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正弦定理配套练习
一、选择题
1．在△ABC中，下列式子与的值相等的是( )
A. B.
C. D.
2．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝( )
A．4 B．2
C. D.
3．一个三角形的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对的边长是4，那么120°角所对边长是( )
A．4 B.12
C．4 D．12
4．在△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120°，则sin A∶sin B的值是( )
A. B.
C. D.
5．在△ABC中，若sin A>sin B，则A与B的大小关系为( )
A．A>B B．A
C．A≥B D．A、B的大小关系不确定
6．以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是( )
A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b
C．在△ABC中，若sin A＞sin B，则A ＞B，若A＞B，则sin A＞sin B都成立
D．在△ABC中，＝
7．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a，则＝( )
A．2 B.2
C. D.
二、填空题
8．在△ABC中，若a＝3，b＝，∠A＝，则∠C的大小为________．
9．在△ABC中，若a＝14，b＝7，B＝60°，则C＝________.
10．在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝________.
11．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin B＝________.
12．在△ABC中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin2 C，则△ABC是________三角形．
三、解答题
13．不解三角形，判断下列三角形解的个数．
(1)a＝5，b＝4，A＝120°；
(2)a＝7，b＝14，A＝150°；
(3)a＝9，b＝10，A＝60°.
14．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝，b＝，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．
15．在△ABC中，若b＝acos C，试判断该三角形的形状．
（选做）16．在△ABC中，已知＝，试数列△ABC的形状．
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正弦定理配套练习解析版
一、选择题
1．在△ABC中，下列式子与的值相等的是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由正弦定理得＝，所以＝.
2．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝( )
A．4 B．2
C. D.
解析：选B 由正弦定理得：＝，即＝，所以AC＝×＝2，故选B.
3．一个三角形的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对的边长是4，那么120°角所对边长是( )
A．4 B.12
C．4 D．12
解析：选D 若设120°角所对的边长为x，则由正弦定理可得：＝，
于是x＝＝＝12，故选D.
4．在△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120°，则sin A∶sin B的值是( )
A. B.
C. D.
答案：A
5．在△ABC中，若sin A>sin B，则A与B的大小关系为( )
A．A>B B．AC．A≥B D．A、B的大小关系不确定
解析：选A ∵sin A>sin B，∴2Rsin A>2Rsin B，即a>b，故A>B.
6．以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是( )
A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b
C．在△ABC中，若sin A＞sin B，则A ＞B，若A＞B，则sin A＞sin B都成立
D．在△ABC中，＝
解析：选B 由正弦定理易知A，C，D正确．对于B，由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B，或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝，
∴a＝b，或a2＋b2＝c2，故B错误.
7．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a，则＝( )
A．2 B.2
C. D.
解析：选D 由正弦定理，得sin2Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，
即sin B·(sin2A＋cos2A)＝sin A.
所以sin B＝sin A．∴＝＝.
二、填空题
8．在△ABC中，若a＝3，b＝，∠A＝，则∠C的大小为________．
解析：由正弦定理可知sin B＝＝＝，所以∠B＝或(舍去)，所以∠C＝π－∠A－∠B＝π－－＝.
答案：
9．在△ABC中，若a＝14，b＝7，B＝60°，则C＝________.
解析：由正弦定理知＝，又a＝14，b＝7，B＝60°，
∴sin A＝＝＝，∵a＜b，∴A＜B，
∴A＝45°，∴C＝180°－(B＋A)＝180°－(60°＋45°)＝75°.
答案：75°
10．在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝________.
解析：A＝180°－B－C＝30°，由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，
即a∶b∶c＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120°
＝1∶1∶.
答案：1∶1∶
11．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin B＝________.
解析：由正弦定理，得
sin C＝
＝＝.
可知C为锐角，∴cos C＝＝.
∴sin B＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C)
＝sin 60°·cos C－cos 60°·sin C＝.
答案：
12．在△ABC中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin2 C，则△ABC是________三角形．
解析：由已知得sin2 A－sin2 B＝sin2 C，根据正弦定理知sin A＝，sin B＝，sin C＝，
所以2－2＝2，
即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2.所以△ABC是直角三角形．
答案：直角
三、解答题
13．不解三角形，判断下列三角形解的个数．
(1)a＝5，b＝4，A＝120°；
(2)a＝7，b＝14，A＝150°；
(3)a＝9，b＝10，A＝60°.
解：(1)sin B＝＝×＜，
所以△ABC有一解．
(2)sin B＝＝1，所以△ABC无解．
(3)sin B＝＝×＝，而＜＜1，所以当B为锐角时，满足sin B＝的B的取值范围为60°＜B＜90°.
当B为钝角时，有90°＜B＜120°，也满足A＋B＜180°，所以△ABC有两解．
14．(2011·安徽高考)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝，b＝，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．
解：由1＋2cos(B＋C)＝0和B＋C＝π－A，得
1－2cos A＝0，所以cos A＝，
sin A＝.
再由正弦定理，得sin B＝＝.
由bcos B＝＝.
由上述结果知sin C＝sin(A＋B)＝×(＋)＝.
设边BC上的高为h，则有h＝bsin C＝.
15．在△ABC中，若b＝acos C，试判断该三角形的形状．
解：∵b＝acos C，＝＝2R.(2R为△ABC外接圆直径)
∴sin B＝sin A·cos C.
∵B＝π－(A＋C)，∴sin (A＋C)＝sin A·cos C.
即sin Acos C＋cos Asin C＝sin A·cos C，
∴cos Asin C＝0，
∵A、C∈(0，π)，∴cos A＝0，∴A＝，
∴△ABC为直角三角形．
（选做）16．在△ABC中，已知＝，试数列△ABC的形状．
解：∵＝，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
∴＝.
又∵sin Asin B≠0，
∴sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，
∴2A＝2B，或2A＋2B＝π，
即A＝B，或A＋B＝.
故△ABC是等腰三角形或直角三角形．
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