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6.2立方根
学习目标：
1.了解立方根的概念,初步学会用根号表示一个数的立方根.
2.了解立方与开立方互为逆运算,会用立方运算或计算器求某数的立方根.
3.用类比的方法探寻出立方根的运算及表示方法,并能总结出平方根与立方根的异同.
学习重点：立方根的概念及求法.
学习难点：立方根与平方根的区别.
学习过程：
一、新知引入
同学们想一想，根据前面我们学习过的知识，你能回答下列问题吗：
平方根的定义_____________正数a的算术平方根是：_____________
0的平方根是：____________0的算术平方根是：______________
老师在玩魔方的时候遇到这样的一个问题，谁能帮我解答呢？
二、新知讲解
知识1、立方根的定义
如右图：观察探究
二阶魔方由几个小立方体构成_______
三阶魔方由几个小立方体构成_______
四阶魔方由几个小立方体构成_______
如果一个魔方由27个小立方体构成,它应该是几阶魔方?你能经你的猜想转化为数学问题吗？这是一个已知什么，求什么的问题？
上面的例子表明，在实际问题中我们常常遇到，要找一个数，使它的立方等于给定的数.也就是说x3＝a你能类比平方根的定义给出立方根的定义吗？
●归纳：立方根的定义
如果一个数的_____等于a，那么这个数就叫做a的______(cube root，也叫做三次方根)，即：若x3＝a那么x叫做a的立方根．记作：
注意：符号中各自代表的意义、读法：
其中3不能省略，若省略了，它只表示算术平方根
算术平方根实际上是省略了根指数2，也可读作二次根号a
知识2、开立方运算
同学们想一想我们前面学过求一个数的立方，通过你对立方根的理解，完成下列填空，看看你发现了什么？
你能结合开平方说一说，开立方是有一个什么运算，它和邱丽芳之间是什么关系吗？
●归纳：求一个数的立方根的运算，叫做开立方
正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．我们可以根据这种关系求一个数的立方根．
知识3、立方根的性质
根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？
因为______=8?，所以8的立方根是______；
因为______=0.064，所以0.064的立方根是_____；
因为______=0，所以0的立方根是________；
因为______=-8，所以-8的立方根是_____；
因为______=，所以的立方根是______.
根据你的填空，你发现了什么？类比平方根的性质，概括这个规律吗？
●归纳：立方根的性质
正数的立方根是 数,负数的立方根是 数,0的立方根是 .
知识4、立方根与平方根的关系
讨论：你能归纳出平方根和立方根的异同点吗？完成下列填空：
巩固练习：
根据立方根的定义,请学生口述下列问题的结果,并推广到一般规律.
仔细观察，你能得出什么结论？
●归纳：一般的：
三、例题讲解
例1、 求下列各式的值：
巩固练习：
1、判断下列说法是否正确,并说明理由
(1) 的立方根是±
(2) 25的平方根是5
(3) -64没有立方根
(4) -4的平方根是±2
(5) 0的平方根和立方根都是0
2、求下列数的立方根：
3、求下列各式的值：
猜想：50的立方根记作_________
问题：有多大呢？你能类比求的方法求解，并说明原因吗？（学生自主讨论、复习旧知，然后教师点评，最后展示答案）3.6……<<3.7……
如此进行下去，可以得到更精确的的近似数。事实上=3.68403149……，它是一个无限循环小数。你能举出有理数中，还有哪些数是无限循环小数吗？_________________
例2、用计算器求
同学们想一想我们怎么用计算器求的？你能用类似的方法，求吗？
巩固练习：
1、利用计算器计算，把结果填上空格.
通过你的计算，你发现什么？
●结论：当被开方数的小数点向右移动3位时，立方根的小数点只向_____移动_____位；
当被开方数的小数点向左移动3位时，立方根的小数点只向_____移动_____位.
2、观察下面的运算，请你找出其中的规律：
●结论：立方根的基本规律是：
(1)被开方数每扩大________倍，其结果就扩大________倍；
(2)被开方数每缩小________倍，其结果就缩小________倍.反之也成立.
3、估计68的立方根的大小在( )
A.2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间
4、一个正方体的水晶砖，体积为100 cm3，它的棱长大约在( )
A．4～5 cm之间 B．5～6 cm之间
C．6～7 cm之间 D．7～8 cm之间
例3、求下列各式中的x：
(1)8x3＋125＝0; (2)(x＋3)3＋27＝0.
巩固练习：
1、求下列各式的值：
(1)； (2)－；
(3)－＋； (4)－＋.
2、比较下列各数的大小：
(1)与； (2)－与－3.4.
3、求下列各式中x的值：
4、将一个体积为0.216 m3的大立方体铝块改铸成8个一样大的小立方体铝块，求每个小立方体铝块的表面积．
四、当堂小结
按下列问题顺序让学生表达,并补充完善.
1.立方和开立方的意义.
2.正数、0、负数的立方根的特征.
3.立方根与平方根的异同.
五、布置作业
教材52页，习题5、6、7题
当堂测评
1、下列说法正确的是( )
A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B．一个数的立方根比这个数平方根小
C．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
D.与互为相反数
2、下列计算正确的是( )
A.＝0.5 B.＝
C.＝1 D．－＝－
3、用计算器计算的值约为( )
A．3.049 B．3.050
C．3.051 D．3.052
4、若a2＝(－5)2，b3＝(－5)3，则a＋b的值为( )
A．0 B．±10
C．0或10 D．0或－10
5、若x－1是125的立方根，则x－7的立方根是 .
6、若＝－7，则a＝ ． －3的立方根是 ．
7、比较大小：______．
8、求下列各式中x的值：
（1）； （2）．
9、某居民生活小区需要建一个大型的球形储水罐，需储水13.5立方米，那么这个球罐的半径r为多少米(球的体积V＝πr3，π取3.14，结果精确到0.1米)?
10、不用计算器，研究解决下列问题:
（1）已知，且为整数，则的个位数字一定是 ；
∵8000=＜10648＜=27000，∴的十位数字一定是 ；
∴ ；
（2）若，且为整数，按照（1）的思考方法，直接写出的值为 ．
11、请先观察下列等式：
＝2，
＝3，
＝4，
…
(1)请再举两个类似的例子；
(2)经过观察，写出满足上述各式规则的一般公式．
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6.2立方根
教学目标：
1.了解立方根的概念,初步学会用根号表示一个数的立方根.
2.了解立方与开立方互为逆运算,会用立方运算或计算器求某数的立方根.
3.用类比的方法探寻出立方根的运算及表示方法,并能总结出平方根与立方根的异同.
教学重点：立方根的概念及求法.
教学难点：立方根与平方根的区别.
教学过程：
一、新知引入
同学们想一想，根据前面我们学习过的知识，你能回答下列问题吗：
平方根的定义_____________正数a的算术平方根是：_____________
0的平方根是：____________0的算术平方根是：______________
老师在玩魔方的时候遇到这样的一个问题，谁能帮我解答呢？
二、新知讲解
知识1、立方根的定义
如右图：观察探究
二阶魔方由几个小立方体构成_______
三阶魔方由几个小立方体构成_______
四阶魔方由几个小立方体构成_______
如果一个魔方由27个小立方体构成,它应该是几阶魔方?你能经你的猜想转化为数学问题吗？这是一个已知什么，求什么的问题？
（同学们自主解答，然后引出这节课的课题）
上面的例子表明，在实际问题中我们常常遇到，要找一个数，使它的立方等于给定的数.也就是说x3＝a你能类比平方根的定义给出立方根的定义吗？
●归纳：立方根的定义
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根(cube root，也叫做三次方根)，即：若x3＝a那么x叫做a的立方根．记作：
注意：符号中各自代表的意义、读法：
其中3不能省略，若省略了，它只表示算术平方根
算术平方根实际上是省略了根指数2，也可读作二次根号a
知识2、开立方运算
同学们想一想我们前面学过求一个数的立方，通过你对立方根的理解，完成下列填空，看看你发现了什么？
你能结合开平方说一说，开立方是有一个什么运算，它和邱丽芳之间是什么关系吗？
（鼓励学生踊跃发言表述各自总结的结论.）
●归纳：求一个数的立方根的运算，叫做开立方
正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．我们可以根据这种关系求一个数的立方根．
我们知道一个正数的平方根是有两个，它们互为相反数；负数没有平方根，0的平方根是0.那么我们现在学习的立方根是不是也有同样的结论呢？我们一起来探索吧
知识3、立方根的性质
根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？
因为______=8?，所以8的立方根是______；
因为______=0.064，所以0.064的立方根是_____；
因为______=0，所以0的立方根是________；
因为______=-8，所以-8的立方根是_____；
因为______=，所以的立方根是______.
根据你的填空，你发现了什么？类比平方根的性质，概括这个规律吗？
●归纳：立方根的性质
正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0.
知识4、立方根与平方根的关系
讨论：你能归纳出平方根和立方根的异同点吗？完成下列填空：
巩固练习：
根据立方根的定义,请学生口述下列问题的结果,并推广到一般规律.
仔细观察，你能得出什么结论？
●归纳：一般的：
即求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数。
三、例题讲解
例1、 求下列各式的值：
分析：依据立方根的定义,先写出这三个数分别是由哪个数的立方得到的,从而求出立方根.
答案：（1）4 （2） （3）
巩固练习：
1、判断下列说法是否正确,并说明理由
(1) 的立方根是± ×
(2) 25的平方根是5 ×
(3) -64没有立方根 ×
(4) -4的平方根是±2 ×
(5) 0的平方根和立方根都是0 √
2、求下列数的立方根：
3、求下列各式的值：
猜想：50的立方根记作_________
问题：有多大呢？你能类比求的方法求解，并说明原因吗？（学生自主讨论、复习旧知，然后教师点评，最后展示答案）3.6……<<3.7……
如此进行下去，可以得到更精确的的近似数。事实上=3.68403149……，它是一个无限循环小数。你能举出有理数中，还有哪些数是无限循环小数吗？_________________
例2、用计算器求
同学们想一想我们怎么用计算器求的？你能用类似的方法，求吗？
（计算方式差不多，教师只需要提点一下。）
答案：12.26494082
巩固练习：
1、利用计算器计算，把结果填上空格.
通过你的计算，你发现什么？
●结论：当被开方数的小数点向右移动3位时，立方根的小数点只向_____移动_____位；
当被开方数的小数点向左移动3位时，立方根的小数点只向_____移动_____位.
答案：右、1 左、1
2、观察下面的运算，请你找出其中的规律：
●结论：立方根的基本规律是：
(1)被开方数每扩大________倍，其结果就扩大________倍；
(2)被开方数每缩小________倍，其结果就缩小________倍.反之也成立.
答案：1000、10 1000、10
3、估计68的立方根的大小在( )C
A.2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间
4、一个正方体的水晶砖，体积为100 cm3，它的棱长大约在(A)
A．4～5 cm之间 B．5～6 cm之间
C．6～7 cm之间 D．7～8 cm之间
例3、求下列各式中的x：
(1)8x3＋125＝0;
解：8x3＝－125，
x3＝－，
x＝－.
(2)(x＋3)3＋27＝0.
解：(x＋3)3＝－27，
x＋3＝－3，
x＝－6.
巩固练习：
1、求下列各式的值：
(1)；
解：－10.
(2)－；
解：－4.
(3)－＋；
解：－1.
(4)－＋.
解：0.
2、比较下列各数的大小：
(1)与； (2)－与－3.4.
解：>. 解：－＜－3.4.
3、求下列各式中x的值：
4、将一个体积为0.216 m3的大立方体铝块改铸成8个一样大的小立方体铝块，求每个小立方体铝块的表面积．
解：设每个小立方体铝块的棱长为x m，则
8x3＝0.216.
∴x3＝0.027.∴x＝0.3.
∴6×0.32＝0.54(m2)，
即每个小立方体铝块的表面积为0.54 m2.
四、当堂小结
按下列问题顺序让学生表达,并补充完善.
1.立方和开立方的意义.
2.正数、0、负数的立方根的特征.
3.立方根与平方根的异同.
五、布置作业
教材52页，习题5、6、7题
当堂测评
1、下列说法正确的是(D)
A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B．一个数的立方根比这个数平方根小
C．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
D.与互为相反数
2、下列计算正确的是(C)
A.＝0.5 B.＝
C.＝1 D．－＝－
3、用计算器计算的值约为(B)
A．3.049 B．3.050
C．3.051 D．3.052
4、若a2＝(－5)2，b3＝(－5)3，则a＋b的值为(D)
A．0 B．±10
C．0或10 D．0或－10
5、若x－1是125的立方根，则x－7的立方根是－1.
6、若＝－7，则a＝－343． －3的立方根是－．
7、比较大小：______．
答案：＜．
解析：因为，，所以5＜＜6,；因为，，所以10＜＜11．故＜．
8、求下列各式中x的值：
（1）； （2）．
答案：（1）；（2） ．
解析：（1）由立方根的概念，可得，；
（2），由立方根的概念，可得，．
9、某居民生活小区需要建一个大型的球形储水罐，需储水13.5立方米，那么这个球罐的半径r为多少米(球的体积V＝πr3，π取3.14，结果精确到0.1米)?
解：根据球的体积公式，得
πr3＝13.5.解得r≈1.5.
故这个球罐的半径r约为1.5米．
10、不用计算器，研究解决下列问题:
（1）已知，且为整数，则的个位数字一定是 ；
∵8000=＜10648＜=27000，∴的十位数字一定是 ；
∴ ；
（2）若，且为整数，按照（1）的思考方法，直接写出的值为 ．
答案：（1）2 2 22 （2）95．
解析：（1）个位为1的两位数的立方，其个位数为1；个位为2的两位数的立方，其个位数为8；依此类推，可以判断的个位数字一定是2，十位数字一定是2，故10648的立方根为22．（2）按照（1）中的方法可以推测（2）中857375的立方根为95．
11、请先观察下列等式：
＝2，
＝3，
＝4，
…
(1)请再举两个类似的例子；
(2)经过观察，写出满足上述各式规则的一般公式．
解：(1)＝5，＝6.
(2)＝n(n≠1，且n为整数)．
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