人教版数学九年级下册
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第1课时 正 弦
知识梳理 分点训练
知识点1 正弦函数的概念
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sin A的值为( )
A. B. C. D.
2. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，1)和点B(3，0)，则sin∠AOB的值是( )
A. B. C. D.
3. 在Rt△ABC中，∠B=90°. 若AC=2BC，则sin C的值是( )
A. B. 2 C. D.
4. 把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍， 则锐角∠A的正弦值是( )
A. 不变 B. 缩小为原来的
C. 扩大为原来的3倍 D. 不能确定
5. 如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值.
知识点2 正弦的综合应用
6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sin B＝，则AB的长是( )
A. 15 B. 12 C. 9 D. 6
7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sin A＝，则斜边上的高等于( )
A. B. C. D.
8. 将一张矩形纸片ABCD如图那样折起，使顶点C落在C′处，测量得AB=4，DE=8.则sin∠C′ED为( )
A. 2 B. C. D.
第8题 第9题
9. 如图，菱形ABCD的边长为10 cm，DE⊥AB，sin A=，则这个菱形的面积为 cm2.
10. 已知BC是☉O的直径，AD⊥BC，若sin∠ACD=，BD=6，求AB.
课后提升 巩固训练
11. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是( )
A. sin B= B. sin B=
C. sin B= D. sin B=
第11题 第12题
12. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是( )
A. B.
C. D.
13. 如图所示，AB是☉O的弦，半径OA=2，sin A=，则弦AB的长为( )
A. B.
C. 4 D.
第13题 第14题
14. 如图，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在☉A上，BD是☉A的一条弦，则sin∠OBD等于( )
A. B.
C. D.
15. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且c2=4ac－4a2，则sin A的值为( )
A. B. C. D.
16. 如图，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA=，则点B的坐标是 .?
第16题 第17题
17. 如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC的每一个顶点都在网格的交点处，则sinA= .
18. 在△ABC中，∠C=90°，sin A=，△ABC的周长为24 cm，求△ABC各边的长.
19. 如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，记落点为F，求sin∠AFE的值.
20. 如图，已知∠ACB=90°，AC=BC，AD=BE，∠CAD=∠CBE.
(1)判断△DCE的形状，并说明你的理由；
(2)当BD∶CD=1∶2，∠BDC=135°时，求sin∠BED的值.
拓展探究 综合训练
21. 【拓展探究】在Rt△ABC中，∠C=90°，根据正弦的定义求sin2A＋sin2B的值[注：sin2A=(sinA)2].
【创新应用】在Rt△ABC中，∠C=90°，
(1)若sin A=，求sin B的值；
(2)若方程25x2－mx＋12=0的两根是△ABC两锐角的正弦值，求m的值.
参考答案
1. B
2. A
3. C
4. A
5. 解：设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，所以EC==5x，EM==x，CM==2x，所以EM2＋CM2=CE2，所以△CEM是直角三角形，所以sin∠ECM==.
6.A
7. B
8. B
9. 60
10. 解：因为BC为☉O的直径，所以∠BAC=90°，∠BAD＋∠DAC=90°，又因为AD⊥BC，所以∠DAC＋∠ACD=90°，所以∠BAD=∠ACD，sin∠BAD=sin∠ACD=，在Rt△ABD中，sin∠BAD=，所以=，所以AB==10.
11. C
12. D
13. D
14. D
15. A
16. (4，3)
17.
18. 解：因为sin A=，所以=，设BC=3x，AB=5x，则AC==4x，3x＋5x＋4x=24，x=2，所以BC=6 cm，AB=10 cm，AC=8 cm.
19. 解：在矩形ABCD中，DC=AB=10，AD=BC=8，根据折叠的性质，CF=CD=10. 在Rt△BCF中，BF===6，所以AF=AB－BF=4. 设AE=x，则EF=DE=8－x. 在Rt△AEF中，EF2=AE2＋AF2，即(8－x)2=x2＋42，解得x=3，即AE=3，EF=5，所以sin∠AFE==.
20. 解：(1)△DCE是等腰直角三角形. 理由如下：因为AC=BC，∠CAD=∠CBE，AD=BE，所以△ADC≌△BEC，所以DC=EC，∠ACD=∠BCE. 因为∠ACD＋∠BCD=90°，所以∠BCE＋∠BCD=90°，所以△DCE是等腰直角三角形.
(2)因为△DCE是等腰直角三角形，所以∠CDE=45°. 因为∠BDC=135°，所以∠BDE=90°. 因为BD∶CD=1∶2，设BD=x，则CD=2x，DE=2x，BE=3x. 所以sin∠BED==.
21. 解：【拓展探究】
设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，由正弦的定义可得sin2A＋sin2B=＋==1.
【创新应用】
(1)sin B===.
