华师大版数学八年级下册 17.1变量与函数 教学设计
课题
17.1变量与函数
单元
第17章函数及其图象
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
知识目标：
1、掌握常量和变量、自变量和因变量(函数)基本概念；
2、了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系．
3、理解函数的定义，熟练地列出实际问题的函数关系式．
4、理解自变量取值范围的含义，能求出函数关系式中自变量的取值范围．
过程目标：
1、通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义；
2、引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式．
情感目标：
从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科．借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣．
重点
理解函数的定义，熟练列出函数关系式，会求自变量的取值范围．
难点
实际问题中函数自变量的取值范围．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
世界是不断变化发展的，生活中也充满着许许多多变化的量，而这些变化的量之间往往存在着这样或那样的关系，请同学们欣赏下面的实际问题．
汽车行驶的路程随行驶的时间而变化
气温随海拔而变化
为了更深刻地认识千变万化的世界，在这一章里我们将学习有关一种量随另一种量变化的一些基本知识，其中包括如何用式子和图、表来描述、刻画这种变化的内容．
观察图片，感受生活中存在着变化的量．
通过对实际问题的欣赏，感受生活中存在着变化的量，一种量随另一种量变化而变化．
讲授新课
师：请同学们探究下列问题．
问题1：看图回答：
（1）这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．
（2）这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？
（3）这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？
问题2：小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁的体重，如下表：
请同学观察上表，说一说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的？在哪一段时间内体重增加较快．
问题3：收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的．下面是一些对应的数值：
观察上表回答：（1）波长和频率f数值之间有什么关系?
（2）波长越大，频率f 就________．
问题4：如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积，则S与r之间满足下列关系：．
利用这个关系式，试求出半径为1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm时圆的面积，并将结果填入下表：
圆的半径越大，它的面积就_______．
师：通过上面问题的探究，你知道什么是常量？什么是变量吗？
生：常量：在某一变化过程中，始终保持不变的量．变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量．
师：请你列举出生活中的变化的实例并指出其中的常量与变量．
师：前面我们研究的每个问题中都有几个变量？
生：两个变量．
师：同一个问题中的两个变量之间有什么联系？
生：每个问题中的两个变量互相联系，其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定一个值．即：一个变量的值随另一个变量的值的变化而变化．
师：同学们知道什么是函数吗？
生：函数：一般地，在某一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数．
师：你知道函数的表示方法吗？
生：（1）解析法．如： 和 ，函数关系是用表达式表示的，它们又称函数关系式．这种表示函数关系的方法称为解析法．
（2）列表法．如问题2中小蕾的年龄与体重的关系表，问题3中的波长与频率的关系表．这种表示函数关系的方法称为列表法．
（3）图象法．如下图中的气温曲线．
师：你会求函数自变量的取值范围吗？
在研究函数时，必须注意自变量的取值范围．
在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：
（1）函数关系式为整式形式，自变量取值范围为任意实数；
（2）函数关系式为分式形式，分母不等于0；
（3）函数关系式为二次根式，被开方数大于或等于0．
在实际问题中，自变量的取值必须符合实际意义．
师：你会根据实际问题列出函数关系式吗？
问题：（1）填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?
（2）如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式．
（3）当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？
例1 试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式．
师：三角形内角和定理的内容是什么？根据三角形的内角和定理你能得到y与x的函数关系式吗？等腰三角形的底角可以是直角或钝角吗？由此你能得到自变量x的取值范围吗？
例2 如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．
（1）试写出重叠部分面积y cm2与MA长度x cm之间的函数关系式．
（2）当点A向右移动1 cm时，重叠部分的面积是多少？
师：重叠部分是什么图形？重叠部分的面积怎么求？这里自变量x的取值范围是什么？
观察图象，获取信息．
通过表格获取信息．
探究波长和频率f数值之间的关系．
认识常量与变量．
根据对常量与变量的理解归纳．
认识函数的概念．
认识函数的三种表示方法．
理解函数自变量的取值范围．
对问题进行探究．
完成例1．
完成例2．
培养学生通过图象获取信息的能力，体会一种量随另一种量变化而变化．
培养学生通过表格获取信息的能力，体会一种量随另一种量变化而变化．
体会某个变化过程中的两个变量之间的关系．
理解常量与变量的概念．
掌握判断常量与变量的方法．
理解函数的概念．
了解函数的三种表示方法及其特点．
通过探究活动理解函数自变量的取值范围，特别注意实际问题中自变量的取值范围．
体会函数与自变量之间的关系．
通过例题的解决培养学生根据实际问题列代数式的能力．
课堂练习
1、一本笔记本4.5元，买x本共付y元，则4.5和y分别是（ ）
A．常量，常量 B．变量，变量
C．变量，常量 D．常量，变量
2、下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是（ ）
3、函数中自变量x的取值范围是（ ）
A． x ≥3 B． x ≠－3 C． x ≤3 D． x ≠3
4、写出下列关系式
(1)每个同学购一本单价3元的练习册，写出总金额y(元)与学生数n(个)之间的关系式；
(2)已知水池的容量200 m3，每小时的注水量为a m3，注满水池所需时间为t小时，写出a与t之间的关系式．
5、一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t（秒）滑下的距离s（米）由下式给出：s=10t+2t2．假如滑到坡底的时间为8秒，试问坡长为多少？
拓展提高
6、一辆汽车的油箱中现有汽油50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1 L/km.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子．
（2）指出自变量x的取值范围．
（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？
中考链接
1、【2018?温岭】一个物体重100 N，物体对地面的压强P（单位：Pa）随物体与地面的接触面积S（单位：m2）变化而变化的函数关系式是__________．
2、 【2018?无锡】函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠－4 B． x≠4 C． x≤－4 D． x ≤ 4
3、 【2018?重庆】根据如图所示的程序计算函数y的值，
若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于（ ）
A．9 B． 7 C．－9 D． － 7
完成练习．
通过练习的完成使学生熟练掌握本节课所学的知识，并能熟练运用所学的知识解决问题．
课堂小结
1、常量、变量、自变量、函数的概念；
2、函数的三种表示方法．解析法、列表法、图象法．
3、方法：
（1）区分常量与变量；
（2）区分自变量与函数；
（3）判断两个变量之间是否存在函数关系；
（4）列函数关系式，确定自变量的取值范围．
对本节课所学的知识进行归纳小结．
使学生系统掌握本节课所学的知识．
板书
1、常量、变量、自变量、函数的概念；
2、函数的三种表示方法．解析法、列表法、图象法．
例1 解：根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可知：
，．
由于等腰三角形的底角只能是锐角．所以0°＜x＜90 °．
例2 解 ：（1）重叠部分面积的函数关系式为：
，
（2）当A向右移动1 cm时，x=1，当x=1时，
，
所以当点A向右移动1 cm时，
重叠部分的面积是 cm2．
17.1变量与函数 同步练习
时间：30分钟，总分：100分 班级：_____________ 姓名：_____________
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．一辆汽车以50 km/h的速度行驶，行驶的路程s km与行驶的时间t h之间的关系式为s＝50 t，其中变量是（ ）
A．速度与路程 B．速度与时间 C．路程与时间 D．三者均为变量
2．下列各式中，y不是x的函数关系的是（ ）
A．y＝x B．y＝x2＋1 C．y＝|x| D．y＝±x
3．下列各曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B． C． D．
4．某商场自行车存放处每周的存量为5000辆次，其中变速车存车费是每辆一次1元，普通车存车费为每辆一次0.5元，若普通车存车量为x辆次，存车的总收入为y元，则y与x之间的关系式是（ ）
A．y＝0.5x＋5000 B．y＝0.5x＋2500 C．y＝－0.5x＋5000 D．y＝－0.5x＋2500
5．函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x＜1 C．x＞1 D．x≠1
6．根据如图所朱的计算程序计算y的对应值，若输入变量x的值为，则输出的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每小题5分，共30分）
7．假期即将开始，李伟制定了一张“假期每天时间分配表”，其中课外阅读时间为1.5小时，这里的“1.5小时”为________． （填“常量”或“变量”）
8．已知某地的地面气温是20 ℃，如果每升高1000 m气温下降6 ℃，则气温t（℃）与高度h（m）的函数关系式为___________．
9．的地球某地，地表以下岩层的温度y（℃）与所处深度x（km）之间的关系可以近似地用表达式y＝35x＋20来表示．当此地所处深度为__________km时，地表以下岩层的温度达到265℃．
10．函数中，自变量x的取值范围为________．
11．当x＝________时，函数y＝－2x＋1的值是－5．
12．米店卖米，数量x（千克）与售价c（元）之间的关系如下表：
x/千克
0.5
1
1.5
2
…
c/元
1.3＋0.1
2.6＋0.1
3.9＋0.1
5.2＋0.1
…
售价c与数量x之间的关系是__________．
三、解答题（共40分）
13．（本题满分12分）△ABC底边BC上的高为16 cm，当BC的长x（cm）从小到大变化时，△ABC的面积y（cm2）也随之发生变化．
（1）在这个变化过程中，常量是________，自变量是________，因变量是_________；
（2）写出y与x之间的关系式为_______________；
（3）当x＝5 cm时，y＝________cm2；当x＝15 cm时，y＝________cm2；y随x的增大而__________．
14．（本题满分14分）某公交车每朋的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每朋利润（利润＝收入费用－支出费用）y（元）的变化关系如下表所示（每们乘客的公交票价是固定不变的）：
x（人）
500
1000
1500
2000
2500
3000
…
y（元）
－3000
－2000
－1000
0
1000
2000
…
（1）在这个变化过程中，_________是自变量，__________是因变量；
（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到_______人以上时，该公交车才不会亏损；
（3）请你估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为多少元？
（4）若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需达________人．
15．（本题满分14分）如图，反映的过程是小涛从家出发，去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．其中x表示时间，y表示小涛离家的距离．
（1）菜地离小涛家的距离是________km，小涛走到菜地用了_______min，小涛给菜地浇水用了_______min；
（2）菜地离玉米地的距离是________km，小涛给玉米地锄草用了________ min；
（3）玉米地离小涛家的距离是________km，小涛从玉米地走回家的平均速度是_____________．
参考答案
一、选择题：
1．【答案】C．
【解析】由题意得：s＝50 t，路程随时间的变化而变化，则行驶时间是自变量，行驶路程是因变量．故选C．
2．【答案】D．
【解析】A、y＝x，y是x的函数关系，故此选项错误；B、y＝x2＋1，y是x的函数关系，故此选项错误；C、y＝|x|，y是x的函数关系，故此选项错误；D、y＝±x，y不是x的函数关系，故此选项正确．故选D．
3．【答案】B．
【解析】A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故A不符合题意；B、满足对于x的每一个取值，y有两个值与之对应关系，故B符合题意；C、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故C不符合题意；D、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故D不符合题意．故选B．
4．【答案】C．
【解析】由题意得，y＝0.5x＋（5000—x）×1＝－0.5x＋5000．故选C．
5．【答案】D．
【解析】由题意得，x－1≠0，解得x≠1．故选D．
6．【答案】B．
【解析】若输入变量x的值为，则y＝x－1＝－1＝－．故选B．
二、填空题：
7．【答案】常量．
【解析】这里的“1.5小时”为“常量”．故答案为：“常量”．
8．【答案】t＝－0.006h＋20．
【解析】∵每升高1000 m气温下降6 ℃，
∴每升高1 m气温下降0.006 ℃，
∴气温t（℃）与高度h（m）的函数关系式为t＝－0.006h＋20．故答案为：t＝－0.006h＋20．
9．【答案】x＝7．
【解析】当y＝265时，265＝35x＋20，解得x＝7．故答案为：x＝7．
10．【答案】x≠6．
【解析】由题意得，x－6≠0，解得x≠6．故答案为：x≠6．
11．【答案】3．
【解析】当y＝－5时，y＝－2x＋1＝－5．解得x＝3．故答案为：3．
12．【答案】c＝2.6 x＋0.1．
【解析】由题意可得：c＝1.3×2x＋0.1＝2.6 x＋0.1．故答案为：c＝2.6 x＋0.1．
三、解答题：
14．【答案】（1）x，y；（2）2000；（3）3000；（4）4500．
【解析】（1）在这个变化过程中，x是自变量，y是因变量；
（2）每月乘客量达到2000人以上时，该公交车才不会亏损；
（3）当每月乘车人数为3500人时，每月利润为3000元；
（4）若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需达4500人．
15．【答案】（1）1.1，15，10；（2）0.9，18；（3）2，0.08 km/ min．
【解析】（1）菜地离小涛家的距离是1.1 km，小涛走到菜地用了15 min，小涛给菜地浇水用了10 min；
（2）菜地离玉米地的距离是2－1.1＝0.9 km，小涛给玉米地锄草用了55－37＝18 min；
（3）玉米地离小涛家的距离是2 km，小涛从玉米地走回家用了80－55＝25 min，小涛从玉米地走回家的平均速度是2÷25＝0.08 km/ min．
课件24张PPT。变量与函数数学华师大版 八年级下新知导入 世界是不断变化发展的，生活中也充满着许许多多变化的量，而这些变化的量之间往往存在着这样或那样的关系，请看——汽车行驶的路程随行驶的时间而变化气温随海拔而变化 为了更深刻地认识千变万化的世界，在这一章里我们将学习有关一种量随另一种量变化的一些基本知识，其中包括如何用式子和图、表来描述、刻画这种变化的内容． 新知讲解问题1：看图回答：
（1）这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．（2）这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？（3）这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？ 结论：温度T随着时间t的变化而变化．·新知讲解问题2：小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁的体重，如下表： 观察上表，说一说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的？在哪一段 时间内体重增加较快． 随着年龄的增长，小蕾的体重也随着增长．1到2岁体重增加较快．新知讲解问题3：收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的．下面是一些对应的数值： 越小新知讲解问题4：如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积，则S与r之间满足下列关系：利用这个关系式，试求出半径为1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm时圆的面积，并将结果填入下表：圆的半径越大，它的面积就_______．越大结论：圆的面积S随着半径r的变化而变化．新知讲解常量：在某一变化过程中，始终保持不变的量．变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量．常量与变量的概念归纳：判断常量与变量时：
（1）应抓住变与不变；
（2）注意关系式中的所有字母并不是都表示变量；
（3）圆周率π是一个常数，是不变的．新知讲解请你列举出生活中的变化的实例并指出其中的常量与变量．加油的费用随油量的变化而变化国旗的高度随时间的变化而变化笔水的量随字数的变化而变化新知讲解函数：一般地，在某一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数． 前面我们研究的每个问题中都有几个变量？同一个问题中的两个变量之间有什么联系？ 两个变量每个问题中的两个变量互相联系，其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定一个值．即：一个变量的值随另一个变量的值的变化而变化．新知讲解函数的三种表示方法：（2）列表法．如问题2中小蕾的年龄与体重的关系表，问题3中的波长与频率的关系表．这种表示函数关系的方法称为列表法．（3）图象法．如下图中的气温曲线．新知讲解在研究函数时，必须注意自变量的取值范围．
在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：
（1）函数关系式为整式形式，自变量取值范围为任意实数；
（2）函数关系式为分式形式，分母不等于0；
（3）函数关系式为二次根式，被开方数大于或等于0．
在实际问题中，自变量的取值必须符合实际意义．新知讲解（1）填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?（2）如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式． （3）当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？横向的加数为3时，纵向的加数是7，
纵向的加数为6时，横向的加数是4．新知讲解例1 试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式．解：根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可知：由于等腰三角形的底角只能是锐角．所以0°＜x＜90 °.新知讲解例2 如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．
（1）试写出重叠部分面积y cm2与MA长度x cm之间的函数关系式．
（2）当点A向右移动1 cm时，重叠部分的面积是多少？新知讲解这里自变量x的取值范围是什么？（0≤x≤10）课堂练习DCD课堂练习5、一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t（秒）滑下的距离s（米）由下式给出：s=10t+2t2．假如滑到坡底的时间为8秒，试问坡长为多少？ 解：当t=8时，s=10×8+2×82=208．4、写出下列关系式
(1)每个同学购一本单价3元的练习册，写出总金额y(元)与学生数n(个)之间的关系式；
(2)已知水池的容量200 m3，每小时的注水量为a m3，注满水池所需时间为t小时，写出a与t之间的关系式． y＝3n拓展提高6、一辆汽车的油箱中现有汽油50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1 L/km.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子．
（2）指出自变量x的取值范围．
（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？解：（1）函数关系式为: y = 50－0.1x，（2）由x≥0及50－0.1x ≥0，得0 ≤ x ≤ 500．∴自变量的取值范围是: 0 ≤ x ≤ 500．（3）当 x = 200时,函数 y 的值为:y=50－0.1×200=30．因此，当汽车行驶200 km时，油箱中还有油30 L．中考链接1、【2018?温岭】一个物体重100 N，物体对地面的压强P（单位：Pa）随物体与地面的接触面积S（单位：m2）变化而变化的函数关系式是__________．
2、 【2018?无锡】函数 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠－4 B． x≠4 C． x≤－4 D． x ≤ 4
3、 【2018?重庆】根据如图所示的程序计算函数y的值，
若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于（ ）
A．9 B． 7 C．－9 D． － 7 BC课堂总结1、常量、变量、自变量、函数的概念；
2、函数的三种表示方法．解析法、列表法、图象法．3、方法：
（1）区分常量与变量；
（2）区分自变量与函数；
（3）判断两个变量之间是否存在函数关系；
（4）列函数关系式，确定自变量的取值范围．板书设计1、常量、变量、自变量、函数的概念；
2、函数的三种表示方法．解析法、列表法、图象法．例1 解：根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可知：由于等腰三角形的底角只能是锐角．所以0°＜x＜90 °.作业布置教材第33页，1题、2题、3题．谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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