【备考2019中考数学学案】第三单元 函数 专项练习

第三单元 函数
专 项 练 习
类型一 反比例函数与一次函数的综合
1.（2018·河南）如图，反比例函数（k＞0）的图象过格点（网格线的交点）P。
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均满足下列两个条件:①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；②矩形的面积等于k的值。
2.（2018·江西）如图，反比例函数（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a），B两点，点C在第四象限，CA∥y轴，∠ABC＝90°
（1）求k的值及点B的坐标；
（2）求tanC的值。
3.（2018·酒泉）如图，一次函数y＝x＋4的图象与反比例函数（k为常数且k≠0）的图象交于A（-1，a），B两点，与x轴交于点C。
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且S△ACP＝S△BOC求点P的坐标。
4.（2018·枣庄）如图，一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于
A，B两点，且与反比例函数（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C。CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝12。
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；
（3）直接写出不等式kx＋b≤的解集。
5.（2018·聊城）如图，已知反比例函数（x＞0）的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象关于y轴对称，A(1，4)，B(4，m)是函数（x＞0）图象上的两点，连接AB，点C（-2，n）是函数y＝（x＜0）图象上的一点，连接AC，BC。
（1）求m，n的值；
（2）求AB所在直线的表达式；
（3）求△ABC的面积。
6.（2018·攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为(a，6)，AB⊥x轴于点B，cos∠OAB＝，反比例函数y＝的图象的一支分别交AO，AB于点C，D。延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E。已知点D的纵坐标为。
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求直线EB的解析式；
（3）求S△OEB。
类型二 待定系数法求函数解析式
7.（2018·岳阳）如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC⊥y轴，垂足为点C，连接AB， AC。
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式。
8.（2018·常州）如图，已知点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AC⊥x轴，垂足是点C，AC＝OC，一次函数y＝kx＋b的图象经过点A，与y轴的正半轴交于点B。
（1）求点A的坐标；
（2）若四边形ABOC的面积是3，求一次函数y＝kx＋b的表达式。
9.（2017·衡阳）如图，△AOB的顶点A，B分别在x轴、y轴上，∠BAO＝45°，且△AOB的面积为8。
（1）直接写出A，B两点的坐标；
（2）过点A，B的抛物线G与x轴的另一个交点为点C。
①若△ABC是以BC为腰的等腰三角形，求此时抛物线的解析式；
②将抛物线G向下平移4个单位后，恰好与直线AB只有一个交点N，求点N的坐标。
10.（2017·广州）已知抛物线y1＝-x2＋mx＋n，直线y2＝kx＋b，y1的对称轴与y2交于点A（-1，5），点A与y1的顶点B的距离是4。
（1）求y1的解析式；
（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式。
类型三 二次函数与一元二次方程的综合
11.（2016·衢州）已知二次函数y＝x2＋x的图象如图所示。
（1）根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程x2＋x＝1的根在图象上近似地表示出来（描点），并根据图象，写出方程x2＋x＝1的根（精确到0.1）；
（2）在同一直角坐标系中画出一次函数的图象，观察图象写出自变量x取值在什么范围时，一次函数的值小于二次函数的值；
（3）如图，点P是坐标平面上的点，并在网格的格点上，请选择一种适当的平移方法，使平移后二次函数图象的顶点落在P点上，写出平移后二次函数图象的函数解析式，并判断点P是否在函数的图象上，请说明理由。
12.（2017·上海）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝-x2＋bx＋c经过点A（2，2），对称轴是直线x＝1，顶点为B。
（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；
（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，连结AM，用含m的代数式表示
∠AMB的余切值；
（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上。原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP＝OQ，求点Q的坐标。
13.（2018·泰州）平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2-2mx＋m2＋2m＋2的图象与x轴有两个交点。
（1）当m＝-2时，求二次函数的图象与x轴交点的坐标；
（2）过点P（0，m-1）作直线l⊥y轴，二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），求m的范围；
（3）在（2）的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值。
参考答案及解析
类型一 反比例函数与一次函数的综合
1.解:（1）∵点P（2，2）在反比例函数y＝的图象上，∴＝2，即k＝4，∴反比例函数的解析式为y＝。
（2）如图（答案不唯一，正确画出两个矩形即可）。
2.解:（1）把A（1，a）代入y＝2x，得a＝2，所以A（1，2），所以k＝2.
由对称性可知，B（-1，-2）
（2）如图.方法1:设AC交x轴于点D.tan∠ACB＝tan∠AOD＝＝＝2。
方法2:过点B作BF∥AC，过点A作AE⊥FB，垂足为E，则∠ACB＝∠BAE，
所以tan∠ACB＝tan∠BAE＝＝＝2。
3.解:（1）把点A（-1，a）代入y＝x＋4，得a＝3，∴A（-1，3）.
把A（-1，3）代入反比例函数y＝，得k＝-3，∴反比例函数的表达式为y＝。
（2）联立两个函数表达式得，解得，。∴点B的坐标为B（-3，1）.
当y＝x＋4＝0时，得x＝ - 4。∴点C（-4，0）.
设点P的坐标为（x，0）∵S△ACP＝S△BOC，∴×3×｜x-（-4）｜＝××4×1.
即｜x＋4｜＝2，解得x1＝-6，x2＝-2.∴点P（-6，0）或（-2，0）.
4.解:（1）∵OB＝2OA＝3OD＝12，∴OB＝12，OA＝6，OD＝4，∵CD⊥OA，∴DC∥OB，
∴，CD＝20，∴点C（-4，20），B（0，12），A（6，0），∴，
解得，∴一次函数为y＝-2x＋12。∵反比例函数y＝的图象经过C(-4,20)，∴n=-80，∴反比例函数的解析式为y = ；
由 得 或 ，故另一个交点坐标为E（10，-8），过点E作EF⊥CD，垂足为F，则EF =XE - XC＝10-（-4）,∴S△DCE=CD×EF=×20×14=140；
（3）由图象可知kx＋b≤的解集为-4≤x＜0或x≥10。
5.解:（1）由A（1，4），B（4，m）是函数y＝（x＞0）图象上的两点∴4＝，k1＝4.
∴y＝（x＞0），∴m＝＝1。∵y＝（x＞0）的图象与函数y＝（x＜0）的图象关于y轴对称，∴点A（1，4）关于y轴的对称点A1（-1，4）在函数y＝（x＜0）的图象上，∴4＝，k2＝-4，y＝ -（x＜0）。由点C（-2，n）是函数y＝ -（x＜0）图象上的一点，∴。
（2）设AB所在直线的表达式为y＝kx＋b，将A（1，4），B（4，1）分别代入y＝kx＋b，
得，解方程组，得，∴AB所在直线的表达式为y＝-x＋5.
（3）自A、B、C三点分别向x轴作垂线，垂足分别是A′，B′，C′，则CC′＝2，AA′＝4，BB′＝1，C′A′＝3，A′B′＝3，C′B′＝6，
∴S△ABC＝S梯形CC′A′A＋S梯形AA′B′B - S梯形CC′B＇B
＝×（2＋4）×3＋×（4＋1）×3-×（1＋2）×6＝9＋-9＝。
6.解:（1）:cos∠OAB＝，∴。∵AB＝6，∴OA＝10.∴a＝OB＝＝8.
∴D（8，）∴k＝8×＝12∴反比例函数的解析式为y＝。
（2）由点A（8，6）可知直线AE的解析式为y＝。
解方程组，得 或。∴点E的坐标为（-4，-3）.
设直线EB的解析式为y＝kx＋b，则由点B，E的坐标得解得。
∴直线EB的解析式为y＝。
（3）S△OEB＝·OB·｜yE｜＝×8×｜-3｜=12.
类型二待定系数法求函数解析式
7.解:（1）设该反比例函数的解析式为y＝。
∵A（2，3）在该反比例函数图象上.∴3＝，∴k＝6。反比例函数的解析式为。
（2）作AD⊥BC于点D。点B在该反比例函数图象上，设B点的坐标为。
又∵BC⊥y轴，BC＝a.∴AD⊥BC，∴AD＝、∵S△ABC=·BC?AD＝6，
即:?a?（3 - a）＝6。∴a＝6，∴B点的坐标为（6，1)。设直线AB的解析式为y＝kx＋b。
∴，∴，∴直线AB的解析式为y＝-x＋4.
8.解:（1）设点A（x，y）由AC＝OC，可知x＝y又在反比例函数y＝（a＞0）图象上，可得x＝，又x＞0，解得x＝2,∴A（2，2）.
（2）A（2，2）又在一次函数y＝x＋b图象上，得2k＋b＝2，图象与y轴的交点为B，则B（0，b），因而OB＝b，AC＝OC＝2.易知四边形ABOC为形，其面积为S＝（OB＋AC）·OC＝3.
即（b+2）·2=3，解得b=1，又2k＋b=2，解得k=。
∴一次函数的解析式为y＝x＋1。
9.解:（1）A（4，0），B（0，4）
（2）①当点C在点A的左侧时，易知C（-4，0），B（0，4），A（4，0），顶点为B（0，4）时抛物线解析式为y＝ax2＋4，将（4，0）代入得a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2＋4.当点C在点A的右侧时，△ABC是以BC为腰的等腰三角形，这个显然可能，此种情形不存在，
综上所述，抛物线的解析式为y＝x2＋4.
②设过点A（4，0），B（0，4）的抛物线的解析式为:y＝ax2＋bx＋4.把点A的坐标代人得
16a＋4b＋4＝0，所以b＝-4a-1，所以抛物线的解析式为:y=ax2-（4a+1）x+4。
设直线AB的解析式为y＝kx＋m，所以有，解得k=-1，所以直线AB的解析式
为:y＝-x＋4.因为抛物线与直线AB只有一个交点，所以方程组只有一组实数解，所以△＝0，所以a1＝0（不合题意，含去）；a2＝-1.
把a代人原方程组解得x＝2，y＝2，所以点N的坐标为N（2，2）。
10.解:（1）y1的解析式为或。
（2）y2的解析式为或。
类型三 二次函数与一元二次方程的综合
11.解:（1）如图，作出y＝1的图象，得到作图精点。∴x1≈-1.6，x2≈0.6
（2）如图，画直线y＝x＋。观察图象可知x＜-1.5或x＞1时，一次函数的值小于二次函数的值。
（3）向上平移个单位，再向左平移个单位，平移后的顶点坐标为点P（-1，1）
平移后的解析式为y＝（x＋1）2＋1或y＝x2＋2x＋2
把点P（-1，1）代人y＝x＋，得左边＝右边，∴点P在函数y＝x＋的图象上。
12.解:（1）∵抛物线的对称轴为x＝1，∴x＝＝1，即，解得b＝2。
∴y＝-x2＋2x＋c，将A（2，2）代入得:-4＋4＋c＝2，解得c＝2。
∴抛物线的解析式为y＝-x2＋2x＋2。配方得:y＝-x2＋2x＋2＝-（x-1）2＋3，
∴抛物线的顶点坐标为（1，3）
（2）如图所示，过点A作AC⊥BM，垂足为C，则AC=1，C（1,2）。
∵M(1,m),C(1,2),∴MC=m-2。
∴cos∠AMB＝＝m-2.
（3）∵抛物线的顶点坐标为（1，3），平移后抛物线的顶点坐标在x轴上，
∴抛物线向下平移了3个∴平移后抛物线的解析式为y＝-x2＋2x-1，PQ＝3.∵OP＝OQ，
∴点O在PQ的垂直平分线上，又∵QP∥y轴,∴点Q与点P关于x轴对称.
∴点Q的纵坐标为。将y＝代人y＝-x2＋2x-1，得-x2＋2x-1=
解得:x＝或x＝。∴点Q的坐标为（，）或（，）。
13.解:（1）当m＝-2时，函数为y＝x2＋4x＋2，令y＝0，则x2＋4x＋2＝0，
解得x1＝-2＋，x2＝-2-，∴函数图象与x轴交点的坐标为（-2＋，0），（-2-，0）
（2）∵y＝x2-2mx＋m2＋2m＋2＝（x-m）2＋2m＋2，
∴A（m，2m＋2），∵抛物线与x轴有两个交点，且开口向上，
∴点A在x轴下方，由题意得，解得m的取值范围是-3＜m＜-1.
（3）由（2）知抛物线对称轴为直线x＝m，顶点为A（m，2m＋2），∵-3＜m＜-1，
∴A在第三象限.∵B为抛物线对称轴与l的交点，∴B（m，m-1）且点B在点A下方，
∴AB＝2m＋2-（m-1）＝m＋3，∴S△ABO＝(-m)(m＋3)＝,
∴当m＝时，S△ABO最大。
综上，△ABO的面积最大时m的值为。