章末分层突破
[自我校对]
①等效替代
②平行四边形定则
③|F1－F2|
④F1＋F2
⑤正交分解
⑥匀速直线
⑦F合＝0
⑧三角形法
⑨随遇
⑩重心
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力的合成与分解思维方法的应用
根据已知力分析未知力的大小，其分析步骤如下：
1．确定研究对象；
2．对研究对象进行受力分析；
3．当物体受到的力不超过三个时，一般采用力的合成和分解法：
(1)确定要合成和分解的力；
(2)根据平行四边形定则作出合力或分力；
(3)根据数学知识计算合力或分力．
4．当物体受到的力超过三个时，一般采用正交分解法：
(1)建立直角坐标系，使尽可能多的力落在坐标轴上；
(2)将各力正交分解在坐标轴上；
(3)沿坐标轴方向根据平衡条件列方程．
(多选)如图5-1所示，重物的质量为m，轻细绳AO和BO的A端、B端是固定的．平衡时AO是水平的，BO与水平方向的夹角为θ.AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小是( )
图5-1
A．F1＝mgcos θ
B．F1＝mgcot θ
C．F2＝mgsin θ
D．F2＝
【解析】 法一：合成法．
由平行四边形定则，作出F1、F2的合力F12，如图甲所示，又考虑到F12＝mg，解直角三角形得F1＝mgcot θ，F2＝，故选项B、D正确．
法二：分解法．F2共产生两个作用效果，一个是水平方向沿A→O拉绳子AO，另一个是拉着竖直方向的绳子．如图乙所示，将F2分解在这两个方向上，结合力的平衡等知识得：
F1＝F′2＝mgcot θ，F2＝＝，故选项B、D正确．
【答案】 BD
力的合成与分解都遵从平行四边形定则(或三角形定则)，计算时要先根据要求按照力的平行四边形定则作出力的合成或力的分解的示意图．再根据数学知识解三角形，主要是求解直角三角形．
整体法与隔离法在平衡中的应用
在实际问题中，常常会碰到几个连接在一起的物体在外力作用下运动，需要求解它们所受的外力或它们之间的相互作用力，这类问题被称为连接体问题．与求解单一物体的力学问题相比较，连接体问题要复杂得多．有相同加速度的连接体问题是比较简单的，目前我们只限于讨论这类问题．连接体问题常见的求解方法有两个，即整体法和隔离法．
1．整体法：以几个物体构成的系统为研究对象进行求解的方法．在许多问题中用整体法比较方便，但整体法不能求解系统的内力．
2．隔离法：把系统分成若干部分并隔离开来，分别以每一部分为研究对象进行受力分析，分别列出方程，再联立求解的方法．
3．选用原则：通常在分析外力对系统的作用时，用整体法；在分析系统内各物体之间的相互作用时，用隔离法．有时在解答同一个问题时要多次选取研究对象，需要整体法与隔离法交替使用．
在粗糙水平地面上与墙平行放着一个截面为半圆的柱状物体A，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态．现对B加一竖直向下的力F，F的作用线通过球心，设墙对B的作用力为F1，A对B的作用力为F2，地面对A的作用力为F3.若F缓慢增大而整个装置仍保持静止，截面如图5-2所示，在此过程中( )
图5-2
A．F1保持不变，F3缓慢增大
B．F1缓慢增大，F3保持不变
C．F2缓慢增大，F3缓慢增大
D．F2缓慢增大，F3保持不变
【解析】 A、B始终保持静止，对B进行受力分析，如图甲所示，设A、B圆心连线与竖直方向夹角为α，由F2sin α＝F1，F2cos α＝F＋GB可得，当F增大时，F2增大，F1也增大．
将A、B看成整体，进行受力分析如图乙所示，设地面对A的支持力为N，对A的摩擦力为f，则由整体平衡得GA＋GB＋F＝N，且f＝F1，由此可知，当F增大时，N、f均增大，N与f的合力F3也增大．所以只有选项C正确，A、B、D均错误．
甲 乙
【答案】 C
平衡中的动态分析问题
该类问题具有一定的综合性和求解的灵活性，分析处理物体动态平衡常用的方法有：矢量图解法、函数法、整体与隔离法、相似三角形法等．一般来说，对于静力学动态问题，优先采用“矢量图解法”，将某一力据其作用效果分解，构建示意图，将各力之间的依赖、制约关系直观形象地体现出来，达到简捷迅速的判断目的．
如图5-3所示，把球夹在竖直墙面AC和木板BC之间，不计摩擦，球对墙的压力为FN1，球对板的压力为FN2，在将木板BC逐渐放至水平的过程中，下列说法中，正确的是( )
图5-3
A．FN1和FN2都增大
B．FN1和FN2都减小
C．FN1增大，FN2减小
D．FN1减小，FN2增大
【解析】 方法一：图解法
对球受力分析如下图所示，受重力G、墙对球的支持力FN1′和木板对球的支持力FN2′而平衡．作出FN1′和FN2′的合力F，它与G等大反向．当板BC逐渐放至水平的过程中，FN1′的方向不变，大小逐渐减小，FN2′的方向发生变化，大小也逐渐减小，如下图所示，由力的作用是相互的可知：FN1＝FN1′，FN2＝FN2′，故选项B正确．
方法二：解析法
对球受力分析如下图所示，受重力G、墙对球的支持力FN1′和木板对球的支持力FN2′而平衡，
而F＝G，
FN1′＝F tan θ，
FN2′＝F/cos θ，
所以FN1′＝Gtan θ.
FN2′＝G/cos θ，当木板BC逐渐放至水平的过程中，θ逐渐减小，所以由上式可知，FN1′减小，FN2′也减小，由牛顿第三定律可知，FN1＝FN1′，FN2＝FN2′，故选项B正确．
【答案】 B
1．解析法是对研究对象的任一状态进行了受力分析，建立平衡方程，求出因变量与自变量的一般函数式，然后依据自变量的变化确定因变量的变化．
2．图解法是依据某一参量的变化过程分析研究对象的受力，并作出力的平行四边形，由动态的力的平行四边形的边长(或角度)的变化，确定某一力大小与方向的变化规律，从而得到正确的结论．
平衡状态下的临界与极值问题
1.临界问题：当某物理量发生变化时，会引起其他物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”．处理这类问题的最有效方法是假设推理法，也就是先假设，再根据平衡条件及有关知识列平衡方程，最后求解．
2．极值问题：也就是指平衡问题中，力在变化过程中的最大值和最小值问题．
3．解决这类问题常用以下两种方法：
(1)解析法：根据物体的平衡条件列方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值．
(2)图解法：根据物体的平衡条件作出物体的受力分析图，画出平行四边形或矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值．
如图5-4所示，物体的质量为2 kg，两根轻细绳AB和AC一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平成θ＝60°的拉力，若要使绳都能伸直，求拉力F的大小范围．
图5-4
【解析】 法一：极限分析方法．
(1)假设AC绳刚好伸直且FAC＝0，则
Fsin θ＝mg?F＝＝mg
若力F小于上述值，则AC绳弯曲，所以F≥mg.
(2)假设AB绳刚好伸直且FAB＝0，则
Fsin θ＝mg?F＝＝mg
若力F大于上述值，则AB绳弯曲，所以F≤mg
因此力F的范围是：mg≤F≤mg.
法二：数学解法．
作出A受力图如图所示，由平衡条件有：
Fcos θ－F2－F1cos θ＝0
Fsin θ＋F1sin θ－mg＝0
要使两绳都能绷直，则有
F1≥0，F2≥0
由以上各式可解得F的取值范围为：
mg≤F≤mg.
【答案】 mg≤F≤mg
处理临界与极值问题的关键是正确分析物体所处临界状态的受力情况，准确找出临界条件，结合平衡条件列方程求极值．
1.质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上．用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图5-5所示．用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中( )
图5-5
A．F逐渐变大，T逐渐变大
B．F逐渐变大，T逐渐变小
C．F逐渐变小，T逐渐变大
D．F逐渐变小，T逐渐变小
【解析】 以O点为研究对象，受力如图所示，当用水平向左的力缓慢拉动O点时，则绳OA与竖直方向的夹角变大，由共点力的平衡条件知F逐渐变大，T逐渐变大，选项A正确．
【答案】 A
2.(多选)如图5-6所示，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态．若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则( )
图5-6
A．绳OO′的张力也在一定范围内变化
B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
【解析】 因为物块b始终保持静止，所以绳OO′的张力不变，连接a和b的绳的张力也不变，选项A、C错误；拉力F大小变化，F的水平分量和竖直分量都发生变化，由共点力的平衡条件知，物块b受到的支持力和摩擦力在一定范围内变化，选项B、D正确．
【答案】 BD
3.如图5-7所示，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球．在a和b之间的细线上悬挂一小物块，平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径．不计所有摩擦．小物块的质量为( )
图5-7
A. B.m
C．m D．2m
【解析】 如图所示，由于不计摩擦，线上张力处处相等，且轻环受细线的作用力的合力方向指向圆心．由于a、b间距等于圆弧半径，则∠aOb＝60°，进一步分析知，细线与aO、bO间的夹角皆为30°.取悬挂的小物块研究，悬挂小物块的细线张角为120°，由平衡条件知，小物块的质量与小球的质量相等，即为m.故选项C正确．
【答案】 C
4．如图5-8所示，三条绳子的一端都系在细直杆顶端，另一端都固定在水平地面上，将杆竖直紧压在地面上，若三条绳长度不同．下列说法正确的有( )
图5-8
A．三条绳中的张力都相等
B．杆对地面的压力大于自身重力
C．绳子对杆的拉力在水平方向的合力为零
D．绳子拉力的合力与杆的重力是一对平衡力
【解析】 杆静止在水平地面上，则杆受到重力、三条绳子的拉力和地面对它的支持力．根据平衡条件，则三条绳的拉力的合力竖直向下，故绳子对杆的拉力在水平方向的合力为零．杆对地面的压力大小等于杆的重力与三条绳的拉力的合力之和，选项B、C正确；由于三条绳长度不同，即三条绳与竖直方向的夹角不同，所以三条绳上的张力不相等，选项A错误；绳子拉力的合力与杆的重力方向相同，因此两者不是一对平衡力，选项D错误．
【答案】 BC
5.如图5-9所示，滑块A置于水平地面上，滑块B在一水平力作用下紧靠滑块A(A、B接触面竖直)，此时A恰好不滑动，B刚好不下滑．已知A与B间的动摩擦因数为μ1，A与地面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．A与B的质量之比为( )
图5-9
A. B. C. D.
【解析】 滑块B刚好不下滑，根据平衡条件得mBg＝μ1F；滑块A恰好不滑动，则滑块A与地面之间的摩擦力等于最大静摩擦力，把A、B看成一个整体，根据平衡条件得F＝μ2(mA＋mB)g，解得＝.选项B正确．
【答案】 B
6．如图5-10所示，在固定斜面上的一物块受到一外力F的作用，F平行于斜面向上．若要物块在斜面上保持静止，F的取值应有一定范围，已知其最大值和最小值分别为F1和F2(F2>0)．由此可求出( )
图5-10
A．物块的质量
B．斜面的倾角
C．物块与斜面间的最大静摩擦力
D．物块对斜面的正压力
【解析】 当物块所受外力F为最大值F1时，具有向上的运动趋势．
由平衡条件可得：F1＝mgsin θ＋fm；
同理：当物块所受外力F为最小值F2时，具有向下的运动趋势，即F2＋fm＝mgsin θ.
联立解得fm＝，F1＋F2＝2mg sin θ，由于m或斜面的倾角θ未知，故选项C正确；选项A、B、D错误．
【答案】 C
章末综合测评(四)
(时间：60分钟 满分：100分)
一、选择题(本题包括8小题，每小题6分，共48分，第1～5题只有一项符合题目要求，第6～8题有多项符合题目要求，全都选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1．下列说法正确的是( )
A．分力与合力同时作用在物体上
B．分力同时作用在物体上的共同效果与合力单独作用时效果不相同
C．合力可能大于分力的大小，也可能小于分力的大小
D．合力与分力是一对平衡力
【解析】 合力是分力的共同作用效果，一个物体并非既受合力，同时又受分力作用，A、D错．合力的作用效果与分力的共同作用效果相同，B错．合力可能比分力大，比分力小，还可能等于分力，C对．
【答案】 C
2．“荡秋千”是小朋友们非常喜欢玩的游戏．如图1中两个体重相同的小孩坐在秋千上，两秋千的绳子是一样的．下面的说法正确的是( )
图1
A．甲中绳子易断
B．乙中绳子易断
C．甲、乙中的绳子一样易断
D．无法确定
【解析】 小孩的重力可分解为沿绳方向的两个分力，在力确定的情况下，两分力间的夹角越大，两分力越大，即乙中绳子容易断，B正确．
【答案】 B
3．如图2所示，人竖直站在自动扶梯的水平踏板上，随扶梯一起匀速斜向下运动．以下分析正确的是 ( )
图2
A．人受到重力和支持力的作用
B．人受到摩擦力的方向水平向左
C．人受到重力、支持力和摩擦力的作用
D．人受到与速度方向相同的合外力
【解析】 人竖直站在自动扶梯的水平踏板上，随扶梯一起匀速斜向下运动，人做匀速直线运动，受到的合力为零，人受到向下的重力和向上的支持力．如果人受到水平方向的摩擦力，则人在水平方向受到的合力不为零，因此人不会受到摩擦力，A正确．
【答案】 A
4．如图3所示，质量为m的木箱在与水平面成θ角的拉力F作用下，在水平地面上滑行，已知木箱与地面间的滑动摩擦因数为μ，那么物体受到的滑动摩擦力大小为 ( )
图3
A．μ(mg－Fsin θ) B．μmg
C．Fsin θ D．μ(mg－Fcos θ)
【解析】 对木箱受力分析，建立如图所示的直角坐标系，将F正交分解如图．在y方向上N＋Fy＝mg，则N＝G－Fy＝mg－Fsin θ，物体受到的滑动摩擦力f＝μN＝μ(mg－Fsin θ)，A正确．
【答案】 A
5．体育器材室里，篮球摆放在图4所示的球架上．已知球架的宽度为d，每只篮球的质量为m、直径为D，不计球与球架之间摩擦，则每只篮球对一侧球架的压力大小为 ( )
图4
A.mg B.
C. D.
【解析】 以任意一只篮球为研究对象，分析受力情况，设球架对篮球的支持力N与竖直方向的夹角为α.
由几何知识得：
cos α＝
＝
根据平衡条件得：2Ncos α＝mg
解得：N＝
则得篮球对球架的压力大小为：
N′＝N＝.故选C.
6．如图5所示，竖直放置的轻弹簧一端固定在地面上，另一端与斜面体P连接，P的斜面与固定挡板MN接触且处于静止状态，则斜面体P此刻所受的外力个数有可能为( )
图5
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
【解析】 对物体受分析如图甲所示．N＝G时，物体受力可以平衡，故P可能受2个力的作用．NG时，物体会受到挡板MN的弹力F和摩擦力f，受力分析如图乙所示．故P可能受4个力的作用，A、C正确．
甲 乙
【答案】 AC
7．如图6所示，质量为m的物体在沿斜面向上的拉力F作用下沿放在水平地面上的质量为M的粗糙斜面匀速下滑．此过程中斜面体保持静止，则地面对斜面 ( )
图6
A．无摩擦力
B．有水平向左的摩擦力
C．支持力为(M＋m)g
D．支持力小于(M＋m)g
【解析】 用整体法易知：地面对斜面有向左的摩擦力，大小等于F在水平方向的分力；F在竖直方向有向上的分力，故支持力小于(M＋m)g，B、D正确．
【答案】 BD
8．如图7所示，A、B质量分别为mA和mB，叠放在倾角为θ的斜面上以相同的速度匀速下滑，则 ( )
图7
A．A、B间无摩擦力作用
B．B受到的滑动摩擦力大小为(mA＋mB)gsin θ
C．B受到的静摩擦力大小为mAgsin θ
D．取下A物体后，B物体仍能匀速下滑
【解析】 将A、B看成整体，则(mA＋mB)gsin θ＝f，N＝(mA＋mB)·gcos θ，又f＝μN，得μ＝tan θ.对A隔离，A受静摩擦力，fA＝mAgsin θ.A对B的静摩擦力也等于mAgsin θ，方向沿斜面向下．取下A物体后，B物体受到支持力NB＝mBgcos θ，摩擦力fB＝μNB＝mBgcos θtan θ＝mBgsin θ，故B仍能匀速下滑．
【答案】 BCD
二、非选择题(本题共4小题，共52分．按题目要求作答)
9．(10分)一人通过箱带拉着一个旅行箱前进，如图8所示，拉力是12 N，箱带与水平面夹角是30°，则拉力的水平分力为________N．竖直分力为________N.
图8
【解析】 拉力F＝12 N，沿水平、竖直方向分解．
水平分力F1＝Fcos 30°＝6 N≈10.4 N.
竖直分力F2＝Fsin 30°＝6 N.
【答案】 10.4 6
10．(12分)做“验证力的平行四边形定则”的实验时，步骤如下：
(1)在水平放置的木板上固定一张白纸．
(2)把橡皮条的一端固定在木板的A点，另一端连接两根绳套．
(3)通过绳套用两个互成角度的弹簧测力计来拉橡皮条使橡皮条伸长到某一点O，并记录O点的位置．
(4)此时需记录下________、________和两个弹簧测力计的读数F1、F2.
(5)改用一个弹簧测力计把橡皮条拉长到________后，再记录下________和弹簧测力计的读数F′.
(6)用铅笔和刻度尺从力的作用点O沿两绳套的方向画直线．选好标度，按F1、F2的大小作两个力的图示．用三角板做平行四边形，求得合力F.
(7)比较一下，力F′与用平行四边形定则求得的合力F的大小和方向是否相同．
(8)如图9是甲、乙两位同学实验得出的结果，________同学的实验结果比较符合实验事实．
甲 乙
图9
【解析】 本实验要记录力的大小和方向，大小是通过弹簧测力计来读出，方向是通过绳套来确定；为保证分力的作用效果和合力的作用效果相同，本实验要求每次都把橡皮筋拉到同一点O；F′是一个弹簧测力计把橡皮筋拉到O点时的弹力，所以F′与橡皮筋一定在一条直线上，故乙正确．
【答案】 (4)F1的方向 F2的方向 (5)O点的位置 F′的方向 (8)乙
11．(14分)如图10所示(俯视图)，在水平地面上放一质量为1.0 kg的木块，木块与地面间的动摩擦因数为0.6.在水平方向上对木块同时施加相互垂直的两个拉力F1、F2，已知F1＝3.0 N，F2＝4.0 N，取g＝10 m/s2，则木块受到的摩擦力为多少？若将F2顺时针转90°，此时木块在水平方向上受的合力大小为多少？
图10
【解析】 由平行四边形定则可知，图中F1与F2的合力大小F＝＝5.0 N
若木块滑动时，木块受到的滑动摩擦力大小为F′＝μN＝μmg＝6.0 N
由于F当F2顺时针旋转90°时，F1与F2方向相同．它们的合力大小F′＝F1＋F2＝7.0 N>6.0 N
比时木块运动受滑动摩擦力作用，木块受的合力大小为1.0 N.
【答案】 5.0 N 1.0 N
12．(16分)所受重力G1＝10 N的砝码悬挂在绳PA和PB的结点上．PA偏离竖直方向30°角，PB在水平方向，且连在所受重力为G2＝20 N的木块上，木块静止于倾角为30°的斜面上，如图11所示，试求：木块与斜面间的摩擦力和木块所受斜面的弹力．
图11
【解析】 以P点为研究对象进行受力分析，利用力的平衡条件可解得水平绳PB中的张力F＝ N；再以木块为研究对象进行受力分析，如下图所示，运用正交分解法，力的平衡方程为
x方向：Fcos 30°＋G2sin 30°＝f，
y方向：Fsin 30°＋N＝G2cos 30°，
解得f＝15 N，N＝ N，
故木块与斜面间的摩擦力和木块所受斜面的弹力分别为15 N、 N.
【答案】 15 N N|
