人教版七年级数学下册同步练习附解析：5.3平行线的性质同步练习

5.3平行线的性质
分卷I
一、选择题(共18小题,每小题分,共0分)
1.如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B＝80°，∠C＝(　　)
A． 40°
B． 45°
C． 50°
D． 55°
【答案】C
【解析】∵EF∥BC，∴∠BAF＝180°－∠B＝100°.
∵AC平分∠BAF，∴∠CAF＝∠BAF＝50°，
∵EF∥BC，∴∠C＝∠CAF＝50°.故选C.
2.下列命题是真命题的是(　　)
A． 相等的角是对顶角
B． 若实数a，b满足a2＝b2，则a＝b
C． 若实数a，b满足a＜0，b＜0，则ab＜0
D． 角的平分线上的点到角的两边的距离相等
【答案】D
【解析】A.相等的角是对顶角，是假命题，例如，角平分线把角分成的两个角相等，但不是对顶角，故本选项错误；
B．若实数a，b满足a2＝b2，则a＝b，是假命题，应为a＝b或a＝－b，故本选项错误；
C．若实数a，b满足a＜0，b＜0，则ab＜0，是假命题，应为ab＞0，故本选项错误；
D．角的平分线上的点到角的两边的距离相等是真命题，故本选项正确．
故选D.
3.对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是(　　)
A．a＝3，b＝2
B．a＝－3，b＝2
C．a＝3，b＝－1
D．a＝－1，b＝3
【答案】B
【解析】在A中，a2＝9，b2＝4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
在B中，a2＝9，b2＝4，且－3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题；
在C中，a2＝9，b2＝1，且3＞－1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
在D中，a2＝1，b2＝9，且－1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
故选B.
4.下列命题是假命题的是(　　)
A． 若a＞b，则ac2＞bc2
B． 若a＞b，则a＋c＞b＋c
C． 若ac2＞bc2，则a＞b
D． 若a＞b，b＞c，则a＞c
【答案】A
【解析】A.若a＞b，且c≠0，则ac2＞bc2，故错误；
B．若a＞b，则a＋c＞b＋c，故正确；
C．若ac2＞bc2，则a＞b，故正确；
D．若a＞b，b＞c，则a＞c，故正确；
故选A.
5.对于命题“如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是(　　)
A． ∠1＝50°，∠2＝40°
B． ∠1＝50°，∠2＝50°
C． ∠1＝40°，∠2＝40°
D． ∠1＝45°，∠2＝45°
【答案】D
【解析】A.满足条件∠1＋∠2＝90°，也满足结论∠1≠∠2，故A选项错误；
B．不满足条件，故B选项错误；
C．不满足条件，也不满足结论，故C选项错误；
D．满足条件，不满足结论，故D选项正确．
故选D.
6.下列命题中，属于真命题的是(　　)
A． 互补的角是邻补角
B． 在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C． 同位角相等
D． 在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c
【答案】D
【解析】A.互补的角不一定是邻补角，所以A选项为假命题；
B．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a∥c，所以B选项为假命题；
C．两直线平行，同位角相等，所以C选项为假命题；
D．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a∥c，所以D选项为真命题．
故选D.
7.下列命题：
①负数没有立方根；
②一个实数的立方根不是正数就是负数；
③一个正数或负数的立方根与这个数的符号一致；
④如果一个数的立方根等于它本身，那么它一定是1或0.
其中正确的个数是(　　)
A． 1
B． 2
C． 3
D． 4
【答案】A
【解析】①负数没有立方根，错误；
②一个实数的立方根不是正数就是负数或0，故原命题错误；
③一个正数或负数的立方根与这个数的符号一致，正确；
④如果一个数的立方根等于它本身，那么它一定是±1或0，故原命题错误；
其中正确的是③，有1个；
故选A.
8.下列命题中正确的有(　　)
①相等的角是对顶角； ②在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c；
③同旁内角互补； ④互为邻补角的两角的角平分线互相垂直．
A． 0个
B． 1个
C． 2个
D． 3个
【答案】C
【解析】相等的角不一定是对顶角，①错误；
在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c，②正确；
同旁内角不一定互补，③错误；
互为邻补角的两角的角平分线互相垂直，④正确，
故选C.
9.下列四个命题是真命题的是(　　)
A． 内错角相等
B． 如果两个角的和是180°，那么这两个角是邻补角
C． 在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行
D． 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
【答案】C
【解析】A.内错角相等，假命题；
B．如果两个角的和是180°，那么这两个角是邻补角；假命题；
C．在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行；真命题；
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直；假命题；
故选C.
10.下列命题中：
①有理数和数轴上的点一一对应；
②内错角相等；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行；
④邻补角一定互补．
其中真命题的个数是(　　)
A． 1
B． 2
C． 3
D． 4
【答案】B
【解析】①错误．应该是实数和数轴上的点一一对应；
②错误．应该是两直线平行，内错角相等；
③正确．平行于同一条直线的两条直线互相平行；
④正确．邻补角一定互补；
故选B.
11.下列命题是真命题的个数是(　　)
①平面内不相交的两条直线叫做平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③平行于同一条直线的两条直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
A． 4
B． 3
C． 2
D． 1
【答案】D
【解析】∵在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，
∴选项①不正确；
∵经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
∴选项②不正确；
∵平行于同一条直线的两条直线平行，
∴选项③正确；
∵平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
∴选项④不正确．综上可得，
正确的命题有1个③.
故选D.
12.下列各语句：①对顶角相等吗？②延长线段AB；③内错角相等；④垂线段最短．其中真命题有(　　)
A． 1个
B． 2个
C． 3个
D． 4个
【答案】A
【解析】①对顶角相等吗？不是命题，故①不符合题意，
②延长线段AB不是命题，故②是假命题；
③两直线平行，内错角相等，故③是假命题；
④垂线段最短，是真命题；
故真命题的个数是1.
故选A.
13.如图，有下列命题：①若∠1＝∠2，则∠D＝∠3；②若∠C＝∠D，则∠3＝∠C；③若∠A＝∠F，则∠1＝∠2；④若∠1＝∠2，∠C＝∠D，则∠F＝∠A，其中正确的个数为(　　)
A． 1
B． 2
C． 3
D． 4
【答案】B
【解析】①∵∠1＝∠2，∠1＝∠4，∴∠2＝∠4，∴CE∥DB，
∴∠D＝∠3，故命题①正确；
②若∠C＝∠D，不能得出∠3＝∠C，故命题②错误；
③若∠A＝∠F，则AC∥DF，不能得出∠1＝∠2，故命题③错误；
④若∠1＝∠2，由①可得∠D＝∠3，
∵∠C＝∠D，∴∠3＝∠C，∴DF∥AC，
∴∠F＝∠A，故命题④正确．故选B.
14.“如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B相等”是(　　)
A． 真命题
B． 假命题
C． 定理
D． 以上选项都不对
【答案】B
【解析】如图知∠A和∠B的关系是相等或互补．
∴“如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B相等”是假命题，
故选B.
15.下列命题：
①两直线平行，内错角相等；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③全等三角形对应角相等；④平行四边形的两组对边分别相等．其逆命题成立的个数为(　　)
A． 1
B． 2
C． 3
D． 4
【答案】C
【解析】①“两直线平行，内错角相等”的逆命题为“内错角相等，两直线平行”，此逆命题为真命题；
②“对角线互相平分的四边形是平行四边形的逆命题为“平行四边形的对角线互相平分”，此逆命题为真命题；
③“全等三角形对应角相等”的逆命题为“对应角相等的三角形全等”，此逆命题为假命题；
④“平行四边形的两组对边分别相等”的逆命题为“两组对边分别相等的四边形为平行四边形”，此逆命题为真命题．
故选C.
16.将命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式，正确的是(　　)
A． 如果两个角相等，那么它们是对顶角
B． 如果两个角是对顶角，那么它们相等
C． 如果对顶角，那么相等
D． 如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等
【答案】B
【解析】原命题中“对顶角”为题设，“相等”为结论，
∴变成如果…那么…的形式为B.故选B.
17.下列是四名同学将命题“不能被2整除的整数是奇数”写出“如果…那么…”的形式，其中正确的是(　　)
A． 如果一个整数能被2整除，那么这个数不是奇数
B． 如果一个整数不能被2整除，那么这个数是奇数
C． 如果一个整数是奇数，那么这个数不能被2整除
D． 如果一个整数不是奇数，那么这个数能被2整除
【答案】B
【解析】命题“不能被2整除的整数是奇数”写出“如果…那么…”的形式为如果一个整数不能被2整除，那么这个数是奇数，故选B.
18.命题“垂直与同一条直线的两条直线互相平行”的条件是(　　)
A． 垂直
B． 两条直线
C． 同一条直线
D． 垂直于同一条直线的两条直线
【答案】D
【解析】命题“垂直与同一条直线的两条直线互相平行”的条件是：垂直于同一条直线的两条直线，
故选D.
分卷II
二、填空题(共10小题,每小题分,共0分)
19.下列四个命题中：①对顶角相等；②同旁内角互补；③全等三角形的对应角相等；④两直线平行，同位角相等，其中假命题的有______(填序号)．
【答案】②
【解析】①对顶角相等是真命题；
②同旁内角互补是假命题；
③全等三角形的对应角相等是真命题；
④两直线平行，同位角相等是真命题；
故假命题有②，
故答案为②.
20.命题“对顶角相等”的逆命题是______命题(填“真”或“假”)．
【答案】假
【解析】命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题．
故答案为假．
21.下面有3个命题：①同位角相等；②平行于同一直线的两直线互相平行；③平方后等于4的数一定是2.其中________是真命题(填序号)．
【答案】②
【解析】两直线平行，同位角相等，所以①错误；
平行于同一直线的两直线互相平行，所以②正确；
平方后等于4的数是±2，所以③错误．
故答案为②.
22.已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.
其中正确的是______________．(填写序号)
【答案】①②④
【解析】①在同一个平面内，如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c;
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，
故答案为①②④.
23.下列说法：①所有的实数都可用数轴上的点表示；②两条直线相交所成的四个角中，有三个角相等，则两直线互相垂直；③无理数包括正无理数，0，负无理数；④两条直线被第三条直线所截，同位角相等，其中假命题有______(填上序号)．
【答案】③④
【解析】所有的实数都可用数轴上的点表示，所以①为真命题；
两条直线相交所成的四个角中，有三个角相等，则每个角为90度，所以两直线互相垂直，所以②为真命题；
无理数包括正无理数，负无理数，所以③为假命题；
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以④为假命题．
故答案为③④.
24.命题“两直线平行，内错角相等”的题设是____________________，结论是______________________．
【答案】两条平行线被第三条直线所截　内错角相等．
【解析】题设：两条平行线被第三条直线所截；结论：内错角相等．
25.把命题“相等的角是对顶角”改写成“如果…，那么…”的形式是______________________________________．
【答案】如果两个角相等，那么两个角是对顶角
【解析】∵原命题的条件是：“两个角相等”，结论是：“这两个是对顶角”，
∴命题“对顶角相等”写成“如果…那么…”的形式为：“如果两个角相等，那么两个角是对顶角”，
故答案为如果两个角相等，那么两个角是对顶角．
26.把命题“同位角相等”改写成“如果…那么…”的形式为______________________．
【答案】如果两个角是同位角，那么这两个角相等
【解析】命题“同位角相等”改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等．
故答案为如果两个角是同位角，那么这两个角相等．
27.命题：“如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角”的条件是________________________．
【答案】两个角的和等于180°
【解析】命题：“如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角”的条件是两个角的和等于180°，故答案为两个角的和等于180°.
28.把下列命题写成“如果…那么…”的形式：不能被2整除的数是奇数：____________________________________________.
【答案】如果一个数不能被2整除，那么这个数为奇数．
【解析】不能被2整除的数是奇数写成“如果…那么…”的形式为：如果一个数不能被2整除，那么这个数为奇数．
故答案为如果一个数不能被2整除，那么这个数为奇数．
三、解答题(共12小题,每小题分,共0分)
29.已知命题：“如图，点B、F、C、E在同一条直线上，则AB∥DE.”判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，在不添加其他辅助线的情况下，请添加一个适当的条件使它成为真命题，并加以证明．
【答案】如题图，点B、F、C、E在同一条直线上，则AB∥DE，是假命题，
当添加：∠B＝∠E时，AB∥DE，
理由：∵∠B＝∠E，∴AB∥DE.
【解析】根据平行线的性质与判定分析得出即可．
30.有下列两个命题：命题1：两条平行线被第三条直线所截得的内错角的平分线互相平行；命题2：两条直线被第三条直线所截，同位角相等．
判断上述两个命题是真命题还是假命题？若是真命题，写出已知、求证，画出图形及证明过程；若是假命题，举反例加以说明．
【答案】命题1为真命题．
已知：如图1，AB∥CD，EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，
求证：EM∥FN.
证明：∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠CFE，
∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，∴∠FEM＝∠BEF，∠EFN＝∠CFE，
∴∠FEM＝∠EFN，∴EM∥FN；
命题2为假命题．如图2：∠1＞∠2.
【解析】根据平行线的判定与性质可判断命题1为真命题，然后写出已知、求证，证明过程；利用反例说明命题2为假命题．
31.如图，已知BC、DE相交于点O，给出以下三个判断：①AB∥DE；②BC∥EF；③∠B＝∠E，请你以其中两个判断作为条件，另外一个判断作为结论，写出所有的命题，指出这些命题是真命题还是假命题，并选择其中的一个真命题加以证明．
【答案】(1)若AB∥DE，BC∥EF，则∠B＝∠E，此命题为真命题；
(2)若AB∥DE，∠B＝∠E，则BC∥EF，此命题为真命题；
(3)若∠B＝∠E，BC∥EF，则AB∥DE，此命题真命题；
以第一个命题为例证明如下：
∵AB∥DE，∴∠B＝∠DOC.
∵BC∥EF，∴∠DOC＝∠E.∴∠B＝∠E.
【解析】三个判断任意两个为条件，另一个为结论可写三个命题，然后根据平行线的判定与性质判断这些命题的真假．
32.如图，直线AB和直线CD、直线BE和直线CF都被直线BC所截．在下面三个式子中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．
①AB⊥BC、CD⊥BC，②BE∥CF，③∠1＝∠2.
题设(已知)：________.
结论(求证)：___________.
证明：__________.
【答案】已知：如题图，AB⊥BC、CD⊥BC，BE∥CF.
求证：∠1＝∠2.
证明：∵AB⊥BC、CD⊥BC，∴AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCB，
又∵BE∥CF，∴∠EBC＝∠FCB，∴∠ABC－∠EBC＝∠DCB－∠FCB，
∴∠1＝∠2.
【解析】可以由①②得到③：由于AB⊥BC、CD⊥BC得到AB∥CD，利用平行线的性质得到∠ABC＝∠DCB，又BE∥CF，则∠EBC＝∠FCB，可得到∠ABC－∠EBC＝∠DCB－∠FCB，即有∠1＝∠2.
33.如图，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个作为结论，推出一个正确的命题．(只需写出一种情况)①AB∥CD；②∠1＝∠4；③∠3＝∠2；④MP∥NQ.
【答案】根据题意写出下面的命题：
已知：AB∥CD；∠1＝∠4，
求证：∠3＝∠2.
证明：∵AB∥CD，∴∠EMB＝∠END，
∵∠END＝∠CNF，∴∠EMB＝∠CNF，
∵∠EMB＝∠1＋∠2，∠CNF＝∠3＋∠4，∠1＝∠4，∴∠3＝∠2.
【解析】选取①②作为条件推出结论③即可
34.(1)已知：如图所示，AB∥CD，∠A＝∠C，求证：BC∥AD.
(2)请写出问题(1)的逆命题并判断他是真命题还是假命题，真命题请写出证明过程，假命题举出反例．
【答案】(1)证明：∵AB∥CD(已知)，
∴∠ABE＝∠C(两直线平行，同位角相等)，
∵∠A＝∠C(已知)，
∴∠ABE＝∠A(等量代换)，
∴BC∥AD(内错角相等，两直线平行)．
(2)(1)的逆命题为：
已知：如题图所示，BC∥AD，∠A＝∠C，求证：AB∥CD.(它为真命题)
证明：∵BC∥AD(已知)，
∴∠ABE＝∠A(两直线平行，同位角相等)，
∵∠A＝∠C(已知)，
∴∠ABE＝∠C(等量代换)，
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
【解析】(1)利用平行线的性质，由AB∥CD得到∠ABE＝∠C，再利用∠A＝∠C得到∠ABE＝∠A，然后根据平行线的判定方法可判断BC∥AD；
(2)(1)的逆命题为：已知：如图所示，BC∥AD，∠A＝∠C，求证：AB∥CD，它为真命题，同(1)的证明方法一样．
35.如图，有三个论断①∠1＝∠2；②∠B＝∠D；③∠A＝∠C，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
【答案】已知：∠B＝∠D，∠A＝∠C.
求证：∠1＝∠2.
证明：∵∠A＝∠C，∴AB∥CD.∴∠B＝∠BFC.
∵∠B＝∠D，∴∠BFC＝∠D.∴DE∥BF.∴∠DMN＝∠BNM.
∵∠1＝∠DMN，∠2＝∠BNM，∴∠1＝∠2.
【解析】根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明．
36.如图所示，现有下列4个亊项：
(1)∠1＝∠2，(2)∠3＝∠B，(3)FG⊥AB于G，(4)CD⊥AB于D.
以上述4个事项中的(1)、(2)、(3)三个作为一个命题的己知条件，(4)作为该命题的结论，可以组成一个真命题．请你证明这个真命题．
【答案】∵∠3＝∠B，∴DE∥BC，∴∠1＝∠BCD.
∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠BCD，∴GF∥CD，∴∠CDB＝∠BGF.
∵FG⊥AB，∴∠BGF＝90°，∴∠CDB＝90°，∴CD⊥AB.
【解析】先由平行线的判定定理得出DE∥BC，GF∥CD，再由FG⊥AB于G得出∠BGF＝90°，进而可得出结论．
37.)(1)完成下面的推理说明：
已知：如图，BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD.求证：AB∥CD.
(2)说出(1)的推理中运用了哪两个互逆的真命题．
【答案】(1)∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD(已知)，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD(角平分线的定义)，
∵BE∥CF(已知)，
∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等)，
∴∠ABC＝∠BCD(等量代换)，
∴∠ABC＝∠BCD(等式的性质)，
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
(2)两个互逆的真命题为：
两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行．
【解析】(1)根据平行线的性质，可得∠1＝∠2，根据角平分线的定义，可得∠ABC＝∠BCD，再根据平行线的判定，即可得出AB∥CD；
(2)在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题．
38.已知：三条不同的直线a、b、c在同一平面内：①a∥b；②a⊥c；③b⊥c;④a⊥b.请你用①②③④所给出的其中两个事项作为条件，其中一个事项作为结论(用如果…那么…的形式，写出命题，例如：如果a⊥c、b⊥c、那么a∥b)．
(1)写出一个真命题，并证明它的正确性；
(2)写出一个假命题，并举出反例．
【答案】(1)如果a⊥c，b⊥c，那么a∥b；
理由：如图，
∵a⊥c，b⊥c，∴∠1＝90°，∠2＝90°，∴∠1＝∠2，∴a∥b.
(2)如果a⊥c，b⊥c，那么a⊥b；反例：见上图，如果a⊥c，b⊥c，那么a∥b.
【解析】(1)同一平面内，根据垂直于同一直线的两直线平行；由②③?①；
(2)假命题：②③?④；
39.判断下列命题的真假，是假命题的举出反例．
①两个锐角的和是钝角；
②一个角的补角大于这个角；
③不相等的角不是对顶角．
【答案】①假命题．反例为：30°与40°的和为70°；
②假命题．反例为：120°的补角为60°；
③真命题．
【解析】利用反例可判断①②为假命题；根据对顶角的定义可判断③为真命题．
40.写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．
(1)如果∠α与∠β是邻补角，那么∠α＋β＝180°；
(2)如果一个三角形的两个内角相等，那么这两个内角所对的边相等．
【答案】(1)逆命题为：如果∠α＋β＝180°，那么∠α与∠β是邻补角，此逆命题为假命题；
(2)逆命题为：如果一个三角形的两个内角所对的边相等，那么这两个内角相等，此逆命题为真命题．
【解析】(1)交换原命题中如果和那么后面的部分，即可得到原命题的逆命题，然后根据邻补角的定义判断命题的真假；
(2)交换原命题中如果和那么后面的部分即可得到原命题的逆命题，然后根据等腰三角形的性质判断命题的真假．