第2节 力的分解
【二维选题表】
物理
观念
科学思维
科学
探究
科学态度与
责任
力的分解的
理解与讨论
1(易),2(易),
3(易),4(中)
力的效果分解
5(易),6(易),
7(易),8(中),
10(中),12(难)
5(易),7(易),
8(中),12(难)
力的正交分解
9(易),11(中)
9(易),11(中)
基础训练
1.把一个力分解为两个力的时候,正确的是( C )
A.一个分力变大,另一个分力一定变小
B.两个分力不能同时变大
C.无论如何分解,两个分力不能同时小于这个力的一半
D.无论如何分解,两个分力不能同时大于这个力的2倍
解析:设把一个力F分解为F1,F2两个分力,当F1,F2在一条直线上且方向相反时,则有F=|F1-F2|,当F1变大时,F2也变大,选项A,B错误;F1,F2可以同时大于F的2倍,选项D错误;若将F沿一条直线分解为两个方向相同的力F1,F2,则有F=F1+F2,可知F1,F2不可能同时小于F,选项C正确.
2.(多选)将大小等于5 N的力分解为两个力,其中一个力的大小等于4 N,则另一个力( BC )
A.不可能等于5 N B.可能等于3 N
C.可能等于1 N D.不可能等于4 N
解析:两个共点力的合力大小为5 N,若其中一个分力大小为4 N,根据矢量合成的法则可知,另一个分力的大小范围为1 N≤F≤9 N,所以5 N, 3 N,1 N和4 N都是可能的.故选项A,D错误,B,C正确.
3.如图所示,物体静止于光滑的水平面上,力F作用于物体上的O点,现要使物体所受的合力沿着OO′方向,那么必须同时再加一个力F′,这个力的最小值是( B )
A.Fcos θ B.Fsin θ
C.Ftan θ D.
解析:因合力在OO′方向上,由矢量三角形定则可知,把力F的箭头和线OO′上任一点连起来,这段线段就表示F′,如图所示.由图易得:当F′与合力F合垂直时,即F′与OO′垂直时,F′最小,最小值为Fsin θ.
4.(2017·福建四校高一联考)(多选)如图所示,将力 F 分解为 F1 和 F2两个分力,已知 F1的大小和 F2与 F 之间的夹角α,且α为锐角,则( BCD )
A.当F>F1>Fsin α时,有唯一解
B.当 F1=Fsin α时,有唯一解
C.当 F1D.当 Fsin α解析:当F>F1>Fsin α时,根据平行四边形定则,如图所示,有两组解,故A错误;当F1=Fsin α时,两分力和合力恰好构成三角形,有唯一解.故B正确;F15.生活中的物理知识无处不在,如图是我们衣服上的拉链的一部分,在把拉链拉开的时候,我们可以看到有一个三角形的东西在两链中间运动,使很难直接分开的拉链很容易被拉开.关于其中的物理原理,以下说法中正确的是( A )
A.拉开拉链时,三角形的物体增大了分开拉链的力
B.拉开拉链时,三角形的物体只是为了将拉链分开并没有增大分开拉链的力
C.拉开拉链时,三角形的物体减小了分开拉链的力
D.以上说法均不正确
解析:拉开拉链时,三角形的物体在两链间运动,手的拉力在三角形的物体上产生了两个分力,如图所示,在α角很小的情况下,F1=F2>F,即分力大于手的拉力,所以很难直接分开的拉链很容易地就被三角形的物体分开,故选项A正确.
6.(多选)关于物体的受力分解问题,下列叙述正确的是( ACD )
A.斜面上的物体所受的重力,可以分解为使物体下滑的力和使物体压紧斜面的力
B.斜面上的物体所受的重力,可以分解为使物体下滑的力和物体对斜面的压力
C.水平地面上的物体受到的斜向上的拉力,可以分解为水平向前拉物体的力和竖直向上提物体的力
D.水平地面上的物体受到的斜向下的推力,可以分解为水平向前推物体的力和使物体竖直向下压地面的力
解析:斜面上物体的重力有促使物体压紧斜面的效果和促使物体沿斜面下滑的效果,选项A正确;斜向上的拉力有水平向前拉物体的效果和竖直向上提物体的效果,选项C正确;斜向下的推力,可以分解为水平向前推物体的力和使物体竖直向下压地面的力,选项D正确;力的分解不改变力的性质和受力物体,故选项B错误.
7.(多选)如图所示是李强同学设计的一个小实验,他将细绳的一端系在手指上,细绳的另一端系在直杆的A端,杆的左端顶在掌心上,组成一个“三角支架”.在杆的A端悬挂不同的重物,并保持静止.通过实验会感受到( ACD )
A.细绳是被拉伸的,杆是被压缩的
B.杆对手掌施加的作用力的方向沿杆由C指向A
C.细绳对手指施加的作用力的方向沿细绳由B指向A
D.所挂重物质量越大,细绳和杆对手的作用力也越大
解析:重物所受重力的作用效果有两个,一是拉紧细绳,二是使杆压紧手掌,所以重力可分解为沿细绳方向的力F1和垂直于掌心方向的力F2,如图所示,由三角函数得F1=,F2=Gtan θ,故选项A,C,D正确.
8.如图所示,挑水时水桶上绳子连接状态分别如图中a,b,c三种情况.下列说法中正确的是( A )
A.a状态绳子受力大容易断
B.b状态绳子受力大容易断
C.c状态绳子受力大容易断
D.a,b,c三种状态绳子受力都一样
解析:水桶所受的重力产生两个效果,即沿绳子的两个分力,由平行四边形定则可知,绳子的夹角越大,绳子的分力越大,a绳夹角最大,故a绳易断,选项A正确.
9.已知共面的三个力F1=20 N,F2=30 N,F3=40 N,作用在物体的同一点上,三力之间的夹角均为120°,求合力的大小.
解析:建立如图所示坐标系,由图得
Fx=F2cos 30°-F3cos 30°
Fy=F2 sin 30°+F3 sin 30°-F1
F2=+,解得F=10 N.
答案:10 N
素养提升
10.用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中,如图所示.已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°,则ac绳和bc绳的拉力分别为( A )
A.mg,mg B.mg,mg
C.mg,mg D.mg,mg
解析:对结点c作出受力示意图如图所示.c点受三个力mg,Ta,Tb作用,将重力mg沿bc和ac方向进行分解,由二力平衡条件及平行四边形定则可得:Fa=mgcos 30°=mg=Ta,Fb=mgcos 60°=mg=Tb.所以选项A 正确.
11.(2017·大连高一检测)(多选)如图所示,质量为m的物体在恒力F作用下沿水平地面做匀速直线运动,物体与地面间的动摩擦因数为μ,则物体受到的摩擦力的大小为( BC )
A.Fsin θ
B.Fcos θ
C.μ(mg+Fsin θ)
D.μ(mg-Fsin θ)
解析:先对物体进行受力分析,如图所示,然后对力F进行正交分解,F产生两个效果:使物体水平向前F1=Fcos θ,同时使物体压紧地面F2= Fsin θ.由力的平衡可得F1=f,mg+F2=N,又滑动摩擦力f=μN,即可得f=Fcos θ=μ(mg+Fsin θ).故选项B,C均正确.
12.(2017·黑龙江省大庆市高一月考)榨油在我国已有上千年的历史,较早时期使用的是直接加压式榨油方法.而现在已有较先进的榨油方法,某压榨机的结构示意图如图所示,其中B点为固定铰链,若在A铰链处作用一垂直于壁的力F,则由于力F的作用,使滑块C压紧物体D,设C与D光滑接触,杆的重力及滑块C的重力不计.压榨机的尺寸如图所示,l=0.5 m,b=0.05 m.
求物体D所受压力的大小是F的多少倍.
解析:设AC与水平方向的夹角为θ,将力F按作用效果沿AB和AC两个方向进行分解,作出力的分解图.如图(甲)所示,则有F1cos θ+F2cos θ=F
由于对称性可知F1=F2
可得2F1cos θ=F
则得F1=F2=
再将F2按作用效果分解为FN和FN′,作出力的分解图如图(乙)所示.
则有FN=F2sin θ
联立得到FN=
根据几何知识可以知道tan θ==10
得到FN=5F.
答案:5倍
第2节 力的分解
学习目标
核心提炼
1.知道力的分解和分力的概念，知道力的分解是力的合成的逆运算。
1个概念——力的分解
2种常用分解方法——按效果分解、正交分解法
2个定则——平行四边形定则、三角形定则
2.掌握根据力的作用效果确定分力方向的方法。
3.掌握运用平行四边形定则或三角形定则(直角三角形)的知识计算分力的方法。
一、分力 力的分解
阅读教材第84～85页“分力 力的分解”部分，结合课本图5－15 和图5－16，体会依据力的实际作用效果分解的含义。
1．力的分解：求一个已知力的分力。
2．分解法则：力的分解是力的合成的逆运算，同样遵守平行四边形定则。
3．分解依据：通常依据力的实际作用效果分解。
思维拓展
1．如图1所示，用手将一本厚书托住，并逐渐增加书本与水平面之间的夹角(书与手之间始终保持相对静止)，试体会：
图1
(1)书本所受重力产生了怎样的作用效果？
(2)在书本与水平面之间的夹角逐渐增大时，书本所受重力产生的作用效果怎样变化？
提示 (1)使书本压紧手的力和使书本沿手所在平面下滑的力。
(2)使书本压紧手的力变小，使书本下滑的力增大。
2．某人
图2
通过拉杆正拉着行李箱前行，如图2所示。他对箱子有一个斜向上的拉力，这个力对箱子产生了什么效果？
提示 产生了两个效果：水平方向使箱子前进，竖直方向将箱子向上提起。
二、力的正交分解
阅读教材第85～86页“力的正交分解”部分，结合课本图5－19、5－20体会力的正交分解的使用方法。
在许多情况下，可以把一个力分解为两个互相垂直的分力，这种分解方法叫力的正交分解。正交分解适用于各种矢量。
例如：将力F沿x轴和y轴两个方向分解，如图所示，则Fx＝Fcos_α，Fy＝Fsin_α。
预习完成后，请把你疑惑的问题记录在下面的表格中
问题1
问题2
问题3
对力的分解的讨论
[要点归纳]
1．不受限制条件的分解：一个力分解为两个力，从理论上讲有无数组解。因为以同一条线段为对角线的平行四边形有无穷多个(如图甲、乙所示)。
甲
乙
可见，将已知力F分解为两个等大的分力时，两分力间的夹角越大分力越大。
2．有限制条件的力的分解
(1)已知合力和两个分力的方向时，有唯一解。
(2)已知合力和一个分力的大小和方向时，有唯一解。
(3)已知合力F以及一个分力F1的方向和一另一个分力F2的大小时，若F与F1的夹角为α，有下面几种可能：
①当Fsin α＜F2＜F时，有两解，如图甲所示。
②当F2＝Fsin α时，有唯一解，如图乙所示。
③当F2＜Fsin α时，无解，如图丙所示。
④当F2＞F时，有唯一解，如图丁所示。
[精典示例]
[例1] (多选)把一个已知力F分解，要求其中一个分力F1跟F成30°角，而大小未知；另一个分力F2＝F，但方向未知，则F1的大小可能是( )
A.F B.F C.F D.F
思路点拨 →→
解析 因
Fsin 30°＜F2＜F，所以F1的大小有两种情况，如图所示，FOA＝Fcos 30°＝F，
FAB＝FAC＝＝F，F11＝FOA－FAB＝F，F12＝FOA＋FAC＝F，选项A、D正确。
答案 AD
力的分解的两点技巧
(1)对于力的分解常常需要采用作图法进行定性或定量的分析，看看合力与分力能否构成平行四边形(或三角形)，能构成则此解成立，不能构成则此解不成立。
(2) 将一个已知力分解为一个大小一定，一个方向一定的两个分力时，可能存在三种情况：一解、两解、无解。
[针对训练1] 如图3所示，把竖直向下的90 N的力分解为两个力，一个力在水平方向上且大小为120 N，另一个分力的大小为( )
图3
A．30 N B．90 N C．120 N D．150 N
解析 由题意，
根据平行四边形定则作出力的分解示意图如图所示：
根据勾股定理：
F2＝＝ N＝150 N
故A、B、C错误，D正确。
答案 D
力的效果分解法
[要点归纳]
按实际效果分解的几个实例
实例
产生效果分析
地面上物体受斜向上的拉力F，拉力F一方面使物体沿水平地面前进，另一方面向上提物体，因此拉力F可分解为水平向前的力F1和竖直向上的力F2。F1＝Fcos α，F2＝Fsin α
质量为m的物体静止在斜面上，其重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力F1，二是使物体压紧斜面的分力F2。F1＝mgsin α，F2＝mgcos α
质量为m的光滑小球被竖直挡板挡住而静止于斜面上时，其重力产生两个效果：一是使球压紧挡板的分力F1，二是使球压紧斜面的分力F2。F1＝mgtan α，F2＝
质量为m的光滑小球被悬线挂靠在竖直墙壁上，其重力产生两个效果：一是使球压紧竖直墙壁的分力F1，二是使球拉紧悬线的分力F2。F1＝mgtan α，F2＝
A、B两点位于同一平面上，质量为m的物体被AO、BO两线拉住，其重力产生两个效果：一是使物体拉紧AO线的分力F1，二是使物体拉紧BO线的分力F2。F1＝F2＝
质量为m的物体被支架悬挂而静止，其重力产生两个效果：一是拉伸AB拉伸的分力F1，二是压缩BC的分力F2。F1＝mgtan α，F2＝
[精典示例]
[例2] 如图4所示，一个重为100 N的小球被夹在竖直的墙壁和A点之间，已知球心O与A点的连线与竖直方向成θ角，且θ＝60°，所有接触点和面均不计摩擦。试求小球对墙面的压力F1和对A点压力F2。
图4
思路点拨 分析作用效果→重力产生效果→确定分力方向
解析 小球的重力产生两个作用效果：使球压紧墙壁和使球压紧A点，作出重力及它的两个分力F1′和F2′构成的平行四边形，如图所示。
小球对墙面的压力F1＝F1′＝mgtan 60°＝100 N，方向垂直墙壁向右；小球对A点的压力F2＝F2′＝＝200 N，方向沿OA方向。
答案 见解析
按作用效果分解力的一般思路
[针对训练2] 如图5所示，将光滑斜面上的物体的重力mg分解为F1、F2两个力，下列结论正确的是( )
图5
A．F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力，F2是物体对斜面的正压力
B．物体受mg、N、F1、F2四个力作用
C．物体只受重力mg和弹力N的作用
D．N、F1、F2三个力的作用效果跟mg、N两个力的作用效果不相同
解析 F1、F2都作用在物体上，施力物体都是地球，A错；斜面光滑，所以物体只受重力mg和弹力N的作用，故C正确；F1、F2是重力的两个分力，它们是等效替代的关系，效果相同，不能说物体受4个力的作用，所以B、D错。
答案 C
力的正交分解法
[要点归纳]
把力沿着两个经选定的互相垂直的方向分解叫力的正交分解法，在多个共点力作用下，运用正交分解法的目的是用代数运算公式来解决矢量的运算。在力的正交分解法中，分解的目的是求合力，尤其适用于物体受多个力的情况，力的正交分解的方法和步骤如下：
[精典示例]
[例3] 如图6，已知共面的三个力F1＝20 N、F2＝30 N、F3＝40 N作用于物体的同一点上，三个力之间的夹角都是120°，求合力的大小和方向。
图6
思路点拨 本题既可以用平行四边形定则求合力，也可以采用正交分解的方法求出合力，将每个力向两个相互垂直的方向分解，然后求出这两个方向上的合力，最后求出总的合力。
解析 如图所示，
沿水平、竖直方向建立直角坐标系，把F1、F2正交分解，可得
F1x＝－20sin 30° N＝－10 N。
F1y＝－10 N。
F2x＝－30sin 30° N＝－15 N。
F2y＝30cos 30° N＝15 N，
故沿x轴方向的合力Fx＝F3＋F1x＋F2x＝15 N，
沿y轴方向的合力Fy＝F2y＋F1y＝5 N，
可得这三个力合力的大小F＝＝10 N，
方向与x轴的夹角θ＝arctan ＝30°。
答案 10 N 方向与x轴夹角为30°
正交分解法的应用
(1)建立坐标系的原则：使尽量多的力落在坐标轴上，尽量减少分解力的个数。
(2)正交分解法适用于各种矢量运算，这种方法可以将矢量运算转化为代数运算。
(3)对于运动的物体，通常两坐标轴分别沿物体运动方向和垂直物体运动方向。
[针对训练3] 在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次是19 N、40 N、30 N和15 N，方向如图7所示，求这个四个力的合力。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
图7
解析 建立如图所示直角坐标系，将力F2、F3分解到x、y轴上。
x轴上：Fx＝F1＋F2x－F3x＝F1＋F2cos 37°－F3cos 37°＝19 N＋40×0.8 N－30×0.8 N＝27 N
y轴上：Fy＝F2y＋F3y－F4＝F2sin 37°＋F3sin 37°－F4＝40×0.6 N＋30×0.6 N－15 N＝27 N
所以，合力大小F＝＝ N＝27 N
tan θ＝＝＝1
所以θ＝45°，即与x轴间夹角45°斜向右上。
答案 27 N，方向与x轴间夹角45°斜向右上
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．力的分解是力的合成的逆运算
B．把一个力分解为两个分力，这两个分力共同作用的效果应当与该力作用的效果相同
C．力的合成和力的分解都遵循平行四边形定则
D．分力一定小于合力
解析 力的分解和力的合成都遵循平行四边形定则，互为逆运算，A、C正确；把一个力分解为两个分力，由合力和分力的定义可知，这两个分力共同作用的效果与该力作用的效果相同，B正确；由合力的取值范围|F1－F2|≤F≤F1＋F2可知分力不一定小于合力，D错误。
答案 ABC
2．(多选)在已知的一个力的分解中，下列情况具有唯一解的是( )
A．已知两个分力的方向，并且不在一条直线上
B．已知一个分力的大小和方向
C．已知一个分力的大小和另一个分力的方向
D．已知两分力的大小
解析 已知两分力的方向且不在同一直线上，或一个分力的大小和方向，根据平行四边形定则，只有唯一解，A、B正确；已知一个分力的大小和另一个分力的方向，解不唯一，C错误；已知两分力大小，解也不唯一，D错误。
答案 AB
3．将物体所受重力按力的效果进行分解，下图中错误的是( )
解析 A项中物体重力分解为垂直于斜面使物体压紧斜面的分力G1和沿斜面向下使物体向下滑的分力G2；B项中物体的重力分解为沿两条细绳使细绳张紧的分力G1和G2，A、B项画得正确；C项中物体的重力应分解为垂直于两接触面使物体压紧两接触面的分力G1和G2，故C项画错；D项中物体的重力分解为水平向左使物体压紧墙的分力G1和沿绳向下使绳张紧的分力G2，故D项画得正确。
答案 C
4．已知力F的一个分力F1跟F成30°角，F1大小未知，如图8所示，则另一个分力F2的最小值为( )
图8
A. B.
C．F D．无法判断
解析 由力的三角形定则可知，当力F2与力F1垂直时，F2最小，故F2＝Fsin 30°＝。
答案 A
5．如图9所示，水平地面上的物体重G＝100 N，受到与水平方向成37°角的拉力F＝60 N，支持力N＝64 N，摩擦力f＝16 N，求物体所受的合力及物体与地面间的动摩擦因数。
图9
解析 对四个共点力进行正交分解
，如图所示。
则x方向的合力：
Fx＝Fcos 37°－f
＝60×0.8 N－16 N＝32 N，
y方向的合力：
Fy＝Fsin 37°＋N－G
＝60×0.6 N＋64 N－100 N＝0，
所以合力大小F合＝Fx＝32 N，方向水平向右。
动摩擦因数μ＝＝＝0.25。
答案 32 N，方向水平向右 0.25
