD底边AD上的高，再利用三角形面积公式直接计算求解；（3）先确定直线AB的表达式，过点P作PN⊥x轴，垂足为N，交直线AB于点M，设P点的横坐标为x，利用函数关系式分别表示点P与点M的坐标，利用S△ABP＝S△PMB＋S△PMA构建二次函数求最值，问题可逐一获解.
【自主解答】
【变式训练】
4.（2018·陕西）已知抛物线L: y＝x2＋x - 6与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧）并与y轴相交于点C.
（1）求A，B，C三点的坐标，并求△ABC的面积；
（2）将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L′，且L′与x轴相交于A′，B′两点（点A′在点B′的左侧），并与y轴相交于点C′，要使△A′B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式.
中考真题回放
考点一 二次函数的图象和性质
1.（2018·德州）给出下列函数:①y＝ - 3x＋2；②y=；③y=2x2；④y＝3x.上述函数中符合条件“当x＞1时，函数值y随自变量x的增大而增大”的是（ ）
A.①③ B.③④ C.②④ D.②③
2.（2018·德州）如图，函数y＝ax2-2x＋1和y＝ax - a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
3.（2018·潍坊）已知二次函数y＝ - (x-h)2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为-1，则h的值为（ ）
A.3或6 B.1或6 C.1或3 D.4或6
4.（2017·泰安）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表:
x
…
-1
0
1
3
…
y
…
-3
1
3
1
…
下列结论:①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4.其中正确的结论有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.（2018·东营）如图所示，已知△ABC中，BC＝12，BC边上的高h＝6，D为BC边上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x，则△DEF的面积y关于x的函数图象大致是（ ）
考点二 抛物线解析式的确定
6.（2018·绍兴）若抛物线y＝x2＋ax＋b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线已知某定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（ ）
A.（-3，-6） B.（-3，0） C.（-3，-5） D.（-3，-1）
7.（2016·滨州）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y＝x2＋5x＋6，则原抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
8.（2017·百色）经过A（4，0），B（-2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是_______________。
9.（2018·泰安）如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝10，tanC＝，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD＝x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为__________________。
考点三 二次函数的图象和字母系数的关系
10.（2018·枣庄）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1.下列结论，正确的是（ ）
A.b2＜4ac B. ac＞0 C.2a-b＝0 D.a - b＋c＝0
11.（2018·滨州）如图，若二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（-1，0）则①二次函数的最大值为a＋b＋c；②a - b＋c＜0；③b2 - 4ac＜0；④当y＞0时，- 1＜x＜3.其中正确的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
12.（2018·日照）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象如图所示.下列结论:①abc＜0；②2a - b＜0；③b2＞(a＋c)2；④点（-3，y1），（1，y2）都在抛物线上，则有y1＞y2.其中正确的结论有（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
考点四 二次函数的综合应用
13.（2018·泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c交x轴于点A(-4，0)、B(2，0)，交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点
E（0，-2），连接AE.
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由.
14.（2018·济宁）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过点A(3，0)、B(-1，0)、C(0，3).
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；
（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B、C、Q、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案及解析
【题型归类探究】
【典例1】
【自主解答】D 解析:当x＝0时，y＝ - 1，所以图象与y轴的交点坐标为（0，-1），故选项A错误；y＝2x2＋4x-1＝2(x＋1)2 - 3，图象的对称轴是x＝ - 1，在y轴的左侧，故选项B错误；因为抛物线的对称轴是x＝ - 1，开口向上，所以当x＜ - 1时，y的值随x的增大而减小，故选项C错误；二次函数y＝2x2＋4x-1的顶点坐标是（- 1，- 3），所以当x＝ - 1时，y的最小值为 - 3，故选项D正确。
【变式训练】1.（1）D（2）B
【典例2】
【自主解答】（1）y＝2x2＋1 解析:y＝2x2-4x＋3＝2(x-1)2＋1，向左平移1个单位长度，变为
y＝2x2＋1.
（2）把点（-1，0），（3，0）的坐标分别带y＝ax2＋bx - 3，得，解得
即a的值为1，b的值为-2。
【变式训练】2.解:（1）把（1，0）和（0，）代人y＝x2＋bx＋c
得,解得，所以抛物线的函数表达式为y＝x2 - x＋。
（2）∵y＝x2 - x＋＝(x＋1)2＋2，∴顶点坐标为（-1，2）.
∴将抛物线y＝x2 - x＋平移，使其顶点恰好落在原点的一种平移方法:先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度.（答案不唯一）平移后的函数表达式为y＝x2。
【典例3】
【自主解答】B
【变式训练】3. B 解析:①由开口向下，可得a＜0，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c＞0，然后由对称轴在y轴左侧，得到b与a同号，则可得b＜0，abc＞0，①错误；
②由抛物线与x轴有两个交点，可得b2-4ac＞0，②正确；
③当x＝-2时，y＜0，即4a-2b＋c＜0（1）当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0（2）（1）＋（2）×2，得6a＋3c＜0，即2a＋c＜0.又∵a＜0，∴a＋（2a＋c）＝3a＋c＜0，③错误；
④∵x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，x＝-1时，y＝a-b＋c＞0，∴(a＋b＋c)(a-b＋c)＜0，(a＋c)2 - b2＜0，即［（a＋c）＋b］［（a＋c）-b］＝(a+c)2-b2<0∴(a＋c)2＜b2，④正确。
综上所述，正确的结论有2个。
【典例4】
【自主解答】（1）y=x2+4x - 5 （2）S△ADE=20 （3）P点的坐标
【变式训练】4.解:（1）令y＝0，得x2＋x - 6＝0. 解得x= - 3或x=2。
∴A（-3，0），B（2，0）
令x＝0，得y＝﹣6，∴C（0，-6）。∴AB＝5，OC = 6.
∴S△ABC = AB·OC＝×5×6＝15。
（2）由题意，得A＇B＇＝AB＝5
要使S△A＇B＇C＇＝S△ABC，只要物线L＇与y轴交点为C＇（0，-6）或C＇（0，6）即可.
设所求地物线L＇:y＝x2＋mx＋6，y＝x2＋nx - 6.
又知；抛物线L＇与抛物线L的顶点纵坐标相同，∴，。
解得m＝±7，n＝±1，（n＝1舍去）
∴抛物线L＇:y＝x2＋7x＋6，y＝x2 - 7x＋6或y＝x2 - x - 6。
【中考真题回放】
1.B 2.B
3.B 解析：二次函数y＝-（x - h）2（为常数）的开口向下，顶点 为（h，0），函数最大值为0，因为当2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为 - 1，故不能取2～5（含2与5）间的数:当h<2时，点（2，-1）在抛物线上，把（2，一1）代入y＝-（x - h）2,解得h=1或h＝3（不合题意，舍去）；当h＞5时，点（5,-1）在抛物线上，把（5,-1）代入y＝-（x - h）2 ，解得h＝6，或h＝4（不合题意，去）综上可知方的值为1或6.
4. B 5. D
6. B 解析:由题知抛物线x轴两个交点间的距离为2，对称轴为直线x＝1，因此由物线的轴对称性可知物线与x轴的两个交点分别是（0,0）、（2,0），国此抛物线解析式为＝x（x - 2）.即y＝x2-2x，向左平移2个单惊，再向下平移3个单位得到的最物线为y＝（x＋2）2 - 2（x＋2）- 3即y＝x2＋2x - 3当x＝ - 3时，y＝x2＋2x-3＝9 - 6 - 3＝0.因此平移后的物线必然经过点（＝3，0），选B.
7. A
8.y＝ 解析:设物线解所式为y＝a(x - 4)·(x+2),把C (o,3)代入，解得a=,
∴.
10.D 解析:∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2 - 4ac>0，即b2>4ac所以A选项错误;
∵抛物线开ロ向上，∴a＞0，∵抛物线 与y轴的交点在轴下方，∴c＜0，∴ac＜0，所以B选项错误，∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，∴，∴2a+b＝0，所以C选项错误；
∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（-1,0），
∴a - b＋c＝0，所以D选项正确；故选D.
11. B 解析:由图象可知，当x＝1时，函数值取到最大值，最大值为:a＋b＋c，故①正确;因为抛物线经过点B（- 1，0），所以当x＝-1时，y＝a - b＋c＝0，故②错误;因为该函数图象与x轴有两个交点A、B，所以b2 - 4ac＞0，故③错误;因为点A与点 B关于直线x＝1对称，所以A（3，0），根据图像可知，当y＞0时，- 1＜x＜3，放④正确；故选B。
12. B 解析:观察图象知抛物线开口向上，所以a>0，对称轴在x轴负半轴，所以a,b同号，所以b＞0，抛物线与y轴交于负半轴，所以c＜0，所以abc＜0，故①正确；因为对称轴位于0和 - 1之间，所以，所以，所以b＜2a，所以2a - b＞0，故②错误；当x＝1时，a＋b＋c＞0，当x＝ - 1时，a - b + c<0，b2-(a＋c)2＝(b＋a＋c)(b-a-c)＞0故③正确；如图，显然y1＞y2，故④正确，所以正确的个数是3.
故选B.
13.解:（1）
（2）当时，△ADE的面积取得最大值。
（3）P点的坐标为（-1，1），（-1，±），（- 1，）
14.解:（1）
（2）M的坐标为
（3）设Q（t，0）。若BC为对角线，则P(-t-1,-3).
∵点P在抛物线上，∴- 3＝(- t - 1)2 - 2(- t - 1) - 3.解得t＝-1（舍），或t＝-3，此时P（2，-3）.
若BP为对角线，则P（t-3，-3），∵点P在抛物线上，∴ - 3 ＝(t - 3)2 - 2(t - 3) - 3.
解得t＝3或5，其中3不符合题意.∴P（2，-3）.
若BQ为对角线，则P（t-1，3）同理可求t＝2＋或2 -.
∴P（1＋，3）或（1-,3）.
综合知，点P的坐标为（2，-3）或（1＋，3）或（1-,3）。