【备考2019中考数学学案】专题二 规律猜想问题

专题二 规律猜想问题
规律猜想题是根据已知条件中所提供的若干特例，通过观察与猜想、类比与分析、探索与归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都令人感觉耳目一新，解答这类题目，不仅要求考生具备扎实、全面的数学基础知识，而且还要有较强的观察思考、推理探究、演绎归纳能力。
类型一 数式变化规律
【典例1】（2018·咸宁）按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列:…，则这个数列的前2018个数列的和为____________。
【思路导引】观察每个分数，可发现分母均能分解为两个连续整数的乘积，通过裂项拆分求和，会发现除首尾两项外其余项两两相消，易得结果。
【自主解答】
【规律方法】（1）数式类规律问题一般先观察一列数字的规律，观察分析、归纳猜想得出一般性的结论，从而得到问题的答案，观察时注意相邻数字（或式）之间存在的规律，相同位置处的数字变化特征，以及数式与序号之间存在的关系.（2）常见的基本数字规律是:①完全平方数为n2，立方数为n3（进一步熟悉它们±1后的数据）；②球类单循环赛公式为；n个人中每两人各握手一次，握手总次数n（n-1）；n个人中每两人各送贺卡一张，贺卡总为张数为n（n-1）；n边形对角线总条数公式为；③1＋2＋3＋…＋n＝，2＋4＋6＋…＋2n＝n（n＋1）；1＋3＋5＋…＋2n-1＝n2；1，2，4，7，11，…，第n个数为1＋。
针对训练
1.（2018·张家界）观察下列算式:21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256…，则2＋22＋23＋24＋25＋…＋22018的末位数字是（ ）
A.8 B.6 C.4 D.0
2.（2018·泰安）观察“田”字中各数之间的关系:
，则c的值为___________。
3.（2018·黔西南州）根据下列各式的规律，在横线处填空:
，，，，…，
4.（2018·枣庄）将从1开始的连续自然数按如下规律排列:
第1行
1
第2行
2
3
4
第3行
9
8
7
6
5
第4行
10
11
12
13
14
15
16
第5行
25
24
23
22
21
20
19
18
17
…
…
则2018在第_________行。
5.（2018·滨州）观察下列各式:
……
请利用你所发现的规律，
计算，其结果为____________。
6.（2018·广安）为了从2018枚外形相同的金蛋中找出唯一的有奖金蛋，检查员将这些金蛋按1～2018的顺序进行标号，第一次先取出编号为单数的金蛋，发现其中没有有奖金蛋.他将剩下的金蛋在原来的位置上又按1～1009编了号（即原来的2号变为1号，原来的4号变为2号……原来的2018号变为1009号），又从中取出新的编号为单数的金蛋进行检验，仍没有发现有奖金蛋……如此下去，检查到最后一枚金蛋才是有奖金蛋，问这枚有奖金蛋最初的编号是____________。
7.（2018·淄博）将从1开始的自然数按以下规律列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是___________。
8.（2018·娄底）设a1，a2，a3，…是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依次类推，an表示第n个数（n是正整数）.已知a1＝1，4an＝(an＋1-1)2-(an-1)2，则a2018＝__________。
9.（2018·孝感）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，从图中取一列数:1，3，6，10，…，记a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，那么a9＋a11-2a10＋10的值是______。
10.（2018·河北）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着，-5，-2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等。
尝试 （1）求前4个台阶上数的和是多少？
（2）求第5个台阶上的数是多少？
应用 求从下到上前31个台阶上数的和。
发现 试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数。
11.（2018·安徽）观察以下等式:
第1个等式:， 第2个等式:，
第3个等式:， 第4个等式:，
第5个等式:， ……
按照以上规律，解决下列问题:
（1）写出第6个等式:_______________；
（2）写出你猜想的第n个等式:_______________（用含n的等式表示），并证明。
类型二 图形变化规律
【典例2】用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比前一个图案中正三角形的个数多4个，则第n个图案中正三角形的个数为____________（用含n的代数式表示）。
……
【思路导引】可根据图形间的变化规律探寻正三角形个数的变化特征，从而得到结果，也可把每个图形中所含正三角形的个数数出来，然后探究数字规律的结果，若发现正三角形的个数与图形序号之间存在的关系，利用函数知识也可解决问题。
【自主解答】
【规律方法】（1）该类问题常见的解法有三种，一是根据几何图形的变换规律直接求解；二是数一数各图案中所指图形的具体个数，把图形规律转化成数字规律求解；三是借助函数知识求解。
（2）解图形规律探索题的一般步骤:
第一步:写序号:记每组图形的序数为:“1，2，3，…，n”；
第二步:在简单的图形中，求出问题的结果；
第三步:探究所求结果与序数的关系，将这个关系用含有n的式子表示；
第四步:代入n的具体数值，求出第几个图形的相关量的值。
针对训练
12.（2018·济宁）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（ ）
13.（2018·烟台）如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第n个图形中有120朵玫瑰花，则n的值为（ ）
A.28 B.29 C.30 D.31
14.（2018·重庆）把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（ ）
A.12 B.14 C.16 D.18
15.（2018·绍兴）利用如图1的二维码可以进行身份识别.某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0.将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23＋b×2＋c×2＋d×2.如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23＋1×22＋0×21＋1×2°＝5，表示该生为5班学生，表示6班学生的识别图案是（ ）
16.（2018·绥化）将一些圆按照如图方式摆放，从上向下有无数行，其中第一行有2个圆，第二行有4个圆，第三行有6个圆，…按此规律排列下去，则前50行共有圆_________个。
……
17.（2018·徐州）如图，每个图案均有边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多____________个。（用含n的代数式表示）
18.（2018·自贡）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第个
2018个图形中共有___________个○。
19.（2017·桂林）如图，第一个图形中有1个点，第二个图形中有4个点，第三个图形中有13个点，…，按此规律，第n个图形中有________个点。
20.（2018·遵义）每一层三角形的个数与层数的关系如下图所示，则第2018层的三角形个数为_____。
类型三 坐标变化规律
【典例3】（2017·广安）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，……按如图所示放置，点A1，A2，A3，…在直线y＝x＋1上，点C1，C2，C3……在x轴上，则An的坐标是__________。
【思路导引】根据直线解析式与正方形的特征先求A1，A2，A3的坐标，再结合图形规律与数字规律，猜想与探究An的坐标。
【自主解答】
【规律方法】点的坐标变化主要是点所在的图形的位置在发生变化，解决这类问题，先应分析坐标系中的图形的位置变化规律，然后再根据图形的变化规律寻找图形上的点的坐标的变化规律，该类问题是难度较大的一类规律探究问题，它需要先求解出一些点的坐标，然后再探究规律获得所求解的结果.由于该类问题往往计算量较大，故易于粗心出现计算错误，我们应重视计算能力的提升。
针对训练
21.（2018·东营）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…和点B1，B2，B3…分别在直线y＝5x＋b和x轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3…都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），那么点A2018的纵坐标是___________。
22.（2018·葫芦岛）如图，∠MON＝30°，点B1在边OM上，且OB1＝2，，过点B1作B1A1⊥OM交ON于点A1，以A1B1为边在A1B1的右侧作等边三角形A1B1C1，过点C1作OM的垂线分别交OM，ON于点B2，A2，以B2A2为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2，过点C2作OM的垂线分别交OM，ON于点B3，A3，以B3A3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3…，按此规律进行下去，则△AnAn＋1Cn的面积为，__________（用含正整数n的代数式表示）。
参考答案及解析
【典例1】
【自主解答】 解析:∵,…，∴这个数列的前2018个数列的和为
=.
【针对训练】
B 解析:根据上述等式，得2n的末位以四个数（2，4，8，6）依次循环，这四个数和的末位数字是0，2018÷4＝504…2，则22017的末位数字是2，22018的未位数字是4，所以2＋22＋23＋24＋25＋…＋22018的末位数字是6.
270（或28＋14） 3.
4. 45 解析:∵442＝1936，452＝2025，∴2018在第45行.
5.
6. 1024 解析:第1次检查的数是1，3，5，…，2k-1，…
第2次检查的数是2，6，10，…，4k-2（即2（2k-1），…
第3次检查的数是4，12，20，…，8k-4（即22（2k-1），…
第4次检查的数是8，24，40，…，16k-8（即23（2k-1）），…
……
第n次检查的数是2n-1，3×2n-1，5×2n-1，…，2nk-2n-1（即2n-1（2k-1），…
第n次检查后剩余的数是2n。
∵210＜2018＜211，∴检查10次后剩下的一个数是210，即1024。
2018 解析；第45行第1个数是452，第8列的数是452-7＝2018。
4035 解析:可求a1＝1，a2＝3，a3＝5，以此类推，a4＝7,……,a2018=4035。
11 解析:由a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，知an＝1＋2＋3+…+n=，
∴a9=,a10=,a11=。则a9+a11-2a10+10=45+66-2×55+10=11。
解: 尝试:（1）-5-2＋1＋9＝3，
（2）由题意得-2+1＋9＋x＝3，所以x＝-5。
应用:由题意知台阶上的数字每4个一循环，因为31÷4…3，所以7×3＋1-2-5＝15，即从下到上前31个台阶上 数的和是15。
发现:“1”所在的台阶数为4k-1。
11.解:（1）
（2）第n个等式是
证明:∵左边==，右边=1，左边=右边。
∴ 等式成立。
【典例2】
【自主解答】4n＋2 解析:方法1:观察图形可知，第一个图案中有正三角形6个，后面的图案中多出的图形部分与上一个图案重合了两个正三角形，即依次多出4个正三角形，所以第n个图案中正三角形的个数为6＋4（n-1）＝4n＋2（个）
方法2:第1个，第2个，第3个图案中正三角形分别有6个10个，14个，不难发现6＝2＋4×1，10＝2＋4×2，14＝2＋4×3，……，所以第n个图案中有正三角形4n+2个。
方法3：把图案序号看作横坐标，图案中所含正三角形的个数看作纵坐标，可得坐标（1，6），（2，10），（3，14），在坐标系中描点不难发现三点在一条直线上，于是设该直线的解析式为y=2k＋b（k≠0），把（1，6），（2，10）代入，得,解得。所以y＝4x＋2，再把
（3，14)代入验证，满足函数关系,因此，可以确定第n个图案中有正三角形4n＋2（个）。
【针对训练】
12.C 13.C 14.C
15. B 解析:由题知A选项所表示的班级序号为1×23＋0×22＋1×21＋0×20＝10，B选项所表示的班级序号为0×23＋1×22＋1×21＋0×20＝6，C选项所表示的班级序号为1×23+0×22＋0×21＋1×20＝9，D选项所表示的班级序号为0×23＋1×22＋1×21＋1×20＝7.
16. 2550 解析:根据题意得出2＋4＋6＋8-…＋2n＝2（1＋2＋3＋…＋n）
=。
4n+3 18. 6055
19. 解析:1＋3+32+…＋3n-1=。
20. 4035 解析:第n层有（2n-1）个三角形，当n＝2018时，2×2018-1=4035.
【典例3】
【自主解答】 解析：∵点A1，A2，A3，…在直线y＝x＋1上，∴A1的坐标是（0，1），即OA1＝1，∵A1B1C1O为正方形，∴OC1=1，即点A2的横坐标为1，A2的坐标是1，∴A2的坐标是（1，2），A2C1=2.
∴A2B2C2C1为正方形，∴C1C2=2，∴OC2=1+2=3，即点A3的横坐标为3，∴A3的坐标是（3，4）…，观察可以发现：
A1的横坐标是：0=20-1，A1的纵坐标是:1＝20.
A2的纵坐标是:1＝21-1，A2的纵坐标：2=21.
A3的横坐标是:3＝22-1，A3的纵坐标：4=22.
……
据此可以得到An的横坐标是；2n-1-1，纵坐标是:2n-1
【针对训练】
解析：A1(1,1) 在直线y=＋b上，∴b=，∴直线解析式为y＝+.
设直线与x轴、y轴的交点坐标分别为N，M，当x＝0时，y＝，当y＝0时，+＝0，
解得x＝ - 4，∴点M，N的坐标分别为M（0，），N（- 4，0），
∴tan∠MNO＝, 作A1C1⊥x轴于点C1，A2C2⊥x轴于点C2，A3C3⊥x轴于点C3， ∵A1（1，1），OB1＝2A1C1＝2，
∴tan∠MNO＝,
∴A2C2=.同理，A3C3＝，A4C4＝＝（）3,……
依此类推，点A2018的纵坐标是（)2017。
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