人教版数学九年级下册
第二十七章 相似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第2课时 相似三角形的判定(一)
知识梳理 分点训练
知识点1 三边成比例的两个三角形相似
1. 已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF的另两边是下列哪一组时，这两个三角形相似( )
A. 2 cm，3 cm B. 4 cm，5 cm
C. 5 cm，6 cm D. 6 cm，7 cm
2. 一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边的长是21，则其他两边长的和是( )
A. 19 B. 17 C. 24 D. 21
3. 以下四个三角形，与如图的三角形相似的是( )
A B C D
4. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求证：△ABC∽△DEF.
知识点2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
5. 在等边三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且=，AE＝BE，则有( )
A. △AED∽△BED B. △AED∽△CBD
C. △AED∽△ABD D. △BAD∽△BCD
6. 如图，在△ABC中，点D在AB上，下列条件能使△BCD和△ABC相似的是( )
A. ∠ACD=∠B B. ∠ADC=∠ACB
C. AC2=AD·AB D. BC2=BD·BA
第6题 第7题
7. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA：OC＝OB：OD，则下列结论中一定正确的是( )
A. ①和②相似 B. ①和③相似
C. ①和④相似 D. ②和④相似
8. 如图，已知在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点.
求证：△ADQ∽△QCP.
课后提升 巩固训练
9. 如图小正方形的边长均为1，则选项中三角形(阴影部分)与图中三角形相似的是( )
A B C D
10. 如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的( )
A. = B. = C. = D. =
第10题 第11题
11. 如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，下列结论：①∠BAE=30°，②△ABE∽△AEF，③AE⊥EF，④△ADF∽△ECF. 其中正确结论的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12. 一个铝质三角形框架三条边长分别为24 cm，30 cm，36 cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27 cm，45 cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边，截法有 种.?
13. 如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=4，点P在边AB上滑动，若使△DAP与△PBC相似，且AP=3，则PB= .
14. 如图，在△ABC中，AB＝16，AC＝8，在AC上取一点D，使AD＝3，如果在AB上取点E，使△ADE和△ABC相似，求AE的长．
15. 如图，已知==，那么△ABD与△BCE相似吗?为什么?
16. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点.△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F.
(1)求证：△ACB∽△DCE；
(2)求证：EF⊥AB.
拓展探究 综合训练
17. 如图所示，在△ABC中，AB=8 cm，BC=16 cm. 点P从点A出发沿AB向点B以2 cm/s的速度运动，点Q从点B出发沿BC向点C以4 cm/s的速度运动. 如果点P，Q分别从点A，B同时出发，求多少秒钟后△PBQ与△ABC相似?
参考答案
1. C
2. C
3. B
4. 证明：因为点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，所以DF，EF，DE是△ABC的中位线，所以DF=BC，EF=AB，DE=AC，所以===，所以△ABC∽△DEF.
5. B
6. D
7. B
8. 证明：因为四边形ABCD是正方形，BP=3PC，Q是CD的中点，所以QC=QD=AD，CP=AD，所以=，又因为∠ADQ=∠QCP，所以△ADQ∽△QCP.
9. B
10. C
11. D
12. 1
13. 6或
14. 解：设AE的长为x. ∠A是公共角，要使△ADE和△ABC相似，则有=或者=，即=或者=. 解得x＝6或x＝1.5. 所以AE的长为6或1.5.
15. 解：相似. 因为==，所以△ABC∽△DBE，所以∠ABC=∠DBE，所以∠ABC－∠DBC=∠DBE－∠DBC，即∠ABD=∠CBE，因为=，所以=，所以△ABD∽△CBE.
17. 解：设经过x秒后△PBQ和△ABC相似，则AP=2x cm，BQ=4x cm，因为AB=8 cm，BC=16 cm，所以BP=(8－2x) cm，①BP与BC边是对应边，则BP∶BC=BQ∶AB，即(8－2x)∶16=4x∶8，解得x=0.8，②BP与AB边是对应边，则BP∶AB=BQ∶BC，即(8－2x)∶8=4x∶16，解得x=2. 综上所述，经过0.8秒或2秒后△PBQ和△ABC相似.
