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第1课时 全等三角形及等腰三角形的性质 在七年级下学期《三角形》一章中，我们学习了有关三角形全等的几条公理、定理，同学们还记得吗？SSS提出问题，导入新课SASASAAAS全等三角形的对应边相等、对应角相等. SSS、SAS、ASA是公理，不需要证明，是证明其他定理的基本依据，而AAS不是公理，需要证明，你能运用公理证明AAS吗？ AAS：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.公理应用，探求新知证明：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.已知：∠A=∠A′，∠B= ∠B′ ，
BC=B′C′.
求证：△ABC≌△A ′ B ′ C ′.证明：在△ABC和△A′B′C′中，
∵ ∠A=∠A′，∠B= ∠B′ ，
∴ ∠C=∠C′.
又BC=B′C′，
∴ △ABC≌△A′B′C′（ASA）.公理应用，探求新知我们知道，有两条边相等的三角形是等腰三角形，那么，除了有两边相等外，等腰三角形还有哪些性质呢？比如两底角有何数量关系？你能证明你的结论吗？问题引领，归纳新知等腰三角形的两底角相等.实验验证法：
（1）对折法；（2）量角法；（3）剪角重合法.问题引领，归纳新知 猜想的结论仅靠验证是不够的，还需要逻辑推理进行理论证明.怎样进行理论证明呢？回想一下证明的要求和步骤吧！问题引领，归纳新知证明：等腰三角形的两底角相等.已知： 如图，在△ABC 中，AB= AC.
求证：∠B= ∠C .证明：取BC的中点D ，连接AD，
∵ AB=AC， BD=CD ， AD=AD,
∴ △ABD≌△ACD （SSS）.
∴ ∠B= ∠C （全等三角形的对应角相等） . D理论证明法问题引领，归纳新知（1）可以作顶角的平分线；
（2）作底边上的高. 在证明等腰三角形的两底角相等时，是通过作辅助线构造两个全等三角形达到证明两底角相等的目的.刚才的辅助线是作底边上的中线，那么还可以怎样作辅助线也能达到目的？问题引领，归纳新知证明：等腰三角形的两底角相等.已知： 如图，在△ABC 中，AB= AC.
求证：∠B= ∠C .证明：作顶角∠A的平分线，交BC于D ，
∵ AB=AC， ∠ BAD= ∠ CAD ， AD=AD,
∴ △ABD≌△ACD （SAS）.
∴ ∠B= ∠C （全等三角形的对应角相等） . D问题引领，归纳新知证明：等腰三角形的两底角相等.已知： 如图，在△ABC 中，AB= AC.
求证：∠B= ∠C .证明：过点A作底边BC上的高，交BC于D ，
在Rt △ABD和Rt △ACD中，
∵ AB=AC， AD=AD,
∴ △ABD≌△ACD （HL）.
∴ ∠B= ∠C （全等三角形的对应角相等） . D问题引领，归纳新知定理：等腰三角形的两底角相等.
简称：等边对等角.在证明等腰三角形性质的方法中，不论是作顶角的平分线，还是作底边的中线，或者是底边的高线，都能通过两三角形的全等得出：所作辅助线既是顶角平分线，又是底边中线、高线.你能总结出这个性质吗？问题引领，归纳新知问题引领，归纳新知等腰三角形的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.
简称：三线合一.1.在△ABC 中，AB= AC.
（1）若∠A=40°，则∠C等于多少度？
（2）若∠B=72°，则∠A等于多少度？练习巩固，提高能力随堂练习解：（1）∵ AB= AC，∴ ∠B= ∠C.
又∠A=40°，∴ ∠B= ∠C=70°.
（2） ∵ AB= AC，∴ ∠B= ∠C.
又∠B=72° ， ∴ ∠C =72° ，
∴ ∠A= 36°.2.如图，在△ABD中，AC⊥ BD，垂足为C，AC=BC=CD.
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BAD的度数.探究新知证明：（1）∵ AC=BC=CD，
∴ ∠BAC= ∠CBA， ∠DAC= ∠CDA，
∴ ∠CBA = ∠CDA，
∴AB=AD.
∴ △ABD是等腰三角形.2.如图，在△ABD中，AC⊥ BD，垂足为C，AC=BC=CD.
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BAD的度数.探究新知解：（2）∵ AC=BC，
∴ ∠BAC= ∠CBA.
又 AC⊥ BD，∴ ∠ACB= 90°.
∴ ∠BAC= ∠CBA =45°.
同理， ∠DAC= ∠CDA =45°.
∴ ∠BAD= ∠BAC+ ∠DAC=90°. 这节课你学到了什么？谈谈你的收获，并填写个人学后记录.小结与反思教材习题1.1第2，3，4题.布置作业课件18张PPT。
第2课时 等边三角形的性质你能说出各建筑中等腰三角形的作用与性质吗？情境导入等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两底角相等（等边对等角）.
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合（三线合一）.情境导入在等腰三角形中作出一些线段，比如两底角的平分线，它们有何数量上的关系？你能证明吗？探究新性质等腰三角形两底角的平分线相等.证明：等腰三角形两底角的平分线相等.已知：如图，在△ABC 中， AB= AC，BD和CE是△ABC 的角平分线.
求证：BD=CE.证明： ∵ AB=AC，
∴ ∠ABC= ∠ACB（等边对等角）.
∵ BD和CE是△ABC 的角平分线，
∴∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB，∴∠1= ∠2.
在△BDC 和△CEB 中,
∠ACB= ∠ABC， BC=CB， ∠1= ∠2，
∴ △BDC≌△CEB（ASA）.
∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.探究新性质思维拓展 等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？还有其他结论吗？请你证明它们，并与同伴交流.等腰三角形两腰上的中线相等.等腰三角形两腰上的高相等.证明：等腰三角形两腰上的中线相等.已知：如图，在△ABC 中， AB= AC，BD和CE是△ABC 的两腰上的中线.
求证：BD=CE.证明： ∵ AB=AC，
∴ ∠ABC= ∠ACB（等边对等角）.
∵ BD和CE是△ABC两腰上的中线，
∴CD= AC，BE= AB，∴CD= BE.
在△BDC 和△CEB 中，
∠ACB= ∠ABC， BC=CB，CD= BE ，
∴ △BDC≌△CEB（SAS）.
∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.思维拓展证明：等腰三角形两腰上的高相等.已知：如图，在△ABC 中， AB= AC，BD和CE是△ABC 的两腰上的高.
求证：BD=CE.证明： ∵ AB=AC，
∴ ∠ABC= ∠ACB（等边对等角）.
∵ BD和CE是△ABC两腰上的高，
∴ ∠BDC= 90°，∠BEC= 90° .
在△BDC 和△CEB 中，
∠ACB= ∠ABC， BC=CB， ∠BDC=∠BEC，
∴ △BDC≌△CEB（AAS）.
∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.思维拓展如果把等腰三角形两底角的平分线（二等分线）换成三等分线、四等分线，你能得到一个什么结论？如图.变式训练，开拓思路 AB=AC，∠CBD = ∠ABC，∠ ECB = ∠ACB，则BD与CE有何数量关系？BD=CE变式训练，开拓思路 AB=AC，∠CBD = ∠ABC，∠ ECB = ∠ACB，则BD与CE有何数量关系？证明： ∵ AB=AC，
∴ ∠ABC= ∠ACB（等边对等角）.
∵ ∠CBD = ∠ABC，∠ ECB = ∠ACB，
∴∠ CBD = ∠ ECB .
在△BDC 和△CEB 中，
∠ACB= ∠ABC， BC=CB，∠CBD = ∠ECB，
∴ △BDC≌△CEB（ASA）.
∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.变式训练，开拓思路把“等腰三角形两腰上的中线相等”改为“等腰三角形两腰上的三等分线（或四等分线）相等”也成立.思维迁移等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？证明：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.已知： 如图，在△ABC 中，AB= AC= BC.
求证： ∠A= ∠B= ∠C =60°.证明：∵ AB=AC，
∴∠ B=∠C （等边对等角）.
又AC=BC，
∴∠ A=∠B （等边对等角）.
∴∠ A=∠B=∠C .
在△ABC 中，
∵∠ A+∠B+∠C =180°，
∴∠ A=∠B=∠C =60°.思维迁移巩固练习如图，等边三角形ABC 中，三条内角平分线AD，BE，CF相交于O.
（1）△AOB，△BOC，△AOC有何关系？并说明理由.
（2）求∠AOB，∠BOC，∠AOC的度数.巩固练习如图，等边三角形ABC 中，三条内角平分线AD，BE，CF相交于O.
（1）△AOB，△BOC，△AOC有何关系？并说明理由.解：（1）△AOB≌△BOC≌ △AOC，理由如下：
等边三角形ABC 中，∠ ABC= ∠BCA= ∠ CAB =60°.
∵ BE是△ABC的内角平分线，
∴ ∠ ABE= ∠BCE= 30°.
在△ABO和 △CBO中，
AB=CB，∠ABO=∠CBO，BO=BO，
∴ △AOB≌△COB（SAS）.
同理， △AOB≌ △AOC.
∴ △AOB≌△BOC≌ △AOC.巩固练习如图，等边三角形ABC 中，三条内角平分线AD，BE，CF相交于O.
（2）求∠AOB，∠ BOC，∠ AOC的度数.解：（2）由（1）知△AOB≌△BOC≌ △AOC，
∴ ∠ AOB= ∠BOC= ∠ AOC .
∵ ∠ AOB+∠BOC+∠ AOC=360° ，
∴ ∠ AOB= ∠BOC= ∠ AOC =120°.DFOE求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数.巩固练习解：∵ BC= AC， CF是AB上的中线，
∴∠BCF= ∠ABC（等腰三角形三线合一）.
在等边三角形ABC 中， ∠ABC =60°，
∴∠BCF=30°.
同理， ∠CBE=30°.
∴ ∠BOF=∠BCF+ ∠CBE=30°+30°= 60°.已知： 如图，在等边三角形ABC 中，两条边上的中线BE，CF相交于点O.
求：∠BOF的度数.O如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数.巩固练习解：∵ △ADE是等边三角形，
∴ AD=DE=AE， ∠ADE= ∠DEA= ∠DAE =60°.
∵ D，E是BC的三等分点，
∴ BD=DE=EC，∴BD=AD，
∴ ∠ABD= ∠BAD= 30°（三角形的外角性质）.
同理， ∠ ACE= ∠CAE= 30°.
∴ ∠BAC= ∠BAD+ ∠DAE+ ∠BAD
= 30°+ 60°+ 30°= 120°.课件16张PPT。
第3课时 等腰三角形的判定 在前两节课，我们学习了等腰三角形的相关性质. 怎样的一个三角形才是等腰三角形呢？提出问题 前面我们学习了等腰三角形的两底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？合作探究，解决问题有两个角相等的三角形是等腰三角形.证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形.已知：如图，在△ABC 中， ∠B= ∠C.
求证：AB=AC .证明： 作AD⊥BC于点D，
∴ ∠ADB= ∠ADC=90°.
又∵ ∠B= ∠C ， AD=AD，
∴ △ABD≌△ACD.
∴ AB=AC.合作探究，解决问题D合作探究，解决问题等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
简述：等角对等边.应用格式：
∵ ∠B= ∠C，
∴ AB=AC.合作探究，解决问题要判定一个三角形是等腰三角形，除用定义外，还可以用判定定理判定.只要发现一个三角形中有两个角相等，可断定这个三角形是等腰三角形.合作探究，解决问题想一想：
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，即在△ABC 中， 如果 ∠B≠∠C，那么AB≠AC.你认为这个结论成立吗？如果成立，请证明.在△ABC 中， 如果 ∠B≠∠C，那么AB≠AC.证明：在△ABC 中，
已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等.
假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠B=∠C，这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC.合作探究，解决问题反证法证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.合作探究，解决问题你能总结反证法的证明步骤吗？（1）反设：假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立.
（2）归谬：从这个命题出发，经过推理证明得出矛盾.
（3）结论：由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确.合作探究，解决问题反证法的证明步骤：例2.已知：如图，AB= DC，BD=CA. BD与CA相交于点E.
求证： △AED 是等腰三角形.证明： ∵ AB=DC， BD=CA， AD=DA，
∴ △ABD≌△DCA（SSS），
∴ ∠ADB= ∠DAC（全等三角形的对应角相等） .
∴ AE=DE （等角对等边）.
∴ △AED 是等腰三角形.合作探究，解决问题合作探究，解决问题例3.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知： △ABC.
求证： ∠A，∠B， ∠C 中不能有两个角是直角.证明： 假设∠A，∠B， ∠C 中有两个角是直角，
不妨设∠A=∠B=90°，
则∠A+∠B +∠C=90 °+90°+∠C
=180 °+∠C >180°.
这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A=∠B=90°不成立.
所以一个三角形中不能有两个角是直角.1.把下列命题用反证法证明时的第一步写出来.
（1）我每天工作不超过24小时；
（2）我们班有62人，今天出席人数为61，有同学缺席；
（3）初三有730人，有12个班，平均每个班都超过60人；
巩固练习假设我每天工作超过24小时假设没有同学缺席假设平均每个班都不超过60人1.把下列命题用反证法证明时的第一步写出来.
（4）三角形中必有一个内角不小于60度；
（5）一个三角形中不能有两个角是钝角；
（6）同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
巩固练习假设三角形中三个内角都小于60度假设一个三角形中有两个角是钝角假设在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线不平行巩固练习2.如图，在△ABC 中，∠ABC的平分线交 AC于点 D，DE∥BC.
求证： △EBD是等腰三角形.证明：∵ DE∥BC ，
∴∠ DBC= ∠EDB .
又∵ BD是∠ABC的平分线 ，
∴∠ ABD= ∠CBD.
∴∠EDB = ∠ ABD .
∴ BE=ED（等角对等边），
∴ △EBD是等腰三角形. 1.等腰三角形的判定定理：等角对等边.
2.反证法是数学证明方法的一种，虽然比较难理解，但我们仍要想方设法弄懂它.小结课件16张PPT。
第4课时 等边三角形的判定问题设计，导入新课已知：如图，∠ABC，∠ACB的角平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.
（1）找出图中的等腰三角形；
（2）BD，CE，DE之间存在着怎样的关系？
（3）证明以上的结论.△BDF，△CEF DE=CE+BD 问题设计，导入新课已知：如图，∠ABC，∠ACB的角平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.△BDF，△CEF是等腰三角形.
证明：∵ BF是∠ABC的平分线，
∴ ∠ABF= ∠FBC.
又∵ DE∥BC，
∴ ∠BFD= ∠FBC.
∴ ∠ABF= ∠BFD.
∴BD=DF .
∴△BDF是等腰三角形.
同理，△CEF是等腰三角形. 问题设计，导入新课已知：如图，∠ABC， ∠ACB的角平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.DE=CE+BD .
证明：由（1）知△BDF，△CEF是等腰三角形，
∴DB=DF，FE=CE， ∴DE=DF+FE=DB+CE. 你会判断一个三角形是否为等边三角形吗？问题设计，导入新课有三边相等的三角形是等边三角形.（定义） 探索问题：①一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形？
②你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的思路吗？探究新知有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.证明：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.已知：如图，在△ABC 中， AB=AC，∠B= 60°（或∠A=60°）.
求证： △ABC是等边三角形 .证明：在△ABC 中， AB=AC，
∴ ∠B= ∠C.
又∵ ∠B = 60° ，∴ ∠C = 60° ，
∴ ∠A = 60° ，∴ ∠A = ∠B.
∴ BC=AC ，
∴ AB=BC=AC ，
∴ △ABC是等边三角形 .探究新知∠A=60°，你能证明吗？探究新知等边三角形的判定定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.探究新知做一做：用两个含30°角的全等的三角尺，能拼成一个怎样的三角形？能拼成一个等边三角形吗？说说你的理由.能探究新知 在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？ 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.已知：如图，△ABC 是直角三角形， ∠C= 90°，∠A=30°.
求证： BC= AB .证明：在△ABC 中， ∠ACB= 90°，∠BAC=30°，则∠B= 60°.
延长BC至D，使CD=CB，连接AD.
∵ ∠ACB= 90°，∴ ∠ACD= 90°.
∵ AC= AC，
∴ △ABC≌ △ADC （SAS）.
∴ AB=AD（全等三角形的对应边相等） ，
∴ △ABD是等边三角形 ，
∴ BC= BD= AB.探究新知D探究新知定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.例4.求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.证明：在△ABC 中，
∵AB= AC， ∠B=15°，
∴ ∠B= ∠ACB =15°.
∴ ∠DAC= ∠B+ ∠ACB =15°+15°=30°.
∵ CD是腰AB上的高，∴ ∠ADC=90°.
∴ CD= AC. ∴ CD= AB.探究新知已知：如图，在△ABC 中， AB= AC， ∠B=15°. CD是腰AB上的高.
求证： CD= AB.巩固练习如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°， ∠B=60°，CD是△ABC 的高，且BD=1，求AD的长.证明：∵ CD是△ABC 的高，
∴ ∠BDC=90°.
又∵ ∠B=60°，∴∠ BCD= 30°，
∴ BC=2.
∵∠ACB=90°， ∠B=60°，∴∠ A= 30°，
∴ BA=2BC=4.
∴ AD =AB-BD=3. 通过这节课的学习，你学到了什么知识？课堂小结教材第12~13页习题1.4第1，2，3题.布置作业
