人教版数学九年级下册
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第2课时 余弦与正切
知识梳理 分点训练
知识点1 余弦和正切
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tan B的值是( )
A. B. 3 C. D. 2
2. 如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cos α的值，错误的是( )
A. B. C. D.
第2题 第3题
3. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cos α的值是( )
A. B. C. D.
4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tan A的值是( )
A. B. C. D.
5. 如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果=，求tan∠DCF的值.
知识点2 锐角三角函数的综合应用
6. 如图，△ABC中，cos B=，sin C=，AC=5，则△ABC的面积是( )
A. B. 12 C. 14 D. 21
第6题 第7题
7. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D 为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan ∠DBC的值为( )
A. B. －1 C. 2－ D.
8. 如果方程x2－4x＋3＝0的两个根分别是Rt△ABC的两条边长，△ABC最小的角为∠A，那么tan A的值为______________．
9. 已知a，b，c是△ABC的三边，a，b，c满足等式b2=(c＋a)(c－a)，且5b－4c=0，求tan A＋tan B的值.
课后提升 巩固训练
10. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB=5，BC=3，则∠A的余弦值是( )
A. B. C. D.
11. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8 cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长是( )
A. 4 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm
第11题 第12题
12. 如图，延长Rt△ABC斜边AB到点D，使BD=AB，连接CD，若tan∠BCD=，则tan A等于( )
A. B. 1 C. D.
13. 如果方程x2－8x＋15=0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为( )
A. B. C. D. 或
14. 一等腰三角形的两边长分别为5 cm和8 cm，则它的底角的余弦值是( )
A. B. 或 C. 或 D. 或
15. 在Rt△ABC中，∠C=90°，tan B=，则cos A= .?
16. 在△ABC中，∠C=90°，△ABC的面积为6，斜边长为6，则tan A＋tan B的值为 .
第16题 第17题
17. 如图，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且sin B=.点E在AC上且AE∶EC=2∶3.则tan∠ADE等于 .?
18. 在△ABC中，AC=2，点D为直线AB上一点，且AB=3BD，直线CD与直线BC所成锐角的正切值为，并且CD⊥AC，则BC的长为 .?
19. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a=3b，求∠A，∠B的三角函数值.
20. 在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是中线，BC=8，CD=5. 求sin∠ACD，cos∠ACD和tan∠ACD.
21. 如图，在8×8的正方形网格中，△CAB和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，AC与网格上的直线相交于点M.
(1)填空：AC= ，AB= ；?
(2)求∠ACB的值和tan∠1的值；
(3)判断△CAB和△DEF是否相似?并说明理由.
拓展探究 综合训练
22. 如图，抛物线y＝－x2＋3x＋4与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3.
(1)求tan∠DBC的值；
(2)点P为抛物线上一点，且∠DBP＝45°，求点P的坐标．
参考答案
1. D
2. C
3. D
4. A
5. 解：由折叠可知CF=BC. 因为四边形ABCD是矩形，所以DC=AB，∠D=90°. 因为=，所以=.设DC=2x，则CF=3x，在Rt△CDF中，DF===x，所以tan∠DCF===.
6. A
7. A
8. 或
9. 解：因为b2=(c＋a)(c－a)，所以b2=c2－a2，即a2＋b2=c2，所以△ABC是以c为斜边的直角三角形. 因为5b－4c=0，所以=，设b=4k，则c=5k，所以Rt△ABC中，a=3k，所以tan A＋tan B=＋=＋=.
10. C
11. A
12. A
13. D
14. D
15.
16. 3
17.
18. 或5
19. 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3b，所以c===b. 所以sin A===，cos A===，tan A===3，sin B===，cos B===，tan B===.
20. 解：如图所示.
因为Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是中线，CD=5，所以AD=5，AB=2CD=10，所以△ADC是等腰三角形，所以∠A=∠ACD. 因为Rt△ABC中，BC=8，AB=10，所以AC===6，所以sin∠ACD=sin A===；cos∠ACD=cos A===；tan∠ACD=tan A===.
21. 解：(1)由勾股定理，得AC==2，AB==2.
(2)BC==2，又由(1)知AC=2，AB=2，所以AC2＋BC2=AB2=40，所以∠ACB=90°，tan∠1==.综上所述，∠ACB的值是90°，tan∠1的值是.
(3)△CAB和△DEF相似. 理由如下：DE=DF==，EF==，则===2，所以△CAB∽△DEF.
22. 解：(1)令x＝0，则y＝4.∴C(0，4)．令y＝0，则－x2＋3x＋4＝0，解得x1＝－1，x2＝4.∴A(－1，0)，B(4，0)．当x＝3时，y＝－32＋3×3＋4＝4，∴D(3，4)．在Rt△OBC中，OC＝OB＝4，∴∠ABC＝45°，BC＝4.连接CD，过D作DE⊥BC于E.∵C(0，4)，∴CD∥AB，∴∠BCD＝∠ABC＝45°.在Rt△CDE中，CD＝3，∴CE＝DE＝，∴BE＝BC－CE＝4－=，∴tan ∠DBC＝=.
