【备考2019中考数学学案】第三单元 函数 第5课时 二次函数的应用

第三单元 函数
第5课时 二次函数的应用
考 点 知 识 清 单
考点一 二次函数的应用
1.二次函数在销售问题中的应用
（1）读懂题意，借助销售问题中的利润等公式寻找等量关系；
（2）确定函数解析式；
（3）确定二次函数的最值，解决实际问题。
2.二次函数在面积问题中的应用
（1）根据几何知识探求图形的面积关系式；
（2）根据面积关系式确定函数解析式；
（3）确定二次函数的最值，解决实际问题。
3.二次函数与抛物线形问题
（1）建立平面直角坐标系；
（2）利用待定系数法确定抛物线的解析式；
（3）利用二次函数的性质解决实际问题。常见类型有桥梁、隧道、体育运动等。
【温馨提示】二次函数的实际应用解题步骤：
根据题意得到二次函数的解析式；
根据已知条件确定自变量的取值范围；
利用二次函数的性质和自变量的取值范围求出最大（小）值。注意：二次函数的最大（小）值不一定是实际问题的最大（小），一定要结合实际问题中的自变量的取值范围确定最值。
考点二 建立坐标系，解决问题
坐标系
抛物线形式
以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立坐标系，抛物线解析式的形式为①__________________。
以抛物线的对称轴为y轴建立坐标系，抛物线的形式为②_______________________。
顶点在x轴，对称轴平行于y轴建立坐标系，抛物线的形式为③_________________________。
以抛物线上的一点为原点建立坐标系，抛物线的解析式可设为y=ax2+bx+c。通常情况下可先考虑顶点式，即为④______________________。

题型归类探究
类型一二次函数与经济利润问题（高频点）
【典例1】（2018·安徽）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元.调研发现:
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；
②花卉的平均每盆利润始终不变.
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位:元）
（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？【思路导引】（1）用含x的代数式分别表示第二期培植的盆景和花卉的数量，然后根据利润＝每盆的利润×数量可列所求关系式；
（2）先根据W＝W1＋W2用含x的代数式表示W，再结合抛物线的开口方向、自变量x的取值范围和x是正整数可求出W的最大值。
【自主解答】
【规律总结】（1）解答商品经营问题常用的关系式是:销售利润＝（单件售价一单件进价）×销售量.对于分段函数求最值应分段计算出各自的最大值，再进行比较，从而得出最大值；（2）在实际问题中要特别注意自变量的取值范围的限制，对于二次函数y＝a(x-h)2＋k，有可能x＝h不在这个自变量的取值范围内，这时，可结合图象进行分析，而函数的图象可能只是抛物线y＝a(x-h)2＋k上的某一个特定的曲线段.如果图象的顶点不在这个曲线段上，就要结合图象两个端点的位置，观察出最大（或最小）值，或结合函数的增减性求最大（或最小）值。
【变式训练】
1.（2018·抚顺）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30％.试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售，设每天销售量为y本，销售单价为x元.
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？量大利润是多少元？
类型二二次函数与几何图形问题（重难点）
【典例2】（2018·福建A卷）如图，一个矩形菜园ABCD，一边AD靠墙
（墙MN长为a米，MN≥AD），另外三边用总长100米的不锈钢栅栏围成。
（1）当前a＝20米时，矩形ABCD的面积为450平方米，求AD长；
（2）求矩形ABCD面积的最大值。
【思路导引】（1）由矩形面积公式列方程求解；
（2）设AD＝y米，同（1）列出面积关于y的函数关系式，结合a的取值范围，分类讨论全面获解。
【自主解答】
【方法技巧】应用二次函数解决面积最大（或最小）问题的一般步骤:（1）分析题中的变量与常量；（2）找出等量关系，根据几何图形的面积公式建立函数模型；（3）结合函数图象及性质，考虑实际问题中自变量的取值范围，求出面积的最大（或最小）值。
【变式训练】
2.（2017·绍兴）某农场拟建一间矩形种牛饲养室饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m.设饲养室长为x（m），占地面积为y（m2）。
（1）如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？
（2）如图2，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大.小敏说:“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了”。请你通过计算，判断小敏的说法是否正确。
类型三二次函数与抛物线形问题（难点）
【典例3】（2016·日照）如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为__________米。
【思路导引】建立如图所示的平面直角坐标系，O为原点，AB的中垂线为y轴，可设抛物线的解析式为y＝ax2＋k（a≠0），则点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，2）。
【自主解答】
【方法技巧】解决抛物线形问题的四个步骤:（1）建立合适的平面直角坐标系；（2）根据实际问题中的数量表示相关点的坐标；（3）设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；（4）利用函数解析式解决实际问题。
【变式训练】
3.（2017金华）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式
y＝a(x-4)2＋h.已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m.
（1）当a＝时，①求h的值.②通过计算判断此球能否过网.
（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到点O的水平距离为7m，离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值.
中考真题回放
考点一 二次函数与经济利润问题
1.（2018·青岛）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品.公司按订单生产（产量＝销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件.此产品年销售量y（万件）与售价x（元）之间满足函数关系式y＝ - x＋26。
（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；
（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？
（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件.为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件.请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元。
2.（2018·威海）为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策:提供10万元的无息创业贷款，小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款，已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其它费用1万元，该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示。
（1）求该网店每月利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；
（2）小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？
考点二 二次函数与几何图形问题
3.（2017·泰安）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ面积的最小值为（ ）
A.19 cm2 B. 16 cm2 C.15 cm2 D.12 cm2
4.（2017·潍坊）工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形。（厚度不计）
（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？
（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？
考点三 二次函数与抛物线形问题
5.（2018·威海）如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x-x2刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画，下列结论错误的是（ ）
A.当小球抛出高度达到7.5时，小球距O点水平距离为3m
B.小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势
C.小球落地点距O点水平距离为7米
D.斜坡的坡度为1:2
6.（2018·滨州）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y＝-5x2＋20x，请根据要求解答下列问题:
（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行的时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
参考答案及解析
【题型归类探究】
【典例1】
【自主解答】解:（1）W1＝（x＋50）（16-2x）＝-2x2＋60x＋8000；W2＝19（50-x）＝-19x＋950.
（2）W＝W1＋W2＝（-2x2＋60x＋8000）＋（-19x＋950）＝2x2＋41x＋8950＝-2（x-）＋9160。∵-2＜0，∴抛物线开口向下，又0＜x＜50，且x是整数，当x＝10时，W最大= - 2×(10-)2+9160
＝9160（元）:当x=11时,W最大= - 2×(11 -)2+9160=9159（元）。综上所述当x＝10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利闻W最大，最大利润是9160元。
【变式训练】，解:（1）y＝740-10r（4≤x≤52）；
（2）由题息得(x-40)(-10x＋740)＝2400，解得x1＝50，x2=64（含去），所以当每本足球纪念册制售单价是50元时，商店每天获利2400元。
（3）a＝(x-40)(-10x＋740)＝-10x2＋1140x-29600＝ - 10(x-57)2＋2890.
当ェ＜57时，W随X的增大而增大，而44≤x≤52，
所以当x＝52时，c有最大值，最大值为2640.
答:足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得最大利润2640。
【典例2】
【自主解答】解:（1）设AD＝x来，则BC＝x米，AB＝CD＝=米，依题意有=450，整理得:x2-100x＋900＝0，解得了x＝90或x＝10,
∵MN＝a＝20，MN＞AD，∴x＝90＞20不合题意，舍去，∴x＝10，即AD的长为10米.
（2）设AD＝一，则AB＝CD＝米，满足：解得:0＜y＜100，
设矩形ABCD的面积为S.则:
S=y= -y2＋50y＝ - (y-50)2+1250,
①若a≥50，则当y＝50时，S最大＝1250。
②若当0＜a＜50.则当0＜y≤a时，S随y的増大面增大?故当y=50时，S最大=50a-a2.
综上，当a≥50时，矩形菜园ACBD的面积的最大值是1250平方米。
当0＜a＜50时，矩形菜园ABCD的面积的最大值是50a-a2平方米。
【变式训练】2.解:（1），
当x＝25时，占地面积y最大，即当饲养室长为25m时，占地面积最大，
（2），∴当x＝26时，占地面积y最大。
即当饲养室长为26m时，占地面积最大。∵26-25=1≠2，∴小敏的说法不正确
【典例3】
【自主解答】2 解析:建立如图所示的直角坐标系，则点B（2，0），C（0，2）.设抛物线的解析式为y＝ax2＋k，则k=2.∴y＝ax2＋2，把点B（2,0）代入，得4a＋2＝0，a＝-.∴y＝-x2＋2.当y＝-1时，x2＝6.∴x＝±，∴AB＝2.
故当水面下降1米时，水面的宽度为2米.
【变式训练3.解:（1）①把（0，1），a＝-代入y＝a(x-4)2+h，得1= -×16＋h，解得h=.
②把x=5代入y=-(x-4)2＋，得y=-×（5-4）2+＝1.625.
∵1.625＞1.55，∴此球能过网。
（2）把点（0，1），（7，）代人y＝a(x-4)2+h，得，解得。
∴a＝。
【中考真题回放】
1.解:（1）W1＝y（x-6）-80＝（-x＋26）（x-6）-80＝-x2＋32x-236.
（2）由题意，得-x2＋32x-236＝20解得x1＝x2＝16
答:该产品第一年的售价是16元。
（3）依题意，得W2=（-x+26）（x-5）-20=-x2+31x-150.
∵公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，∴x≤16。
∵另外受产能限制，销售量无法超过12万件，∴-x＋26≤12，解得:x≥14。∴14≤x≤16.
∵-1＜0，对称轴为x＝，∴x＝14时，W2有最小值为88万元，
答:利润最少为88万元。
2.解:（1）设直线AB的函数表达式为yAB＝kx＋b，代入A（4，4），B（6，2），得，
解得。直线AB的函数表达式为yAB＝ - x＋8
设直线BC的函数表达式为yBC＝k1x＋b1，代入B（6，2），C（8，1），得，解得，∴直线BC的函数表达，yBC=-x+5.
工资及其他费用为0.4×5＋1＝3（万元）
当4≤x≤6时∴W1＝(x-4)(-x＋8)-3，即W1＝-x2＋12x-35.
当6≤x≤8时，∴W2＝（x-4）（-x＋5）-3，即W2＝-x2＋7x-23
（2）当4≤x≤6时，W1＝-x2＋12x-35＝-（x-6）2＋1，∴当x＝6时，W1取得最大值1.
当6≤x≤8时，W2＝-x2＋7x-23＝-（x-7）2＋∴当x＝7时，W2取得最大值1.5.
∴，即第7个月可以还清全部贷款.
C
4.解:（1）如图所示:
设裁掉的正方形的边长为x cm，由题意可得
（10-2x）（6-2x）＝12，即x2-8x＋12＝0，
解得x1＝2，x2＝6（舍去）.
所以长方体面积为12dm2时，裁掉的正方形的边长为2dm.
（2）因为长不大于宽的五倍，所以10-2x≤5（6-2x），所以0＜x≤2.5
设总费用为w，由题意可知:
w＝0.5×2x（10-2x＋6-2x）＋2（10-2x）（6-2x）立＝4x2-48x＋120＝4（x-6）2-24.
因为对称轴为x＝6，开口向上，所以当0＜x≤2.5时，t随x的增大而减小，所以当x＝2.5时，W最小＝25元
所以当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低为25元.
5. A 解析:根据函数图象可知，当抛出的高度为7.5时，小球距离O点的水平距离有两值（为3m或5m），A结论错误；由y＝4x-x2得y＝-（x-4）2＋8，则对称轴为直线x＝4，当x＞4时，y随x值的增大而减小，B结论正确；联立方程y＝4x-x2与y＝x解得或；则抛物线与直线的交点坐标为（0，0）或（7，），C结论正确；由点（7，）知坡度为:7＝1:2（也可以根据y＝x中系数的意义判断坡度为1:2），D结论正确；故选A.
6.解:（1）当y＝15时有-5x2＋20x＝15，化简得x2-4x＋3＝0因式分解得(x-1)(x-3)＝0，故x＝1或3，即飞行时间是1秒或者3秒.
（2）飞出和落地的瞬间，高度都为0，故y＝0.所以有0＝-5x2＋20x，解得x＝0或4，所以从飞出到落地所用时间是4-0＝4（秒）.
（3）y＝-5x2＋20x＝-5（x-2）2＋20,∴当x＝2时，y取得最大值，此时，y＝20，
即在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m.