北师大版八年级下册 1.4《角平分线（一）》课件 共28张

课件28张PPT。1.4 角平分线 (1)
一 学习新知 你能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点的性质吗? 你还记得角平分线上的点有什么性质吗? 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 你能证明这一结论吗?
结合我们前面学习的定理的证明方法，你能 写出这个性质的证明过程吗？ 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.
求证:PD=PE. 分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在△OPD≌△OPE而△OPD≌△OPE的条件由已知易知它满足公理(AAS). 故结论可证.老师期望:你能写出规范的证明过程. 证明：
∵ OC是∠AOB的平分线
∴ ∠1= ∠2
∵ PD⊥OA,PE⊥OB
∴ ∠PDO= ∠PEO
∵OP=OP
∴ △OPD≌△OPE (AAS).
∴ PD=PE
几何语言表示：
定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.如图,
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).′ 你能写出“定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等”
的逆命题吗?
逆命题
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. 它是真命题吗?如果是.请你证明它.已知:如图 所示,
PD=PE, PD⊥OA,
PE⊥OB, 垂足分别
是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上.分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可以先作出过点P的射线OC,然后证明∠POD=∠POE.BACDEOP证明：∵PD⊥OA PE⊥OB
∴△POD和△BPOE都是Rt△
∵PD=PE,OP=OP
∴Rt△POD≌Rt△POE(HL)
∴ ∠POD= ∠POE
∴ OC是∠AOB的平分线 逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离 相等的点,在这个角的平分线上.如图,
∵PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),
∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
例题讲析例1 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.解： ∵DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，
∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.
又∵ ∠BAC=60°，
∴ ∠BAD=30°.
在Rt △ADE中， ∠AED=90°，AD=10，
∴DE= AD= ×10=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
二 挑战自我 1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平 分线和外角平分线,它们有什么关系?老师期望:你能说出结论并能证明它. 2.如图,一目标在A区,到公路,铁路距离相等,离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺 1:20 000). 3. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等. 4.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:EB=FC. 证明: ∵ AD是△ABC的角平分线
且DE⊥AB,DF⊥AC
∴ DE=DF
∵BD=CD
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
∴ EB=EC 5.如图,在△ABC中,已知 AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平线,DE⊥AB,垂足为E.老师期望:你能正确地解答并规范地写出过程.(1)如果CD=4cm, 求AC的长;(2)求证:AB=AC+CD.解（1） ∵ AD是△ABC的角平线, DE⊥AB,
DC⊥AC,
∴DE=CD=4cm
∵AC=BC∴ ∠B=∠BAC(等边对等角)
∵ ∠C=90°∴ ∠B= 45°
∴ ∠BDE= 90°- 45°= 45°∴BE=DE
在等腰直角三角形BDE中 （2）证明：由（1）的求解过程可知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL)
∴ AC=AE.
∵ BE=DE=CD,
∴ AB=AE+BE=AC+CD
四 深入探索已知，如图⊿ABC中，∠ACB的平分线交AB于E，∠ACB的补角∠ACD的平分线为CG，EG∥BC交AC于F，EF会与FG相等吗？为什么？ABCDEFG证明：∵EG为∠ACB的平分线
∴ ∠BCE= ∠ACE
∵CG为∠ACD的平分线
∴ ∠DCG= ∠FCG
∵ EG∥BC
∴ ∠FEC=∠BCE, ∠FGC=∠GCD
从而∠ACE=∠FEC， ∠FGC=∠FCG
∴EF=FC,FC=FG 从而EF=FG

五 回顾与小结定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
∵PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),
∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个 角的平分线上).
习题1.9 1,3题.
祝你成功！ 结束寄语 严格性之于数学家,犹如道德之于人.
证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.