人教版数学九年级下册
第二十七章 相似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第3课时 相似三角形的判定(二)
知识梳理 分点训练
知识点1 两角对应相等的两个三角形相似
1. 下列各组条件中，不能判定△ABC与△A′B′C′相似的是( )
A．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′
B．∠C＝∠C′＝90°，∠A＝35°，∠B′＝55°
C．∠A＝∠B，∠A′＝∠B′
D．∠A＋∠B＝∠A′＋∠B′，∠A－∠B＝∠A′－∠B′
2. 如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为( )
A. 4 B. 4 C. 6 D. 4
第2题 第3题
3. 如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
A B
C D
4. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D.求证：△DBA∽△DAC.
知识点2 直角三角形相似的判定方法
5. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是( )
A．∠A＝55°，∠D＝35°
B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8
C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8
D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9
6. 如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一定点，过M作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有( )
A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条
第6题 第7题
7. 如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E在AB上，点F在CD上，点G，H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是( )
A．2 B．3 C．5 D．6
8. 已知Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，CD，C′D′分别是两个三角形斜边上的高，且CD∶C′D′=AC∶A′C′. 证明：△ABC∽△A′B′C′.
课后提升 巩固训练
9. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，连接CD，∠ACD=∠B，若BC=13 cm，CD=5 cm，则BD等于( )
A. 8 cm B. 9 cm C. 10 cm D. 12 cm
第9题 第10题
10. 如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC的延长线上一点，AE与CD相交于F，与△CEF相似的三角形有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
11. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E. 若AB＝12，BM＝5，则DE的长为( )
A．18 B． C． D．
第11题 第12题
12. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中：①AC·BC＝AB·CD；②AC2＝AD·DB；③BC2＝BD·BA；④CD2＝AD·DB，正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
13. 如图，DE⊥AB于E，AF⊥BC于F，若BD=6，AB=8，则DE∶AF= .?
第13题 第14题
14. 如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 .(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)
15. 如图，D是等边△ABC边AB上的点，AD=2，BD=4. 现将△ABC折叠，使得点C与点D重合，折痕为EF，且点E，F分别在边AC和BC上，则= .?
16. 如图所示，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，求AD.
17. 如图，CD为☉O的直径，弦AB交CD于点E，连接BD，OB，AC.
(1)求证：△AEC∽△DEB；
(2)若CD⊥AB，AB=8，DE=2，求☉O的半径.
18. 如图，AB是半圆O的直径，点P是BA延长线上一点，PC是☉O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC.
求证：(1)∠PBC=∠CBD；
(2)BC2=AB·BD.
19. 如图，△ABC中，点D，E分别在BC和AC边上，点G是BE上一点，且∠BAD=∠BGD=∠C，连接AG.
(1)求证：BD·BC=BG·BE；
(2)求证：∠BGA=∠BAC.
20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D.
(1)求证：AC2=AD·AB；
(2)求证：AC2＋BC2=AB2(即证明勾股定理)；
(3)如果AC=4，BC=9，求的值.
拓展探究 综合训练
21. 如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，对角线AC，BD相交于点E，且AC⊥BD.
(1)求证：CD2=BC·AD；
(2)点F是边BC上一点，连接AF，与BD相交于点G，如果∠BAF=∠DBF，求证：=.
参考答案
1. C
2. B
3. C
4. 证明：因为∠BAC=90°，点M是BC的中点，所以AM=CM，所以∠C=∠CAM，因为DA⊥AM，所以∠DAM=90°，所以∠DAB=∠CAM，所以∠DAB=∠C，因为∠D=∠D，所以△DBA∽△DAC.
5. C
6. B
7. C
8. 证明：因为CD，C′D′分别是两个直角三角形斜边上的高，所以∠ADC=∠A′D′C′=90°，在Rt△ACD与Rt△A′C′D′中，CD∶C′D′=AC∶A′C′，所以Rt△ACD∽Rt△A′C′D′，所以∠A=∠A′. 又∠ACB=∠A′C′B′=90°，所以△ABC∽△A′B′C′.
9. D
10. B
11. B
12. C
13. 3∶4
14. AB∥DE(答案不唯一)
15.
16. 解：在Rt△ABC中，因为∠C=90°，所以AB===5，因为∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE，所以△ABC∽△ADE. 所以=，即=，所以AD=.
17. (1)证明：根据“同弧所对的圆周角相等”，得∠A=∠D，∠C=∠ABD，所以△AEC∽△DEB.
(2)解：因为CD⊥AB，AB=8，所以BE=AB=4，设☉O的半径为r，因为DE=2，所以OE=r－2，于是，在Rt△OEB中，有(r－2)2＋42=r2，解得r=5，即☉O的半径为5.
18. 证明：(1)连接OC，因为PC是☉O的切线，所以OC⊥PD，因为BD⊥PC，所以OC∥BD，所以∠DBC=∠BCO. 因为OC=OB，所以∠PBC=∠OCB. 所以∠PBC=∠CBD，即∠ABC=∠CBD.
(2)连接AC，因为AB是半圆O的直径，所以∠ACB=90°，所以∠ACB=∠CDB，又因为∠PBC=∠CBD，即∠ABC=∠CBD. 所以△ACB∽△CDB. 所以=. 所以BC2=AB·BD.
19. 证明：(1)因为∠DBG=∠EBC，∠BGD=∠C，所以△BDG∽△BEC，所以=，则BD·BC=BG·BE.
(2)因为∠DBA=∠ABC，∠BAD=∠C，所以△DBA∽△ABC，所以=，即AB2=BD·BC，因为BD·BC=BG·BE，所以AB2=BG·BE，即=，因为∠GBA=∠ABE，所以△GBA∽△ABE，所以∠BGA=∠BAE，即∠BGA=∠BAC.
20. 证明：(1)因为CD⊥AB，∠ACB=90°，所以∠ADC=∠ACB=90°，因为∠A=∠A，所以△ACD∽△ABC，所以=，所以AC2=AD·AB.
(2)同(1)可证BC2=BD·AB，因为AC2=AD·AB. 所以AC2＋BC2=AD·AB＋BD·AB=AB2，所以AC2＋BC2=AB2.
(3)解：因为BC2=BD·AB，AC2=AD·AB，所以=，所以==.
21. 证明：(1)因为AD∥BC，∠BCD=90°，所以∠ADC=90°，即∠BCD=∠ADC. 又因为AC⊥BD，所以∠ACD＋∠ACB=∠CBD＋∠ACB=90°，所以∠ACD=∠CBD，所以△ACD∽△DBC，所以=，即CD2=BC·AD.
