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6.1平方根（3）
学习目标：
1、理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根；
2、能正确区分平方根与算术平方根的意义；
3、掌握用平方根运算求某些数的平方根的方法。
学习重点：平方根的概念及求某些数的平方根的方法
学习难点：平方根的概念对符号“ ”意义的理解。
学习过程：
一、新知导入
同学们，你们知道要做一张边长是3分米的方桌面，它的面积是多少吗？
你知道这个问题，转化为数学问题时，是已知什么，求什么的问题吗？
二、新知讲解
1.平方根的概念
活动①：反过来，要做一张面积是3平方分米的方桌面，它的边长是多少分米？
你知道这个问题，转化为数学问题时，是已知什么，求什么的问题吗？
你还能举出类似的等式吗？（学生自主交流，加深对乘方的区别）
活动②：根据上面的研究过程填表：
●归纳：平方根的概念：
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的____．即：如果=a，那么x叫做a的平方根．
例如：3的平方等于9，所以9的平方根是3.
2．认识开平方运算
求一个数的平方根的运算，叫做开平方．完成下表：
通过计算，你发现平方、开平方之间有什么有什么联系吗？（小组交流、然后概括自己的结论）
●归纳：平方与开平方互为_______
例1、求下列各数的平方根。
（1） 100 （2） （3） 0.25
巩固练习：
(1)144的平方根是什么?
(2)0的平方根是什么?
(3)的平方根是什么?
(4) - 4的平方根是什么?为什么?从上面的回答中,你发现了什么?
3.平方根的性质
通过上面的计算，按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题：
正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？
●归纳：平方根的性质
1、一个正数a有_____个平方根,它们互为_____;
2、0只有_____平方根，它是______；
3、负数______平方根.
巩固练习：
判断下列说法是否正确：
（1）－9的平方根是－3； （ ）
（2）49的平方根是7； （ ）
（3）(－2)2的平方根是±2； （ ）
（4）－1 是 1的平方根； （ ）
（5）的平方根是 ±4，16的算术平方根是4.（ ）
4.平方根的符号表示
正数a的算术平方根可用表示；正数a的负的平方根可用-表示．
例如：16的平方根是±4,用符号语言表达为:±±4
25的平方根是±5,用符号语言表达为:±±5
读作 “正、负根号a”
例2、解下列方程：81x2-225=0
巩固练习：
求下列各式中的x：
(1)9x2－25＝0； (2)4(2x－1)2＝36.
例3、说出下列各式的意义，并求它们的值：
（1） （2）- （3）±
通过这节课的学习，我想同学们对平方根有很好的认识了，那你能根据自己的理解，说一说我们学过的平方根与算术平方根的比较。
●归纳：
巩固练习：
1、a的一个平方根是3，则另一个平方根是_________，a=________.
2、81的平方根是___，的算术平方根是_______.
3、3a-2和2a-3是一个正数的两个平方根，则这两个平方根是_____和______，这个数是_____.
已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的平方根是±4，求a＋2b的平方根．
5、一个非负数的平方根是2a－1和a－5，这个非负数是多少？
6、已知a－1和5－2a都是m的平方根，求a与m的值．
三、课堂小结：
1.什么叫平方根？如何表示一个数的平方根？
2.什么叫开平方？开平方与平方是什么关系？
3.如何求一个数的平方根？
4.平方根有什么性质？
5.平方根与算术平方根有什么异同？
四、布置作业
教材48页8、9、10题
当堂测评
1、若x－3是4的平方根，则x的值为( )
A．2 B．±2 C．1或5 D．16
2、若＝2，则2x＋5的平方根是( )
A．2 B．±2 C．3 D．±3
3、用“★”规定新运算：对于任意数a，b，都有a★b＝a2－b，如果x★13＝2，那么x等于( )
A．15 B. C．－ D．±
4、(－6)2的平方根是________．
5、求下列式子中x的值：
(1)49(5－3x)2＝121; (2)2(x－1)2－8＝0.
6、已知2a＋3的平方根是±3，5a＋2b－1的平方根是±4.求3a＋2b的平方根．
7、一天，蚊子落在狮子的身上对它说：“狮子，别看你高大威猛，而实际上我们俩的体重相同！”狮子不屑一顾地对蚊子说：“别瞎说了，那怎么可能！”蚊子不慌不忙地说：“不信，我给你证明一下．”说着，蚊子便在地上写出了证明过程：
证明：设蚊子重m克，狮子重n克．
又设m＋n＝2a，则有m－a＝a－n.
两边平方，即(m－a)2＝(a－n)2.
∵(a－n)2＝(n－a)2，∴(m－a)2＝(n－a)2，
两边开平方，即＝，∴m－a＝n－a，∴m＝n，
即蚊子与狮子一样重．
蚊子的证法对吗？为什么？
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6.1平方根（3）
教学目标：
1、理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根；
2、能正确区分平方根与算术平方根的意义；
3、掌握用平方根运算求某些数的平方根的方法。
教学重点：平方根的概念及求某些数的平方根的方法
教学难点：平方根的概念对符号“ ”意义的理解。
教学过程：
一、新知导入
同学们，你们知道要做一张边长是3分米的方桌面，它的面积是多少吗？（学生回答）
你知道这个问题，转化为数学问题时，是已知什么，求什么的问题吗？
（这是已知底数和指数，求幂的运算即乘方运算）
二、新知讲解
1.平方根的概念
活动①：反过来，要做一张面积是3平方分米的方桌面，它的边长是多少分米？
你知道这个问题，转化为数学问题时，是已知什么，求什么的问题吗？
（实际上就是要求出一个数，使它的平方等于9，即求（ ）2=9显然，括号里应是±3，但－3不符题意.）
∴方桌面的边长应是3分米.
你还能举出类似的等式吗？（学生自主交流，加深对乘方的区别）
活动②：根据上面的研究过程填表：
如果我们把±1、±4、±6、±7、±分别叫做1、16、36、49、的平方根，你能类比算术平方根的概念，给出平方根的概念吗？（学生自主交流、讨论然后用一句话概括。）
●归纳：平方根的概念：
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．即：如果=a，那么x叫做a的平方根．
例如：3的平方等于9，所以9的平方根是3.
2．认识开平方运算
求一个数的平方根的运算，叫做开平方．完成下表：
通过计算，你发现平方、开平方之间有什么有什么联系吗？（小组交流、然后概括自己的结论）
●归纳：平方与开平方互为逆运算
例1、求下列各数的平方根。
（1） 100 （2） （3） 0.25
（注意书写格式）
解：(1) ∵(±10)2＝100，∴100的平方根是±10；
（2）∵(±)2＝100，∴100的平方根是±10；
(3) ∵(±0.5)2＝0.25，∴0.25的平方根是±0.5.
巩固练习：
(1)144的平方根是什么? （答案：±12）
(2)0的平方根是什么? （答案：0）
(3)的平方根是什么? （答案：±）
(4) - 4的平方根是什么?为什么?从上面的回答中,你发现了什么?（答案：没有平方根）
3.平方根的性质
通过上面的计算，按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题：
正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？
（同学们自主讨论，然后归纳自己的结论，最后教师点评）
●归纳：平方根的性质
1、一个正数a有两个平方根,它们互为相反数;
2、0只有一个平方根，它是0本身；
3、负数没有平方根.
巩固练习：
判断下列说法是否正确：
（1）－9的平方根是－3； （ ）×
（2）49的平方根是7； （ ）×
（3）(－2)2的平方根是±2； （ ）√
（4）－1 是 1的平方根； （ ） √
（5）的平方根是 ±4，16的算术平方根是4.（ ）×
4.平方根的符号表示
正数a的算术平方根可用表示；正数a的负的平方根可用-表示．
例如：16的平方根是±4,用符号语言表达为:±±4
25的平方根是±5,用符号语言表达为:±±5
读作 “正、负根号a”
例2、解下列方程：81x2-225=0
提示：1、把x2当作一个整体，求出x2=a；
2、再根据平方根的定义求x.
解：
巩固练习：
1、求下列各式中的x：
(1)9x2－25＝0；
解：9x2＝25，
x2＝，
x＝±.
(2)4(2x－1)2＝36.
解：(2x－1)2＝9，
2x－1＝±3，
2x－1＝3
或2x－1＝－3，
x＝2
或x＝－1.
例3、说出下列各式的意义，并求它们的值：
（1） （2）- （3）±
答案：6 -0.81 ±
通过这节课的学习，我想同学们对平方根有很好的认识了，那你能根据自己的理解，说一说我们学过的平方根与算术平方根的比较。
●归纳：
平方根和算术平方根两者既有区别又有联系．区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。
巩固练习：
1、a的一个平方根是3，则另一个平方根是_________，a=________.
2、81的平方根是___，的算术平方根是_______.
3、3a-2和2a-3是一个正数的两个平方根，则这两个平方根是_____和______，这个数是_____.
答案：-3、9 ±9、3 1、－1、1
4、已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的平方根是±4，求a＋2b的平方根．
解：依题意，得2a－1＝9且3a＋b－1＝16，
∴a＝5，b＝2.
∴a＋2b＝5＋4＝9.
∴a＋2b的平方根为±3.
即±＝±3.
5、一个非负数的平方根是2a－1和a－5，这个非负数是多少？
解：根据题意，得(2a－1)＋(a－5)＝0.
解得a＝2.
∴这个非负数是(2a－1)2＝(2×2－1)2＝9.
6、已知a－1和5－2a都是m的平方根，求a与m的值．
解：根据题意，分以下两种情况：
①当a－1与5－2a是同一个平方根时，
a－1＝5－2a.解得a＝2.
此时，m＝12＝1；
②当a－1与5－2a是两个平方根时，
a－1＋5－2a＝0.解得a＝4.
此时，m＝(4－1)2＝9.
综上所述，当a＝2时，m＝1；当a＝4时，m＝9.
三、课堂小结：
1.什么叫平方根？如何表示一个数的平方根？
2.什么叫开平方？开平方与平方是什么关系？
3.如何求一个数的平方根？
4.平方根有什么性质？
5.平方根与算术平方根有什么异同？
四、布置作业
教材48页8、9、10题
当堂测评
1、若x－3是4的平方根，则x的值为( )
A．2 B．±2 C．1或5 D．16
2、若＝2，则2x＋5的平方根是( )
A．2 B．±2 C．3 D．±3
3、用“★”规定新运算：对于任意数a，b，都有a★b＝a2－b，如果x★13＝2，那么x等于( )
A．15 B. C．－ D．±
4、(－6)2的平方根是________．
5、求下列式子中x的值：
(1)49(5－3x)2＝121; (2)2(x－1)2－8＝0.
6、已知2a＋3的平方根是±3，5a＋2b－1的平方根是±4.求3a＋2b的平方根．
7、一天，蚊子落在狮子的身上对它说：“狮子，别看你高大威猛，而实际上我们俩的体重相同！”狮子不屑一顾地对蚊子说：“别瞎说了，那怎么可能！”蚊子不慌不忙地说：“不信，我给你证明一下．”说着，蚊子便在地上写出了证明过程：
证明：设蚊子重m克，狮子重n克．
又设m＋n＝2a，则有m－a＝a－n.
两边平方，即(m－a)2＝(a－n)2.
∵(a－n)2＝(n－a)2，∴(m－a)2＝(n－a)2，
两边开平方，即＝，∴m－a＝n－a，∴m＝n，
即蚊子与狮子一样重．
蚊子的证法对吗？为什么？
当堂测评答案
1.C [解析] 因为4的平方根是±2，
所以x－3＝2或x－3＝－2，解得x＝5或x＝1.
2.D [解析] 因为＝2，所以x＝2，所以2x＋5＝9，所以2x＋5的平方根是±3.
3.D [解析] 因为x★13＝2，所以x2＝15，所以x＝±.故选D.
4．±6
5.解：(1)整理得(5－3x)2＝，则5－3x＝±，所以5－3x＝或5－3x＝－，
解得x＝或x＝.
(2)整理得(x－1)2＝4，
开方得x－1＝2或x－1＝－2，
解得x＝3或x＝－1.
6.解：由2a＋3的平方根是±3，
得2a＋3＝9，所以a＝3.
由5a＋2b－1的平方根是±4，得5a＋2b－1＝16，
所以b＝1，所以3a＋2b＝11，
所以3a＋2b的平方根是±.
7.解：不对．理由如下：由题设，应有关系式：m＜a＜n，则m－a＜0，n－a＞0，
∴＝a－m，＝n－a，
∴蚊子的证法不对．
【关键问答】
①它们是互为相反数的两个数．
②正数a的平方根是±，正数a的算术平方根是.
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