学业分层测评(十二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
1．将一个力F分解为两个力F1和F2，下列说法中错误的是 ( )
A．F是物体实际受到的力
B．F1和F2不是物体实际受到的力
C．物体同时受到F1、F2和F三个力作用
D．F1和F2共同作用的效果与F相同
【解析】 在力的分解中，F是物体实际受到的力．
【答案】 C
2．(多选)下列说法正确的是( )
A．2 N的力可以分解成6 N和3 N的两个分力
B．10 N的力可以分解成5 N和3 N的两个分力
C．2 N的力可以分解成6 N和5 N的两个分力
D．10 N的力可以分解成10 N和10 N的两个分力
【解析】 逆向思维法，根据两个分力的合力的取值范围来判定．如A项中6 N和3 N的合力的范围是3 N≤F≤9 N，故合力不可能是2 N，即2 N的力不能分解为6 N和3 N的两个分力，B选项也不符合．
【答案】 CD
3．如图5-2-8所示，把光滑斜面上的物体所受重力mg分解为F1、F2两个力．图中FN为斜面对物体的支持力，则下列说法正确的是 ( )
图5-2-8
A．F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力
B．物体受到mg、FN、F1、F2共四个力的作用
C．F2是物体对斜面的压力
D．力FN、F1、F2这三个力的作用效果与mg、FN这两个力的作用效果相同
【解析】 F1是重力沿斜面向下的分力，其作用效果是使物体沿斜面下滑，但施力物体不是斜面，故选项A错误；物体受到重力mg和支持力FN两个力的作用，F1、F2是重力的分力，故选项B错误；F2是重力沿垂直于斜面方向的分力，其作用效果是使物体压斜面，F2的大小等于物体对斜面的压力，但两者的受力物体不同，F2的受力物体是物体，物体对斜面的压力的受力物体是斜面，故选项C错误；合力与分力的作用效果相同，故选项D正确．
【答案】 D
4．如图5-2-9所示，质量为10 kg的物体静止在平面直角坐标系xOy的坐标原点，某时刻只受到F1和F2的作用，且F1＝10 N，F2＝10 N，则物体的合力( )
图5-2-9
A．方向沿y轴正方向 B．方向沿y轴负方向
C．大小等于10 N D．大小等于10 N
【解析】 正交分解如图，故物体的合力为10 N，方向沿x轴正向．
【答案】 C
5．如图5-2-10所示是李强同学设计的一个小实验．他将细绳的一端系在手指上，绳的另一端系在直杆的A端，杆的左端顶在掌心上，组成一个“三角支架”．在杆的A端悬挂不同重物，并保持静止．通过实验会感受到什么，不正确的说法是( )
图5-2-10
A．绳子是被拉伸的，杆是被压缩的
B．杆对手掌施加作用力的方向沿杆由C指向A
C．绳对手指施加作用力的方向沿绳由B指向A
D．所挂重物质量越大，绳和杆对手的作用力也越大
【解析】 物体重力的作用效果是：一方面拉紧细绳，另一方面，使杆压紧手掌，故选项A正确；杆对手掌的作用力方向沿杆由A指向C，绳对手指的作用力由B指向A，故选项B错误，选项C正确；将重力分解为沿绳方向的力F1和沿杆方向的力F2，如图所示，由F1＝，F2＝Gtan θ可知，物重G越大，F1 、F2也越大，故选项D正确．
【答案】 B
6．如图5-2-11所示，用细线悬挂一个均质小球靠在光滑竖直墙上．如果把线的长度缩短，则球对线的拉力T、对墙的压力N的变化情况正确的是( )
图5-2-11
A．T、N都不变
B．T减小，N增大
C．T增大，N减小
D．T、N都增大
【解析】 绳对物体的拉力可分解为互相垂直的两分力，如图所示，则T cos α＝mg，T sin α＝N.当绳长变短时，α角增大，cos α减小，所以T增大，N增大，故D正确．
【答案】 D
7．如图5-2-12所示，物体静止于光滑的水平面上，力F作用于物体上的O点，现要使物体所受的合力沿着OO′方向，那么必须同时再加一个力F′，这个力的最小值是( )
图5-2-12
A．Fcos θ B．Fsin θ
C．Ftan θ D．Fcot θ
【解析】 因合力在OO′方向上，由矢量三角形定则可知，把分力F的箭头和线OO′上任一点连起来，这段线段就表示F′，如图所示．由图易得：当F′与合力F合垂直时，即F′与OO′垂直时，F′最小，最小值为Fsin θ.
【答案】 B
8．AB、AC两光滑斜面互相垂直，AC与水平面成30°角，如图5-2-13所示．若把球的重力G按照作用效果分解，则两个分力的大小分别为( )
图5-2-13
A.G和G B.G和G
C.G和G D.G和G
【解析】 对球所受重力进行分解如图所示．
由几何关系得F1＝Gsin 60°＝G，F2＝Gsin 30°＝G，选项A正确．
【答案】 A
[能力提升]
9．三段不可伸长的细绳OA、0B、OC能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，如图5-2-14所示，其中OB是水平的，A端、B端都固定，若逐渐增加C端所挂物体的质量，则最先断的绳( )
图5-2-14
A．必定是OA
B．必定是OB
C．必定是OC
D．可能是OB，也可能是OC
【解析】 由力的分解图知F1最大，故OA先断，A正确．
【答案】 A
10．如图5-2-15所示，是斧头劈木柴的剖面图，其中BC边为斧头背，AB、AC边为斧头的刀面．要使斧头容易劈开木柴，斧头应该( )
图5-2-15
A．BC边与AB、AC边都短一些
B．BC边长一些，AB、AC边短一些
C．BC边短一些，AB、AC边长一些
D．BC边长一些，AB、AC边也长一些
【解析】 把斧头所受的向下的力F按力的实际作用效果沿垂直AB、AC边的两个方向分解为F1和F2，设BC与AC成 θ角，由图可知F1＝F2，F＝2F1cos θ，所以F1＝F2＝.要使木柴容易劈开，应使F1和F2大一些，则θ应大一些，因此BC边应短一些，AB、AC边应长一些，故C正确．
【答案】 C
11．如图5-2-16所示，在水平地面上有一重为G＝200 N的货箱，货箱与水平地面之间的动摩擦因数为μ＝0.2，今在货箱上施加一个与水平面成37°角斜向上的拉力作用，使其沿水平方向运动，若这一拉力F＝100 N，求货箱受到的合力．(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
图5-2-16
【解析】 货箱共受到四个力的作用：竖直向下的重力G、地面对货箱竖直向上的支持力N、斜向上的拉力F、与地面的滑动摩擦力f，其受力图如图所示，
正交分解得，
竖直方向：N＋Fsin 37°－G＝0①
水平方向Fx合＝Fcos 37°－f②
且f＝μN③
联立①②③得Fx合＝52 N
由于竖直方向合外力为零，所以货箱所受合外力F合＝Fx合＝52 N，方向水平向右．
【答案】 52 N，方向水平向右
12．如图5-2-17所示，光滑斜面的倾角为θ，有两个相同的小球分别用光滑挡板A、B挡住，挡板A沿竖直方向，挡板B垂直于斜面，则两挡板受到小球的压力大小之比为多大？斜面受到两小球的压力大小之比为多大？
图5-2-17
【解析】 对小球1所受的重力来说，其效果有二：第一，使小球沿水平方向挤压挡板；第二，使小球垂直压紧斜面．因此，力的分解如图甲所示，由此可得两个分力的大小分别为F1＝Gtan θ，F2＝G/cos θ
甲 乙
对于小球2所受的重力G来说，其效果有二：第一，使小球垂直挤压挡板；第二，使小球垂直压紧斜面．因此，力的分解如图乙所示，由此可得两个分力的大小分别为F3＝Gsin θ，F4＝Gcos θ
挡板A、B受到小球的压力之比为F1∶F3＝1∶cos θ，斜面受到两小球的压力之比为F2∶F4＝1∶cos2θ.
【答案】 1∶cos θ 1∶cos2θ
第2节 力的分解
学 习 目 标
知 识 脉 络
1.理解力的分解和分力的概念．
2．理解力的分解是力的合成的逆运算，会用平行四边形定则求分力，会用直角三角形计算分力．(重点)
3．掌握力的正交分解的方法．(重点)
4．会用力的分解分析生产和生活中的实际问题．(难点)
分力、力的分解
[先填空]
1．分力：力F1、F2共同作用的效果，若与某一个力F的作用效果完全相同，力F1、F2即为力F的分力．
2．力的分解
(1)定义：
求一个已知力的分力叫做力的分解，是力的合成的逆运算．
(2)分解法则：
平行四边形定则——把已知力F作为平行四边形的对角线，与力F共点的平行四边形的两个邻边就表示力F的两个分力F1和F2.
(3)分解依据
通常依据力的实际作用效果进行分解．
[再判断]
1．一个力只能分解为一组分力．(×)
2．力的分解遵循平行四边形定则．(√)
3．某个分力的大小不可能大于合力．(×)
[后思考]
已知一个力，把它分解为两个力，如果没有其他条件限制，可分解为多少对分力？
【提示】 合力是平行四边形的对角线，没有其他条件限制，相当于以这条边为对角线作平行四边形，可作无数个，故可分解为无数对分力，如图所示．
[合作探讨]
为了行车方便和安全，高大的桥往往有很长的引桥．
图5-2-1
探讨1：在引桥上，汽车重力有什么作用效果？
【提示】 汽车重力的两个作用效果是垂直桥面向下使汽车压斜面和沿桥面向下使汽车下滑或阻碍汽车上行．
探讨2：从力的分解的角度分析，引桥很长有什么好处？
【提示】 高大的桥建造很长的引桥可以减小汽车重力沿斜面向下的分力，使行车更安全．
[核心点击]
1．力的分解原则
(1)一个力分解为两个力，从理论上讲有无数组解．因为同一条对角线可以构成的平行四边形有无穷多个(如图5-2-2所示)．
图5-2-2
(2)把一个力分解成两个分力，仅是一种等效替代关系，不能认为在这两个分力方向有两个施力物体(或受力物体)．
图5-2-3
(3)也不能错误地认为F2就是物体对斜面的压力，因为F2不是斜面受到的力，且性质与压力不同，仅在数值上等于物体对斜面的压力．
(4)实际分解时，按力的作用效果可分解为两个确定的分力．
2．实际分解时，按力的作用效果可分解为两个确定的分力
(1)力的分解的思路
(2)按实际效果分解的几个实例：
实例
分析
(1)拉力F的效果：
①使物体沿水平地面前进(或趋势)
②向上提物体
(2)两个分力：水平向前的力F1和竖直向上的力F2.F1＝Fcos α，F2＝Fsin α
(1)重力的两个效果：
①使物体具有沿斜面下滑(或趋势)的分力F1
②使物体压紧斜面的分力F2
(2)分力大小：F1＝mgsin α，F2＝mgcos α
(1)重力的两个效果：
①使球压紧板的分力F1
②使球压紧斜面的分力F2
(2)分力大小：F1＝mgtan α，F2＝
(1)重力的两个效果：
①使球压紧竖直墙壁的分力F1
②使球拉紧悬线的分力F2
(2)分力大小：F1＝mgtan α，F2＝
(1)重力的两个效果：
①对OA的拉力F1
②对OB的拉力F2
(2)分力大小：F1＝mgtan α，F2＝
(1)重力的两个效果：
①拉伸AB的分力F1
②压缩BC的分力F2
(2)分力大小：F1＝mgtan α，F2＝
1．(多选)如图5-2-4所示，将力F分解为F1、F2两个分力，则以下说法正确的是( )
图5-2-4
A．F1、F2的合力就是F
B．由F求F1、F2叫力的分解，由F1、F2求F叫力的合成
C．力的合成和分解都遵从平行四边形定则
D．F1、F2、F的大小关系应满足|F1－F2|≤F≤F1＋F2
【解析】 将F分解为F1和F2，则F1、F2是F的分力，F是F1、F2的合力；力的合成与分解互为逆运算，都遵从平行四边形定则；合力与分力的大小关系应满足|F1－F2|≤F≤F1＋F2.综上所述，A、B、C、D均正确．
【答案】 ABCD
2．将物体所受重力按力的效果进行分解，下图中错误的是( )
【解析】 A项中物体重力分解为垂直于斜面使物体压紧斜面的分力G1和沿斜面向下使物体向下滑的分力G2；B项中物体的重力分解为沿两条细绳使细绳张紧的分力G1和G2，A、B项画得正确．C项中物体的重力应分解为垂直于两接触面使物体紧压两接触面的分力G1和G2，故C项画错．D项中物体的重力分解为水平向左压紧墙的分力G1和沿绳向下使绳张紧的分力G2，故D项画得正确．
【答案】 C
3．(多选)把一个已知力F分解，要求其中一个分力F1跟F成30°角，而大小未知；另一个分力F2＝F，但方向未知，则F1的大小可能是( )
A.F B.F
C.F D.F
【解析】 由平行四边形定则可知，把分力F2平行移到对边位置，则分力F1、F2与合力F构成一个三角形，利用三角形知识可方便求解．
因F>F>，由图可知，F1的大小有两个可能值．在Rt△OAF中，＝Fcos 30°＝F.
在Rt△F1AF中＝＝F.
由对称性可知，＝＝F.则F1＝－＝F；F′1＝＋＝F.故本题正确选项为A、D.
【答案】 AD
力分解时解的情况讨论
力的分解会出现有解或无解，简单地说，就是代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段是否构成平行四边形(或三角形)．若可以构成平行四边形(或三角形)，说明合力可以分解成给定分力，即有解；若不能，则无解．具体讨论如下：
条件
已知示意图
分解示意图
解的情况
已知两个分
力的方向
唯一解
已知一个
分力的大
小和方向
唯一解
已知两个
分力的大小
(同一平面内)
两解
已知合力的
大小和方向
以及它的一
个分力的大
小和另一个
分力的方向
①F2无解
②F2＝Fsin θ
唯一解
③Fsin θ两解
④F2≥F
唯一解
力 的 正 交 分 解
[先填空]
1．定义：把一个力分解为两个互相垂直的分力的方法，如图5-2-5所示．
图5-2-5
2．公式：Fx＝Fcos_θ，Fy＝Fsin_θ.
3．适用：正交分解适用于各种矢量运算．
4．优点：将矢量运算转化成坐标轴方向上的标量运算．
[再判断]
1．力的正交分解是指把一个力分解为水平和竖直两个方向互相垂直的分力的方法．(×)
2．正交分解仅适用于矢量运算．(√)
3．当物体受多个力作用时，常用正交分解法进行力的运算．(√)
[后思考]
采用正交分解法时，建立直角坐标的原则是什么？
【提示】 为了简化问题，应使尽可能多的力落在坐标轴上，当物体在某一方向上有明显的不平衡或有加速度时，应考虑将这一方向落在坐标轴上．
[合作探讨]
探讨1：采用正交分解法建立的坐标轴一定是水平和竖直两个方向吗？
【提示】 不一定，坐标轴的建立是任意的．
探讨2：什么情况下适合应用正交分解法？
【提示】 物体受力个数大于三个一般要用正交分解法．
[核心点击]
1．正交分解的适用情况：适用于计算三个或三个以上共点力的合成．
2．正交分解的目的：将力的合成化简为同向、反向或垂直方向的分力，便于运用普通代数运算公式解决矢量的运算，“分”的目的是为了更好地“合”．
3．力的正交分解的依据：分力与合力的等效性．
4．正交分解的基本步骤
(1)建立坐标系
以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力落在坐标轴上．
图5-2-6
(2)正交分解各力
将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图5-2-6所示．
(3)分别求出x轴、y轴上各分力的合力，即：
Fx＝F1x＋F2x＋…
Fy＝F1y＋F2y＋…
(4)求共点力的合力
合力大小F＝，合力的方向与x轴的夹角为α，则tan α＝，即α＝arctan .
4．已知竖直平面内有一个大小为10 N的力作用于O点，该力与x轴正方向之间的夹角为30°，与y轴正方向之间的夹角为60°.现将它分解到x轴和y轴方向上，则 ( )
A．Fx＝5 N，Fy＝5 N
B．Fx＝5 N，Fy＝5 N
C．Fx＝5 N，Fy＝5N
D．Fx＝10 N，Fy＝10 N
【解析】 画出坐标系及受力情况，如图所示．Fx＝Fcos 30°＝5 N，Fy＝Fsin 30°＝5 N．故选项B正确．
【答案】 B
5．如图5-2-7所示，力F1、F2、F3、F4在同一平面内构成共点力，其中F1＝20 N，F2＝20 N，F3＝20 N，F4＝20 N，各力之间的夹角在图中已标出．求这四个共点力合力的大小和方向．
图5-2-7
【解析】 以F2的方向为x轴的正方向，建立直角坐标系，如图所示．将F1、F3、F4向两坐标轴上分解得
F1x＝F1cos 60°＝20× N＝10 N，
F1y＝F1sin 60°＝20× N＝10 N，
F3x＝F3cos 45°＝20× N＝20 N，
F3y＝－F3sin 45°＝－20× N＝－20 N，
F4x＝－F4sin 60°＝－20× N＝－30 N，
F4y＝－F4cos 60°＝－20× N＝－10 N.
四个力在x轴上的合力为Fx＝F1x＋F2＋F3x＋F4x＝20 N，
在y轴上的合力为Fy＝F1y＋F3y＋F4y＝－20 N.
四个力的合力的大小为F＝＝20 N，合力的方向F3的方向一致．
【答案】 20 N，方向和F3的方向一致
坐标轴方向的选取技巧
应用正交分解法时，常按以下习惯建立坐标轴．
(1)研究水平面上的物体时，通常沿水平方向和竖直方向选取坐标轴．
(2)研究斜面上的物体时，通常沿斜面方向和垂直斜面方向选取坐标轴．
(3)研究物体在杆或绳的作用下转动时，通常沿杆(绳)和垂直于杆(绳)的方向选取坐标轴．
