江苏省南通市海安市2019届高三上学期期末学业质量监测数学试题（解析版）

南通海安2019届高三上学期期末学业质量监测
数学
一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．请将答案写在答题卡相应位置． )
1．已知集合A＝｛x|x＝2k－1，k∈Z｝，B＝｛x|x＝2k，k∈Z｝，则A∩B＝ ．
答案：
考点：集合的运算。
解析：集合A的元素是奇数，集合B的元素是偶数，所以，A∩B＝
2．命题“x＞1，x2＞1”的否定为 ．
答案：
考点：命题的否定。
解析：将全称量词“任意”改为特称量词“存在”，并且否定结论即可。
3．已知实数a，b满足a＋bi＝i2019(i为虚数单位)，则a＋b的值为 ．
答案：－1
考点：复数的运算。
解析：，
所以，，
4．某地区连续5天的最低气温（单位：℃）依次为8，－4，－1，0，2，则该组数据的标准差为 ．
答案：4
考点：数据标准差的计算方法。
解析：平均数为：，
标准差为：S＝＝4
5．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的一条准线与两条渐近线所围成的面积为 ．
答案：
考点：双曲线的性质。
解析：双曲线的渐近线为：，准线为：，
右准线与渐近线交点为A（，），B（，－）
围成三角形面积为：S＝
6．根据如图所示的伪代码，若输出的y的值为，则输入的x的值为 ．

答案：－
考点：算法初步。
解析：当x≤0时，，，
当x＞0时，，x＝－1，不符，所以，
7．已知O为矩形ABCD的对角线的交点，现从A，B，C，D，O这5个点中任选3个点，则这3个点不共线的概率为 ．
答案：
考点：古典概型。
解析：从A，B，C，D，O这5个点中任选3个点，共有10种可能，
共线的有：ABO，CDO，2种，
所以，不共线的有8种，所求概率为：P＝


8．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(＞0，＜φ＜π)的图像如右图所示，则该函数的最小正周期为 ．

答案：8
考点：正弦函数的图象。
解析：过点（0，），所以，，，
因为＜φ＜π，所以，，所以，，
过点（1,0），得，
，令k＝1，得，
所以，，最小正周期为：T＝8
9．已知等比数列｛an｝的各项均为正数，a6＋a5＝4，a4＋a3－a2－a1＝1，则a1的值为 ．
答案：－1
考点：等比数列的通项公式。
解析：由a6＋a5＝4，得：，，
又a4＋a3－a2－a1＝1，所以，＝1，即，解得：，
由a6＋a5＝4，得：，
10．已知sin(2α＋β)＝psinβ，tan(α＋β)＝ptanα，其中p为正的常数，且p≠1，则p的值为 ．
答案：＋1
考点：三角恒等变换。
解析：由sin(2α＋β)＝psinβ，得：，
即：
，
即：，
所以，，即：，p＝
又p为正常数，所以，p＝＋1
11．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－3，0)，B(－1，－2)，若圆(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)上有且仅有一对点M，N，使得△MAB的面积是△NAB的面积的2倍，则r的值为 ．
答案：
考点：圆的标准方程，直线方程。
解析：kAB＝－1，直线AB的方程为：y＝－x－3，
圆上有且仅有一对点M，N，使得△MAB的面积是△NAB的面积的2倍，
即圆上有且仅有一对点M，N，使得M到AB的距离是N到AB的距离的2倍，
显然，MN为直径，且MN⊥AB，
即圆心（2,0）到直线AB的距离为3r，
所以，3r＝，所以，r＝

12．已知函数f(x)＝，若关于x的不等式f(x)＞a的解集为(a2，＋∞)，则实数a的所有可能值之和为 ．
答案：6
考点：对数函数、指数函数的运算及其图象。
解析：当x＞0时，因为的解集为(a2，＋∞)，
所以，，又，
所以，，得：或4，
当x＜0时，，所以，，
，，，
因为，，所以，无解，
综上，实数a的所有可能值之和为：2+4＝6

13．在△ABC中，已知M是BC的中点，且AM＝1，点P满足PA＝2PM，则·(＋)的取值范围是 ．
答案：
考点：平面向量的平行四边形法则，数量积，余弦定理。
解析：因为M为BC中点，所以，
又由余弦定理，得：｜AM｜2＝｜AP｜2+｜PM｜2－2｜AP｜｜PM｜cos∠APM
即：1＝5｜PM｜2－4｜PM｜2cos∠APM
｜PM｜2＝，
·(＋)＝＝2＝，
＝＝＝－1＋
当∠APM＝180°时，·(＋)取得最小值为：－，
当∠APM＝0°时，PM＝1，·(＋)取得最大值为：4
所以，范围为：
　
14．设P(x，y)为椭圆＋＝1在第一象限上的点，则＋的最小值为 ．
答案：4
考点：基本不等式。
解析：椭圆＋＝1化为：
＋＝＝
当且仅当x＝2，y＝3时，取等号。

二、解答题：(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
15．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥PC，M是AB的中点，点D在PB上，MD∥平面PAC，平面PAB⊥平面PMC，△CPM为锐角三角形，求证：
⑴D是PB的中点；
⑵平面ABC⊥平面PMC．





16．（本小题满分14分）
已知△ABC的面积为，且·＝－1．
⑴求角A的大小及BC长的最小值；
⑵设M为BC的中点，且AM＝，∠BAC的平分线交BC于点N，求线段MN的长．







17．（本小题满分14分）
一张边长为2m的正方形薄铝板ABCD（图甲），点E，F分别在AB，BC上，且AE＝CF＝x（单位：m）．现将该薄铝板沿EF裁开，再将△DAE沿DE折叠，△DCF沿DF折叠，使DA，DC重合，且A，C重合于点M，制作成一个无盖的三棱锥形容器D－MEF（图乙），记该容器的容积为V（单位：m3）．（注：薄铝板的厚度忽略不计）
⑴若裁开的三角形薄铝板EFB恰好是该容器的盖，求x，V的值；
⑵试确定x的值，使得无盖三棱锥容器D－MEF的容积V最大．





18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A、B，焦距为2，直线l与椭圆交于C，D两点（均异于椭圆的左、右顶点）．当直线l过椭圆的右焦点F且垂直于x轴时，四边形ACBD的面积为6．
⑴求椭圆的标准方程；
⑵设直线AC ，BD的斜率分别为k1，k2．
①若k2＝3k1，求证：直线l过定点；
②若直线l过椭圆的右焦点F，试判断是否为定值，并说明理由．




19．（本小题满分16分）
设k∈R，函数g(x)＝k(x－e)，其中e为自然对数的底数．
⑴设函数f(x)＝．
①若k＝－1，试判断函数f(x)与g(x)的图像在区间(1，)上是否有交点；
②求证：对任意的k∈R，直线y＝g(x)都不是曲线y＝f(x)的切线；
⑵设函数h(x)＝2x－xlnx＋xg(x)－ekx，试判断函数h(x)是否存在极小值，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．












20．（本小题满分16分）
（1）已知数列｛an｝满足：a1＝1，a2＝λ，且an2＝an＋1an－1－λanan－1(λ为非零常数，n≥2，n∈N*)，求数列｛｝(n≥2，n∈N*)的前n项和；
（2）已知数列｛bn｝满足：
（i）对任意的n∈N*，0＜bn≤bn＋1；
（ii）对任意的n≥2，n∈N*，bn－1·bn＋1＝（μ＞0，q1＞0，q2＞0），且＝．
①若μ＝1，q1＝q2，求数列｛bn｝是等比数列的充要条件；
②求证：数列b1，b2，b5，b6，b9，b10，…，b4m－3，b4m－2，…是等比数列，其中m∈N*．











数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A、B、C四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）
设点（x，y）在矩阵M对应变换作用下得到点（3x，3y）。
（1）写出矩阵M，并求出其逆矩阵M－1
（2）若曲线C在矩阵M对应变换作用下得到曲线C'：y2＝4x，求曲线C的方程。

B．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
过极点O的直线l与曲线C：相交于析轴上方的两点A，B，且AB＝2。
（1）求直线l的极坐标方程；
（2）将直线l绕点O逆时针旋转，得到直线m，点P在直线m上，点Q在曲线C上，求线段PQ的长的最小值。







C．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知x，y，z均为正数，且x+y+z＝1，求的最小值。





【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22.从集合P＝｛x｜1≤x≤9，x∈N*｝中等可能地取出m个不同元素，记所取元素之和为。
（1）若m＝2，求为偶数的概率；
（2）若m＝3，表示被3带队的余数，求的概率分布及数学期望E（).

23、如图，在平面直角坐标系xoy中，已知点T（1，t）（t＜0）在抛物线y2＝2px（p＞0）上，且到抛物线的焦点的距离为2。
（1）求p，t的值；
（2）设A，B是抛物线上异于T的两个不同点，过A作y轴的垂线，与直线TB交于点C，过B作y轴的垂线，与直线TA交于点D，过T作y轴的垂线，与直线AB，CD分别交于点E，F。
求证：①直线CD的斜率为定值；
②点T是线段EF的中点。



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