苏教版选修1-1课件： 3.4 导数在实际生活中的应用 课件（25张）
文档属性
| 名称 | 苏教版选修1-1课件： 3.4 导数在实际生活中的应用 课件（25张） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 366.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-02-17 21:13:56 | ||
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课件25张PPT。导数在实际生活中的应用学习目标
1.通过实例，初步学会解决生活中的优化问题(如利润最大，用料最省、效率最高等)．
2 .体会导数的广泛应用性及实际应用价值．课前自主学案1．若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)上可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值,其最值一定在_________________处取得．
2．定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为_______.极值点或区间端点最值点1．生活中经常遇到求_________ 、 _________ 、 _________等问题，这些问题通常称为优化问题．
2．解决优化问题的基本思路是：利润最大用料最省效率最高实际问题中若函数在区间内只有一个点，使f′(x)＝0，能否判断此点就是所要求的最值点吗？
提示：能．实际问题中，往往根据问题的性质可以断定可导函数有最大值或最小值，并且一定在定义区间内部取得．这时满足上述条件的点不必判断是否为极值点以及取什么极值，就可断定在此点处取最值．课堂互动讲练解决面积、容积最值问题，要正确引入变量，将面积、容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值． 用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的长比宽长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出最大值．
【思路点拨】 要使容器的容积最大，必须先用变量表示出容积的一个目标函数．总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，那么过一个顶点的三条棱的长度和为3.7 m.∵在定义域内只有一个点x＝1使y′＝0，
∴当x＝1时，y取得最大值ymax＝1.8，此时高为3.2－2＝1.2 m，
因此，容器高为1.2 m时容器的容积最大，最大容积为1.8 m3.
【名师点评】 在求目标函数的最大(小)值时，往往根据问题的性质就可以断定有关可导函数f(x)具有最大(小)值，而且一定在定义区间内部取得，这时如果方程f′(x)＝0在定义域内部只有一个根x0，那么不必讨论f(x0)是否为极值，就可断定f(x0)是最大(小)值．这种情况在解应用题时是常见的．变式训练1 用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成如图所示的容器，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器的高为x cm，容器的容积为V(x) cm3，
则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)
＝4x3－276x2＋4320x(0求V(x)的导数，得
V′(x)＝12x2－552x＋4320
＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)．
令V′(x)＝0，得x1＝10，x2＝36(舍去)．
因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19600(cm3)，
即当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积为19600 cm3.实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节约时间等都是需要利用导数求解相应函数的最小值． (本题满分14分)如图，某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水外理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域；
(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．【名师点评】 选取合适的量为自变量，并确定其取值范围．正确列出函数关系式，然后利用导数求最值，其中把实际问题转化为数学问题，正确列出函数解析式是解题的关键．变式训练2 如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？利润(收益)＝销售额—成本，在有关利润(收益)的问题中，注意应用此公式列出函数关系式，然后利用导数的知识并结合实际问题求出相应最值． 某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
【思路点拨】 先由条件得出利润与单价的关系，建立函数模型，再利用导数知识求解．【解】 (1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f(x)，则依题意有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．
又由已知条件可知，24＝k·22，于是有k＝6，
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,30]．(2)根据(1)，可得f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12).
故x＝12时，f(x)取极大值，因为f(0)＝9072，f(12)＝11664，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．【名师点评】 在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．生活、生产和科研中会遇到许多实际问题，要善于用数学的观点和方法分析问题．求实际问题的最大(小)值，主要步骤如下：
(1)建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0，求出极值点；
(3)比较函数在区间端点和极值点的取值大小，确定其最大(小)者为最大(小)值；
(4)解题时，应该考虑一题多解、方法对比，注意联想、推测有些问题是否有一般性结论．
1.通过实例，初步学会解决生活中的优化问题(如利润最大，用料最省、效率最高等)．
2 .体会导数的广泛应用性及实际应用价值．课前自主学案1．若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)上可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值,其最值一定在_________________处取得．
2．定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为_______.极值点或区间端点最值点1．生活中经常遇到求_________ 、 _________ 、 _________等问题，这些问题通常称为优化问题．
2．解决优化问题的基本思路是：利润最大用料最省效率最高实际问题中若函数在区间内只有一个点，使f′(x)＝0，能否判断此点就是所要求的最值点吗？
提示：能．实际问题中，往往根据问题的性质可以断定可导函数有最大值或最小值，并且一定在定义区间内部取得．这时满足上述条件的点不必判断是否为极值点以及取什么极值，就可断定在此点处取最值．课堂互动讲练解决面积、容积最值问题，要正确引入变量，将面积、容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值． 用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的长比宽长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出最大值．
【思路点拨】 要使容器的容积最大，必须先用变量表示出容积的一个目标函数．总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，那么过一个顶点的三条棱的长度和为3.7 m.∵在定义域内只有一个点x＝1使y′＝0，
∴当x＝1时，y取得最大值ymax＝1.8，此时高为3.2－2＝1.2 m，
因此，容器高为1.2 m时容器的容积最大，最大容积为1.8 m3.
【名师点评】 在求目标函数的最大(小)值时，往往根据问题的性质就可以断定有关可导函数f(x)具有最大(小)值，而且一定在定义区间内部取得，这时如果方程f′(x)＝0在定义域内部只有一个根x0，那么不必讨论f(x0)是否为极值，就可断定f(x0)是最大(小)值．这种情况在解应用题时是常见的．变式训练1 用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成如图所示的容器，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器的高为x cm，容器的容积为V(x) cm3，
则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)
＝4x3－276x2＋4320x(0
V′(x)＝12x2－552x＋4320
＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)．
令V′(x)＝0，得x1＝10，x2＝36(舍去)．
因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19600(cm3)，
即当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积为19600 cm3.实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节约时间等都是需要利用导数求解相应函数的最小值． (本题满分14分)如图，某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水外理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域；
(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．【名师点评】 选取合适的量为自变量，并确定其取值范围．正确列出函数关系式，然后利用导数求最值，其中把实际问题转化为数学问题，正确列出函数解析式是解题的关键．变式训练2 如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？利润(收益)＝销售额—成本，在有关利润(收益)的问题中，注意应用此公式列出函数关系式，然后利用导数的知识并结合实际问题求出相应最值． 某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
【思路点拨】 先由条件得出利润与单价的关系，建立函数模型，再利用导数知识求解．【解】 (1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f(x)，则依题意有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．
又由已知条件可知，24＝k·22，于是有k＝6，
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,30]．(2)根据(1)，可得f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12).
故x＝12时，f(x)取极大值，因为f(0)＝9072，f(12)＝11664，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．【名师点评】 在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．生活、生产和科研中会遇到许多实际问题，要善于用数学的观点和方法分析问题．求实际问题的最大(小)值，主要步骤如下：
(1)建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0，求出极值点；
(3)比较函数在区间端点和极值点的取值大小，确定其最大(小)者为最大(小)值；
(4)解题时，应该考虑一题多解、方法对比，注意联想、推测有些问题是否有一般性结论．