【备考2019中考数学学案】第三单元 函数 第6课时 方程（组）、不等式与函数的关系

第三单元 函数
第6课时 方程（组）、不等式与函数的关系
考 点 知 识 清 单
考点一 函数与方程（组）个
一次函数与一次方程
从数看
方程kx＋b＝0（k≠0）的解就是函数y＝kx＋b（k≠0）的函数值为①__________时相应的自变量的值.
从形看
函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与x轴的交点的②_____________就是方程kx＋b＝0（k≠0）的解.
一次函数与二元一次方程
以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线.
一次函数与方程组
从数看
二元一次方程组的解就是相应两函数图象（直线）的
③_________________
从形看
确定两直线的交点坐标，相当于求相应的二元一次方程组的
④______________
二次
函数
与一元二次方程
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的⑤__________就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解
与x轴交点的个数
b2-4ac＞0有两个交点.
b2-4ac＝0有且只有⑥________交点
b2-4ac＜0抛物线与x轴⑦________交点.
考点二 函数与不等式
函数与不等式:函数值大于0或函数值小于0的解可以看作:当函数值大于0或小于0时，求
⑧______________相应的取值范围.
题型归类探究
类型一 一次函数与方程（组）（重难点）
【典例1】（2018·吉林）小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行.小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30min.小东骑自行车以300m/min的速度直接回家.两人离家的路程y（m）与各自离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示。
（1）家与图书馆之间的路程为__________m，小玲步行的速度为__________m/min；
（2）求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）求两人相遇的时间。
【思路导引】（1）家与图书馆之间的路程即为开始时小东离家的距离，小玲步行的时间为20分钟，步行的路程为2000米；根据“速度=”计算；（2）先求出小东的骑车的时间，再用待定系数法或数量关系求函数关系式；（3）求出直线OA和CD的关系式，再求交点A的坐标（也可利用相等关系列一元一次方程求解）
【自主解答】
【方法技巧】行程问题函数图象与方程（组）
（1）求“何时相遇”，一般是求“两图象的交点”的坐标，可以列方程组求解；
（2）求“两车相距a”，一般是指“两函数关系式的差＝a”的坐标，可以列方程求解。
【变式训练】
1.（2016·巴中）已知二元一次方程组，的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线l1:y＝x＋5与直线l2:y＝＝x-1的交点坐标为_____________。
类型二 二次函数与一元二次方程（重难点）
【典例2】（2018·南京）已知二次函数y＝2(x-1)·(x-m-3)(m为常数)。
（1）求证:不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？
【思路导引】（1）令y＝0，根据方程2(x-1)·(x-m-3)＝0根的个数情况即可得到函数的图象与x轴的公共点情况；
（2）令x＝0，可得y＝2m＋6，若使函数的图象与y轴的交点在x轴的上方，则需2m＋6＞0，从而可得m的取值范围。
【自主解答】
【方法技巧】（1）抛物线与x轴交点的横坐标是对应的一元二次方程的实根，方程ax2＋bx＋c＝0的实根，是抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标；（2）特别地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝m的解，即为二次函数y＝ax2＋bx＋c当y＝m时的两点的横坐标。
【变式训练】
2.（2018·杭州）设二次函数y＝ax2＋bx-(a＋b)(a，b是常数，a≠0).
（1）判断该二次函数图象与x轴交点的个数，说明理由。
（2）若该二次函数的图象经过A（-1，4），B（0，-1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；
（3）若a＋b＜0，点P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证:a＞0.
类型三 函数与不等式（高频点）
【典例3】（2017·巴中）如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于A(m，4)、B(2，n)两点，与坐标轴分别交于MN两点。
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出kx＋b-＞0中x的取值范围；
（3）求△AOB的面积。
【思路导引】（1）由反比例函数解析式先求A、B两点坐标，再用待定系数法求一次函数的解析式；（2）图象中一次函数图象在反比例函数上方时自变量的取值范围即为该不等式的解集；
（3）利用S△A0B＝s△AON-S△BON计算即可。
【自主解答】

【方法技巧】函数与不等式解决问题的步骤:（1）一般先求交点坐标；（2）观察交点左右两侧的图象，根据图象在上方或下方来确定不等式的解集。特别地，要注意反比例函数的自变量不等于0这个隐含条件。
【变式训练】
3.（2018·锦州）如图，直线y1＝-x＋a与y2＝bx-4相交于点P，已知点P的坐标为（1，-3），则关于x的不等式 - x＋a＜bx - 4的解集是_____________。
中考真题回放
考点一 一次函数与方程（组）
1.（2017·滨州）在平面直角坐标系内，直线AB垂直于x轴于点C（点C在原点的右侧），并分别与直线y＝x和双曲线y＝相交于点A，B，且AC＋BC＝4，则△OAB的面积为（ ）
A.2＋3或2-3 B.＋1或-1 C.2-3 D.-1
2.（2016·烟台）反比例函数y＝的图象与直线y＝-x＋2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.（2018·邵阳）如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与x轴相交于点(2,0)，与y轴相交于点(0,4)，结合图象可知，关于x的方程ax＋b＝0的解是______________。
4.（2017·台州）如图，直线l1:y＝2x＋1与直线l2:y＝mx＋4相交于点P（1，b）。
（1）求b，m的值；
（2）垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C，D，若线段CD长为2，求a的值。
考点二 二次函数与一元二次方程
5.（2016·滨州）抛物线y＝2x2-2x＋1与坐标轴的交点个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6.（2018·自贡）若函数y＝x2＋2x-m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为___________。
7.（2018·孝感）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为A（-2，4），B（1，1），则方程ax2＝bx＋c的解是_____________。
考点三 函数与不等式
8.（2018·莱芜）函数y＝ax2＋2ax＋m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（ ）
A.x＜-4或x＞2 B.-4＜x＜2 C.x＜0或x＞2 D.0＜x＜2
9.（2018·徐州）若函数y＝kx＋b的图象如图所示，则关于x的不等式kx＋2b＜0的解集为（ ）
A.x＜3 B.x＞3 C.x＜6 D.x＞6
10.（2018·十堰）如图，直线y＝kx＋b交x轴于点A，交y轴于点B，则不等式x（kx＋b）＜0的解集为____________。
第9题图 第10题图 第11题图
11.（2018·威武）如图，一次函数y＝-x-2与y＝2x＋m的图象相交于点P（n，-4），则关于x的不等式组的解集为_____________。
12.（2017·东营）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数
y＝的图象在第一象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D.若OB＝3，OD＝6，△AOB的面积为3.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出当x＞0时，kx＋b-＜0的解集。
参考答案及解析
【题型归类探究】
【典例1】
【自主解答】解:（1）4000； 100.
（2）∵小东从图书馆到家的时间x＝（h），∴D（，0）
设CD的解析式为y＝kx＋b（k≠0），∵图象过D（，0）和C（0，4000）两点，
∴，解得 。∴CD的解析式为y＝-300x＋4000
∴小东离家的路程y关于x的函数解析式为y＝-300x＋4000（0≤x≤）.
（3）设OA的解析式为y＝k’x（k’≠0）. ∵图象过点A（10，2000），∴10k’＝2000，∴k’＝200
∴OA的解析式为y＝200x（0≤x≤10）.
∴ 解得
答:两人出发后8分钟相遇.
【变式训练】1.（-4，1） 解析:∵二元一次方程组的解为，
∴直线l1:y＝x＋5与直线l2:y＝-x-1的交点坐标为（-4，1）。
【典例2】
【自主解答】解:（1）证明:当y＝0，根据方程2（x-1）（x-m-3）＝0.解得x1＝1，x2＝m＋3.
所以，不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点。
（2）解: 当x＝0时，y＝2m＋6，即该函数的图象与y轴交点的纵坐标是2m＋6.
当2m＋6＞0，即m＞-3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方。
【变式训练】2.解:（1）∵△＝b2＋4a(a＋b)＝b2＋4ab＋4a2＝(b＋2a)2，
∴当b＋2a＝0时，△＝0，图象与x轴有一个交点；
当b＋2a≠0时，△＞0，图象与x轴有两个交点.
（2）∵当x＝1时，y＝a＋b-（a＋b）＝0，∴图象不可能过点C（1，1）.
所以函数的图象经过A（-1，4），B（0，-1）两点.
代入可得, 解得.∴该二次函数的表达式为y＝3x2-2x-1.
（3）证明:∵点P(2，m)(m＞0)在该二次所数图象上，∴m=4a+2b-(a＋b)＝3a＋b＞0.
又a+b<0，∴(3a＋b)-(a＋b)>0，整理得2a＞0，因而a>0。
【典例3】
【自主解答】:（1）点A在反比例函数y=上，∴，解得m＝1，∴点A的坐标为（1，4）。
又∵点B也在反比例函数y=上，∴n，解得n=2。点B的坐标为（2，2）
又∵点A、B在y＝点x＋b的图象上，∴，解得，∴一次函数的解析式为y=-2x+6
（2）的取值范围为1（3）∵直线＝-2x＋6与x轴的交点为N，∴点N的坐标为(3,0)。
S△AOB = S△AON - S△BON = ×3×4 - ×3×2 = 3 。
【变式训练】3. x＞1 解析:不等式 - x＋a≤bx - 4的解集，也就是当y1＜y2时自变量x的取值，即y1图象在y2图象下面所对的x的取值范围。
【中考真题回放】
1.A 解析:设点C的坐标为（m，0）?则A（m，m），B（m，），所以AB＝m，BC＝.
根据“AC＋BC＝4”，可列方程m＋＝4.解得m＝2±.所以A（2＋，2＋），B（2＋，2-）或A（2-，2-），B（2-，2＋）∴AB＝2.
∴△OAB的面积=×2×（2士）＝2土3。
B 3.x=2
4.解:（1）把点P（1，b）代入y＝2x＋1，得b＝2＋1＝3，此时P（1，3）再把P（1.3）代人
y＝mx＋4，得m＋4＝3，:m＝-1.
（2）直线x＝a与直线l1的交点C为（a，2a＋1），与直线l2的交点D为（a，-a＋4)
∵CD=2,∴＝2，即＝2.∴3a-3＝2或3a-3＝-2,∴a=或.
C 6. -1 7. x1=-1,x2=1 8. A
D 解析:把（3，0）代入y＝kx-b，得3k-b＝0，b＝-3k，由图象知k＜0，解不等式kx＋2b＜0、得x＞，即,∴x>6
-3利用函数图象知无解，的解集为-3所以不等式x（kx＋b）＜0的解集为-3-212.解:（1）∵OB＝3，△AOB的面积为3，∴B（3，0），OA＝2，A（0，－2）。
∴ ∴。∴。又∵OD=6，CD⊥x轴，将x＝6代入，
得y=2,∴C(6,2),∴,∴n=12,∴y=。
（2）当x＞0时，kx+b-<0的解集是0＜x＜6。